高二数学教案：6.3.2不等式的证明

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高二数学第六章不等式： 6.3不等式的证明(一)优秀教案

高二数学第六章不等式： 6.3不等式的证明(一)优秀教案教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：一、作差法：作差法的理论基础：1．求证：x 2 + 3 > 3x证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x3．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则：21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= 2.已知a,b 是正数,求证:2233ab b a b a +≥+证明: ()()()()()223322222330ab b a b a b a b a b a b b a a ab b a b a+≥+∴≥-+=---=+-+ ⎪⎩⎪⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>000b a b a b a b a b a b a∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n ，结果会怎样？总结：作差法注意事项:1.当不等号左右两边有公因式或者可以配方时用作差法2.步骤分三步:作差,变形,判断二、作商法作商法的理论基础：作商法注意事项:1.当不等号左右两边次数比较高或者不确定的时候用作商法2.步骤分三步:作商,变形,判断作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计(二)

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（二）高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（二）第二课时教学目标1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；2．了解作商比较法证明不等式；3．提高学生解题时应变能力.教学重点比较法的应用教学难点常见解题技巧教学方法启发引导式教学活动（一）导入新课（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．（学生活动）思考问题，回答．［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．（学生活动）尝试解决问题．解：（见课本）［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．【课堂练习】设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．【分析归纳、小结解法】（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．（三）小结（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．（四）布置作业3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．（五）课后点评1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．第三课时教学目标1.掌握综合法证明不等式；2.熟练掌握已学的重要不等式；3.增强学生的逻辑推理能力.教学重点综合法教学难点不等式性质的综合运用教学方法启发引导式教学活动（－）导入新课（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．（学生活动）完成练习．［字幕］。

高二数学上册《不等式的证明》教学设计

高二数学上册《不等式的证明》教学设计高二数学上册《不等式的证明》教学设计
课题
不等式的证明
课型
复习课
教者
教育教学目标
进一步加强对不等式知识的掌握与应用,增强知识认知水平与问题处理能力的提高,巩固不等式的基本性质,基本
证明思路,基本证明方法等知识储备.
重点
加强知识的应用能力,巩固不等式证明基本方法的掌握
难点
熟练掌握不等式证明的策略与技巧,重要不等式的灵活应用
关键
多练、多想、多分析、多积累
教学准备
幻灯片
教学步骤
教学内容
时间
导言
知识回顾
例题讲解
小结
我们已经学习了不等式的证明，那么下面我们来看一下不等式证明应注意的问题。

……我们从应注意的问题中看得出想解决好不等式证明的问题，我们不仅应熟练地掌握不等式的性质，基本方法和重要不等式，那么我们学习了哪些有关这方面的知识呢？下面就让我们系统地复习一下，并应用这些用实际问题来巩固一下知识的掌握与应用能力。

不等式的基本性质（见幻灯片）
不等式的基本证明方法（见幻灯片）
重要不等式（见幻灯片）
例1：已知a、b、c、d、x、y∈R且a,求证：xy≥ac+bd 例2：对任意正数m，求证：
+
≤
|a+b|
m+|a+b|
|a|
m+|a|
|b|
m+|b|
例3：设ac,bc,c0,求证：
√c(a-c)+
√c(b-c)
≤√ab
并确定等号成立的条件
例4：解方程：2x=9
例5：已知a、b为正常数，x、y为正实数，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值
板书设计
不等式的证明基础知识例题。

高二数学教案不等式的证明六

课题：不等式的证明（6）教学目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证教学重点：构造法教学难点：构造法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b ab a2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）24． ba ab +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，9证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐分析法的思维特点是：分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真三角换元：若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤θ≤)或x =sin 2θ (22π≤θ≤π-)若122=+y x，则可令x = cos θ , y = sin θ(π≤θ≤20)若122=-y x，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20)若x ≥1，则可令x = sec θ (20π<θ≤)若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-)“整体换元”,“均值换元”,“设12放缩法:13．反证法: 二、讲解新课：构造法：构造函数法; 构造方程法; 构造图三、讲解范例：例1已知x > 0，求证：25111≥+++x x xx 证明：（构造函数法）构造函数uu u f 1)(+= ，21≥+=xx u ，设2≤α<β由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f例2 求证：31091022≥++x x 证明：（构造函数法）设)3(92≥+=t x t 则=)(t f 91022++x x t t 12+= 令3≤t 1<t 2 则0)1)((11)()(21212122212121<--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f∴f (t )在),3[+∞上单调递增，310313)3(910322=+=≥++f x x 例2 已知实数a , b , c ，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a , b , c 中至少有一个不小于2证明：（构造方程法）由题设显然a , b , c 中必有一个正数，不妨设a > 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a bc a c b 2即b , c 是二次方程022=++aax x的两∴082≥-=∆aa ⇒a ≥2例3求证：),2(3tan sec tan sec 3122Z k k ∈π+π≠θ≤θ+θθ-θ≤证明：（构造方程法）设θ+θθ-θ=tan sec tan sec 22y，1-b b1-b b1-aH F BC D 则(y - 1)tan 2θ + (y + 1)tan θ + (y - 1) = 0 当 y = 1时，命题显然成立当 y ≠ 1时，△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0，∴331≤≤y综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法）例5 已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a证明：（构造图形法）构造单位正方形，O 是正方形内一点 O 到AD , AB 的距离为a , b ，则|AO | + |BO | + |CO | + |DO |≥|AC | + |BD | 其中22||b a AO +=，22)1(||b a BO +-=， 22)1()1(||-+-=b a CO ，22)1(||-+=b a DO又2||||==BD AC∴22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a四、小结：五、课后作业：11BC 证明下列不等式：1．3113122≤+++-≤x x x x （构造函数法）令1122+++-=x x x x y ，则(y - 1)x 2 + (y +1)x + (y - 1) = 0 用△法，分情况讨论2．已知关于x 的不等式(a 2 - 1)x 2 - (a - 1)x - 1< 0 (a ∈R )，对任意实数x 恒成立，求证：135≤<-a分a 2- 1 = 0和⎩⎨⎧<∆<-012a 讨论3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数法）左边xyxy xy xy xy yx 121++≥+++=令t = xy ，则41202=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤<y x t t t t f 1)(+=在]41,0(上单调递减 ∴417)41()(=≥f t f 4．若),2(10*N k k k a ∈≥<<，且a 2 < a - b ，则11+<k b（构造函数法）令2)(a a a f -=，又2110≤<<k a ，)(a f 在)21,0(上单调递增，∴1111111)1(2222+=--<-=-=<-<k k k k k k k k f a a b5．记21)(x x f +=，a > b > 0，则| f (a ) - f (b ) | < |a -b |（构造图形法）构造矩形ABCD , F 在CD 上，使|AB | = a , |DF | = b , |AD | = 1, 则|AC | - |AF | < |CF | 6．若x ,y ,z>，则zx x z yz z y xy y x ++>+++++222222（构造图形法）作∠AOB = ∠BOC = ∠120︒, 设|OA | = x , |OB | = y , |OC | = z 则由余弦定理 |AC |＝xyy x ++22|BC | ＝yz z y ++22,|CA |＝zx x z ++22因为|AC+||BC |>|CA |，所以xyy x ++22+yz z y ++22>zx x z ++22六、板书设计（略）七、课后记：。

