九年级数学《二次函数》复习课件 新人教版
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人教版数学九年级上册第22章《二次函数》复习课件 (共12张ppt)
(3)x＜－2时，y随x的增大而增大；x＝－2时，函数有最大值
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17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y＝－8x2都相 32 同，并且它的顶点在抛物线 y＝2(x＋ ) 的顶点上． 2 (1)求这条抛物线的解析式； (2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式； (3)将(2)中所求抛物线关于x轴对称，求所得抛物线的解析式．
)2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增 a≤2 大，则a的取值范围是___________ ． 1 15．已知一条抛物线与抛物线y＝－ x2＋3形状相同，开口方向相反， 2 1 2 y ＝ (x ＋ 5) 顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是_____________ ． 2 16．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当x取何值时， y随x的增大而增大？当x取何值时， 函数有最大值(或最小值)? 1 解：(1)y＝－ (x＋2)2 (2)图象略 3
1 向下 ，顶点坐标为 7．对于抛物线y＝－ (x－5)2，开口方向_______ 3 (5，0) ，对称轴为__________ x ＝5 __________ ．
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8．二次函数y＝－5(x＋m)2中，当x＜－5时，y随x的增大而增大， 当x ＞－5 时 ，y 随x 的增大而减小， 则 m＝_____， 5 此时 ，二次函数 (－5，0) ， 当 x ＝ _________ －5 时 ， y 取最 的图象的顶点坐标为 ____________ _______ 0 ． 大 值，为_______ 9．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝ y3＜y1＜y2 ． －2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______________ 10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过 点 (1 ， － 3) ， 求抛物线的解析式， 并指出当x 为何值时 ， y 随 x 的增 大而减小． 解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴ －3＝a(1－2)2，解得a＝－3，∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2. 当x＞2时，y随x的增大而减小
九年级数学上册-第二十二章 二次函数 复习课件-人教版
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。 （3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润。
3 AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周
接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值。
思维导图 例题示范
例3
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 3x 4 3 交
3
3
x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5。
（1）求直线BD的解析式；
解：（1）令y=0，则 3 x2 3x 4 3 0 ，解得x=-4或1，
2
思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积；
解：（2）∵ 二次函数的解析式为：y 1 x2 4x 6，
2
∴ 二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
人教九年级上册数学2二次函数图像与性质复习课件
2.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下
平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则
b,c的值为( Ｂ )
A.b=2,c=-6
B.b=2,c=0
C.b=-6,c=8
D.b=-6,c=2
【知识延伸】
1.把抛物线y=(x-1)2-4绕着它的顶点旋转1800 ，得到：
植物每天高度 增长量y(mm)
… -4 … 41
-2 0 2 49 49 41
4 4.5 … 25 19.75 …
由这些数据,科学家估计出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函 数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外 两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
若 y1 ＞ y2 ＞ yo ,则x0的取值范围是（ B ）
A．x0 ＞-5 ; C．-5＜ x0 ＜-1;
B． x0 ＞-1 ; D．-2 ＜x0 ＜3
[回顾一般式与顶点式关系]
y＝ax2＋bx＋c -—→y＝a(x＋ b )2＋ 4ac b2
2a
4a
主题2 二次函数的平移
【主题训练2】将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个
【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c,
4a 2b c 49, a 1,
根据题意,得 4a 2b c 41, 解得 b 2,
c 49,
c 49，
∴y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图 象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在 同一直线上,所以y不是x的一次函数.
九年级数学上册第22章二次函数小结与复习课件新版新人教版
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的 利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请 结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( )
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的 利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请 结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( )
九年级数学上册22二次函数复习课件新版新人教版
类型归纳 【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ b<0,
b
∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c2得a c=1, 2a
所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,
方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.
所以正确的共有4个,选B.
类型归纳 【主题升华】
图象形状 顶点坐标 开口及最值
b,c,b2-4ac
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
( b , 4ac b2 ) a>0↔向2a上↔最4a小值
4ac b2
a<0↔向下↔最大值
九年级上册
第二十二章 二次函数
知识梳理
【答案速填】 ①形如y=ax2+bx+c(a，b， c是常数，a≠0)的函数； ②y=ax2+bx+c(a，b，c是 常数，a≠0)； ③列表、描点、连线； ④a＞0时，开口向上， a＜0时，开口向下；
⑤直线x b ； ຫໍສະໝຸດ a⑥( b , 4ac b2 )； 2a 4a
⑦上加下减，左加右减； ⑧有两个交点； ⑨有一个交点； ⑩没有交点.
类型归纳
类型一：二次函数的平移
【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单
位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3
二次函数复习课件(人教版九年级)
数学·新课标（RJ）
解：(1)过点 C 作 CM⊥x 轴，垂足为 M.由抛物线的对称性可 知 AM＝BM.
在 Rt△AOD 和 Rt△BMC 中， ∵OD＝MC，AD＝BC， ∴△AOD≌△BMC. ∴OA＝MB＝MA. 设菱形的边长为 2m，在 Rt△AOD 中， m2＋( 3)2＝(2m)2，解得 m＝1.
