蒙特卡罗方法(MC)

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蒙特卡洛方法 (MC) 方法

MCC 方法蒙特卡罗方法的诞生蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon 投针实验。

法国数学家Buffon 用此实验来估算π值，它的原理是这样子的：在桌面上划一组间距为d 的平行线，然后向桌面上随意抛掷长度为L 的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到π值。

其中 [0,)A d ∈ [0,)x π∈ 由积分性质可得投针置于平行线上的概率为sin 12l d l p dAdx d πθππ==⎰⎰假如在N 次投针实验中，有M 次与平行线相交，则有2l M P d Nπ==图3.2Buffon 的投针实验图3.3 投针位置分析1930年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散，并设计了一个蒙特卡罗机械装置，用于计算核反应堆的临界状态。

冯.诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者,他与Stanislaw Ulam 合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器，从而使得蒙特卡罗方法得以推广，成为科学领域一种常用的模拟方法。

蒙特卡罗方法的基本思想对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立一个概率模型，即确定某个随机事件X ，使得待求问题的解等于随机事件X 出现的概率或随机变量的数学期望值。

然后进行模拟实验，重复多次地模拟随机事件X 。

最后对随机实验结果进行统计平均，求出X 出现的频数作为问题的近似解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

具体来说：假设所要求的量x 是随机变量的数学期望，那么近似确定x 的方法是对进行N次重复抽样，产生相互独立的值的序列、、……、，并计算其算术平均值：11NNnn Nξξ==∑根据大数定理有P (l i m )N N x ξ→∞==因此，当N 充分大时，下式 ()N E x ξξ≈=成立的概率为1,亦即可以用作为所求量x 的估计值。

用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为P 的随机事件A 。

考虑一个随机变量，若在一次试验中事件A 出现，则取值为1；若事件A 不出现，则取值为0。

计算物理学_蒙特卡罗方法

第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo简称MC）方法又称随机抽样法（Random Sampling）、随机模拟（Random Simulation）或统计试验法(Statistic Testing）。

这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。

Monte Carlo 是摩纳哥（Monaco）的一个著名城市，位于地中海之滨，以旅游赌博闻名。

Von Neumann 等人把计算机随机模拟方法定名为Monte Carlo方法，显然反映了这种方法带有随机的性质。

简单地说，MC方法是一种利用随机统计规律，进行计算和模拟的方法。

它可用于数值计算，也可用于数字仿真。

在数值计算方面，可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解，包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。

在数字仿真方面，常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。

§8.l蒙特卡罗方法的基础知识8.1.1 基本概念为了对MC方法有一点初步的认识，请先看使用MC方法的几个例子。

蒲丰投针问题：蒲丰（Buffon-法国著名数学家）在1777年发现随机投针的概率与无理数π之间的关系．这个问题是说，若在平面上画有距离为a的平行线束，向平面上投掷长为()<的针，试求针与一平行线相交的概率。

l l a这个问题的解法如下：以M表示落下后针的中点，x表M与最近一平行线的距离，ϕ表针与此线的交角，见上图。

可见，02 0≤≤≤≤/,x a ϕπ这两式决定x ϕ平面上一矩形R ；为了使针与一平行线（这线必定是与针中点M 最近的平行线）相交，充分而且必要条件是2ϕ≤sin lx 这个不等式决定R 中一个子集G 。

因此，我们的问题等价于向R 中均匀分布地掷点而求点落于G 中的概率P.根据概率的几何意义，得222sin ()ld l P a a πϕϕππ==⎰此式提供了求π值的一个方法：可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P ，求得π值：2/()l Pa π= （8.1）若投掷次数为m ，针与平行线相交的次数为n ，那么/p n m ≈即 2/()lm an π≈于是，可用投针试验来求无理数π的近似值．下表列举了历史上若干学者投针试验计算π值的结果：射击问题（打靶游戏）：设r 表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，()g r 表示击中r 处相应的得分数（环数），分布密度函数()f r 表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。

