应用弹塑性力学李同林第四章
弹塑性力学课程学习指导
(4) 理解纳唯叶(Navier)平衡微分方程的物理力学 意义。明确平衡微分方程的应用对象。
(5) 掌握静力边界条件(即应力边界条件)的应用。 明确弹塑性力学关于应力分量、体力分量、面 力分量的符号规则。
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第三章: 几何变形理论
(1) 深入理解位移、应变和应变状态的概念。 (2) 掌握柯西几何方程的应用和其物理意义。 (3) 理解应变谐调方程（相容方程）的物理
意义。 (4) 了解应变状态和应力状态，它们两者在
数学上的共性。
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第四章: 弹性变形、塑性变形、本构方程
(1) 固体材料的弹性变形与塑性变形的特点。 (2) 了解弹塑性力学力学模型的建立所应注意的问题。 (3) 理解弹性应变能和实功原理的概念，以及将弹性
应变比能分解成体变比能和畸变比能的物理意义。 (4) 熟练掌握各向同性体的广义虎克定律。 (5) 深刻理解主应力空间、屈服函数、屈服面、屈服
（1） 弹塑性力学课程基本教学内容目录； （2） 《应用弹塑性力学》，李同林编，中国地 质大学出版社2002版，本科教材；
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六、课程各章学习重点
本课程各章学习的重点表述如下，而各章学习内容的基本要求 和复习题请见专门的电子文档。
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第一章: 绪 论
(1) 了解弹塑性力学的基本任务。 (2) 明确弹塑性力学的研究对象。 (3) 明确弹塑性力学分析问题解决问题的
(2) 明确弹塑性力学最基本问题的边界条件类型。 (3) 了解位移解法、应力解法、逆解法和半逆解
法，着重掌握应力解法。了解位移解法的普 遍适用性。 (4) 明确圣文南原理的意义，以及在应用该原理 时必须满足的基本原则。
应用弹塑性力学 李同林 第四章
应用弹塑性力学李同林第四章应用弹塑性力学李同林第四章第四章弹性变形和塑性变形本构方程当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。
因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。
要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。
考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。
综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。
在第二章和第三章中，我们从静力学和几何学两个方面研究了受力物体应满足的各种方程，即平衡微分方程（2-44）和几何方程（3-2）。
因此，现在的问题是，我们必须考虑物体的物理性质，即物体变形时的应力和应变之间的关系。
在力学中，应力应变关系通常被称为本构关系或本构方程。
本章将介绍物体变形时的弹性和塑性应力应变关系。
大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。
下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。
在图4-1中，OA段是一个成比例的变形阶段。
在这个阶段，应力和应变之间的关系是线性的，可以用胡克定律来表示：ζ=eε(4-1)其中e是弹性模量，e是弹性变形期间的常数。
对应于a点的应力称为比例极限，并记录为ζp。
从a点到B点，它不再由线性关系表示，但变形仍然是弹性的。
对应于点B的应力称为弹性极限，并记录为ζr。
对于许多材料，从点a到点B的距离非常小，即ζP和ζ，r的值非常接近，通常不区分，但在ζr中表示，当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足方程（4-1）。
弹塑性力学第四章
x
y
)
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§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
第四章 结构弹塑性分析
(4.26)
(4.27)
当截面全部成为塑性区时，变形可无限制地流动 → 塑性铰，结构变为机构（破坏） 。此时 设极限荷载为 q0 ，跨中极限弯矩（全部塑性 ξ = 0 ）为：
M max
所以：
1 2 bh 2 = q0 l = σs 2 4
(4.28)
bσ q0 = s 2
⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠
2
(4.29)
李遇春编
如图 4.5，X 方向上配筋所产生的抵抗（分布）弯矩为 M ux （这个弯矩可根据钢筋混凝土 结构理论确定） ，在长度 L sin θ 上的总抵抗弯矩为 M ux L sin θ ，这个弯矩在屈服线上的分量为：
M u1 = ( M x L sin θ ) ⋅ sin θ = M x L sin 2 θ
图462屈服线计算理论i屈服线上的抵抗弯矩图47如图47x方向上配筋所产生的抵抗分布弯矩为ux这个弯矩可根据钢筋混凝土结构理论确定在长度sin上的总抵抗弯矩为uxsinsin443同理y方向上的配筋抵抗弯矩在屈服线上的分量为
同济大学水利工程系
李遇春编
第四章 结构弹塑性分析
1、弹塑性力学边值问题的提法 （1）全量理论边值问题
（ⅳ）边界条件： 在应力边界 sσ 上：
dσ ij l j = dPi
(4.13) (4.14) (4.15)
(4.16)
在位移边界 su 上： dui = dui
(4.17)
同济大学水利工程系
李遇春编
2、 梁的弹塑性弯曲
图 4.2 如图 4.2 的简支梁，梁的变形满足平截面假设。根据材料力学（弹性力学） ，梁内的应力 状态为： σ x = σ (≠ 0) ， σ y ≈ 0 (与其它量比，可忽略不计） ， τ xy = τ