高二数学第六章不等式： 6.3不等式的证明(二)优秀教案

高二数学第六章不等式： 6.3不等式的证明(二)优秀教案教材：不等式证明二（综合法，分析法，反证法，变换法）目的：加强不等式证明的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：1 综合法有时我们可以利用某些已经证明过的不等式(例如均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.2 分析法证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.证明:同理因为不全相等,所以三式不能全取等号例1.已知是不全相等的正数,求证:证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21<25下手,因此,我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要方法证明:因为和都是正数,所以为了证明只需证明展开得因为成立,所以成立例3 证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大证明:设周长为 ,依题意,圆的面积为 ,正方形面积为 . 所以本题只需证明为了证明上式成立,只需证明:两边同时乘以正数 ,得:因此只需证明:上式是成立的,所以:这就证明了,如果周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.例2 求证:3 反证法反证法是一种间接证明方法,我们如果欲证明“若A则B”,可以通过否定B 来达到肯定B的效果,步骤一般分为三步:1.反设结论不成立;2.归谬,由假设作为条件推出矛盾;3.结论,肯定欲证结论的正确所以，矛盾！4 变换法变换法就是利用拆项或者插项,换元(三角换元,增量换元,等价转化)等变换达到证明不等式的目的,其中,最为常用的就是三角换元法,把多个变量换成同一个角的三角函数值,再用三角公式进行证明.中至少有一个不大于证明:假设都是小于1的正数但是已知: ,且求证:证明:由已知,可设已知都是小于1的正数,求证:三、小结：各种证明方法四、作业：P15—16 练习1，2P18 习题6.3 1，2，3。

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计(三)

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）第四课时教学目标1．掌握分析法证明不等式；2．理解分析法实质——执果索因；3．提高证明不等式证法灵活性.教学重点分析法教学难点分析法实质的理解教学方法启发引导式教学活动（一）导入新课（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．（学生活动）回答和思考教师提出的问题．［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．（二）新课讲授【尝试探索、建立新知】（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．【例题示范、学会应用】（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．【分析归纳、小结解法】（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．（三）小结（教师活动）教师小结本节课所学的知识．（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．（四）布置作业（五）课后点评教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．作业答案：说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。

不等式的证明二高二数学不等式全套教案人教版高二数学不等式全套教案人教版

不等式的证明二一. 重点、难点：1. 反证法：（见例1，例2）假设所求证的反面的全部成立，利用假设（将假设看为已知条件）和已知条件进行推导，推导出错误的或与已知矛盾的结论，从而证明假设不成立，原命题正确。

2. 放缩法：欲证A B >，则找出过渡量，使……A C D B >>>>。

一般方法有：去掉正数变小，去掉负数变大；分母变大，整体变小；分母变小，整体变大。

3. 函数法：（见例4）利用函数值域，函数单调性，判断大小关系。

4. 三角代换：（见例5，例6）典型：令x y x y 221+===⎧⎨⎩cos sin θθ明。

及三角函数的有界性证，利用三角函数的公式代入不等式变成三角式令⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧⋅=-⋅=->=-+-≤≤⎩⎨⎧⋅=⋅=≤+b r y ar x r b y r a x r r b y a x r r y r x y x θθθθθθsin cos sin cos )0()()(10sin cos 1222225. 判别式法：（见例7）开口向上的二次函数，y f x f x f x =<>≤≥()()()，时，恒成立，时，∆∆0000恒成立。

【典型例题】[例1] a b c R a b c ab bc ca a b c a b c 、、，，，，求证：、、均为正数∈++>++>⋅⋅>000反证法：假设a b c 、、不均为正数)()()()(0)(00000222<++-<+++-<+⋅∴+>+->∴>++><<∴>⋅⋅b ab a ab bc ac b a b a c b a b a c c b a c b a c b a c b a 即同乘以又，，不妨设两负一正、、又与已知矛盾假设不成立、、均为正数ab bc ca a b c ++>∴∴0[例2] 已知：a b c a b b c c a 、、（，），求证：，，不能均大于∈-⋅-⋅-⋅0111114()()() 假设，，均大于，均为正同理不正确假设不成立原命题正确()()()()()()()()()()()()1111411211412121141212121212121212123232-⋅-⋅-⋅-∴-+≥-⋅>=-+≥-⋅>=-+>∴-++-++-+>++∴>∴∴a b b c c a a b a b a b b c b c c a a b b c c a [例3] n N n n n ∈+-<++++<-*()求证： (211112131)21 反缩法：122121k k kk k k k =+<+-=--()122121112112212322121112122123221211k k k k k k k nn n n nn n n =+>++=+-∴+++<+-+-++--=-+++>-+-+++-=+-()()()()()()()()…………[例4] a b R b b aa 、，求证：∈+≤-++636156312函数法：左=+=⋅++++6611666122121a a a a ()=⋅+≤⋅⋅==-+=-+≥∴≤≤++1616161612111235613321121121121122a a b b b 右左右()[例5] ||||()()a b ab a b <<+--≤1111122，，求证：三角代换：令左a k k Z b k k Z ab a b =≠+∈=≠+∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=±=±≤∴+--≤sin sin sin sin |cos cos ||sin sin cos cos ||cos()|()()ααππββππαβαβαβαβαβ22111122[例6] 已知，，求证：x y x x y x 222220680++<+++>由已知令代入()cos sin cos sin cos cos sin cos cos ()()x y x r r y r R x r y r x y x r r r r r r r r r r x y x ++<+=⋅≤<=⋅∈⎧⎨⎩∴=-=⎧⎨⎩∴+++=-+++-+=++≥-+=-->∴+++>11101168216684343130680222222222222θθθθθθθθθθ [例7] A B C ABC x y z 、、为的内角，、、为任意实数，∆ 求证：x y z yz A xz B xy C 222222++≥++cos cos cos 构造函数，判别式法：令为开口向上的抛物线f x x y z yz A xz B xy C x z B y C y z yz A z B y C y z yz A z B y C yz B C yz A z B y C yz B C yz B C ()(cos cos cos )(cos cos )(cos )(cos cos )(cos )(sin sin cos cos cos )[sin sin cos cos (cos cos =++-++=-+++-=+-+-=--++=-+-+-2222222222222222222222442422422∆sin sin )][sin sin sin sin ](sin sin )()B C z B y C yz B C z B y C y z x R f x =-+-=--≤≤∴∈≤∴4240022222无论、为何值命题真∆ 【模拟试题】1. a b c a b b c c a、、（，），三个数，，∈+∞+++0111()()()中有（）个不小于2A. 3B. 0C. 至少一个D. 至多1个2. b a b a a b log log )10(1+∈>，，，已知的取值范围（） A. [2，）+∞ B. （，）-∞-2 C. （，）2+∞ D. （，-∞-2] 3. abb a a b a b a b ab a log log log log 12，，，，则><<的大小关系为（） A. a b a b b a b a b alog log log log <<< B. a bab a log log <C. b abb a a ba log log log << D.b a abb a a b b a log log log log <<<4. x y x y +=+2124，则的最小值为（）A. 22B. 32C. 8D. 65. y f x x bx c f f ==++-=()()()213，且，则（）A. f c f ()()11>>-B. f c f ()()11<<-C. f f c ()()11<-<D. f f c ()()11>-> 6. {}{}=<=<=N M x xN x x M ，则，11||（）A. {}x x -<<11 B. {}x x 01<< C. {}x x -<<10 D. {}x x 01≤< 7. 不等式4042x x ax a -≥的解为（，，则]的取值范围是（）A. a ≥0B. a <0C. a <4D. a ≤08. 二次不等式{}mx mx n x x m n 2021++>-<<的解为，则、为（）A. -323， B.323， C. 323，- D. --323， 9. 对任意x R a x a x a ∈----<，不等式恒成立，则实数()()222402的取值范围是（）A. （，）-∞+2B. （，-∞2]C. （，）-22D. （，-22] 10. 已知，，不等式的解为a b a xb >>-<<001( ) A. （，）（，）-⋃a b 001 B. （，）-11b aC. （，）（，）-⋃1001b aD. （，）（，）-∞-⋃+∞11a b【试题答案】1. C2. D3. D4. A5. B6. D7. B8. A9. D 10. D。