磁学模拟中的多尺度方法研究

磁学模拟中的多尺度方法研究磁学模拟是研究磁性材料物理性质的重要手段之一。

与实验相比，磁学模拟能够提供更加丰富的信息和更加细致的分析，尤其在考察微观结构对于宏观性质的影响等方面具有天然优势。

目前，磁学模拟方法包括分子动力学、蒙特卡洛、自洽平均场等很多种，其中多尺度方法在近几年受到了越来越多的关注。

多尺度方法（Multiscale Modeling）是指将系统分为多个层次进行建模，每个层次使用不同的理论方法和计算工具。

多尺度方法的主要目的是让计算量和计算效率更好地匹配，增加计算效率同时保留更多的系统物理信息，以期在较小的计算资源上获得更加可靠的计算结果。

其优点包括适用范围广、信息充分、计算高效等。

在磁学模拟领域，多尺度方法的应用涵盖了磁化动力学、磁畴演化、磁畴壁运动等方面。

下面简要介绍基于多尺度方法的几种典型的磁学模拟。

分子动力学（Molecular Dynamics，MD）方法是一种实现时间演化的计算方法，可用于模拟磁性材料中磁波的传播和磁畴壁的运动。

其优点在于可以捕捉到机械、热力学等多种物理机制，同时也可以方便地引入外部场、温度等因素。

MD方法在模拟磁畴壁如何跨越晶界的时候，可以揭示晶界对磁畴壁移动的屏障效应，为进一步的磁畴学研究提供了重要的理论支持。

蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）方法是基于随机抽样的数值计算方法。

在磁学模拟中，MC方法常用于模拟反铁磁相互作用系统，如铁氧体。

使用MC方法，可以计算出如系统自旋浓度、序参量等宏观性质，同时也可以通过反推出微观状态的概率分布，以获得更加深入的认识。

自洽平均场（Self-Consistent Mean Field，SCMF）方法是建立在平均场理论基础上的一种计算方法，可以用于计算磁性材料的静态性质。

其基本思路是将磁性材料视为一系列相互作用的磁单元，计算这些磁单元的平均场，然后再根据平均场计算宏观物理量。

SCMF方法具有高效、精度较高等优点，在具体应用中也得到了许多实践。

物理问题的计算机模拟方法(2)—蒙特卡罗方法

第三章随机性模拟方法—蒙特卡罗方法（MC ）§ 3.1 预备知识例：一个粒子在一个二维正方格点上跳跃运动随机行走：每一时间步上，粒子可选择跳到四个最近邻格点上的任何一个，而记不得自己来自何方；自回避行走：粒子记得自己来自什么地方，而回避同它自己的路径交叉。

随机行走的每一步的结果就是系统的一个状态，从一个状态到另一个状态的跃迁只依赖于出发的状态，这些状态形成一个序列，这就是一个马尔可夫链。

状态序列：x 0, x 1, …, x n , …已给出状态x 0, x 1, …, x n+1 的确定值，x n 出现的概率叫做条件概率 ()01,x x x -n n P 马尔可夫链的定义：如果序列x 0, x 1, …, x n , …对任何n 都有 ()()101,--=n n n n P P x x x x x 则此序列为一个马尔可夫链（或过程）。

§ 3.2 布朗动力学（BD ） 1．郎之万方程 v t R dtdvmβ-=)( 方程右边第一项为随机力，对粒子起加热作用；第二项为摩擦力，避免粒子过热。

将方程变形为：dt mvt R dt m v dv )(+-=β 于是，解可写为：])0()(11[)0( )0()(0)()(10⎰+≈⎰=---tt mt md v R m tm d ev R m ev eev t v tττββτττβ⎰+≈---t m t t md Re m ev 0)()(1)0( ττβτβ当随机力R(t)服从高斯分布时，上述方程的解描述的即为布朗运动，于是，布朗运动问题就化为在一些补充条件下求解郎之万方程，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=>=<>=<=+><--)( 2)()(2)0()(,0)()(222/2/12高斯分布R R B e R R P t T k R t R t R m t R m v dt dv πδββ 注：)()()(t t q t R t R '->='<δ 表示随机力R 在t 和t ’时刻没有关联, q 为噪声强度。

Monte Carlo 方法资料

Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo 方法的基本思想是: 为了求解某个问题，建立一个恰当的概率模型或随机过程，使得其参量（如事件的概率、随机变量的数学期望等）等于所求问题的解，然后对模型或过程进行反复多次的随机抽样试验，并对结果进行统计分析，最后计算所求参量，得到问题的近似解。
③ 收敛速度与问题的维数无关，因此，较适用于求解多维问题。
④ 问题的求解过程取决于所构造的概率模型，而受问题条件限制的影响较小，因此，对各种问题的适应性很强。
随机数的产生
1 随机数与伪随机数
Monte Carlo 方法的核心是随机抽样。在该过程中往往需要各种各样分布的随机变量其中最简单、最基本的是在［０，１］区间上均匀分布的随机变量。在该随机变量总体中抽取的子样 ξ １，ξ ２， … ，ξN 称为随机数序列，其中每个个体称为随机数。用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法。该方法的基本思想是利用一种递推公式：
"quantum" Monte Carlo: random walks are used to compute quantum-mechanical energies and wavefunctions, often to solve electronic structure problems, using Schrödinger’s equation as a formal starting point;
即当 N 充分大时，有成立的概率等于１，亦即可以用 ξN 作为所求量 x 的估计值。
根据中心极限定理，如果随机变量 ξ的标准差 σ 不为零，那么 Monte Carlo 方法的误差ε为