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
弹塑性力学习题集(有图)
~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。
应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。
·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。
）教材的教学使用而编写的配套教材。
本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。
作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。
鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。
本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。
书中大部分内容都经过了多届教学使用。
为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。
由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。
<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章 应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。
弹塑性力学第四章
y c21 x c22 y c23 z z c31 x c32 y c33 z
x 对 x 的影响应与 y 对 y 及 z 对 z 的影响相同，即 c11 c22 c33
y , z 对 x 的影响应相同，即 同理，
因而有：
c12 c13
c11 c22 c33 a c12 c21 c13 c31 c23 c23 b
对于应变主轴，弹性常数只有两个。
广义胡克定律
各向异性弹性体独立的常数有21个。 系数矩阵对称 Cmn Cnm 广 西 工 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。 学 院
广义胡克定律
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院
x 汽 x 车 工 2 2 2 x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 yz l12l13 xz l11l13 x x 程 系 ,
y y z z
z
y
y
z
ij liil jj ij
车 工 程 系
弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的 汽 两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。 弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向 具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的 独立常数有9个。
广义胡克定律
证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。 证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答张宏编写西北工业大学出版社目录第二章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
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第十章习题答案 ..... 错误!未定义书签。
第十一章习题答案 ... 错误!未定义书签。
第二章 习题答案设某点应力张量ijσ的分量值已知，求作用在过此点平面ax by cz d ++=上的应力矢量(,,)n nx ny nz p p p p ，并求该应力矢量的法向分量n σ。
解 该平面的法线方向的方向余弦为l a d m b d n c d d ====，，，而应力矢量的三个分量满足关系nx x xy xz ny xy y yz nz xz yz z p l m n p l m n p l m nστττστττσ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩ 而法向分量n σ满足关系n nx ny nx p l p m p n σ=++最后结果为()()()()22222222222nx x xy xz ny xy y yz nx xz yz z n x y z xy yz zx p a b c d p a b c a p a b c da b c ab bc ca d d a b c στττστττσσσσστττ=++=++=++=+++++=++利用上题结果求应力分量为0,2,1,1,2,0x y z xy xz yz σσστττ======时，过平面31x y z ++=处的应力矢量n p ，及该矢量的法向分量n σ及切向分量n τ。
解求出l m n ===,,nx ny nz p p p 及n σ，再利用关系222222n nx ny nz n np p p p στ=++=+可求得n τ。
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
第四章-弹塑性断裂力学PPT课件
a* 2a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低
碳钢取
f
1 2
(
s
b)
代替 s 。其中 f
为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
综合考虑上述3部分内容
D－B模型的计算公式
8 f a* ln sec[ (M )]
E
2 f
19
§4.5 J积分的定义和特性
主要包括COD理论和J积分理论.