高二数学上 6.3 不等式的证明(三)教案旧人教版

高二数学上 6.3 不等式的证明（三）教案旧人教版教学要求：熟练运用二元均值不等式进行不等式的证明，并能解答有关最大值、最小值的问题。

教学重点：基本不等式的活用。

教学难点：运用的基本技巧。

教学过程：一、复习准备：1.若x>0，当x ＝时，x ＋1x的最小值是。

2.已知x ＋y ＝100,求lgx ＋lgy 的的最大值。

3.已知2x ＋3y ＝10,x>0，y>0，求xy 的最大值。

（联系已知、未知进行分析）4.知识回顾：二元均值不等式、三元均值不等式及活用形式。

二、讲授新课：1.教学综合法证明：①定义综合法：从已知条件出发，应用基本不等式或者不等式的有关性质进行证明。

②出示例：已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＝1,求证：a 1＋b1≥4。

③试由学生思考讨论证明思路，并师生共同讨论多种解法。

解法一：（应用二元均值不等式）a 1＋b 1≥…… （技巧：注意取等号时字母值）解法二： a 1＋b 1＝（a 1＋b1）（a ＋b ）≥…… （技巧：巧用1） → 提出综合法。

④例题变化：Ⅰ.的最大值；（解法：每项乘以2，再利用二元均值不等式，…） Ⅱ.……，求证：a a -1＋bb -1≥2 ⑤书上例题：已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证a(b 2+C 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc解法：注重不全相等的分析2.练习：用综合法证明书P14 2、3题。

① 求证：a 2+b 2＋2≥2a ＋2b② 求证：244aa +<1三、巩固练习：课堂作业：书P14 1、 2题。

不等式的证明一高二数学不等式全套教案人教版高二数学不等式全套教案人教版

不等式的证明一一. 重点、难点： 1. 差比法：B A B A >⇔>-0B A B A <⇔<-0差比法是最基本的证明方法之一。

欲证明B A >，一般用B A -进行整理化简，将B A -进行因式分解，或组成完全平方的形式来判断符号。

2. 商比法：⇔>>>B A B A ，，001>BA10<<⇔<BAB A一般指数式多用商比法，进行约分整理，利用指数函数的性质与1比大小。

3. 综合法：利用某些已经证明的不等式（例如：均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，即“由因导果”。

欲证B A >即证>>>D C A ……B > 4. 分析法：证明不等式时，从要证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，即“由果索因”。

欲证：B A > 只需证：D C >F E >⇐最后找到一个已知正确的结论即可，由这个正确结论反过去写可得到原命题。

【模拟试题】一. 差比法： 1. 22222)())((bd ac d c b a Rd c b a +≥++∈求证：、、、2. 的三边，求证：为、、ABC c b a ∆)(2222ca bc ab c b a ca bc ab ++<++≤++ 3. 已知a b c n N f n a b c n n n、、（，）∈+∞∈*=++03()lg，求证：)(2)2(n f n f ≥4. 1),0(>∈∞+∈n N n b a 且、，试比较11--⋅+⋅+n n n n b a b a b a 与的大小关系。

二. 商比法：1. a b 、，∈+∞()0，求证：1≥-ba ba）（2. ),0(∞+∈c b a 、、，求证：3)(c b a cb a abc c b a ++≥三. 综合法：1. ),0(∞+∈c b a 、、，求证：)(c b a cab b ac a bc ++≥++ 2. 1),0(=+∞+∈y x y x 且、，求证：9)11)(11(≥++yx 3. ∈c b a 、、1),0(=++∞+c b a 且，求证：8)11)(11)(11(≥---cb a 4. 2>∈n N n ，，求证：1)1(log )1(log <-⋅+n n n n 四. 分析法：1. 1),0(=++∞+∈c b a c b a 且、、，求证：3≤++c b a2. 已知0>>b a ，求证：b b a -+<-+11a3. 1),0(=+∞+∈b a b a 且、，求证：425)1)(1(≥++b b a a 【试题答案】一. 差比法：1. 证：abcd d b c a d b c b d a c a 2222222222222---+++=-右左abcd c b d a 22222-+=0)(2≥-=bc ad 原不等式成立∴2. 证：)222222(21222ca bc ab c b a ---++=-左中 []0)()()(21222≥-+-+-=a c c b b a)()()(222c ac bc b bc ab a ac ab -++-++-+=-中右)()()(c a b c b c a b a c b a -++-++-+= 0>-∴中右三边三角形两边之和大于第综上得证 3. 证：2222)3lg()(23lg)2(nn n nn nc b a n f cb an f ++=++=↑=x y lg2222)3(3nn n nn n c b a cb a ++-++∴[][]0)()()(9192222222≥-+-+-=---++=n n n n n nn n n n n n n n na c cb b a ac c b b a c b a4. 解：)()(11--⋅+⋅-+n n n n b a b ab a*--=-⋅+-⋅=----))(()()(1111n n n n bab a a b b b a a① 当011>*∴>>--n n b a b a 时② 当0=*∴=时b a③ 当011>*∴<<--n n b a b a 时综上所述 11--⋅+⋅>+n n nnb a b ab a二. 商比法： 1. 证：①↑=>->>x bay b a ba b a )(01时1)()(0=>∴-bab a b a②1)(==-ba b a b a 时 ③↓=<-<<<x bay b a bab a )(010时1)()(0=>∴-bab a b a 综上所述 1)(≥-ba ba 2. 证：323232b a c c a b c b a cba ------⋅⋅=右左1111)()()(333333333=⋅⋅≥⋅⋅=⋅⋅=----+--+--+-a c c b ba bc a c cb a b ca b a ac c bb a cba右左≥∴三．综合法：1. 证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⋅=)()()(21c ab b ac c ab a bc b ac a bc 左 []cb a a bc ++=++⋅≥222222212. 证：)1)(1()11)(11(yy x x y x y x ++++=++9225)(25)2)(2(=⋅+≥++=++=y xx y y x x y3. 证：cba b c a a c b +⋅+⋅+=左 8222=⋅⋅≥cab b ac a bc 4. 证：2222)1(log 2)1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≤n n n n n n 左 1)2log (22=<n n即：>>>5log 4log 3log 432…… 四．分析法：1. 证：3≤++c b a原命题成立即：即：∴=+++++≤+++≤+≤+≤≤++≤++⇔2)()()(22222222223)(2c a c b b a ac bc ab c a ac c b bc ba ab ac bc ab c b a2. 证：b b a a -+<-+11bb aa ++<++⇔1111命题成立式成立∴*∴>+>+∴>*++>++⇔b a b a ba b b a a 11113. 证：425)1)(1(≥++b b a a[]命题成立式成立∴*∴<-≤-≥∴≥+=*≥--⇔≥+-⇔≥+-++⇔≥+++⇔≥++⇔0801441210)8)(14(083342542)(44254)(44425)1)(1(22222222222ab ab ab ab b a ab ab ab b a ab ab b a b a ab b a b a abb a。