蒙特卡罗方法

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蒙特卡罗方法的基础知识
1. 连续型分布 2. 离散型分布 3. 概率密度分布
a) 均匀密度分布函数 b) 正态分布 c) 指数分布
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
随机数和随机
02
抽样
随机数和随机抽样
用蒙特卡罗方法在计算机上模拟一个随机过程，就是要产生满足这个随机过程概率分布的随机变量。最简单和最基础的随机变量就是[0,1]区间上均匀分布的随机变量，这些随机变量的抽样值成为随机数。所以以后谈到随机数，如果不加特别说明，就是指[0,1]区间上均匀分布的随机数。其他分布的随机变量的抽样值可借助均匀分布的随机数得到。
蒙特卡罗方法的计算过程就是用统计方法模拟实际的物理过程，它主要是在计算机上产生已知分布的随机变量样本，以代替昂贵的甚至难以实现的实验。蒙特卡罗方法又被看作是用计算机来完成物理实验的一种方法。
随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法可以求解的另一类问题就是确定性问题。在求解确定性问题时，首先要建立一个有关这个确定性问题的概率统计模型，是所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望；然后对这个模型做随机抽样；最后用其算数平均值作为求解的近似值。
因此，用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后要构造一系列的随机变量用以摸你这个的基础知识
随机变量及其分布函数在一定条件下发生的事件分为必然事件（必然发生）、不可能事件
（恒不发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）。事件发生的可能性大小用概率p表示。必然事件发生的概率为1，不可能事件的概率为0；随机事件发生的概率为0≤p≤1.由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性，一次测量得到的某个值是随机的。因此，实验观测的物理量实随机变量，被研究的物理问题是一个随机事件。通常，描写随机事件A发生的概率用 p(A)表示，显然，0≤ p(A) ≤ 1。经常碰到的随机变量有两类：一类是离散型随机变量，这种随机变量只能取有限个数值，能够一一列举出来：另一类是连续型随机变量，这种随机变量的可能值是连续的分布在某个区间。

