第五章 晶体结构1

倒易截数
• 设在晶体中选取规定晶胞的三个平移向量a、 b、c的方向作为坐标轴，则某一平面点阵 组（晶面）在三个轴上的截长分别为h＇a 、 k＇b及l＇c，根据平移群的概念，h＇，k＇ 及l＇应为有理数，称其为晶面在三个轴上 的截数。其倒数 • 1 ， 1 ， 1 也应为有理数，叫 倒易截数 h k l • 。
5.4.1晶体的宏观对称元素及其组合
• 反轴： • 是一根特定的直线（旋转轴）与该线中心的一个点（对称中 心）组合而成对称元素。 • 其操作指，先L( )再I，为基转角，，而后再通过线上（中 心）点进行倒反（或先倒反再旋转），才能使图像复原，则 此叫n重反轴。其操作可记为： • L（）I • 对上表可进行总结为以下三点： • （1）L( )、M、I为简单对称操作，L( )I为复合对称操 作。 • （2）表中对称操作进行时，图象中至少有一个点（对称元 素共同通过或相交的一点）是不动的，故称其为点对称操作。 把与点对称操作相应的对称元素叫宏观对称元素，并将这类 对称操作群叫有限群。 • （3）只有L( )为实操作，其他为虚操作。
证
明
设晶体中有一旋转轴 n 通过某阵点 O，根据前一条原理必有一组平面点阵与 n 垂直，而在其中必可以找出与 n 垂直，属于平移群的素向量 a，a 作用于 O 得点 A，
2 π 2 L ( ) 与 L( -a 得点 A＇ ， -a 必属于平移群， 若以 为 n 的基转角 （ ） ， 则 n n
5.1.2晶体的点阵结构
• b．二维点阵（由一维点阵平移得到） • Tmn= ma + nb (m ，n = 0、±1、±2……) • 也叫平面点阵。见下图，a叫蜜置层、c叫平面格 子。
5.1.2晶体的点阵结构
• • • • 平面点阵的素单位和复单位见下图2-3 I II 素单位，个阵点 III VI为复单位 ：阵点 应尽量选取具有较规则形状的较小的平行四边形 单位，称正当单位（可以是素单位，也可以是复 单位
BB 2 OB cos 2 2 ma 2a cos n n
m 2 m 2 1 ，所以 1或 m 2 ， cos ，因 cos n 2 n 2





m=0、±1、±2。分别解 2 cos
2 0 、±1、±2…… n
晶体结构中对称轴可能轴次的各相应值
石英晶体（外形）的晶面、晶棱与其平面点 阵，直线点阵对应关系示意图
• 。←◆
石英晶体的不同外形及其相应晶面
∠ab=141°47„， ∠bc=120°00‟， ∠ac=113°08„
4.2.1晶面、晶棱定律与晶面夹角守恒定律
5.2.2晶面符号与有理指数定律
• 晶面符号（也叫晶面指标）:用于表示晶体的不同 晶面的不同平面点阵组 ◆→ • 1 1 1 也可记为h*k*l*或hkl * * *
5.1.2晶体的点阵结构
• b．晶体 中的点相 应于点阵 中的基本 单位 • 见图 空间点阵
素单位
晶体
素晶胞
例Cu、晶 体
1mm长的晶粒有2.8百 万个Cu晶胞
复单位
正当单位
复晶胞
正当晶胞
直线点阵
平面点阵
晶棱
晶面
空间点阵
晶体
5.2 晶体学的基本规律和点阵理论
• 晶体学是研究晶体规律性的科学。 • 与其相关的结晶学是研究物质结晶状态和 过程的科学，在晶体学与结晶学基础上建 立起结晶化学,结晶化学——主要研究晶体 的化学组成与其内部结构的关系以及晶体 结构与其化学性能联系的科学。 • 晶体物理学是研究晶体结构与某些物理性 能关系的学科。 • 晶体学是基础（最基础）
4
对称操作 倒反 I 反映 M 旋转 L(0°或 360°) 旋转 L(180°) 旋转 L(120°) 旋转 L(90°) 旋转 L(60°) 旋转倒反 L(90°)I
等同元素 或组合成 分
1 2
3i 3， 3 m 6
思 考
题
因 I=1 重反轴，2 m ，3 3 i ，
6 3 m ，故不作为单独元素列
各种形状的钙轴云母图片
X-射线衍射图
非晶态 晶态
非晶铝合金图
淡水珍珠粉的x衍射图