3
§4.1 小范围屈服条件下的COD 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
c —COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
第四章 弹塑性断裂 力学
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸
弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的
接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以 便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之 间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。
( 12
x1
22
x2
)
u2 x1
11
2u1 x12
12
2u2 x12
21
2u1 x1x2
22
2u2 x1x2
)]dx1dx2
弹塑性力学-04
x E y
其中E为弹性常数，这就是熟知的 胡克定律。
在三维应力状态下，描绘一点处的 应力状态需要9个应力分量，与之 相应的应变状态也要用9个应力分 量来表示。在线弹性阶段，应力与 应变间仍有线性关系存在，但在一 般情况下，任一应变分量要受9个 应力分量 制约。
3
由于应力张量与应变张量的对称性
10
x e 2 x , xy xy
y e 2 y , yz yz z e 2 z , zx zx
x x ( y z ) (3 2 ) 2 (3 2 )
正交各向异性的弹性材料的本构关系，可根据任一坐标轴 反转时弹性常数保持不变的要求
c12 x c22 y c23 z c11 , c22 , c33 , c12 , c13 , c23 , c44 , c55 , c66 c13 x c23 y c33 z c44 xy 共9个弹性常数 c55 yz c66 zx
1 x ( x v y ) E 1 y ( y v z ) E v z ( x y ) E 1 xy xy G
如用应变分量表示应力分量
14
对于平面应变问题
z yz zx 0
E x [(1 v) x v y ] (1 v)(1 2v) E y [v x (1 v) y ] (1 v)(1 2v) vE z ( x y ) (1 v)(1 2v) xy G xy
c 41 x c 42 y c 43 z c 44 xy c 45 yz c 46 zx c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
弹塑性力学讲义 第四章应力应变关系
A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成
体积分。
S Fiui dS S ( ijui )n j dS V ( jiui ), j dV
上式代入外力功增量
A ( fi ji, j )ui dV jiui, j dV ijijdV WdVU
弹性主轴
x3 为弹性主轴或材料主轴， 并取另一坐标系 x’i
， 且 x’1
= x1， x’2=x2， x’3=-x3。
4
在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为 13 个独立系数。
Qi’j
x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3
代入
x1
1 0 0 1
x2
0 0 0 -1
x3
0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
2
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
得
x ' x1 ， x ' x 2
1
3 1
，
x ' x3
3
，
x ' x ' x1 x 2
1 2
x ' x ' x3 x1 ， x ' x ' x3 x 2
3 2
应变分量具有相同关系式。
[C]
为对称矩阵
[C]= [C]T。
最后 Eijkl 的独立系数为 21 个——材料为各向异性线弹性材料。 *对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生 剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可简化 [C] 中系数。 2.2 具有一个弹性对称面的材料 若物体内各点都有这样一个平面， 对此平面对称方向其弹性性质相同，则 称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面 的方向称为弹性主轴。 如取弹性对称面为 x1 —x2 面， x1 x3’ x2 x3
弹塑性力学能量原理及其应用
第八章 能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'xx εε=所 围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。
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应用弹塑性力学李同林第四章这是变形理论。
这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。
问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。