人教版数学高二《不等式的证明》同步教案

第6课时不等式的证明（1）目标引领1．学习目标：理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握比较法证明不等式的步骤.2．学法指导：（1）比较法证明不等式的理论依据：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔<b a b a .（2）比较法证明不等式的步骤：作差、变形、判断符号、结论.教师在线1.解析视频：对差式进行变形的常用方法主要有配方法和因式分解法，对于二次多项式常用配方法，对于分式的差可用通分的方法化为一个分式，转化为判断分子与分母是否同号与异号，对于其它类型的差式常用因式分解化为几个因式的积的形式.2．经典回放：【例1】已知.222,,22b a b a R b a +≥++∈求证：分析：只要证（222++b a ）—（b a 22+）0≥.证明：∵（222++b a ）—（b a 22+）=()()01122≥-+-b a ∴b a b a 22222+≥++.点评：对于二次多项式常用配方法.【例2】已知.,0b c b a c a b a c ->->>>求证：分析：只要证.0>---bc b a c a 证明：∵,0>>>b a c ∴,0,0,0>->->-b c a c b a ∴()()()b c a c c b a b c b a c a ---=---,0> ∴bc b a c a ->-. 点评：对于分式的差可用通分的方法化为一个分式，转化为判断分子与分母是否同号与异号.【例3】已知,,0,0b a b a ≠>>求证：.422466b a b a b a +>+分析：只要证（66b a +）—（4224b a b a +）0>证明：∵（66b a +）—（4224b a b a +）=()()224224a b b ba a -+- =()()()2222b a b a b a +-+0≥ ∵,b a ≠ ∴(),02>-b a ∴（66b a +）—（4224b a b a +）0>，∴.422466b a b a b a +>+点评：对差式进行变形常进行因式分解化为几个因式的积的形式.同步训练1．设()()(),2,41222+=++=mn b n m a 则（）A ．b a >B ． b a <C ．b a ≤D ．b a ≥2．设,R x ∈下列各数中恒大于x 的是（）A ．12+xB ． 10xC ．xD ．2x3.已知,,,0,02233xy y x b y x a y x +=+=>>则a 、b 的大小关系为（）A ．b a >B ． b a <C ．b a ≤D ．b a ≥4．已知,1<x 比较大小122++x x 32+x .5.若,1b a ab +>+则实数a 、b 应满足的一个充分条件是 .6．已知a 、b 、,R c ∈求证：.222ca bc ab c b a ++>++7．已知a ,0,0>>b 求证：.22121b a b a +≥+拓展尝新8．已知,1,1,1<<<c b a 求证：.1c ab abc ->-第7课时不等式的证明（2）目标引领1．学习目标：理解综合法证明不等式的原理，会用综合法证明不等式.2．学法指导：先弄清综合法证明不等式的逻辑关系是：由已知条件或已被证明的不等式出发，逐步推演不等式成立的必要条件直至结论. 理解综合法证明不等式的思维特点是“由因索果”. 在运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件.教师在线1. 解析视频：用综合法证明不等式，常运用不等式的性质和一些基本不等式，如：①0≥a ；②02≥a ；③()R b a ab b a ∈≥+,222 ④()0,02>>≥+b a ab b a ；⑤2≥+ba ab （a 、b 同号）⑥()022>≥+a b a ab ，用综合法证明不等式常还运用函数单调性来证. 2.经典回放：【例1】已知,,,R c b a ∈求证：().222222c b a abc a c c b b a ++≥++ 分析：由所证不等式的特点，可用“()R b a ab b a ∈≥+,222”来证. 证明：∵,222222c ab c b b a ≥+,222222abc a c c b ≥+,222222bc a b a a c ≥+∴2（222222a c c b b a ++）()c b a abc ++≥2， ∴().222222c b a abc a c c b b a ++≥++ 点评：左右两边都是三项的不等式，常运用基本不等式性质来证.【例2】已知,0,0,0>>>c b a 且,1=++c b a 求证：（a -1）（b -1）（1-c ）.8abc ≥ 分析：根据,1=++c b a 将（a -1）（b -1）（1-c ）转化为（c b +）（a c +）（b a +）. 再运用基本不等式性质来证.证明：∵,1=++c b a ∴（a -1）（b -1）（1-c ）=（c b +）（a c +）（b a +）. ∵,02>≥+bc c b ,02>≥+ac a c ,02>≥+ab b a∴（c b +）（a c +）（b a +）,8abc ≥∴（a -1）（b -1）（1-c ）.8abc ≥点评：综合法证明不等式时，对所证不等式常作适当的变形，转化为易证的不等式.【例3】已知,0,0>>b a 且,1=+b a 求证：（by ax +）（bx ay +）.xy ≥分析：将所证不等式的左边展开后再用基本不等式来证.证明：（by ax +）（bx ay +）=2222aby abx xy b xy a +++=()()ab y x xy b a 2222+++()xyab xy b a 222++≥=()xy b a 2+ ∵,1=+b a ∴（by ax +）（bx ay +）.xy ≥点评：在综合法证明不等式的过程中，要灵活地运用基本不等式和不等式的性质.同步训练1．已知,0,0>>b a ,,2b a B b a A +=+=则B A ,的大小关系为（） A. B A ≥ B. B A ≤ C. B A > D.B A <2. 已知,0<B.ab a 11>- C.b a > D.22b a > 3．已知,2,2≥≥b a 则有（）A. b a ab +≥B.b a ab +≤C.b a ab +>D.b a ab +<4．已知,,,,R b a y x ∈则b a y x +>+是⎩⎨⎧>>b y a x 的条件. 5．21≥+xx 成立的充要条件是 . 6．已知,0,0>>b a 且,1=+b a 求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 1111.9≥ 7．已知,0,0,0>>>c b a 求证：.222c b a ac c b b a ++≥++ 拓展尝新8．在锐角三角形中，A 、B 、C 是三角形的三内角,求证：（1）sinA ＞cosB ；（2）sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.第8课时不等式的证明（3）目标引领1．学习目标：理解分析法证明不等式的原理，会用分析法证明不等式.2．学法指导：先弄清分析法证明不等式的逻辑关系是：由需证明的不等式出发，逐步寻求不等式成立的充分条件. 理解分析法证明不等式的思维特点是“执果索因”.在用分析法证明不等式时，要注意书写格式.教师在线1.解析视频：分析法证明不等式的步骤：欲证A 成立，只要证B 成立，要证B 成立，又只要证C 成立，要证C 成立，又只要证D 成立，因为D 成立，所以A 成立.2.经典回放：【例1】求证：.72263+<+分析：用比较法和综合法难以证明问题时，常考虑用分析法. 证明：要证原不等式成立，只要证明()(),7226322+<+ 即证,144156615+<+只要证明,14263< 只要证明,5654<即54<56，∵54<56，∴原不等式成立.点评：证明含根式的不等式，常用分析法.【例2】求证：()()().22222d c b a bd ac ++≤+ 分析：将所证不等式两边展开，用分析法探索解题途径.证明：要证原不等式成立，只要证明,2222222222222d b c b d a c a d b abcd c a +++≤++只要证明,22222c b d a abcd +≤∵,22222成立c b d a abcd +≤∴原不等式成立.点评：此题可以用分析法探索解题途径，再用综合法写出证明过程.【例3】已知,0,0>>b a 且,2b a c +>求证：.22ab c c a ab c c -+<<--分析：将所证不等式作适当变形，用分析法探索解题途径. 证明：要证原不等式成立，只要证明,22ab c c a ab c -<-<-- 只要证明ab c c a -<-2，只要证明,2222ab c c ac a -<+-即,22ac ab a <+∵,2,0c b a a <+>∴ac ab a 22<+成立. ∴原不等式成立.点评：若不等式两边含有绝对值或根式，用分析法证明时常两边平方.同步训练1．已知,,R b a ∈则3311ba <成立的一个充分而不必要条件是（） A. 0<<ab B.()0>-b a ab C.0>ab D.b a >2. 已知,R a ∈且,02<+a a 则22,,,a a a a --的大小关系是（）A.22a a a a <<-<-B.a a a a -<<-<22C.a a a a -<<<-22D.22a a a a <-<<-3．设,12,1-++=++=a a n a a m 其中1>a ，则n m ,的大小关系是（）A. n m <B.n m >C.n m ≤D.n m ≥4．已知525,25-=-=b a 则b a ,的大小关系为 .5．已知,0>>y x 设y x n y x m -=-=, 则n m ,的大小关系为 .6．已知,4≥a 求证：.4231---<---a a a a 7．若,1,1<<b a 求证：.11<++abb a 拓展尝新 8．设b a ,为直角三角形的两直角边的长，c 为斜边的长，n m ,为任意实数，求证：.22c n m nbma ≤++第9课时不等式的证明（4）目标引领1．