蒙特卡罗定位原理

蒙特卡罗定位原理
蒙特卡洛定位（MCL）也被称为粒子滤波定位，是机器人使用粒子滤波进行定位的算法。

它的工作原理是基于递归贝叶斯估计，利用一组在配置空间中均匀分布的粒子来表示可能的状态分布。

每个粒子代表一个可能的状态，即机器人在哪里的假设。

当机器人移动时，它会更新粒子的位置来预测移动后的新状态。

当机器人感知到一些信息时，会根据实际感测数据与预测状态的相关性，对粒子进行重新采样。

经过一段时间后，这些粒子会逐渐向机器人的实际位置收敛，从而估计出机器人的位置和方向。

蒙特卡洛定位是一种有效的机器人定位方法，尤其在复杂的环境中。

它通过概率的方式处理不确定性，可以处理机器人位姿跟踪和全局定位等问题。

mc算法原理

mc算法原理
MC算法原理是蒙特卡洛算法的简称。

蒙特卡洛算法是一种基于统计模拟的随机算法，可以用于解决复杂的计算问题。

MC算法原理的基本思想是通过随机取样来近似计算问题的解。

具体而言，MC算法通过生成大量的随机样本来模拟问题的概率分布或者数值分布，然后利用这些样本数据进行统计分析，得出问题的解或者近似解。

MC算法的主要步骤包括样本生成、统计分析和结果输出。

首先，根据问题的特点，设计合适的抽样方法生成具有代表性的随机样本。

其次，对生成的样本数据进行统计分析，比如计算样本均值、方差等参数，或者通过统计直方图、密度估计等方式得到问题的概率或者数值分布。

最后，根据统计分析的结果，输出问题的解或者近似解。

MC算法在众多领域中得到广泛应用。

在金融学中，可以用MC算法进行期权定价；在物理学中，可以用MC算法模拟粒子运动；在生物学中，可以用MC算法预测蛋白质的结构等等。

总之，MC算法原理是一种基于统计模拟的随机算法，通过生成大量的随机样本进行统计分析来近似计算问题的解。

它在各个领域都发挥着重要的作用，是一种强大而灵活的计算工具。

用改进的蒙特卡洛_MC_方法计算VaR

文章编号:1672 - 6197 (2005) 05 - 0011 - 04用改进的蒙特卡洛( M C) 方法计算V a R汪飞星1 , 陈东峰1 , 单国莉2 , 杨旭 2 ,3(1 .北京科技大学应用科学学院,北京100083 ;2 .烟台教育学院计算机系,山东烟台264003 ;3 .天津工业大学计算机与自动化学院, 天津300160)摘要: Va R 技术是风险管理中重要的方法;蒙特卡洛模拟法( M C) 计算Va R 已经得到广泛的实际应用,但是其在伪随机数的产生和联合分布的确定方面过多地信赖于假定好的分布和模型. 采用cop ula 函数改进了传统的M C 方法,很好地处理了以上的问题,并在汇率风险管理领域作了实证分析,得到了较好的结果.关键词: Va R ; M o n t e Ca rlo 方法;cop u la ;相依结构;分布中图分类号: F830 文献标识码: AComput i ng V a R using improved monte carl o met hodWA N G Fei2xi n g1 ; C H EN Do ng2f e n g1 ; S H A N G uo2li2 ; YA N G Xu2 ,3(1 . S chool of App lied S cience , U n iver s it y of S cience a n d Tech n o lo g y Beijing , Beijing 100083 , China ;2 .Y ant ai C ollege of Educatio n , Ya n t ai 264003 , China ;3. C olleg e of C o mp u ter Techn olo gy and Auto matio n , T ianjin Polyt echnic Univer sit y , T ianjin 300160 , China)Abstract : The Val u e2at2Ri s k ( Va R) i s of ce n t r al i mpo r t a n ce i n mo d er n f i n a n cial ri s k ma n a g e2 me nt a nd Mo nt e Ca rlo ( M C) si mulatio n i s t he mo st pop ula r met ho d to co mp ut e t h e Va R ,but it i s deficie nt i n t he ge neratio n of p se u do ra ndo m n umber s a nd t he det er mi natio n of dep e n d2e nce st r uct ure of t he ri s k f acto r s. Thi s p ap e r i mp ro ve s t he t ra ditio nal M C met ho d u s i ng cop2ula a n d app l ie s to t h e fo r ei g n e xcha n ge rat e s fiel d s a n d get s t h e sati s f a cto r y re s ult s.K ey w ords : Va R ; M o n t e Ca rlo met h o d ;cop u la ; d ep e n de n ce st r u ct u re ; d i s t ri b utio n风险价值( Va R) 是现在代金融领域中重要的风险管理工具,自从20 世纪90 年代初期出现以来, Va R 技术得到了不断的发展和完善. 常用的计算Va R 的方法有历史模拟法、分析方法和Mo n t e Ca rlo ( M C) 模拟法[ 1 ,2 ] 三种. M C 方法是一种全值估计法,它较前两种方法更加精确和可靠,可以有效处理大幅度波动和厚尾等问题;但是,它过多的依赖于特定的随机过程和事先假设的分布,未能很好地处理市场风险因子间的相依结构问题,因此存在着一定的潜在风险.收稿日期: 2005 04 27作者简介: 汪飞星( 1957 ) ,男,教授,博士.12山东理工大学学报 (自然科学版) 2005 年C op u la (连接函数) 建立了边际分布和联合分布的直接关系 ,即, F n ( x n ) ) , 其中 F i ( x i ) 为边际分布 , i = 1 , 2 ,F ( x 1 ,, x n ) = C ( F 1 ( x 1 ) , , n ;Skla r 证明了 C 的存在性. 