因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。
伊柳欣的变形理论应该满足几个条件:(1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)；(2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即或者；在变形过程中(4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。
满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。
如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。
这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。
体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。
法律。
使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指数m来拟合拉伸曲线。
采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。
伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。
他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即:如果使用主应力，有等效应变的表达式为:从这里因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下:展开等式(4-84):根据胡克定律(4-33)，弹性应变为:因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得:公式(4-86)可以缩写为:实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。
材料是各向同性的。
尝试找到:(1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加；(2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。
因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
如果圆柱体横截面上的轴向合力为P，横截面面积为A，纵向合力为p1，一侧的纵向横截面面积为A1，则各点的周向应力和轴向应力分别为:那么ζ1=ζθ，ζ2=ζη，ζ 3 = ζ r。
而球形应力分量是:应力偏转分量为:根据增量理论(忽略弹性变形):因此:即基于总理论公式(4-84)和μ=1/2，=0，，获取:Xi话题4-1试验证明，下式适用于弹性变形过程中某一点的应力状态。
1(1)？8？？8；(2)？？k？(设置μ=1/2)G4-2试图证明g，e？他们之间的关系是:1G？2(1？？)11？？g？E2，然后是3？？？k。
？，θ= 0；同时，4-3试验证明，对于各向同性弹性体，如泊松比上述弹性常数的物理意义。
4-4如果材料屈服的原因是形状变化比能(异常能)达到某个极值，试着根据单轴拉伸应力状态和纯剪切应力状态来确定屈服极限？s和？S.4-5尝试根据体积应变规则证明泊松比，即物体在单轴拉伸下不会横向膨胀，而在三轴拉伸下体积不会收缩？在...上1的下限是:0？？？。
E24-6试用物体三维等效压缩的应力状态证明:K？？？并验证它是否与k有关？与...一致，3(1？2v)3K是体积弹性模量。
4-7已知钢的弹性常数E1= 210Gpa，μ= 0.3；橡胶的弹性常数E=5MPa，μ= 0.47。
试着比较它们的体积弹性常数(K1是钢，K2是橡胶的体积弹性模量)。
4-8在双轴拉伸应力下有一个微分体。
1？0，？2？0，？3？0)，主要的菌株是？1？1.7？10？4，？2？0.4？10？4 .知道吗？= 0.3，试着找出主要菌株？3 .4-9将问题4-9中的图中所示的1厘米×1厘米×1厘米的铝方块嵌入带有无间隙凹槽的钢块中。
假设钢块没有变形，试着找出:在压力P = 6KN的作用下，铝块中某一点应力状态的三个主应力和主应变，弹性常数E=70Gpa？= 0.33 .直径D = 40mm毫米，厚度为？在2 mm的钢套筒中，气缸承受轴向压力P = 40KN。
如果铝的弹性常数E1是70 GPa？1 = 0.35，钢E = 210GPa，试着找出气缸中某一点的圆周应力。
4-11试验证明各向同性弹性体的主应力方向与相应的主应变方向一致。
4-12将一个小物体放入高压容器中，在静水压力P = 0.45N牛顿/平方毫米的作用下，测量体积应变θ=-3.6×10-5。
如果泊松比μ=0.3。
试着找出物体的杨氏弹性模量e。
4-13各向同性物体中某一点在X和Y方向上的法向应力分量分别为= 35N/mm2；=25N/mm2，同时Z方向的应变完全受限。
设E=2.11×105 N/mm2，μ=0.3，并试着求出ζ ε和εy，ε x的值4-14如果位移分量为μ=Ayz，υ=Axz，w= AKxy，其中a和k是常数，与物理力无关。
和K≠1。
试着找出应力分量，并验证这组应力分量是否可以作为弹性力学问题的可能解决方案。
4-15物体中点的应力状态为:单轴拉伸下物体的屈服极限ζb = 190兆帕。
特雷斯和米塞斯屈服条件用于判断该点处于何种变形状态。