学习目标：系统地掌握不等式证明的常用方法，灵活地选择方法来证明不等式,会运用反证法来证明不等式.2. 学法指导：可以通过“一题多解”来复习不等式证明的常用方法，感悟用分析法“探路”，用综合法“书写”的证题途径.观察可以用反证法来证明的不等式的特点，注意用反证法证明不等式的格式.教师在线1. 解析视频：比较法是证明不等式的最基本的方法，综合法易于表述，分析法易于思考，反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、以否定形式出现的命题、出现“至多”“至少”类型的命题.2. 经典回放【例1】求证：()()().22222bd ac d c b a +≥++ 分析：根据所证式子的特点，可用分析法思考，综合法来表述.证明：,22222abcd d a c b ≥+++∴2222c b c a 22d a +22d b ++≥abcd c a 22222d b∴()()().22222bd ac d c b a +≥++点评：此题也可用比较法、分析法来证.【例2】已知,0,0>>b a 求证：()b a +()1++b a ≥().22a b b a +. 分析：,2ab b a ≥+ ().22a b b a +=()b a ab+22 ∴只须证().21b a b a +≥++ 证明：().022********>+≥+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++b a b a b a b a 又,02>≥+ab b a ∴()b a +()1++b a ≥().22a b b a +.点评：证明不等式时常需综合法与分析法互相渗透.【例3】实数d c b a ,,,满足,1,1>+=+=+bd ac d c b a 求证：d c b a ,,,中至少有一个负数.分析：根据所证命题的特点，用反证法来证.证明：假设d c b a ,,,都是非负数，则()()()()bd ac bc ad bd ac d c b a +≥+++=++. ()(),1,11bd ac d c b a d c b a +≥∴=++∴=+=+ 这与1>+bd ac 相矛盾.∴d c b a ,,,中至少有一个负数.点评：用反证法证明不等式时要注意书写格式.同步训练1．设R b a ∈,，且b a >，则（）A.22b a >B.1<a bC.0)lg(>-b aD.b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 2．已知R b a ∈,，且0<ab ，则（）A. b a b a ->+B. b a b a -<+C. b a b a -<-D. b a b a +<-3.已知0,>b a ，且4=+b a ，则（）A ．211≥ab B. 111≥+b a C..2≥ab D.41122≤+ba 4．若︱x ︱<1,︱y ︱<1,则xy+1与x+y 的大小关系是________________.5. 已知a 、b 是大于1的正数，p=11++-b a ,Q=)(2b a +那么P 与Q 的大小关系是 .6．设,,0,b a b a ≠>满足,2233b a b a -=-求证：.1>+b a7．设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证m a a a 9111321≥++. 拓展尝新8．已知f(x)=x 2+ax+b.求证：︱f(1)︱,︱f(2)︱,︱f(3)︱不全小于21.第10课时不等式的证明（5）目标引领1．学习目标：在利用比较法、综合法、分析法证明不等式的过程中，掌握放缩、换元、构造等技巧.2.学法指导：根据不等式的传递性来理解放缩法证明不等式，理解换元法证明不等式是一种转化，构造函数或图形来证明不等式时需利用函数的单调性或图形的几何意义.教师在线1.解析视频：放缩的过程一定要适度，主要的方法有①添加或舍去一些项②将分子或分母变大（或变小）,③应用函数的单调性、有界性④应用基本不等式进行放缩.常用的换元法有“三角换元”和“代数换元”.2.经典回放【例1】已知,0>>b a 求证：a b ab b a >-+-2222分析： ,0>>b a ∴(),1,0∈a b 可设θsin =a b .2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ 证明： ,0>>b a ∴(),1,0∈a b 可设θsin =a b .2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ ∴原不等式等价于θθϑ22sin sin 2sin 1-+-.1>即只需证,0cos 1sin sin 22>->-θθθ只需证-θsin 2θ2sin θθ2cos cos 21+->，只需证1cos sin >+θθ，只需证1,1cos sin 2>+θθ即证,0cos sin >θθ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，∴0cos sin >θθ成立，∴原不等式成立. 点评：换元时要考虑所代换式子的范围. 【例2】已知,,R b a ∈求证：.33322-+≥++b a b ab a分析：根据式子的特点可构造二次函数，利用判别式来证明.证明：原不等式等价于(),033322≥+-+-+b b a b a 设()()33322+-+-+=b b x b x x f ，则()()334322+---=∆b b b =(),0132≤--b ()0≥∴x f 恒成立，即()0≥a f ，所以原不等式成立.点评：证明与二次多项式有关的不等式常考虑构造二次函数.【例3】若(),,2,102b a a N k k k a -<∈≥<<求证：,11+<k b 分析：由于,2a a b -<要证,11+<k b 可考虑证明,112+<-k a a 证明： ,412122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-<a a a b 设(),41212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a f 则()a f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0内为增函数，,2110≤<<k a ()(),1111,122k k k k k f a f b k f a f -=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<∴⎪⎭⎫ ⎝⎛<∴ .11,1111122+<∴+=--<-k b k k k k k 点评：利用函数的单调性，分子或分母的变换是常用的放缩手段.同步训练1．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值（）A. 大于零B. 小于零C. 不大于零D.不小于零2．若,922=+b a 则b a -的取值范围是（）A.[]3,3- .B [23,23-] C.[3,3-] D.(3,23-]3.若*∈N k ，则下列不等式成立的是（） A. ()121-->k k kB. ()121--<k k kC. ()k k k-+<121D. ()121-+>k k k 5. 若,322=+b a 则2+b a 的最大值为 . 6．已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，a C +=11，试比较A 、B 、C 的大小. 7. 求证：已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证：|cabc ab abc c b a ++++++1|<1 拓展尝新 8.已知a ∈(-1,1),求证：a x ax x +++2122的值不可能在11-a 和11+a 之间. 单元检测1.单元导学：（1）理解不等式的性质及其证明；（2）掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；（3）掌握用分析法、综合法和比较法证明简单的不等式；（4）比较法证明不等式是最基本、最重要的方法；（5）我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.1．单元检测：一．选择题：（每题5分）2.已知b d a c ab d c b a -<->，均为实数，且、、、0，则下列不等式中成立的是（）A.ad bc <B. ad bc >C.d b c a > D. d b c a < 3.，则，设00>>>>b a bd ac （）A. 0>>d cB. 0>=d cC. d c <<0D.A 、B 、C 均不一定正确4.在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a ba +≤+③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是（） A ．0 B.1 C.2 D.35.若R c b a ∈、、且b a >，则下列不等式中一定成立的（）A.c b b a -≥+；B.bc ac ≥；C.02>-ba c ； D.()02≥-cb a ⋅x |6.若()0,0191>>=+y x y x ，则y x +的最小值（）A. 6B. 12 C .16 D .24 7不等式 |x+2|+|x-1|<4的解集是)23,(-∞ )1,2(- 8.若,1=+b a 则恒有（） A ．4≥ab B.41≥ab C.41≥abD.以上都不对 9．已知,0,,≠∈ab R b a 下列不等式中成立的是（）A ．1>+b a a b B.b a a b +2-≤ C. baa b +2≥ D.2≥+b a a b10. 已知,8,0,,,==++∈abc c b a R c b a 且则cb a 111++的值（） A ．一定为正数 B.等于零 C. 一定为负数 D.正负不能确定11．实数,,,,y x n m 满足(),,2222b a b y x a n m ≠=+=+则ny mx +的最大值是（）A ．