这样以来 , 我们可以先决定各个个风险变量 X I 的边际分布函数 F ( x i ) , , n , 并分别加以选定和参数估计; 然后构造适合的 C op u la 可求得联合分布.i = 1 , 2 ,常见的 C op ula 函数[ 3 ] 有 : φ- 1 ( v )1 φ- 1 ( u )s 2 - 2 R st + t 2 ∫- ∞二元正态 C op u la : C R ( u , v ) =∫- ∞个随机变量之间的线性相关系数 ;12 } d s d t , 其中 R 12 是两 1 e x p { - 22π( 1 - R 22 ) 22 ( 1 - R 12 ) 1 - u ) ( - v ) Fra n k C op u la : C F ( u , v ;λ) = - 1 lo g [ 1 + - 1 e - 1 ; λ G u mbel cop u la : C G ( u , v ) = e x p { -1θ θ [ - l n u ) + ( l n v ) ]θ}本文采用 C op u la 方法 ,对 Va R 计算的 M C 模拟法进行了改进 ,并应用于货币汇率风险分析 ,最后将两种方法作了比较.1 Cop ul a 2M C 方法1 . 1 传统的 M C 方法[ 4 ]基于 Mo n t e Ca rlo 模拟方法的 Va R 计算的基本思路是重复模拟金融变量的随机过程 ,使模拟值包括大部分可能情况 ,这样通过模拟就可以得到组合价值的整体分布情况 ,从而求出 Va R . 主要分为以下四步 :第一步 , 选择 Va R 计算所需要的置信度 1 - α;第二步 , 在适当的描述风险因子的联合分布下 , 产生伪 n 元伪随机序列 , 并计算出价格序列 V t + 1 , 1 ,V t + 1 , 2 ,, V t + 1 , m ;第三步 , 在该价格序列下计算模拟收益和损失ΔV I = V t + 1 , i - V t , ( i = 1 , 2 , , m ) ;第四步 , 忽略在α分位数下最坏的ΔV i , 所剩余的ΔV i 中值最小的即为时间 t 的 Va R ,定义为 VaR(α, t , t + 1) ; 当时间由 t 到 t + 1 时 , 价格序列由 V t 变为 V t + 1 , 我们可以通过比较ΔV 来返回测试 Va R (α, t , t + 1) , 重复下去 , 一直到达到模拟要求为止.显然 M C 方法主要有两步 , 其一是伪随机数的产生 , 另一个是联合分布的确定 , 传统的方法不能很好地处理这两方面的问题 , 以下的讨论通过 cop u la 手段围绕这两个问题展开. 1 . 2 C op u la M C 方法我们将先给出传统的产生伪随机数的算法 , 并用 C op ula 方法对其中的步骤进行改进. 如果把外汇汇率作为风险因子来计算 , 传统的产生伪随机数的方法包括以下步骤 :第一步收集 n 个汇率历史数据 , 时间序列跨度为 N + 1 天 , 记为 , n ) , 当日为 x i , N , 一般选取 N + 1 = 250 或 500 . x i , 0 , x i , 1 , , x i , N ( i = 1 ,第二步假设 x i , j ≠0 , 通过数据计算相关变化x i , j - x i , j - 1r i , j =, i = 1 ,n ; j = 1 ,, N , r i , j ∈{ r}x i , j - 1第三步假定随机变量 r 1 ,, r n 的边际分布为 f 1 , , f n , 计算出相应的参数. 汇率风险计算中 ,一般假设为正态分布 N (μi ,σ2, 即i) NN( r i - μi ) 211∑r1, 求出 μ^ i = ∑f i ( r i ) = e x p - i , j,σ^ 2 ( r i , j - μ^ i )= N - 1 22σi 2 i 2πσ2 Nij = 1j = 1第四步 , 假定多元联合分布为第5 期汪飞星 ,等 :用改进的蒙特卡洛( M C ) 方法计算 Va R 131e x p { - 1( r - u - 1 C - 1 ( r - u ) }f ( r =2 ( 2π) n det C其中σ2c 1 , 2 c 1 , nc 2 , n1μ1r 1σ2 c 1 , 2 2; μ=;c i , j = E ( ( r i - μi ) ( r j - μj ) )r =C =;ωμnr nσ2c 1 , nNc 2 , nn1∑( r 计算协方差阵 ,^c i , j = 第五步 i , k- μ^ ) ( μ^ ) i r j , k - j ; N - 1 j = 1 第六步产生伪随机数. 首先对 C 进行 Chole s ky 分解 , C - 1 = A T A , A 为下三角阵 , 在[ 0 , 1 ]上产生独立随机变量 s 1 , s 2 ,, s n ; 然后根据 r = A - 1 s + μ得到伪随机数序列 r 1 , r 2 ,, r n , 重复下去 , 可得到r k= ( r k,, r k ) T, k = 1 ,, m 为 M C 模拟次数.1 n 针对以上算法的不足 , 下面用 cop u la 方法进行改进. 前三步与原来的方法保持和原来一致 ,第四步、第五步、第六步引入 c o p u la 方法. 第四步 ,对于两个风险因子的联合分布函数 ,用 G u mbel cop 2ula 描述 (见图 1) ,C θ (φ1 ( r 1 ) ,φ2 ( r 2 ) ) = P( R 1 ≤r 1 , R 2 ≤r 2 ) r j其中φi ( r i ) =∫- ∞d r i f i ( r i 为累积密度函数 ;′ ′第五步 , 对θ进行估计 , 用极大似然方法. 设 f θ ( r 1 , r 2 ) =92θ (φ1 ( r 1 ) ,φ2 ( r 2 ) ) , 似然函数为 9r 1 9r 2 CNL (θ) =Πf θ( r1 , j, r 2 , j )j = 1N图 1 正态过际分布下的 Gu m b el co p u l a29∑l n 可得到 l (θ) = l n L (θ) 的估计为 ^l (θ), 进而可以求出θ^.C θ ( u , v ) 9u 9v u =φ ( r ) , v =φ ( r ) j = 11 1 , j2 2 , j^θ u ( w , 其中 C ^θ, u = 9 C ^θ u , 第六步 , 在[ 0 , 1 ]上产生两个独立正态分布的伪随机数 u , w , 计算 v = C - ,1) ( 9 uv ) , 令 r 1 =φ- 1 , r 2 =φ- 1v这样就得到了伪随机数对 ( ) ( ) ( ) u r 1 , r 2 . 1 2 实证分析2 为了对比两种方法的优劣 , 我们选取 1994～2004 年 1 月份的数据 , 把美元/ 加元、美元/ 英镑汇率作为风险因子. 取 N + 1 = 250 , 分别计算出分位数为α1 = 1 % ,α2 = 5 % ,α3 = 10 %时的三个 Va R 值 ; 每一个Va R (αi , t , t + 1) 都通过计算ΔV = V t + 1 - V t 来比较其变化. 同时 , M C 模拟 100～1 500 步 , 大约第 900 步以后 , 数值变化幅度不显著了.为检验改进后方法的优劣 , 我们采用 Kupiec 提出的失改频率检验方法[ 5 ], 在 n 步模拟后相当于得到 n 个观测数据 , 在置倍水平 a %下应有失败个数为 n ×a %个 , 将落入 Kupiec 区间的个数应有的挫败个数相比便可得到失败频率百分比损失 P 百分比。

