电偶极子势场近似公式的适用范围

Ratio=
'
两者的比值能反映近似势场与真实势场的相 近程度，我个人对“近似效果好”的定义为，
相对误差小于千分之一，即ratio=1 0.001
在图中，青色的部分为误差小于正负千分之 一，其他，颜色越红，值越大，颜色越蓝越 黑，越接近零值。
适用范围——远场
从以上两张图，很容易看出，在离电偶极 子较远的远场下，近似公式是非常有效的， 与真实电势相差无几。而这个所谓的 “远”，大约是在 r >20以上时，近似公式 与真实公式电势值的l 相对误差小于千分之 一。
这也证实了我的第二种猜测，即在y=5x/4 方向附近，近似所得的值与真实值相差无 几，是几何上的巧合。
结论
1、电偶极子近似公式的适用范围：
在 r 20 的远场，以及在 y 5x / 4 逐
l 渐展开的区域内，效果都非常好，可以达到误差小于
千分之一。 2、电偶极子的间距l对电势分布趋势完全没有影响，
电偶极子的放置
将正电荷+q 放在 (0,0.5)处，将负电荷-q 放 在(0,-0.5) 处，即 l (0,1)
简化
由于我们比较的是相对误差，我们可以将 电势前的常系数“扔掉”，即
真实电势：
11 r r
近似公式： ' l r
r3
Matlab实验结果
1、真实电势分布 2、近似电势分布 3、两者比值的空间分布
电偶极子势场近似公式 的适用范围
电势的公式：
真实电势： q ( 1 1 ) 40 r r
近似公式： ' 1 p r q l r 40 r3 40 r3
取高对称空间
当在空间中放置一对电偶极子时，任何一 个经过两点电荷的平面上电势的分布趋势 都是相同的，所以，对于空间中的电偶极 子问题，我们可以化为两维，即在x-y坐标 中表示。
间距的大小导致相似的同构变化，不影响本质的物 理。 3、在利用电偶极子电势近似公式中这类近似时，在 y=5x/4角度上，近似与真实值很接近。
4、在 r l 在小范围内，近似公式完全不适用的。
制作人
真实电势
三维图像：平面上每一点( x , y )对应一真实
电势 ，色调越是偏红，值越高，越是偏
蓝，值越低。我们只是关心分布的大致趋 势，而不关心其具体的数值。
真实电势
二维图像：图中两个白点可以认为是奇点， 上者为正电荷的位置，电势为正无穷，下 者为负电荷所在位置，电势为负无穷。青 色是略大
正负趋势相同。所以，近似并没有改变“电偶极子”的本性。 所以矛盾由此产生了：一方面，奇点只有一个，说明，好像把电偶极
子看成了在一个点上的带电体，另一方面，电势的分布又是好像由两 个正负电源产生的。这个矛盾的原因是：近似的前提是远场，所以在 大尺度下，依然是正负电荷产生的势场。但是一旦在非常近的场上， 近似就不准确了，尤其是以r取代了r+和r-。因此奇性的位置和个数发 生了变化。但话说回来，这只是一个数学近似带来的一些讨论，并没 有什么新的物理。接下来，我就直接将近似势场和真实势场作比较， 看看到底，近似的适用范围在哪个范围内。
其二，与电偶极子位置间距无关，只是说 明：对于近似公式中间的推导，当角度在 y=5/4x附近时，近似与真实值相差无几。 因此，这是一个数学的几何问题。
进一步证实
因此，我将电偶极子的间距变大，放在 +q(0,1),-q(0,-1)处，得出二维平面的电势分 布：
结果发现，拉大电荷间的距离，完全对分 布没有影响，只是像“放大镜”一般，把 图像整体变大了。
于零，蓝 色是略小 于零。图 像有高度 对称性
近似电势
近似电势
一些讨论
在近似势场的图像中，我寻找了它与真实势场的区别与联系。 区别是：近似势场的奇点只有一个，即r=0处。r=+0时，电势为正无
穷，r=-0时，电势为负无穷。而真实势场在r=0处是没有奇性的。 联系是：两个图像大致是相似的，都有两个对称的同心圆环构成，且
其他发现
另外，我们还发现：即使在离电偶极子很 近的情况下，也并非每一部分偏差都很大， 由二维平面图(下页)可见，约在 y 5 x 逐渐展开的区域内，即使在近场，近似4 的 效果依然非常好。
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在做进一步的证实之前，我先假设了两种 可能：
其一，这与电偶极子的位置有关，(0,0.5)和 (0,-0.5)对应于5/4，如果另外的放置方式， 则系数改变了。