第1课时——正弦定理(1)(配套作业)
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高一必
课时作业1 正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则b ＝( D )A.6－22 B.3 C.62D. 6 解析：因为A ＝45°，C ＝75°，所以B ＝60°，所以由正弦定理得b ＝a ·sin Bsin A＝2×3222＝ 6. 2．已知△ABC 外接圆的半径R ＝5，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则bsin B ＝( C )A ．2.5B ．5C ．10D ．不确定 解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得b sin B＝10. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝π4，则B＝( A )A.π6B.π6或5π6C.π3D.5π6解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝2×222＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由已知，得a sin A ＝b ＝bsin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，故△ABC 一定是直角三角形．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( D )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin A a ＝33，又a >b ，所以角B 为锐角，所以cos B ＝63. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( B )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°，∴c ＝30×12＝b sin30°>b sin C ，又b >c ，∴此三角形有两解(如图所示)．二、填空题7．在△ABC 中，sin A sin B ＝32，则a ＋b b 的值为52.解析：由正弦定理，得a ＋b b ＝a b ＋1＝sin A sin B ＋1＝32＋1＝52.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝45°，a ＝5，则a ＋b －csin A ＋sin B －sin C＝10.解析：由比例性质和正弦定理可知，a ＋b －csin A ＋sin B －sin C ＝a sin A ＝5sin45°＝10.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为π6.解析：由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，知B ＝π4，由正弦定理易求得sin A ＝12.又a <b ，所以A 为锐角，从而A ＝π6.三、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b 和正弦定理， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . ∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴32sin C ＝cos A sin C .∵sin C ≠0，∴cos A ＝32. ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝3sin π61＝32. ∵b >a ，∴B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，∴c ＝2.②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，∴c ＝a ＝1.综上可得，c ＝1或c ＝2.11．在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sin B sin C ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，得sin A ＝a2R ，sin B＝b 2R ，sin C ＝c2R ，所以由sin 2A ＝sin B sin C 可得⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝b 2R ·c 2R ，得a 2＝bc . 又2a ＝b ＋c ，所以4a 2＝(b ＋c )2， 所以4bc ＝(b ＋c )2，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，所以由2a ＝b ＋c ，得 2a ＝b ＋b ＝2b ，所以a ＝b ，所以a ＝b ＝c ， 故△ABC 为等边三角形．——能力提升类——12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( C )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0， 所以tan A ＝3，则A ＝π3.由正弦定理得原式＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， 所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C . 因为0<C <π，sin C ≠0，所以sin C ＝1， 所以C ＝π2，A ＝π3，B ＝π6.13．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝43，若此三角形有且只有一个，则a 的取值X 围是( C )A ．0<a <43B ．a ＝6C ．a ≥43或a ＝6D ．0<a ≤4 3 解析：当a ＝b sin A ＝43×32＝6时，△ABC 为直角三角形，有且只有一解；当a ≥b ＝43时，此三角形只有一解，此时B ≤A ＝60°.综上，a ≥43或a ＝6.故选C.14．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线交BC 于D ，AD ＝3，则AC ＝ 6. 解析：如图所示，∵B ＝120°，AB ＝2，AD ＝3，∴由正弦定理得sin ∠ADB ＝AB ·sin B AD ＝22，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝15°，∠BAC ＝30°，∴在△ABC 中，C ＝30°，由正弦定理得AC ＝AB ·sin Bsin C＝2×3212＝ 6.15．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理，得AC sin B ＝ABsin C， 所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.。
(新课标)高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人
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正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!， 即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
高中数学课时作业1正弦定理新人教A版必修0
即2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝ sinC.
所以cosC＝0，得C＝90°.
又因为B＝45°，所以A＝45°，
从而△ABC是等腰直角三角形．
14．在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；
(2)a＝5，b＝4，A＝90°；
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求 的值．
解析：由条件得 ＝ ＝ ，所以sinA＝ sinC，同理可得sinB＝ sinC.
所以 ＝ ＝－ .
10．在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.
解析：∵A＋B＋C＝180°，
∴C＝105°.
所以sinB＝ sinA，∴ ＝ ＝ .