马尔科夫链蒙特卡洛方法

马尔科夫链蒙特卡洛方法
马尔科夫链蒙特卡洛方法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种基于马尔科夫链的随机模拟算法，用于概率模型的采样和积分计算。

它是由维尔斯特拉斯（Metropolis）、罗斯（Rosenbluth）、波特（Teller）、鄂德曼（Etzltin）等人在1953年提出的。

MCMC方法的基本思想是通过构建一个马尔科夫链，使其稳定分布为待采样的概率分布，并用采样得到的样本进行统计推断。

这种方法克服了传统的随机采样方法中难以得到精确样本的问题。

常用的MCMC方法有马尔科夫蒙特卡洛（MCMC）、吉布斯采样（Gibbs sampling）和Metropolis-Hastings算法等。

其中，Metropolis-Hastings算法是最常用的MCMC算法之一，它允许从任意分布中采样，并在不知道概率分布的归一化常数的情况下计算出概率比值。

吉布斯采样是Metropolis-Hastings 算法的一种特殊情况，适用于联合分布可分解为条件分布的情况。

MCMC方法在统计学、机器学习、物理学等领域被广泛应用，它能够解决很多实际问题，如参数估计、模型选择、图像处理等。

然而，MCMC方法的计算效率较低，需要进行大量的迭代和计算。

因此，近年来还出现了一些改进的MCMC 算法，如哈密顿蒙特卡洛（Hamiltonian Monte Carlo）、推土机蒙特卡洛（Particle Monte Carlo）等，以提高采样效率。

地球物理非线性反演方法综述

地球物理非线性反演方法综述摘要:由于数学算法的不同,反演方法被划分为线性反演方法和非线性反演方法。

本文,我们对非线性反演方法进行了有益的探讨,并对常用的几种非线性反演方法进行了分析,评价了各种方法的优缺点和适用性。

关键词:非线性反演蒙特卡洛方法地震反演是一种利用地表观测到的地震资料,以已知的地质、钻井和测井资料为约束,对地下地质结构和岩石性质进行成像的过程。

地震反演的主要任务就是综合利用已有的地震、地质和测井等信息,弥补常规地震剖面分辨率低的缺陷,目的是利用地震资料,反推地下的波阻抗或速度信息,进行储层参数估算、储层预测和油藏描述,为油气勘探提供可靠的基础资料。

波阻抗反演的发展经历了从简单的地震资料直接反演到地震、测井、地质等多种资料的联合约束反演,从线性反演到非线性反演,从单一纵波阻抗反演到纵横波阻抗弹性反演的过程。

由于地震反演问题是一个非线性问题,所以为了得到更高的反演精度和提高反演速度,近年来,许多地球物理学者将神经网络法、模拟退火法、遗传算法等非线性优化方法应用于非线性反演中,使得各类非线性反演方法得到了迅速的发展。

1 蒙特卡洛方法我们将反演过程中用随机发生器产生模型、以实现模型全空间搜索的方法统称为蒙特卡洛反演法(Monte Carlo Method,简称MC)。

蒙特卡洛法在非线性反演的研究和发展过程中,有着十分重要的作用。

蒙特卡洛法可分为传统蒙特卡洛法和现代蒙特卡洛法。

传统蒙特卡洛法又称为“尝试法”,其在计算中按一定的先验信息,随机产生大量可选择的模型,并对这些模型进行计算,将其结果与实际观测的结果进行比较,并根据预先给定的先验信息来确定该模型是否正确。