如果主应力方向都在相反的方向上变化(即相同的值但不同的数值)，那么对研究点的变形状态的判断是否改变。
4-16找出d点的流动规律(即)用主应力写出了4-17 Mises条件，并研究了两种特殊情况:(1)ζ1 =ζ2；(2)ζ2=ζ3 .尝试将列出的米塞斯条件与特雷斯卡条件进行比较。
4-18给定的单轴拉伸曲线如图所示。
“E”和“E”都是已知的。
当B点的应变被称为ε时，试着找出该点的塑性应变。
4-19给定以下主要应力，试着找出:；也。
在4-XXXX，法国工程师特雷·雷斯卡在一系列金属挤压实验的基础上发现，在变形的金属表面上有非常细微的痕迹，这些痕迹的方向非常接近最大剪应力的方向。
因此，他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起的金属晶格滑移而形成的。
Tresca提出，在一个物体中，当最大剪应力ηmax(绝对值)达到某一极限值时，材料进入塑性状态。
当ζ1≥ζ2≥ζ3时，该条件可写成如下:如果你不知道主应力的大小和顺序，那么特雷斯卡条件应该写成:在方程(4-44)中，如果有方程，材料已经进入塑性状态。
如果方程(4-44)被改写成一个通式，它是:在主应力空间中，方程(4-45)的几何轨迹对应于图4-18(a)所示的正六边形圆柱体。
柱面和ζ1ζ2平面ζ3代[公式(4-45)的截止轨迹为:这代表六条直线，如图4-18(b)所示，即:如图4-18(c)所示，圆柱和π平面之间的截距是正六边形。
上面出现的K值只需要通过简单的应力状态试验来确定。
如果采用单轴拉伸试验，ζs是屈服极限，因此存在。
ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，则得到公式(4-43 ):如果使用纯剪切试验，则:，是剪切屈服极限ηs，因此ζ1=ηs，ζ2=0，ζ3=-ηs比较方程(4-48)和方程(4-49)，如果特雷斯卡屈服条件是正确的，必须有:最大剪应力的假设被普遍接受，因为它与实验结果一致。
然而，当使用Tresca条件时，主应力的总和和顺序应该是已知的，因为最大剪切应力ηmax可以通过这种方式获得。
如果主应力的顺序是已知的，使用特雷斯卡条件是非常方便的。
因为从数学表达式来看，它是一个简单的线性公式，用它来解决问题非常方便。
此外。
Tresca的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力ζ2对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。
米塞斯屈服条件如上所述，特雷斯卡条件非常方便地用于预测主应力的顺序。
但总的来说，这相当麻烦。
191年，德国力学家R .冯.米塞斯指出:在等倾平面上，特雷斯卡条件六边形的六个顶点是通过实验得到的，但连接这六个顶点的直线包含着这样的假设(中间主应力不影响屈服)。
这个假设是否合适需要通过实验来证明。
守财奴认为用一个圆连接六个顶点似乎更合理，而且可以避免因曲线不平滑而造成的数学困难。
主应力空间中米塞斯屈服条件的轨迹是一个从外部连接到特雷斯卡六边形圆柱体的圆柱体，如图19(a)所示，它垂直于正八面体斜面或π平面。
所以它在π平面上的截距等于圆圈，如图4-19所示如图4-19(b)所示，它在ζ1ζ2平面上的截距是一个由六边形围成的椭圆。
如果用公式表示，英里条件可以写成:或者写成上述两个公式中的k是常数，其值可以通过简单的应力状态试验来确定。
如果采用单轴拉伸试验，ζs为屈服极限，则ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，由公式(4-51)得出:如果采用纯剪切试验，ηs=k是用同样的方法得到的，所以我们知道: 也就是说η s ≈ 0.577 ζ s1924年，赫内基解释了米塞斯条件的物理意义。
他指出，方程(4-51)相当于形状变化应变能量密度等于某一值，即:①亨斯基认为，当韧性材料的形状改变，应变能密度Uod达到某一值k’时，材料开始屈服。
如果采用单向拉伸在拉伸试验中，当材料屈服时，已知公式(4-51)与公式(4-55)一致。
因此，米塞斯经常投降。
这种状态称为畸变能状态。
1937年，戴娜(戴娜)对米塞斯给出了另一种解释，即这种情况的物理意义。
戴娜认为，公式(4 -51)相当于八面体剪应力η8等于某一值，即换句话说，当八面体剪应力达到一定值时，材料开始屈服。
在1952年，诺沃契洛夫(注1)用剪切应力的均方值对米塞斯条件的物理意义给出了另一种解释(略)。
简而言之，尽管上述三种解释以不同的形式表达，但它们实际上是。
他们之间有着内在的联系。
关于验证上述屈服条件，有大量的实验数据。
这里不再详细描述。
实验表明，变形能条件比最大剪应力条件更接近实验结果，主应力的阶次无需事先知道，中间主应力ζ2对屈服的贡献也被考虑在内。
图4-20显示了细管实验和拉扭实验的结果。
图4-20(a)显示了泰勒等人的拉伸和扭转试验结果；图4-20(b)显示了洛达克细管的试验结果。
如图4-21所示，例4-2有一个横截面相等的圆轴，并承受弯曲和扭转应力。
已经材料的实测屈服极限为ζs = 300兆帕，已知弯矩Mw = 10kN·m，扭矩Mn = 30kN·m。
如果安全系数n=1.2，则尝试根据材料力学和强度理论的相关公式设计轴的直径。
解决方案:圆轴是在弯曲和扭转的共同作用下，所以轴中危险点横截面上的两个应力分量是:在上面的公式中，主应力是:显然。
圆轴上一点的应力状态是ζ1=ζmax，ζ2=0，ζ3=ζmin。
ζ1和ζ3分别是:根据特雷斯卡条件，ζ1-ζ3=ζs，公式(3)被取代，安全系数被认为获得: 解决方案如下:因此，轴向直径可以是d≥10.9厘米。