答案：
13．(山东曹县一中月考)△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解析：因为lgsinB＝－lg ，
所以sinB＝ ，
又因为0°<B<90°，所以B＝45°，
由lga－lgc＝－lg ，得 ＝ .
由正弦定理得 ＝ ，
6．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝________，b＝________.
解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理 ＝ ，得b＝ c.又c＋b＝12，所以c＝8，b＝4.
答案：84
7．(山东济南外国语学校期末)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝ ，b＝ ，B＝120°，则a＝________.
∴本题无解，如图(4)．
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
苏教版数学必修五：1.1正弦定理(一)作业纸
5．在 中，有等式：① ；② ；
③ ；④ .
其中恒成立的等式序号为_______________.
6．在 中， ， ，则 的长为.
7．在 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则 ＝.
8．在 中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则 的形状是.
9．在 中，已知 则 中最短边长为.
课题：§1.1正弦定理（一）作业纸总第____课时
班级_______________姓名_______________
1．在 中，已知 ， ， ，则 _________.
2．在 中，已知 ， ， ，则 _________.
3．一个三角形的两个内角分别为 和 ，如果 角所对的边长为 ，那么 角所对的边长是_________.
3．解答题订正：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10．在 中，已知 ,则角C=.
11．根据下列条件解三角形：
（1） ;
（2） ;
（3） .
12.在 若 ，且 为锐角，试判断此三角形的形状.
13.在 中，已知角 对应的边分别为 ，且
(1)求 的值；
(2)当 · = 时，求 的值.
三、作业错误分析及订正：
1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]
题号
1234来自567
K12配套2021 2021学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修5
K12配套2021 2021学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修5k12配套2021-2021学年高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教b版必修5Kk12辅助学习材料课时作业(一)正弦定理A组（时限：10分钟）1。
在里面△ ABC，三个内角a、B和C的对边分别是a、B和C。
如果a=2，B=3，B=60°，那么a=（）a.45°B.135°c.45°或135°d.60°分析：Sina=可以从正弦定理中得到答案：A2。
在里面△ ABC，如果a=60°，B=45°，BC=32，那么AC=（）a.43b。
23c 3d。
322，但akk12支持学习材料答案：d5．在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△abccosacosbcosc的形状．解：由正弦定理＝＝＝2r，sinasinbsinc得a＝2rsina，b＝2rsinb，c＝2rsinc，代入＝＝中，得cosacosbcosc2rsina2rsinb2rsinc＝＝，cosacosbcosc即sinasinbsinc＝＝，cosacosbcoscabcabcabc∴tana＝tanb＝tanc，即a＝b＝c.因此△abc为等边三角形．b组(限时：30分钟)1．在△abc中，ab＝3，a＝45°，c＝75°，则bc等于()a．3－3b.2c．2d．3＋3解析：在△abc中，由正弦定理，得＝，sinasinc∴bc＝3sin45°.sin75°6＋2，4bcab又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝∴bc＝2×＝3－3.6＋2243答案：a222．在△abc中，已知a＝3，b＝60°，cosa＝，则b＝()3a.c.9692b.88939d.22配套学习资料k12页脚内容Kk12辅助学习材料33×293221asinb解析：∵02b．x<2c．2abckk12配套学习资料π2是sin（B+C）=Sina，即Sina=1，‡a=，所以选择a.2答案：a2sina-sinb7。
高中数学必修五《正弦定理》精品导学案附课时作业
第一章 解三角形§ 1．1．1 正弦定理【情形激趣】有一个旅行景点，为了吸引更多的旅客，想在景色区两座相邻的山之间搭建一条参观索道。
已知一座 山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米，在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角是脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 30 。
求需要建多长的索道？b5E2RGbCAP450，在另一座山顶B 测得山BA300451500C【学习过程 】 一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 及 思虑 ： C 的大小与它的对边 明显，边 AB 的长度跟着其对角B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． AB 的长度之间有如何的数目关系？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 下边就第一来商讨直 角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ，p1EanqFDPw依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，ab c．sin A sin B sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ，则 a bsin A ，cb sin B 同理可得，sin C sin B 进而 a b csin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试推导.1.表达正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角： a = ， b = ， c = ；DXDiTa9E3d②角化边：sin ， sin ， sin C ； RTCrpUDGiT3.正弦定理的推论： a : b : c进而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作_______【沟通释疑】（二）合作商讨种类一已知两角及一边解三角形例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ，a42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形．规律总结：种类二已知两边及此中一边的对角解三角形例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 , c1, 求a 和A, C ．规律总结：种类三判断三角形的形状例 3在ABC 中，已知a2tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。
课时作业17：1.1.1 正弦定理（一）