数学·新课标（RJ）
方法技巧 二次函数的图象中，a 决定开口方向，即 a>0⇔开口向上， a<0⇔开口向下；a 与 b 决定对称轴位置，即 a，b 同号⇔对称轴 在 y 轴左侧，a，b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧；c 决定抛物线与 y 轴交点的位置，即 c>0⇔交点在 y 轴的正半轴上，c＝0⇔交点在 原点，c<0⇔交点在 y 轴的负半轴上．此外，还要注意抛物线与 坐标轴的交点坐标．
是(0， 3)，以点 C 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点．
图 26－4
数学·新课标（RJ）
(1)求A、B、C三点的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式． [解析] 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可 求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y ＝ax2＋bx＋c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点， 所以也可以通过设顶点式y＝a(x－h)2＋k来求抛物线的解析式．
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
解：(1)过点 C 作 CM⊥x 轴，垂足为 M.由抛物线的对称性可 知 AM＝BM.
在 Rt△AOD 和 Rt△BMC 中， ∵OD＝MC，AD＝BC， ∴△AOD≌△BMC. ∴OA＝MB＝MA. 设菱形的边长为 2m，在 Rt△AOD 中， m2＋( 3)2＝(2m)2，解得 m＝1.
数学·新课标（RJ）
方法技巧 二次函数的图象中，a 决定开口方向，即 a>0⇔开口向上， a<0⇔开口向下；a 与 b 决定对称轴位置，即 a，b 同号⇔对称轴 在 y 轴左侧，a，b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧；c 决定抛物线与 y 轴交点的位置，即 c>0⇔交点在 y 轴的正半轴上，c＝0⇔交点在 原点，c<0⇔交点在 y 轴的负半轴上．此外，还要注意抛物线与 坐标轴的交点坐标．
是(0， 3)，以点 C 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点．
图 26－4
数学·新课标（RJ）
(1)求A、B、C三点的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式． [解析] 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可 求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y ＝ax2＋bx＋c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点， 所以也可以通过设顶点式y＝a(x－h)2＋k来求抛物线的解析式．
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
人教版九年级数学上册 二次函数复习与总结课件
二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最值
y= ax2+bx+c (a>0)
y= ax2+bx+c (a<0)
向上
a 的值越大时，开口越小，y 变化越快
直线x b
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小.
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
知识点三 二次函数的图象和性质
问题1：一般用什么方法画函数的图象？
问题2：描点法画函数图象的一般步骤是哪些？
1.列---列表（表中给出一些自变量的值及其对 应的函数值）；
2.描---描点（在直角坐标系中描出表中数值对 应的各点）；
3.连---连线（按照横坐标由小到大的顺序把所 描各点用平滑的曲线连接起来）.
函数y=ax2+c的图象大致为（ B）
x
y
y
y
y
O
x
A
O
x
O
B
C
O
x
D
3、抛物线 y ax2 bx c 向右平移1个单位，再向下平
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)
(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
初中数学《二次函数》复习课名师教学PPT课件
3.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经 试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次 函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；
(1)求一次函数的解析式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单 价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最 大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单 价x的范围.
二次函数在几何问题中的应用
1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤 足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了 如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区 域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的 面积为ym2.
A.图象关于直线x＝1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最小值是-4 C.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴 的两个交点的横坐标分别是-1，3 D.当x＜1时，y随x的增大而增大
2.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的 取值范围是（B）
A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
1 x
2.已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值
范围是（ C）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
3.矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0）， 面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成 （ B）
A.y＝x2 C. y＝12－x2
B.y＝(12－x)x D.y＝2(12－x)
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
《》九年级上册第22章《二次函数》二次函数复习(共16张PPT)
二次函数复习
知识要点(一〕
1 二次函数的概念, y=_a_x_2__b_x___c__。
(a, b, c 是__常__数___, a ___≠_0____ ),那么 y叫做x 的二次函数。
2 抛物线y=ax2 + bx + c 的对称轴是
_x______2_b_a_,
顶点坐标是(
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不 会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
拓展训练
y=a(x-h)2+k(a≠0)
∴ 的可解设析这 式个 是二 ( 次) 函数解析式为y=1a(x-.4)如(x+1)下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。
y ax bx c的解析式是( y=a (x-h)+k
2
解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
)
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
y=a(x-h)2+k(a>0)
知识要点(一〕
1 二次函数的概念, y=_a_x_2__b_x___c__。
(a, b, c 是__常__数___, a ___≠_0____ ),那么 y叫做x 的二次函数。
2 抛物线y=ax2 + bx + c 的对称轴是
_x______2_b_a_,
顶点坐标是(
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不 会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
拓展训练
y=a(x-h)2+k(a≠0)
∴ 的可解设析这 式个 是二 ( 次) 函数解析式为y=1a(x-.4)如(x+1)下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。
y ax bx c的解析式是( y=a (x-h)+k
2
解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
)
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
y=a(x-h)2+k(a>0)
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4、二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的函
数值随自变量值的变化规律：
(1)若a<0，当x<-
b 2a
时，y随x的增
大而_增_大__；
当x>- b 时，y随x的增大而_减_小__.