2b a + B.ab C. 222b a + D.ba ab+3.已知,0b a <<，则a 、b 、2b a +、ba ab +2的大小须序是（） A ．b a ab +2<a <2b a +x 时，()122+=x xx f 的值域是 . 6.若,0,>b a 且3++=b a ab ，求ab 的取值范围.5. 已知a 、b 是大于1的正数，p=11++-b a ,Q=)(2b a +那么P 与Q 的大小关系是4．若,b a <则函数b x a x y -+-=的最小值为________________.13．.14．若0>x ，则xx 432--的最大值是 . 1516．已知实数x ，y 满足（20-x ）（25-y ）=100，且0﹤x ﹤20，0﹤y ﹤25，则x+y 的最大值为 .三．解答题：（17、18、19、20、21题每题12分，22题14分） 17．求证：)(23222c b a c b a ++≥+++. 18. 求证：11--<-+x x x x ()1≥x .19. 已知c b a 、、是不全相等的正数，求证：()()()()b a c a c b c b a c b a +++++>++2223332.21.今有一台天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法正确吗？并说【例2】已知,0,0,0>>>c b a 且,1=++c b a 求证：（a -1）（b -1）（1-c ）.8abc ≥ 明理由.22. 已知11222=++=++>>c b a c b a c b a ，，. 求证：（1）341<+a 且1>b 6．证明：∵()()()2)(222222a c cb b a ca bc ab cb a -+-+-=++-++,0≥∴.222ca bc ab c b a ++>++ 7．证明：b a ab b a b a b a +-+=+-+2222121()()b a ab b a +-=22∵a ,0,0>>b ∴()()b a ab b a +-22,0≥ ∴.22121b a b a +≥+ 8．证明：222222222121c abc b a abc c b a cab abc -+-+-=--- =（122-b a ）（12-c ）∵,1,1<∴221c ab abc ---,0>∴.1c ab abc ->-第7课时1.D2.B3.A 4．必要非充分 5.0>x 6．证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 1111=1+ab b a 111++=1+,211abab b a +=++∵,0,0>>b a ∴,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ∴.921≥+ab 7．证明：∵,0,0,0>>>c b a ∴,2,2,2222c a a c b c c b a b b a ≥+≥+≥+∴.222c b a ac c b b a ++≥++ 8．证明：在锐角三角形中，∵A+B ＞,2π∴A ＞-2πB,∴0<-2πB<A<2π,∴sinA>sin（-2πB ）, ∴sinA ＞cosB.（2）同理sinB ＞cosC,sinC ＞cosA, ∴sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC. 第8课时1.A2.B3.B 4．b a < 5. n m < 6．证明：要证原不等式成立，只要证,3241-+-<-+-a a a a 只要证,)32()41(22-+-<-+-a a a a只要证()()()(),3225241252--+-<--+-a a a a a a只要证()()()(),3241--<--a a a a 只要证,654522+-<+-a a a a 即证4,6<∵46<成立，∴原不等式成立. 7. 证明：要证原不等式成立，只要证()(),122ab b a +<+只要证,12222b a b a +<+即证()(),01122>--b a∵,1,1<--b a 成立，∴原不等式成立.8．证明：要证原不等式成立，只要证明,22n m c nb ma +≤+当,0时≤+nb ma 则上式成立，∴原不等式成立.当,0时>+nb ma 只要证明()≤+2nb ma ()222n m c +，∵,222b a c +=∴只要证明()≤+2nb ma ()()2222n m b a++，即证22222m b n a mnab +≤，只要证明()2bm an -0≥，∵()2bm an -0≥成立，∴原不等式成立.第9课时1．D 2.B 3.B 4.y x xy +>+1 5.P ≤Q 6.,2233b a b a -=- ,0≠-b a22b ab a ++∴=,b a +(),2b a ab b a +=-+∴()()1-++=∴b a b a ab ,若,1=+b a则,0=ab 若,1<+b a 则,0<ab 这两种情况都与0,>b a 相矛盾，.1>+∴b a7. 321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a mmm 9)2223(1=+++≥当且仅当3321m a a a ===时，等号成立 8. 假设︱f(1)︱<21, ︱f(2)︱<21,︱f(3)︱<21由于f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b ., f(3)=9+3a+b ∴f(1)+ f(3)-2 f(2)=2︱f(1)+ f(3) -2 f(2)︱=2另一方面，利用假设可得：︱f(1)+ f(3) -2 f(2)︱≤︱f(1)︱+︱f(3)︱+︱2 f(2)︱<21+21+2·21=2，即2<2矛盾故︱f(1)︱、︱f(2)︱、︱f(3)︱不全小于21 第10课时1．D 2.B 3.B 4.a b - 5.[]3,3- 6. 由01<<-a 得01>+a 022>=-∴a B A∴B A >0143)21(1)1()1(11222>+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+++-=+-+=-aa a a a a a a a A C 得A C > 即得C A B << 7. 证明:欲证原不等式，只需证|a+b+c+abc|<|1+ab+bc+ca|221cabc ab abc c b a +++-+++=（abc-ab-bc-ca+a+b+c-1）·(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1) =(a-1)(b-1)(c-1)(a+1)(b+1)(c+1)=(a 2-1)(b 2-1)(c 2-1) ∵1,1,1<<<c b a ,∴(a 2-1)(b 2-1)(c 2-1)<0∴11<++++++cabc ab abcc b a8. 证明: 设ax ax x y +++=2122，则（a y-1）x 2+2y x +a y-1=0.由△≥0，得[（1-a ）y+1][(1+a )y-1]≥0∵a ∈(-1,1), ∴1-a >0. 且1111011-=-->>+a a a ,∴1111+≥-≤a y a y 或. ∴y 的值不可能在11-a 与11+a 之间.单元检测1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.C8.A9.D 10.C 11.B 12.B 13. a b < 14. 342- 15. ()45,24- 16.25 17．证明∵,21,21,21222c c b b a a ≥+≥+≥+∴)(23222c b a c b a ++≥+++18．证明：要证原不等式成立，只要证,211x x x <-++只要证,)2()11(22x x x <-++ 只要证,411212x x x x <-+-++即证x x <-12,只要证,122x x <-即证-10<,∵-10<成立，∴原不等式成立. 19.证明：()()()()b a c a c b c b a cb a +-+-+-++2223332=()()()()()()c b c b c a c a b a b a +-++-++-222∵c b a 、、是不全相等的正数，∴()()()()()()c b c b c a c a b a b a +-++-++-222,0>∴()()()()b a c a c b c b a c b a +++++>++2223332.20.解：∵,0>>b a ∴,0>-b a ∴<0()4222a b a b b a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-，（当且仅当b a b -=时取等号）∴(),412a b a b ≥-∴()b a b a -+162166422≥+≥aa ，（后一个等号当且仅当22=a 时取成立）∴()b a b a -+162的最小值为16，此时22=a ，.2=b21．解：不正确，天平的左右臂长分别为L 1，L 2，物体放在左右托盘称得的重量分别为m 、n ，∵L 1G=L 2m ,L 2G=L 1n ,∴G 2=mn ,即G=mn ∵L 1≠L 2，∴n m ≠∵,2mn nm >+ ∴说法不正确，真实重量为.mn 22．证明：（1）1,1222=++-==+c b a t c t b a 又，则令，,340043,)2(2222)1(12,12)(,12222222222<<<-∴+⋅<=---=--=-+-=+∴t t t b a ab t t t ab t c ab b a c b a ，得011222=++=++=++ca bc ab c b a c b a 可得，及又由，而,0,≥>>c c b a 若.34134110100<+<<<>∴<-<>++b a t t t c ca bc ab ，即，从而，，即，与前面矛盾，故则（2）首先易证，，令m b a b a b a =++<+222222m c m c 21,21->∴<-则 .19811,98)21(10122222<+<∴<-=>⇒-<-∴<=-b a c m m m m c c m ，又，，而又。