1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)基础过关1.在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53B.35C.37D.57答案 A解析 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形.3.在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 B解析 ∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c ，又由正弦定理得a c ＝sin A sin C .∴cos C ＝sin C ，又0°＜C ＜180°，∴C ＝45°，故选B.4.在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( )A.1B.2C. 2D. 3 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°.由正弦定理得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A.－223B.223C.－63D.63答案 D解析 由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ， ∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角.∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－（33）2＝63. 6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.答案 75°解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.7.在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .解 根据正弦定理a sin A ＝c sin C ，得 a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.由三角形内角和定理，得B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).能力提升8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B.－725C.±725D.2425答案 A解析 由正弦定理及8b ＝5c ，得8sin B ＝5sin C ，又C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ＝10sin B cos B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725.9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，即sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C 得2sin 3π4＝2sin C ，即sin C ＝12，又a ＞c 得C ＝π6，故选B.10.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________(填序号).①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立.函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立.在锐角三角形中，∵A ＋B >π2， ∴A >π2－B ，则有sin A >sin(π2－B )，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立.11.在△ABC 中，C ＝45°，A ＝60°，b ＝2，求此三角形最小边的长及a 与B 的值. 解 ∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝75°，∴C <A <B ，∴c <a <b ，即c 边最小.由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝2sin 60°sin 75°＝32－6，c ＝b sin C sin B ＝2sin 45°sin 75°＝23－2.∴最小边c 的长为23－2，a ＝32－6，B ＝75°.12.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长.解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理：ABsin∠BDA ＝BDsin∠BAD，解得BD＝92 2.故BD的长为922.创新突破13.如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asin A＝bsin B＝csin C＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？解在锐角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD. 因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asin A＝asin D＝2R.同理，bsin B＝csin C＝2R，所以asin A＝bsin B＝csin C＝2R成立.在钝角△ABC中，如下图，连接BO交圆O于D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以asin A＝asin（180°－D）＝asin D＝2R.所以asin A＝bsin B＝csin C＝2R对任意三角形仍成立.。
高中数学人教B版课时作业：1.1.1 正弦定理 Word版含解析
第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,b=1,则a为( D )(A)3 (B)2解析:由∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,得∠A=120°,∠B=∠C=30°,根据正弦定理,即解得a=.2.(2017·四川雅安高一期中)已知△ABC中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于( A )(A)30°(B)30°或150°(C)60°(D)60°或120°解析:法一因为a=4,b=4,∠A=30°,所以根据正弦定理又B为锐角,则∠B=30°.法二因为a=b=4,∠A=30°,所以∠A=∠B=30°.故选A.3.(2017·福建福州高一期末)在△ABC中,利用正弦定理解三角形时,其中有两解的选项是( D )(A)a=3,b=6,∠A=30°(B)a=6,b=5,∠A=150°∠A=60°∠A=30°解析:对于A,由正弦定理可得sin B=可得∠B=90°, ∠C=60°,只有一解;对于B,由正弦定理可得sin B=可得B为锐角,三角形只有一解;对于C,由正弦定理可得可得这样的三角形无解;对于D,由正弦定理可得sin 由b>a,可得B∈(30°,150°),有两解.故选D.4.在△ABC中,若B,cos A=cos C,则△ABC形状为( C )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2·sin B可化为·sin B,因为0°<∠B<180°,所以sin B≠0.所以所以∠A=60°或∠A=120°,又cos A=cos C,所以∠A=∠C,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.5.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.解析:设三个内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°1=1∶ 2.答案:1∶ 26.在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=60°,则△ABC的面积是.解析:由正弦定理得又∠A=75°,所以S△ABC·×答案7.(2017·内蒙古包头铁路一中高一期末)下列叙述中错误的是( B )(A)在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(B)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B(C)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则 sin A>sin B(D)在△ABC中解析:A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,故有a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故A成立;B,若sin 2A=sin 2B,等价于2A=2B,或2A+2B=π,可得A=B,或故B不成立;C中,由sin A>sin B可知2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),即a>b,则A>B,反之,若A>B,则a>b,即sin A>sin B,因此C正确;D再根据比例式的性质可得D成立.