2a
(2)若a>0，当x<而_减_小__；
b 2a
时，y随x的增大
当x>- b 时，y随x的增大而__增_大_.
2a
课题：二次函数复习
（前三节内容）
如图是二次函数y=ax2 +bx+c 的函数图象,你能从图中得到 哪些结论
-1
13
-4
（一）基本概念： 1、二次函数：形如_y__a__x2__b__x__c
(a_≠_0,a,b,c为常数）的函数叫做二 次函数.
2、二次函数的解析式：
(1)一般式_y____a__x2___b__x __c__（__a≠_0_）__
（1）已知抛物线的顶点坐标是（-1，-2），且 过点（1，10）；
.
（2）已知抛物线过点（0，-2），（1，0）， （2，3）
三、反馈练习
• 1、(2007·宿迁)将抛物线y= x 2 向左平移4
个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛 物线的解析式是y_(_x_4_)_2_2___________．
• ( A)4个
x= -1
• (B)3个
• (C)2个
• (D)1个
8、已知二次函数 yax2bxc的图象 如图所示： (1)关于x的方程 a2xbx c0的根是 x_1___1,_x_2_.2
• (2)一元二次不等式 ax2 bxc0
的解集是__-1_<_x_<_2.
9、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的 关系式：
坐标为_(_0_,-_3_) __，当x _>_1____时，y
随x 的增大而增大，当x_=_1____时， y有最__小___值是__-4_______.
• 2、抛物线y= x 2+kx+k－1，若它经过原点，
则k=____；1 若它的顶点在y轴上，则 k=__0_.
• 3、将抛物线y= x 2 向_下__平移__8__个单位，
抛物线与x轴只有一个交点，则b2-4ac_=__0：
若抛物线与x轴没有交点，则b2-4ac__<__0．
（二）典型习题：
1、抛物线y= x 2－2x－3的开口
__向_上___，顶点坐标为__(_1_,-_4)___，对
称轴为直线__X__=_1___，与x轴的交
点坐标为(_3_,0_)_,(_-1_,_0_) ，与y轴的交点
(2)顶点式_y___a_(_x__h_)_2__k__(_a___0)
x2
3、抛物线 yax2bxc（a≠0）的顶 点坐标为___(_2_ba_, 4_a4_cab2 )，对称轴 为直线_x___2b_a _
①当a、b同号时，对称轴在y轴的__左__ 1
侧；
2
②当a、b异号时，对称轴在y轴的
_右___侧．
(A)y1y2
• (C)y1y2
(B)y1 y2 (D)不能确定
• 6、(2007．河北)在同一平面直角坐标系 中，一次函数y=ax+b和二次函数 yax2 bx
的图象可能为 ( A )
• 7、已知二次函数yax2bxc的图像如 图所示，有下列结论：
• (1) a+b+c<0；(2)a－b+c>0；(3)abc>0； (4)b=2a其中正确的结论有 ( B )
yax2bxc -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20
四、小结与反思 • 五、作业
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
y>0．⑤当 x1x2时 ，1yy2 .你认为
其中正确的个数为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
5、(2007·常德)根据下列表格中二次
函数 yax2bxc 的自变量x与函数值
y的对应值，判断方程 a2xb（xca ≠0 0,a、
b、c为常数）的一个解x的范围是
()
C
x
6.17 6.18 6.19 6.20
• 2、(2007·上海)二次函数 y(x1)23 图 象的顶点坐标是 (B )
• A.(－1,3)
B．(1，3)
• C(－1，－3) D．(1，－3)
3、(2007·武汉)已知二次函数的 图象开口向下，且经过原点．请 写出一个符合条件的二次函数的 解析式：
4、(2007·岳阳)小明从右图的二次函 数 yax2bxc图象，观察得出了下 面的五条信息：①a<0．②c=0．③ 函数的最小值为－3④当x<0时，
• 5、抛物线 yax2bxc与y轴交
于_（_0_，_c）__若方程 的两根分别为
a2x, 则bx抛1x 、物c （x 线a20≠0）
与x轴交于y__a__x2__b_x_c
(x1,0)、(x2,0)
(1)抛物线与y轴正半1 轴相交，则c_>__0；抛物线
与y轴的负半轴相交，则2 c__<_0． (2)抛物线与x轴相交于两点，则b2-4ac_>__ 0；
再向_______右_平移_______2个单位，就可
得y= －4xx2 -4.
4、(连云港)抛物线y=a (x 1)2+2图象
的一部分如右图所示，该抛物线在y
轴右侧部分与x轴交点的坐标是( D )
(A)( 1 ,0)
2
1 2Leabharlann (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)
• 5、 (武汉)已知抛物线 yax2bxc(a>0) 与x轴分别交于(－l，0)、(5，0)两点， 当自变量x=1时，函数值为 ；当y 1x=3 时，函数值为 ．y则2 下列结论正确的 是 ( )B