现代蒙特卡洛法,如模拟退火法、遗传算法等,它们和传统的蒙特卡洛法不同,不是随机选择模型,而是在一定的原则下,有指导的选择模型,因此我们称它为启发式蒙特卡洛法。

由于蒙特卡洛法在反演中必须进行大量的正演模拟和反演计算,收敛速度不可能快,这就大大地增加了计算时间和成本,使它在实际应用中受到了很大的限制。

蒙特卡罗方法介绍MC_1-2

Transport integral operator
Analog versus condensed history MC
Analog (event-by-event) MC simulation
1.
Select the distance to the next interaction (random sampling e.g. based on probability p(r)dr that photon interacts in an
Detectors in Nuclear Physics: Monte Carlo Methods
Dr. Andrea Mairani
Lectures I-II
INTRODUCTION
Sampling from a probability distribution
Sampling from a probability distribution
Possibility
FLUKA
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EM INTERACTION
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13 gennaio 10
K. Parodi
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Delta Ray Contribution, an example I: 12C ion therapy

Example of e- track
Many “small-effect” (“soft”) interactions can be grouped into few condensed history “steps” Sample of the cumulative effect from proper distributions of grouped single interactions (multiple scattering, stopping power,…) “Hard“ collisions (e.g., δ-ray production) can be explicitly simulated in an analog matter

十大经典数学模型

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）元胞自动机7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）以上为各类算法的大致介绍，下面的内容是详细讲解，原文措辞详略得当，虽然不是面面俱到，但是已经阐述了主要内容，简略之处还望大家多多讨论。

mc法模拟计算x射线质量衰减系数

mc法模拟计算x射线质量衰减系数MC法模拟计算X射线质量衰减系数是一种常用于医学、工业、科研等领域的辐射学计算方法。

本文将详细介绍MC法的原理、应用以及计算步骤，以期为读者提供指导意义。

MC法，即蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation），是一种基于随机数的数值计算方法，模拟粒子的运动轨迹并统计其与介质相互作用的过程。

在X射线质量衰减系数的计算中，MC法可以模拟X 射线与物质相互作用的过程，从而得到X射线在不同介质中的衰减情况。

MC法的应用广泛。

在医学领域，MC法可以用于计算放射治疗过程中X射线的剂量分布，以优化放疗方案并保护患者的安全；在工业领域，MC法可以用于计算射线照射设备的剂量分布，以保证工作人员的安全；在科研领域，MC法可以用于模拟X射线与材料、生物组织等相互作用的过程，研究射线对物质的影响。

下面我们将介绍MC法计算X射线质量衰减系数的具体步骤：1. 确定模型：根据实际需求，确定X射线的能量范围和材料的性质，并建立相应的模型。

2. 生成射线：使用随机数生成器产生大量符合X射线能谱要求的射线。

3. 轨迹模拟：根据射线的起始位置和方向，并结合介质的性质，模拟射线在介质中的运动轨迹。

4. 相互作用模拟：根据不同介质的性质，模拟射线与介质相互作用的过程，如光电效应、康普顿散射等。

5. 计算剂量：根据射线与介质相互作用的结果，统计射线在介质中的剂量分布。

6. 衰减系数计算：根据统计得到的剂量数据，计算出X射线在不同介质中的质量衰减系数。

7. 结果分析：对计算得到的质量衰减系数进行分析，并与实验结果进行对比，评估模拟的准确性和可靠性。

MC法模拟计算X射线质量衰减系数具有一定的优势，如可以考虑到X射线与介质之间的相互作用的随机性，能够更真实地模拟实际情况。

但也存在一些挑战，如计算时间较长、计算结果受到随机数生成器的影响等。

总之，MC法模拟计算X射线质量衰减系数是一种有效的方法，可广泛应用于医学、工业、科研等领域。

蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte-Carlo ,简写为M-C ）方法属于计算数学的一个分支，它是在二十世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的，但它与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。