故选B.8.在△ABC中,若∠B=30°则△ABC的面积为( C )(A)2( (D)3解析:得sin C=因为AB>AC,所以∠C=60°或120°.当∠C=60°时,∠A=90°,则S△ABC2×sin 90°当∠C=120°时,∠A=30°,则S△ABC2×sin 30°故选C.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b·cos C=3a·cos B-c·cos B,则cos B= .解析:由正弦定理得:a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C,则等式可化为:2R·sin B·cos C=6R·sin A·cos B-2R·sin C·cos B,即:sin B·cos C=3sin A·cos B-sin C·cos B,可得:sin B·cos C+sin C·cos B=3sin A·cos B,sin(B+C)=3sin A·cos B.又sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,所以答案10.在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且4sin(1)求∠A的大小;(2)若BC边上高为1,求△ABC面积的最小值.解:(1)因为∠A+∠B+∠C=π,所以sin所以由已知得4cos-cos 2A=变形得2(1+cos A)-(2cos2整理得(2cos A-1)2=0,解得因为A是三角形的内角,所以(2)因为BC边上高为1,所以bsin C=1,csin B=1,所以△ABC的面积设y=4sin Bsin C,则y=4sin Bsin(=2sin Bcos B+2sin2Bsin 2B+1-cos 2B因为0<∠∠所以∠从而∠故当2∠即∠,S的最小值为11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,若m=(b,3a),n=(c,b),且m∥n,∠C-∠求∠B.解:由m∥n,得b2=3ac.由正弦定理可得4R2·sin2B=3×2Rsin A×2Rsin C 即sin2B=3sin A·sin C因为∠C-∠所以sin C=cos A,即:sin2sin 2A,又∠A+∠B+∠C=π,所以2∠A+∠即sin 2A=cos B,得:sin2所以2cos2B+3cos B-2=0.得cos B=所以∠。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）第一章：正弦定理的引入1.1 实物的直观引入利用直角三角形和平行四边形模型，引导学生直观感受正弦定理的概念。
让学生通过观察和实验，发现正弦定理在几何图形中的普遍性。
1.2 数学定义与公式给出正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形的边长，A, B, C分别为对应的角度。
解释正弦定理的内涵，让学生理解各个参数之间的关系。
1.3 例题讲解选择具有代表性的例题，讲解正弦定理的应用方法。
引导学生通过正弦定理解决问题，培养学生的解题能力。
第二章：正弦定理的应用2.1 三角形内角和定理的推导利用正弦定理推导三角形内角和定理：A + B + C = 180°。
解释推导过程，让学生理解正弦定理与三角形内角和定理之间的关系。
2.2 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形的形状（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。
引导学生通过正弦定理判断给定三角形的形状。
2.3 实际问题应用选择与生活实际相关的问题，引导学生利用正弦定理解决问题。
培养学生的实际问题解决能力，提高学生对正弦定理的应用意识。
第三章：正弦定理在测量中的运用3.1 角度测量讲解利用正弦定理进行角度测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行角度测量，提高学生的实际操作能力。
3.2 距离测量讲解利用正弦定理进行距离测量的方法。
引导学生通过正弦定理进行距离测量，提高学生的实际操作能力。
3.3 实际测量案例提供实际测量案例，让学生利用正弦定理进行测量。
培养学生的实际测量能力，提高学生对正弦定理在测量中应用的理解。
第四章：正弦定理在三角函数中的应用4.1 三角函数的定义与关系讲解正弦定理与三角函数之间的关系。
引导学生理解正弦定理在三角函数中的应用。
4.2 三角函数图像的绘制利用正弦定理绘制三角函数图像。
培养学生的图像绘制能力，提高学生对正弦定理在三角函数中应用的理解。
4.3 三角函数问题的解决利用正弦定理解决三角函数问题。
苏教版数学高一必修5 1.1正弦定理 第1课时 正弦定理(1) 作业
1.1正弦定理 第1课时 正弦定理(1)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是 ．【解析】 由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】 5∶32．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝ .【解析】 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，∴b ＝c sin B sin C ＝2sin 60°sin 45°＝ 6. 【答案】 63．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为 ． 【解析】 由正弦定理可知，sin A a ＝sin C c， 又sin A a ＝cos C c ， ∴sin C c ＝cos C c， 即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.【答案】 45°⎝⎛⎭⎫或π4 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝ . 【解析】 在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为A 为钝角，所以B ＝π4. 【答案】 π45．在△ABC 中，已知a ＝43，b ＝42，A ＝60°，则c ＝ .【解析】 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝4243×32＝22. ∵b <a ，∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，∴c ＝a sin C sin A ＝43×sin 75°sin 60°＝2(2＋6)．【答案】 2(2＋6)6．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则满足条件的三角形有 个．【解析】 A ＝150°>90°，∵a >b ，∴满足条件的三角形有1个．【答案】 17．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为 .【解析】 易得A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边，∴由c sin C ＝b sin B ，得b ＝63. 【答案】 638．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝ .【解析】 由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，可知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2. ∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1 ＝1∶3∶2.【答案】 1∶3∶2二、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？【解】 当a <b sin 30°，即b >43时， 无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A .【解】 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，把b ＝2a 代入得a sin A ＝2a sin B，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，展开得－32sin A ＋32cos A ＝0， ∴sin(A －30°)＝0，解得A ＝30°.