5.1.2晶体的点阵结构(本章的重点)
• 1．）周期性与点阵 • 周期性是晶体内部结构的本质特征，也既晶胞的 重复排列，晶体内部的微粒（原子、分子、离子 或原子团等）在空间排列上按照一定的方式，每 隔一定距离地重复出现 • 将这些微粒抽象成几何学上的点，就称为点阵 • 点阵是微粒有规则排列的具体方式，也是反映结 构周期性的几何形式， • 点阵——按连接其中任意两点的向量进行平移后 能复原的一组点。
5. 晶体结构
5.1 晶体的特性与点阵结构 晶体状态，简称“晶态”（crystalline state） 晶体的定义：由原子、分子、离子等微粒在空间有规则地排列 而成的固体 5.1.1晶体的特性 1．）晶体均匀性和各向异性 a．晶体均匀性 b. 各向异性 2．）晶体的对称性和对X射线的衍射性质 有对称的外形，如雪花等 晶体能对X-射线发生衍射（非晶体不具有此功能） 3．）晶体的其它特性 有固定的熔点，自发长出晶面、晶棱及顶点而构成多面体外形。
入表中，只有 4 是独立存在的， 不能用其他对称元素代替
2．）宏观对称元素的组合
• 2个严格的限制条件 • 第一、晶体的多面体外形是一种有限图形，对称 元素组合时必须通过一个公共点。否则会有无限 种组合，这与晶体的有限外形相矛盾 • 第二、组合时，不能产生与点阵结构不相容的对 称元素。（5、7……） • 违背了以上两个限制条件就是不合理的 • 组合顺序是：对称轴与对称轴→对称轴与对称面 →对称轴、对称面与对称中心。
: : h :k :l h k l
• 用三个数表示某一晶面（或平面点阵），称其为 晶面符号[也叫晶面指标或叫密勒（Miller）指数] • 其原因是密勒在1839年建议使用的，为纪念此人 而叫“密勒（Miller）指数”。 • 晶体学中将晶体的每个晶面在三个晶轴上的倒易 截数的值都成互质的整数比的这一规律叫有理指 数定律（定理），此规律是郝蔚（R.T.Hauy） 1802年提出的。◆→
3．）晶体宏观对称类型—32个点群
• 晶体的外形无论如何变化，由8种独立的宏 观对称元素组合而成的对称元素系，只能 有32种 • 即32种宏观对称类型，由于其对称元素系 与点对称操作群相对应，所以也被人们称 为“32个点群” • 无论晶体外形如何变化都跑不出这“32个 点群”范围
32个点群及其记号
晶系 三斜 对称元素 1 i 2 m 2、m、i 2、2m 32 32、3m、i 3 熊夫利记号 C1 Ci C2 Cs C2 h C2 v C2 C2 h C3 C3 i C3 v C3 C3 d 点群国际记号 1
1
2 m
单斜
2 m
mm2 222
正交
2 2 2 m m m
3
3
三方 3、3m 3、3 2 3、3 2、3m、i
多 晶 示 意 图
纯C60膜TEM明场形貌和电子衍射花样，薄膜 由随机取向的多晶构成
A、B：化学法制备的微米級特种硫化銅14面体结构及其结构特征
C、D：具有优美对称性结构的想象中的艾舍尔多面体
• 微晶
准
晶 衍 射 图
Shechtman的实验 衍射结果
具有五重旋转轴的二十面体准晶衍射图
5.4.1晶体的宏观对称元素及其组合
m -2 -1 0 +1 +2
cos 2 n 2 n 2 1 2 2 120 3 2 90 4 2 60 6 2 2 1

n 2 3 4 6 1
-1 1 2
0 +
1 2
1
五边形不能充满所有二维平面
晶体中宏观对称元素
对称元素 对称中心 反映面（镜面） 一重旋转轴 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴 国际记号 i m 1 2 3 4 6
1．）基 本 原 理
• （1）在晶体的空间点阵结构中，任何对称 轴（旋转轴、反轴及螺旋轴）都必与一组 直线点阵平行；任何对称面（镜面及微观 对称元素中的滑移面）都必与一组平面点 阵平行，而与一组直线点阵垂直 • （2）晶体的对称性定律：晶体中对称轴 （n，，螺旋轴）的轴次n并不是任意多重 的，而是仅限于n = 1，2，3，4，6
