点与直线、直线与直线的位置关系

第二节 点与直线、直线与直线的位置关系
一、基础练习：
1．已知两条直线y ＝a 2
x －2和x-ay ＋1＝0互相垂直，则a 等于________．-1或0 2．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝________.-2
3．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________．X-y+1=0 4．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．-3 5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l 过点A (－2,3)，且法向量为n ＝(1，－2)，则直线l 的方程为______________．X-2y+8=0 二、重点知识：
1、判断两直线的关系
例1：已知两条直线l 1：ax-by ＋4＝0，直线l 2：(a-1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值。

（1）21l l ⊥，且1l 过点)1,3(--；a=b=2（2）21//l l ，且原点到这两直线的距离相等。

a=2,b=-2; a=3
2
,b=2 规律：已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0。

（1）若l 1∥l 2，则_____________________________________；
（2）若l 1⊥l 2，则____________________________________；
练习题：1.已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的________________条件．必要不充分
2．已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是_________________。

2
3.若三条直线l 1：x ＋y ＝7，l 2：3x －y ＝5，l 3：2x ＋y ＋c ＝0不能围成三角形，则c 的值为________．-10 4．过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，求直线l 的方程。

4x+y-6=0,3x+2y-7=0
5．设a 、b 、c 、分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是______．垂直
6．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个
四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为______．8
1
7．已知n 条直线l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2，l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0(其中C 1<C 2<C 3<…C n )，在这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .
(1)求C n ；
(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成图形的面积；
(3)求x －y ＋C n －1＝0与x －y ＋C n ＝0及x 轴、y 轴围成的图形的面积．
解：(1)原点O 到l 1的距离d 1为1，原点O 到l 2的距离d 2为1＋2，…，原点O 到l n 的距离d n
为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2n (n ＋1)
2
.
(2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则
S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12C n 2＝n 2(n ＋1)2
4
.
(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)知S n ＝n 2(n ＋1)2
4，则有S n －1＝(n －1)2·n 2
4
.
∴S n －S n －1＝
n 2(n ＋1)24－
(n －1)2·n 2
4
＝n 3，∴所求面积为n 3.
2、点、直线的对称性 例2：（1）求点P (3,2)关于点Q (1,4) 的对称点P ′的坐标； (2)求点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点A ′的坐标； (3)求直线l ：3x －y －1＝0关于点Q (1,4) 的对称直线; (4)求直线l ：3x －y －1＝0关于直线y ＝2x 的对称直线。

解：（1）P ′（-1,6） （2）A ′（4，-2） （3）3x －y +3＝0 （4）13x －9y +5＝0 总结：
例3：在直线l ：3x －y －1＝0上求点P 和Q ，使得：
(1)Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． (2)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；
解：(1)如图所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
35，245.
∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，
AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
117
，267，
故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
117
，267.
(2)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1，
即3·b －4a
＝－1.
∴a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2
，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4
3－4，即2x ＋y －9＝0.
解⎩⎨
⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，
得⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝5.
即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．
练习题：1．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是______．
解析：分别求点P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点，为P 1(4,2)、P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P 1P 2＝210.答案：210
2.直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线，若A 、B 的坐标分别为A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状．
解：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 对称的点A ′的坐标是(m ，n )
由⎩⎪⎨⎪⎧
2＋n 2＝－4＋m 2·2，2－n －4－m ·2＝－1，
解得⎩⎨
⎧
m ＝4，
n ＝－2，
即A ′的坐标是(4， －2)，
由B 、A ′得BC 所在的直线方程，3x ＋y －10＝0，由⎩⎨
⎧
3x ＋y －10＝0，
y ＝2x ，
解得C 的坐标是(2,4)，
又∵k AC ′＝1
3
，k BC ′＝－3，
∴AC ′⊥BC ′，即△ABC ′是直角三角形．
3．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0，若点B 坐标为(1,2)，求点A 和C 的坐标．
解：由⎩⎨⎧
x －2y ＋1＝0，y ＝0，
得A (－1,0)．又B (1,2)，∴k AB ＝1.
∵x 轴是∠A 的平分线，∴k AC ＝－1.
AC 直线方程y ＝－(x ＋1)．又BC 方程为：y －2＝－2(x －1)， 由⎩
⎨⎧
y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1)，得C (5，－6)． 4．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－1
2
x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________.
解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－1
2x ＋b
为同一直线，故得⎩⎨
⎧
a ＝－2
b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：2。