[能力提升]1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ．【解析】 由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝π3. 【答案】 π32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝ . 【解析】 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 【答案】 23．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 .【解析】 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ， 即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 【答案】 (2,22)4．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 【解】 法一 ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，由正弦定理可得a ·a 2R ＝b ·b 2R， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二 ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B .∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．。
必修五1.1.1正弦定理导学案及课时作业
第一章 解三角形§1．1．1 正弦定理【情景激趣】有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
已知一座山顶A 到山脚C 的直线距离是1500米，在山脚C 测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B 测得山脚C 与山顶A 之间的夹角是300。
求需要建多长的索道？【学习过程 】一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.1.叙述正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角：a = ，b = ，c = ；②角化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ；3.正弦定理的推论： ::a b c =从而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______【交流释疑】（二）合作探讨类型一 已知两角及一边解三角形例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．规律总结：类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．规律总结：类型三 判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，试判断三角形的形状。
正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·XX 理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3 【答案】D【解析】本题考查了正弦定理由a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝32，∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】B【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°， 由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________.【答案】102【解析】∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C＝60°时，∠A＝90°，BC＝4，△ABC的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝( )A ．1:2:3B ．1:2: 3C ．1:2:3D ．1:3:2 【答案】D【解析】设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1:3:2. 3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝42B ．b ＝4 3 C ．b ＝46D ．b ＝323【答案】C【解析】∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝bsin B 可得b ＝a sin Bsin A＝8sin60°sin45°＝4 6. 4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( )A.π3B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】C【解析】由a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a，∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．323B ．16C ．326或16D ．323或16 3 【答案】D【解析】由正弦定理，知sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32，又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形 【答案】D【解析】∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6，∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】B【解析】由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c2sin 2C 的值为________．【答案】0【解析】可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab的取值范围是________．【答案】(2，3)【解析】∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4. ∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】(1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2.(2)由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝2sin45°2＝12.又∵0°<∠B<180°，且a>b，∴∠B＝30°.【规律方法】(1)中要注意在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC中，已知sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，判断△ABC的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
[K12配套]2017_2018学年高中数学课时作业1正弦定理新人教A版必修5
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sin105°＝sin(45°＋60°)＝ × ＝ ，
∴b＝c· ＝ ＝5( － )．
|
11．(广西宾阳中学月考)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝ ，则△ABC一定是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
解析：由已知及正弦定理，有 ＝ ，
即sinAcosB＝cosAsinB且cosB≠0，
∴本题无解，如图(4)．
解析：在△ABC中，由正弦定理，
有 ＝ ，
所以sinC＝ ＝ ，所以C＝30°或150°(舍去)．
所以A＝30°，所以a＝c＝ .