高二数学上 6.3 不等式的证明(二)教案旧人教版

6.3 不等式的证明（二）教学要求：使学生掌握用比较法证明不等式，能熟练使用基本的变形方法：配方法、因式分解法。

教学重点：熟练进行变形。

教学过程：一、复习准备：1.已知a、b、m∈R，且a<b，比较与的大小；2.设c<a<b<0，比较与的大小。

（小结：作差法→通分→符号判别）二、讲授新课：1.教学例题：①改复习题为例题：例1：已知a、b、m∈R，且a<b，求证>；例2：设c<a<b<0，求证：②讨论证明方法。

→小结：与比较大小思路相同。

③变题练习：例1变成a>b，……例2 变成：c>a>b>0，…④讨论：糖水里面加糖，为什么会更甜？试用不等式表示其道理。

分析：两个浓度的比较，实际上就是例1的不等式。

⑤出示例3：甲乙两人走同一路程。

甲：一半时间速度m，一半时间速度n。

乙：一半路程速度m，一半路程速度n。

如果m≠n，问谁先到达指定地点？⑥分析：设路程S，则甲乙两人所用的时间如何表示？甲有：t m＋t n=S，乙有：t=+⑦练习：比较两个时间t与t的大小。

⑧小结：应用问题四步：读题→建模（不等式）→求解→作答2练习：①A、B两个商店各两次降价，A第一次先降p%,第二次再降q%。

B两次均降%，问谁降价更多？②已知x＋y>0，比较xy(x＋y)与x＋y的大小。

三、巩固练习：1.已知a<b<0，求证：2.已知a>b>0，求证：a b>a b3.已知a、b∈R,n∈N，求证：(a＋b)(a＋b)≤2（a＋b）4.课堂作业：书P16 习题1、2、3题。