5.2.1晶面、晶棱定律与晶面夹角守 恒定律
• 晶面、晶棱定律：指晶体在形成过程中会自发生长出具有 晶面、晶棱及顶点的多面体外形（也叫晶体的自范性）→
• 晶面夹角守恒定律：同一品种晶体的每两个相应晶面的夹 角不受外界条件影响，保持恒定不变的数值，若对各相应 晶面引法线，则每两条法线间的夹角为一常数，此规律称 晶面夹角守恒定律 • 同一种晶体在本质上具有相同的点阵结构，故其外形上也 必服从同一规律。 石英晶体的不同外形及其相应晶面 • ◆→
选用倒易截数的由来
• 晶体的晶面必平行于相应平面点阵，晶体 的棱必与相应的直线点阵平行，但无论是 平面点阵还是直线点阵都必须通过阵点。 所以其与晶棱或坐标轴相交时，截长应为 素向量的整数倍。为防止出现无穷大，故 采用倒易截数表示。←◆
1 0
举 例
立方晶体的几组晶面指标
举 例
铜单晶晶面指标
3
3m 32
3
2 m
4
4
C4 S4 C4h C4v D2d D4 D4h C6 C3h C6h C6v D3h D6 D6h T Th Td O Oh
4
4 4 m
4、m、I 四方 4、4、m 4 、2 2、2m 4、4 2 4、4 2、5m、i 6


2π ) n
能使点阵复原，得阵点 B＇ 、B，及向量 BB 。由于 OB 和 OB 是 a 及-a 绕 n 旋转所得 到的，应属于平移群，而向量 BB 为 OB 与 OB 之差，也属于平移群，其素向量也应为 a，由图中可以看出 BB 必平行于 AA ，所以向量
BB ma ，式中 m 必为整数
236晶面截数示意图
平面点阵间距及阵点密度与晶面指 数关系图
5.3理想晶体、实际晶体、准晶与非晶体
• 理想晶体：按照点阵的周期性在空间可以无限伸展的晶体可称其为理想晶 体，相反为实际晶体。而实际晶体只能无限趋近 • 微晶体：每颗晶粒只有几千或几万个晶胞，晶棱只能重复几十个或十几个 周期，目前研究的纳米晶等 • 多晶体：由小晶粒组成 • 非晶体：与晶体有本质区别，各向同性，无点阵结构 • 液晶：各向异性，无点阵结构 • 介于“晶体 液晶 非晶体”之间 • 因此液晶原则上不能称为晶体，但有些性质其应用价值超过了晶体 • 准晶： （非传统意义上的晶体）准晶是具有长程准周期性平移序和非晶体 学旋转对称的固态有序相，它是一种介于晶体和非晶体之间的固体 • 将晶体的定义从“有序、重复的原子阵列”扩展为 • “任何能给出明确离散衍射图的固体”，以使准晶补充到晶体范围内
平面点阵的素单位、 复单位
5.1.2晶体的点阵结构
• c．三维点阵，也叫密置堆 • 或空间点阵 • Tmnp = ma + nb + pc (m、n、p = 0、±1、 ±2……)
5.1.2晶体的点阵结构
• 2．）点阵结构与晶体 • 能为某一点阵相应的平移群所复原的任何结构， 称为“点阵结构” • 空间、平面、直线等对应的点阵结构 • 晶体为空间点阵。 • a．点阵中的阵点， • 在点阵结构中叫“结构基元” • 在晶体中叫物质微粒（原子、分子、离子）
源自文库
5.1.2晶体的点阵结构
• a．一维点阵（one-dimen sional lattice） • 等径圆球密置列
• 所谓平移：指将图形中所有的点（称点阵点，简称阵 点lattice points）在同一方向上移动同一距离的操作。 • “a”为表示移动方向和距离的向量叫平移向量 a为素 向量，其他为复向量，组成一个群，此称平移群，用 Tm表示。 • Tm=ma (m = 0±1、±2……)
分子对称性 对称元素 对称操作 及符号 及符号 ˆn 旋转 c 对称轴 cn 对称面σ
ˆ 反映
对称中心 i 反演 iˆ ˆn 象转轴 sn 旋转反映 s 反轴 旋转反演
晶体对称性 对称元素 对称操作 及 符 号 及符号 旋转轴 n 旋转 L （ ） 反映面或 反映 M 镜面 m 对称中心 i 倒反 I —— —— 旋转倒反 反轴 n L（ ）I