答案：
8．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
解析：由三角形内角和定理知：A＝75°，
由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理 ＝ 得b＝ ＝ ＝ .
(3)a＝ ，b＝ ，B＝120°；
(4)a＝ ，b＝ ，A＝60°.
解析：(1)∵a<b，bsinA＝ <4，
∴本题有两解，如图(1)．
(2)∵a>b，A＝90°，∴A>B.
∴本题有一解，如图(2)．
(3)∵B>90°，a>b，
∴本题无解，如图(3)．
(4)∵a<b，bsinA＝ × ＝ .
∴a<bsinA，
即2sin(135°－C)＝ sinC，
即2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝ sinC.
所以cosC＝0，得C＝90°.
又因为B＝45°，所以A＝45°，
从而△ABC是等腰直角三角形．
14．在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．
数学ⅴ北师大版2.1第1课时正弦定理学案+练习
数学ⅴ北师大版2.1第1课时正弦定理学案+练习本章概述●课程目标1.双基目标〔1〕通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.〔2〕能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标〔1〕通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.〔2〕通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.〔3〕正弦定理、余弦定理的探究和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探究性和创造性的数学活动，能够培养同学们的探究精神和创新精神；另一方面，借助计算器能够解决计算量大的问题，也能够依照实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.●重点难点重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.●方法探究1.注重知识形成的过程，通过从特别到一般，再从一般到特别的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习适应.2.注重数学与日常生活及其他的联系，进展数学应用意识，提高实践能力.3.学习本章应注意的问题〔1〕重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用.〔2〕加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有紧密联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.〔3〕提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，依照题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.§1 正弦定理与余弦定理第1课时正弦定理知能目标解读1.通过对特别三角形边长和角度关系的研究，发明正弦定理，并初步学会这种由特别到一般的思想方法来发明数学中的规律.2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点：三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况. 学习方法指导 【一】正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理特别好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还能够运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明. 在如下图的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是B 〔ccos A ,csin A 〕,C (b ,0).因此S △ABC =21bc sin A .同理S △ABC 还能够表示成21ab sin C 和21ac sin B . 从而可得A a sin =B b sin =Cc sin. 方法二：如下图：当△ABC 为锐角三角形时，设边AB 上的高为CD ，依照三角函数的定义，有CD =b sin A ,CD =asin B,因此b sin A =a sin B ,即A a sin ＝Bb sin ; 同理可得B b sin =Cc sin . 因此A a sin ＝B b sin ＝Cc sin. 如下图所示，当△ABC 为钝角三角形时，设A 为钝角，AB 边上的高为CD ， 那么CD =a sin B ,CD =b sin(180°－A )=b sin A . 因此a sin B =b sin A , 即A a sin ＝Bb sin; 同理B b sin ＝Cc sin. 因此A a sin ＝B b sin ＝Cc sin.当△ABC 为直角三角形时，上式也成立.方法三:如下图所示：过A 作单位向量j 垂直于.由+=AB， 两边同乘以单位向量j ,得j ·〔+〕=ｊ·AB. 那么j ·+j ·=j ·.∴１j ||AC |cos90°+|ｊ||CB |cos(90°-C )=| j |||cos(90°-A ). ∴a sin C =c sin A . ∴A a sin =Cc sin. 同理，过C 作j 垂直于，得C c sin =Bb sin, ∴A a sin =B b sin =Cc sin. 【二】利用正弦定理解三角形的类型〔1〕两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.〔2〕两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC 中，图 形解的个数【三】三角形常用面积公式〔1〕S =21ah a 〔h a 表示边a 上的高〕；〔2〕S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ；(3)S =21r (a+b+c )(r 为三角形内切圆半径).【四】应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有紧密的联系.2.利用正弦定理能够解决两类解三角形问题：一类是两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角.3.解题时，要注意“三角形内角和为180°”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用. 知能自主梳理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 相等，即 = = .［答案］ 正弦的比A a sinB b sin Cc sin 思路方法技巧［例1］有关正弦定理的表达：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ：sinB ：sinC=a ：b ：c . 其中正确的序号是.［分析］紧扣正弦定理进行推理判断. ［答案］③④ ［解析］正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确；由正弦定理可知,三角形一旦确定,那么各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确.［说明］公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要. 变式应用1满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 是否存在？ ［解析］假设满足条件的△ABC 存在，并设内角A,B,C 的对边分别是a,b,c .那么由正弦定理知A a sin ＝B b sin ＝Cc sin .又∵sin A ：sin B ：sin C =1：2：3, ∴a ：b ：c=1：2： 3.那么ｂ,=2a,c =3a ,∴a+b=c.与三角形中两边之和大于第三边矛盾.故满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 不存在. 命题方向正弦定理的应用［例2］在△ABC 中，∠A =45°,∠B =30°,c =10,求b .