高中数学 6.3不等式的证明(第二课时) 大纲人教版必修

高中数学 6.3不等式的证明（第二课时）大纲人教版必修●教学目标(一）教学知识点 1.公式法证明不等式.2.两正数和为定值或积为定值求最值. (二）能力训练要求1.掌握用公式法证明不等式.2.理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值. (三）德育渗透目标利用公式法证明不等式，既培养了学生观察应变的逻辑思维能力，又培养了学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.●教学重点公式法证明不等式.1.a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时，取等号.2.a >0,b >0,ab ba ≥+2,当且仅当a =b 时取等号. (1）若ab 为定值P ,则当a =b 时，a +b 有最小值2P . (2)若a +b 为定值S,则当a =b 时，ab 有最大值41S 2. 3.利用ab ba ≥+2求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：(1)两数均为正数；(2)两正数之和或之积为定值；(3)在两正数的取值范围内，两正数可以相等.●教学难点1.对一些条件不等式，条件的合理利用.2.求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值. ●教学方法读、议、练、讲单元教学法 ●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.3.2 A第二张：记作§6.3.2 B●教学过程Ⅰ.课题导入今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形(几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.(打出幻灯片§6.3.2 A ，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）我们要重点掌握下面的基本公式及变形：（1）若a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时取“=”号.（2）若a >0,b >0,ab ba ≥+2,当且仅当a =b 时取“=”号. ①若ab 为定值P ,则当a =b 时，a +b 有最小值2p .②若a +b 为定值S,则当a =b 时，ab 有最大值41S 2. (3)a ,b ∈R ,则ab ≤222b a +,当且仅当a =b 时取“=”号.(4)a >0,b >0,则ab ≤(2b a +)2,当且仅当a =b 时取“=”号. (通过阅读幻灯片§6.3.2 A ，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程） Ⅱ.讲授新课(打出幻灯片§6.3.2 B ，引导学生阅读例1）［例1］已知a >0,b >0,且a +b =1,求证：(1）ab 1≥4; (2)a 2+b 2≥21;(3)21a +21b≥8;(4)a 3+b 3≥41;(5)2≤+b a ;(6)(1+a 1)(1+b1)≥9; (7)(1-21a)(1-21b )≥9;(8)(a +a 1)2+(b +b1)2≥225;(9)(a +21a )2+(b +21b )2≥281.［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”，本题中由目标不等式发现含有形如ab ,a +b ,a 2+b 2等式子，故由“经验”马上联想公式a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )及ab ba ≥+2(a ,b ∈R +)，即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a ,b 的和为1(即a +b =1),作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.［生］(1)∵a >0,b >0，414102112≥⇒≤⇒⎪⎭⎪⎬⎫>≤⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+≥+∴ab ab ab ab b a ab b a . (2)∵a >0,b >0，且a +b =1∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab≥1-2·(2b a +)2=1-21=21故a 2+b 2≥21.(3)∵a >0,b >0，且a +b =1∴8)2(121211222=+⋅≥⋅≥+b a ab b a 故2211ba +≥8. (4)∵a >0,b >0，且a +b =1.∴a 3+b 3=(a +b )3-3ab (a +b ) =1-3ab ≥1-3·(2b a +)2=41或a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab =1-3ab ≥1-3·(2b a +)2=41故a 3+b 3≥41. (3)∵a >0,b >0，且a +b =1 ∴(b a +)2=a +b +2ab =1+2ab ≤1+(a +b )=2 故b a +≤2.(6)∵a >0,b >0，且a +b =1∴(1+a 1)(1+b 1)=1+a 1+b 1+ab 1 =1+ab b a ++ab 1=1+ab 2≥1+22)2(21)2(2b a b a +⋅+=+=9故(1+a 1)(1+b1)≥9.(7)∵a >0,b >0，且a +b =1∴222222)1)(1()11)(11(ba b a b a --=-- 9)2(21)2(121211)1)(1()1)()(1)(()1)(1)(1)(1(222222=+⋅++⋅+≥+=+++=++=+-+-=-+-+=b a b a ab ab b a ab ab b a b a b a a b b a b b a a 故(1-21a )(1-21b )≥9. (8)∵a >0,b >0，且a +b =1 ∴(a +a 1)2+(b +b 1)2=a 2+b 2+4+21a +21b≥(a +b )2-2ab +4+ab2 ≥225)(4242)(122=+⋅+++-b a b a 故(a +a 1)2+(b +b1)2≥225.(9)∵a >0,b >0，且a +b =1∴(a +21a)2+(b +21b )2 )11(2114242b a b b a a +++++==a 2+b 2+2(a 1+b 1)+4411ba +≥281328211222144=++=⋅++b a ab 故(a +21a )2+(b +21b )2≥281. 注：以上各题中均当且仅当a =b =21时取等号. ［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系(不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.［例2］(必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部装满，还剩下很多.这时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果换成任意的两面墙，如何处理？(引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）［师］显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为x 和y ,则x 2+y 2是长方形木板的长或宽(定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.［生］小强用直尺测出木板的长为a ,宽为b ，依题可知：a >b >0，且两墙夹角(即二面角）为90°.(1)a 作底边,设S 底为底面直角三角形的面积,两直角边一个是x ,一个是y ,则有:S 底=21xy ,V 1=(21xy )·b ,且x 2+y 2=a 2 ∵x 2+y 2≥2xy∴xy ≤22222a y x =+ ∴V 1≤42ba ,当且仅当x =y =22a 时取“=”号.(2)b 作底边，同(1)可得V 2≤42ab ,当且仅当x =y =22b 时取“=”号.又a >b >0 ∴ab >0,a -b >0∴V 1-V 2=42b a -42ab =41ab (a -b )>0∴V 1>V 2,即42b a >42ab故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容积最大.若两面夹角(即二面角)换成α时，解答如下：设用矩形木板长a 作直三棱柱的侧棱，宽b 作为底面的一条边，底面三角形的另两边的长分别是x ,y ,体积为V 1，则有：⎪⎩⎪⎨⎧-+=⋅=ααcos 2)sin 21(2221xy y x b a xy V ∴xy =αsin 21a V ,x 2+y 2=b 2+ααsin cos 41a V ≥2xy ∴b 2+ααsin cos 41a V ≥αsin 21a V 整理得：V 1≤41ab 2·cot 2α,当x =y 时取“=”号. 设矩形木板的宽b 作侧棱，则当x =y 时，V 2=41a 2b ·cot 2α. ∵a >b >0,∴ab >0,a -b >0∴a 2b >ab 2即V 2>V 1故把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形(顶角为α)时，容积最大，且最大值V max =41a 2b ·cot 2α. ［师生共析］均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1）建模(即函数关系式），(2）构造定值(构造“积”或“和”为定值），(3）验证“=”号成立.Ⅲ.课堂练习1.已知a >0,b >0,a +b ≤4,求证：b a 11+≥1. 分析：公式：若a >0,b >0,则ab ba ≥+2(当且仅当a =b 时取等号）的应用. 证明：∵a >0,b >0,a +b ≤4 ∴2ab ≤a +b ≤4∴ab ≤2,即211≥ab 故b a 11+≥2ab1≥2×21=1 即ba 11+≥1. 2.已知a ,b ,c 为不等的正数，且abc =1, 求证：cb ac b a 111++<++. 分析：根据已知条件，对abc =1作适当变形，即abc ac b bc a 1,1,1===,然后利用公式2ba ab +≤(a >0,b >0)得证：证明：∵a ,b ,c 是不等的正数，且abc =1.111111211211211111cb ac b a cb a b a ac c b abac bc c b a ++<++++=+++++<++=++∴故 3.求证：4522++x x >2.分析：考虑分子、分母的关系可知：x 2+5=(x 2+4)+1,所以用基本公式ab ba ≥+2(a >0,b >0)即可得证.证明：∵x ∈R ∴x 2≥0 ∴x 2+5>0,x 2+4>024142414414445222222222=+⋅+⋅≥+++=++++=++∴x x x x x x x x x∵41422+=+x x 时有x 2+3=0，这不可能，∴上述均值不等式中等号不成立.故4522++x x >2.4.设a >b >c ,求证：ca cb b a -≥-+-411. 分析：我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab ≤(2b a +)2的应用. 证明：∵a >b >c∴a -b >0,b -c >0,a -c >0.41142)()())((112ca cb b ac a c b b a c a c b b a ca cb b a -≥-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--≥---=-+-∴故Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了用“公式法(均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关键在于认清公式(均值不等式）的结构特点和取“=”条件，要在证明不等式的具体问题中寻求运用公式(均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能力.Ⅴ.课后作业 (一）练习1.已知：lg(x 2+1)+lg(y 2+4)=lg8+lg x +lg y ,求x ,y 的值. 分析：应用对数的运算法则将原方程转化为：lg xx 212++lg y y 442+=0.解：∵x 2+1≥2x >0(依题知x >0,y >0)∴x x 212+≥1即lg y y 442+≥0同理可知：lg yy 442+≥0对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即lg xx 212+=0,lg y y 442+ =0.所以,x 2+1=2x ,y 2+4=4y .故x =1,y =2.2.已知a >0,b >0,求证：a +b +22≥abab. 分析：本题采用公式法.题中含有形如：a +b ,ab 等式子，多次运用公式［ab ba ≥+2,(a >0,b >0)］即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.证明：∵a >0,b >0 ∴a +b >0,ab >0.∴a +b +abab ab ab 12+≥ ≥22212=⋅abab 故a +b +22≥abab. (二）1.预习内容：课本P 14“综合法”证明不等式. 2.预习提纲：(1）什么是综合法？它的基本思想是什么？ (2）它适合证明哪类不等式？ ●板书设计。

高二数学教案：6.3.2不等式的证明

高二数学 第六章 不等式： 6.3不等式的证明(一)优秀教案

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计(二)

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高二数学教案不等式的证明六

高二数学 第六章 不等式： 6.3不等式的证明(二)优秀教案

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不等式的证明二 高二数学不等式全套教案 人教版 高二数学不等式全套教案 人教版

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