因而蒙特卡罗方法在近十年来发展很快，特别是随着快速电子计算机的发展，蒙特卡罗方法得到了迅速发展与广泛应用。

蒙特卡罗方法也称随机抽样技术（Random Sampling Technique ）或统计试验方法（Method ofStatistical Test ）。

蒙特卡罗是欧洲摩纳哥国的一个重要城市，以赌博著称。

蒙特卡罗方法是以概率论与数理统计学为基础的，是通过统计试验达到计算某个量的目的。

而赌博时，概率论是一种有力的手段。

所以，以蒙特卡罗作为方法的名字，原因大概于此。

由于蒙特卡罗方法是利用一连串的随机数来求解问题的，因此求解随机过程，放射性衰变和布朗运动等问题，它是很有效的。

它除了在原子能工业广泛应用外，在物理、化学、地质、石油、线性规划、计算机研制、计算机模拟试验、解决多体问题等领域中都有不同程度上的应用。

第一节. 蒙持卡罗方法的基本思想、特点及其局限性一、蒙特卡罗方法的基本思想用下述三个例子，说明蒙特卡罗方法的基本思想。

例1产品合格率的计算某工厂生产一批产品，其合格率表示是：为了确定合格率，应该检查这批产品的全部，确定其中合格的数目。

但是，由于产品数量多，检查全部产品花费的代价大。

因此，通常采取抽取部分产品，在这部分产品中确定其合格的数目。

然后用这部分产品的合格率F （部分产品合格率） 1 - ■ ™N （部分产品的总数）来代替所要计算的合格率 P 。

例如，检查某批产品，当被检查的产品长度介于 13. 60cm —13. 90cm 内时，则认为是合格的，否则是次品。

分别抽取5件，10件，60件，150件，600件，900件，1200件,1800件来检查，其情况如下表和图 20所示。

（完整版）蒙特卡洛算法详讲

（完整版）蒙特卡洛算法详讲Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前⾯⼏章所介绍的确定性数值⽅法，它是⽤来解决数学和物理问题的⾮确定性的（概率统计的或随机的）数值⽅法。

Monte Carlo ⽅法（MCM ），也称为统计试验⽅法，是理论物理学两⼤主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（⽤于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。

它是⽤⼀系列随机数来近似解决问题的⼀种⽅法，是通过寻找⼀个概率统计的相似体并⽤实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的⼀种⼿段。

运⽤该近似⽅法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，⽽不是经典数值计算结果。

普遍认为我们当前所应⽤的MC 技术，其发展约可追溯⾄1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。

MCM 的发展归功于核武器早期⼯作期间Los Alamos （美国国家实验室中⼦散射研究中⼼）的⼀批科学家。

Los Alamos ⼩组的基础⼯作刺激了⼀次巨⼤的学科⽂化的迸发，并⿎励了MCM 在各种问题中的应⽤[2]-[4]。

“Monte Carlo ”的名称取⾃于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐⽽闻名的⼀座城市。

Monte Carlo ⽅法的应⽤有两种途径：仿真和取样。

仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的⽅法。

⼀个典型的例⼦就是对中⼦进⼊反应堆屏障的运动进⾏仿真，⽤随机游动来模仿中⼦的锯齿形路径。

取样是指通过研究少量的随机的⼦集来演绎⼤量元素的特性的⽅法。

例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进⾏估计。

这就是数值积分的Monte Carlo ⽅法。

MCM 已被成功地⽤于求解微分⽅程和积分⽅程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其⽤于计算多重积分。

任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要⼀种产⽣或获得随机数的⽅法。

蒙特卡洛树蚁群算法

蒙特卡洛树蚁群算法摘要：1.蒙特卡洛树蚁群算法的概述2.蒙特卡洛树蚁群算法的原理3.蒙特卡洛树蚁群算法的应用领域4.蒙特卡洛树蚁群算法的优缺点5.蒙特卡洛树蚁群算法的发展前景正文：蒙特卡洛树蚁群算法是一种基于自然界生物群体行为的优化算法，它结合了蒙特卡洛方法和蚁群算法的优点，广泛应用于组合优化、信号处理、机器学习等领域。

本文将从以下几个方面介绍蒙特卡洛树蚁群算法。

一、蒙特卡洛树蚁群算法的概述蒙特卡洛树蚁群算法（Monte Carlo Tree Ant Colony Optimization, MCTACO）是一种模拟自然界蚂蚁觅食行为的优化算法。

它通过模拟蚂蚁在树状结构中的搜索行为，寻找最优解。

该算法继承了蚁群算法的群体搜索策略和蒙特卡洛方法的随机模拟策略，使其在解决复杂问题时具有较高的效率。

二、蒙特卡洛树蚁群算法的原理1.蚂蚁搜索策略：在算法中，蚂蚁通过释放信息素来标记路径，并根据路径上的信息素浓度来选择下一步的行动。

这种策略使得蚂蚁在搜索过程中能够共享信息，减少重复搜索，提高搜索效率。

2.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法通过随机抽样来估计问题空间的解。

在MCTACO 中，蚂蚁的搜索过程就是一系列随机抽样过程，通过大量抽样来逼近最优解。

3.树状结构：MCTACO 采用树状结构来表示问题空间，使得算法具有较好的扩展性。

同时，树状结构也使得算法在搜索过程中具有较好的导向性。

三、蒙特卡洛树蚁群算法的应用领域蒙特卡洛树蚁群算法在许多领域都取得了显著的应用成果，主要包括：1.组合优化：如旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）、装载问题（Vehicle Routing Problem, VRP）等。

2.信号处理：如信号调制与解调、图像处理等。

3.机器学习：如数据挖掘、模式识别等。

四、蒙特卡洛树蚁群算法的优缺点优点：1.具有良好的搜索能力，适用于解决复杂问题。

2.具有较高的搜索效率，能够在较短时间内找到较优解。