［分析］先利用三角形内角和定理求角C ，再利用正弦定理求边b. ［解析］∵∠A +∠B +∠C =180°, ∴∠C =105°,∵B b sin ＝Cc sin ,sin105°=sin(45°+60°) ＝22×〔21+23〕=462+,∴b=c ·C B sin sin =︒︒⨯sin105in3010=5(26).［说明］此题属于两角与一边求解三角形的类型，此类问题的差不多解法是：〔1〕假设所给边是角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；〔2〕假设所给边不是角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 变式应用2△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a=c =6+2， 且∠A =75°，那么b =〔〕A.2B.6－2C.4-23Ｄ.4+23 ［答案］A［解析］由a=c =6＋2可知，∠C =∠A ＝75°，∴∠B =30°,sin B =21.又sin A =sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45° =21×22+23×22=462+.由正弦定理，得b =AB a sin sin =()4622162+⨯+＝２应选A.［例3］〔2018·儋州高二检测〕在△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,求边c 的长. ［分析］由正弦定理求sin B →判断∠B 的范围→确定∠B 的值→求边c［解析］由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ＝23.∵a<b ,∴∠B >∠A =30°∴∠B 为60°或120°.(1)当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－60°－30°＝90°. 如今，c =22b a +=31+=2.(2)当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－120°－30°＝30°. 如今，c =a =1.［说明］利用正弦定理解三角形，假设三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并依照“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍. 变式应用3本例中，假设a =3,∠A =60°,其他条件不变，那么∠B 是多少度？［解析］由A a sin ＝B b sin ,得sin B =ab sin A =33×23＝21，B =30°或150°，又a>b ,∴∠A >∠B ,而∠A ＝60°,∴∠B =30°. 探究延拓创新命题方向求三角形的面积［例4］在△ABC 中，B =30°,AB =23,AC =2,求△ABC 的面积.［分析］首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解. ［解析］由正弦定理，得C AB sin ＝B AC sin ,∴sin C =ACB AB sin ＝230sin ·32︒＝23. ∵AB>AC ,∴C>B =30°,即C 有两解.∴C =60°或120°. 当C =60°时，A =90°,S△ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin90°=23;当C =120°时，A =30°,S△ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin30°=3.综上可知，△ABC 的面积为23或3.［说明］利用三角形的面积公式S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B 即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数. 变式应用4在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c ,A =3π，b =1,△ABC 的外接圆半径为1，那么△ABC 的面积S =.［答案］23 ［解析］由正弦定理A a sin ＝Bb sin =2R ,∴a =3,sin B =21,∵a>b ,∴A>B ,∴B =6π,C =2π.∴S △ABC =23. 名师辨误做答［例5］在△ABC 中，假设tan A ：tan B =a 2：b 2,试判断△ABC 的形状.A a sin ＝B b sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B , ∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴A A cos sin ·B B sin cos ·BC 22sin sin .∵sin A ≠0,sin B ≠0,∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin2A =sin2B , ∴2A =2B ,∴A=B.故△ABC 是等腰三角形.］在△ABC 中，假设sin2A =sin2B , 那么2A =2B 或2A +2B =π, 误解中漏掉2A +2B =π这一情况. ［正解］由正弦定理得，A a sin ＝B b sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B ,∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴A A cos sin ·B B sin cos ·BA 22sin sin .sin A ≠0,sin B ≠0,∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin 2A =sin 2B ,∴2A =2B 或2A +2B =π，∴A=B 或A+B =2π,故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.课堂巩固训练【一】选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，假如45°角所对的边长是4，那么30°角所对的边长为〔〕A.26B.36C.22D.32［答案］C［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,应选C. 2.△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,那么∠B =〔〕 A.3πB.32πC.3π或32πD.65π或6π［答案］C［解析］由A a sin ＝B b sin ,得sin B =aA b sin , ∴sinB =130sin ·3︒=23 ,∴B =3π或32π.3.△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于〔〕A.3：2：1B.3：2：1C.3：2：1D.2：3：1［答案］DA ：B ：C =3：２：１ ［解析］∵ A+B+C =180° ∴A =90°,B =60°,C =30°. ∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sinC =1：23 ：21=2：3：1.【二】填空题4.在△ABC 中，假设b =1,c =3,∠C =32π,那么a =.［答案］1［解析］由正弦定理，得32sin3π=Bsin 1, ∴sin B =21.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1.5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，假设∠A =105°，∠B =45°，b =22，那么c =. ［答案］2［解析］由，得∠C =180°-105°-45°=30°. ∵B b sin =Cc sin∴c =BC b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.【三】解答题6.在△ABC 中，A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =Cc sin , ∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10,又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).课后强化作业【一】选择题1.