(必修4)第一章三角函数

三角函数一、基本内容串讲本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()ϕω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。

1．任意角和弧度制从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。

另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2．任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则ry sin =α，rx cos =α，xytan =α。

3．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα= 4．三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2k+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域R R},2|{Z k k x x ∈+≠ππ6．函数()ϕω+=x A y sin 的图象作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法： （1）用“五点法”作图用“五点法”作y A x =+sin()ωϕ的简图，主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，2π，π，23π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

（2）用“图象变换法”作图由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ωϕ的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||向左或向右平移个单位ϕϕϕϕ00，1sin y x ωωϕ−−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍纵坐标不变（）纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕ法二：先伸缩后平移y x =−→−−−−−−−sin 横坐标变为原来的倍纵坐标不变1ω纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕ可以看出，前者平移||ϕ个单位，后者平移ωϕ个单位。

原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的。

因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则会出现错误。

当函数y A x =+sin()ωϕ（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间ωπ2=T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数ωπ21==T f ，它叫做振动的频率；ωϕx +叫做相位，ϕ叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

7．三角函数模型的简单应用通过对三角函数模型的简单应用的学习，学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

二、考点阐述考点1 任意角的概念和弧度制1、已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、在0到2π范围内，与角43π-终边相同的角是（ ）A.6πB.3πC.23πD.43π3、若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、sin150的值等于（ ）A.12 B.12-考点2 弧度与角度的互化 5、求下列三角函数的值：（1）9cos4π＝ ； （2）11tan()6π-＝ 。

考点3 任意角三角函数的定义 y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||ωωϕϕϕϕω向左或向右平移个单位006、函数xxxx y tan tan cos cos +=的值域 。

7、1[02]sin ()2x x π≥在，上满足的的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A 8、若角32π的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3【解析】343tan 432tan 4,432tan==-=∴-=πππa a ，故选A 。

考点4 正弦、余弦、正切函数的诱导公式9、2cos()3sin() tan()3, 4cos()sin(2)παπαπααπα--++=-+-已知求：的值。

解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ.734332tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos=-⨯+-=-+-=-+-=αααααα原式考点5 正弦、余弦、正切函数的图象画法及性质的运用 10、如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近 似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中2πϕπ<<），那么这一天6时至14时温差的最大值是________C ；与图中曲线对应的函数解析式是________________.11、已知x x f ωsin 2)(= （)0>ω在区间[,3π-4π]上的最小值是-2，则ω的最小值是（ ）A 、32B 、23C 、2D 、312、已知函数)Asin(y ϕω+=x (A>O, ω>0,ϕ<π)的最小正周期是32π，最小值是-2，且图象经过点（095，π）， （1）求这个函数的解析式； （2）给出下列6种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的31；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍；③图象向右平移3π个单位； ④图象向左平移3π个单位；⑤图象向右平移9π个单位； ⑥图象向左平移9π个单位。

请用上述变换将函数y = Asinx 的图象变换到函数 )Asin(y ϕω+=x 的图象，则能实现y =A sinx 到)Asin(y ϕω+=x 的图象正确变换序号是 。

【解析】：（1）由题意得22,3,2,2sin(3)3T A y x ππωϕω=====+， ∵图象过（095，π）， 52sin(3)09πϕ∴⨯+= 即5sin()03πϕ+=又||ϕπ< ，故函数解析式为2sin(3)3y x π=+ （2）先平移后伸缩的步骤为：④①，先伸缩后平移的步骤为①⑥，故变换为④①或①⑥。

考点6 三角函数的周期性13、下列函数中，最小正周期为π的是A.cos 4y x =B.sin 2y x =C.sin 2x y =D.cos 4xy =答案：B考点7 同角三角函数的基本关系式14、（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而sin 12tan cos 5ααα==-， 15cot tan 12αα==-（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角。

当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==． 15、已知α=αcos 2sin ，求ααααcos 2sin 5cos 4sin +-解：2tan cos 2sin =α∴α=α611222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴变：求222sin 2sin cos cos αααα+-．16、已知02πα<<,4sin 5α=.（1）求tan α的值； （2）求cos 2sin()2παα++的值.解：（1）因为02πα<<，4sin 5α=， 故3cos 5α=，所以34tan =α. …………3分（2）23238cos 2sin()12sin cos 1225525παααα+-=-+=-+=.………………8分考点8 ()ϕω+=x A y sin 的实际意义 17、要得到函数x y sin =的图象，只需将函数)3cos(π-=x y 的图象（ ）A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移6π个单位18、已知函数()sin f x x ω=（0ω>）.（1）当1ω=时，写出由()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到的图象所对应的 函数解析式； （2）若()y f x =图象过2(,0)3π点，且在区间(0,)3π上是增函数，求ω的值. 解：（1）由已知，所求函数解析式为()sin()6g x x π=-.（2）由()y f x =的图象过2(,0)3π点，得2sin 03πω=，所以23k πωπ=，k ∈Z .即32k ω=，k ∈Z .又0ω>，所以k ∈*N .当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π，此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2πω≤2433ππ<， 此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数.所以，32ω=. 考点9 三角函数模型的简单应用19、已知函数)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-⋅= （1）求)(x f 的最小正周期;（2）求)(x f 的单调区间; （3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心.解析： （1）T=π；（2）)(]125,12[x f k k 为ππππ+-的单增区间，)(]1211,125[x f k k 为ππππ++的单减区间；（3）对称轴为,.26k x k Z ππ=+∈20、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由. 【解析】：设月份为x,由条件可得：出厂价格函数为ππ=-+12sin()644y x , 销售价格函数为ππ=-+232sin()8,44y x 则每期的利润函数为: )4sin 222(]6)44sin(28)434sin(2[)(12x m x x m y y m y πππππ-=---+-=-=所以，当x=6时，max y =（2+22）m ，即6月份盈利最大. 三、解题方法分析1．明确任意角的概念，从角的概念推广上理解三角函数的定义【方法点拨】将角的概念推广，引入弧度制，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，树立数形结合思想。