在△ABC 中，以下关系中一定成立的是〔〕 A.a>b sin A B.a=b sin A C.a<b sin A D.a ≥b sin A ［答案］D［解析］由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，〔b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,那么sin A ；sin B ；sin C 等于〔〕A.6：5：4B.7：5：3C.3：5：7D.4：5：6 ［答案］B［解析］设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x .∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，那么角C 的大小为〔〕 A.75°B.60° C.45°D.30°［答案］B［解析］由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23, 又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，以下判断中不正确的选项是()A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］A ［解析］关于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；关于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；关于C,a<b sin A ,故无解；关于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，那么A 等于〔〕A.3πB.4πC.4π或43πD.3π或32πCA a sin =B b sin ,∴sin A =22, ∴A =4π或A =43π,∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6.(2018·潍坊高二期末)在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，那么cos B =〔〕A.-322 B.322 C.-36D.36［答案］D［解析］由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10,∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33.∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =Bsin -12=2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,那么c 等于() A.10+3B.10〔3-1〕C.10〔3+1〕D.103［答案］B［解析］由得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=AC a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1).8.△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，假设三角形有两解，那么x 的取值范围是〔〕A.x >2B.x <2C.2<x <22D.2<x <23［答案］Cx >2［解析］由题设条件可知 x sin45°<22<x <22. 【二】填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝3π,a =3,b =1,那么c =.［答案］2［解析］由正弦定理得sin B =ab ·sin A =31-×23=21,又∵b =1<a =3, ∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π,由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.那么此三角形的最小边长为. ［答案］23-2［解析］∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Cc sin ,∴︒75sin 2=︒45sin c], 又∵sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° =22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2.11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .假设a =25b ,A =2B ,那么cos B =. ［答案］45 ［解析］由正弦定理，得b a =BA sin sin ,∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴BB sin sin 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积.［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°， ∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32, ∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.【三】解答题13.在△ABC 中，a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =bB a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23， ∵a ＞b ,∴A ＞B=45°,∴A 为锐角或钝角〔或a sin B ＜b ＜a 〕，∴A =60°或A =120°，当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°，sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=BC b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+，当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°，sin15°=sin(45°-30°)=426-, c=BC b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯=226-， ∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，假设a =2,C =4π,cos 2B =552，求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos 2B =552,那么cos B =2cos 22B -1=53，B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )=1027由正弦定理，得c ＝AC a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得 x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B ,由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B ,sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin 〔A-B 〕=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π. ∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.〔1〕判断三角形的形状；〔2〕求△ABC 的面积.［解析］〔1〕因为b=a cos C ,因此由正弦定理得：sin B =sin A cos C , 从而sin(A+C )=sin A cos C ,因此sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C因此cos A sin C =0.由于sin C ≠0.因此cos A =0 因此∠A =3π,因此△ABC 为直角三角形.(2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，那么C c sin =12,且sin C =31, ∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S△ABC=1bc=162.2。