基本不等式 基础练习题

是2a与2b的等比中项，则
的最小值为 4 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可 得出． 解：由题意知
， 又a＞0，b＞0， ∴
，当且仅当a=b=
时取等号． ∴
的最小值为4． 故答案为：4．
点评： 本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性 质，属于基础题．
，
∵x，y∈R+，
∴4x+y=
+ ≥3
=6，当且仅当x=
，y=4时取等号． ∴4x+y的最小值为6． 故答案为：6．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2
．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 由已知可得y=
0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣ b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．
解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0 ∴
=
当且仅当a﹣b=
时取等号 故答案为
点评： 本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思 想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）
15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且
点评：
本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一 元二次不等式的解法，属于基础题．
8．（2015•衡阳模拟）已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为
6 ．
考点： 专题：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用．
分析： 解答：
利用基本不等式的性质即可得出．
解：∵xy2=8，∴x=
4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值 为 2 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得
，化为
，解出即可．
解答：
解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8， ∴
∴t≤﹣2（舍去），或 t≥4， 即
≥4，化简可得 xy≥16， ∴xy的最小值为16．
点评：
本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属 于基础题．
16．（2014•浙江模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小 值是 4 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
基本不等式；简单线性规划的应用．菁优网版权所有 计算题． 首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2
，b=
时取等号． 故答案为
． 点评： 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键． 13．（2014•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则
的最小值为 9 ．
考点： 专题： 分析： 解答：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 解：∵正数x，y满足x+2y=2， ∴
专题： 不等式的解法及应用．
分析：
x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣ 3my+m2﹣1=0，利用△≥0，解出即可．
解答：
解：设x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2 ﹣3my+m2﹣1=0， ∴△=9m2﹣12（m2﹣1）≥0，
解得﹣2≤m≤2， ∴x+2y的最大值为2． 故答案为：2．
．
6．已知x∈（0，3），则函数y=
+
的最小值为
．
7．已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为 ．
8． 已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为 ．
9．若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
10．若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则
解答：
，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解：∵xy=1，∴y=
∴x2+2y2=x2+
≥2
=2
，
当且仅当x2=
，即x=±
时取等号， 故答案为：2
点评： 本题考查基本不等式，属基础题． 10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则
的最小值为 3 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
最大值为
．
25．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小
值是
．
26．在等比数列{an}中，若S7=14，正数a，b满足a+b=a4，则
ab的最大值为
．
27． 已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l： mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则
的最小值是
+x=
+（x﹣2）+2≥
=4，当且仅当x=3时取等号． 故答案为：4．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=
+
的最小值为 3 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 函数的性质及应用． 利用
，当且仅当
解答：
时取等号，x，y，m，n都为正数．
点（0，1），则
的最小值是 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
基本不等式．菁优网版权所有
不等式的解法及应用．
把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再 利用基本不等式的性质即可得出．
解：∵函数y=2aex+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，
∵a＞0，b＞0． ∴
=
=3+
=
，当且仅当
﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8， （m﹣2）（n﹣1）=4，∴
=2≤
=
（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号 ），∴m+n﹣3≥4， m+n≥7． 故答案为：7．
点评：
本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计 算能力．
12．（2014•日照一模）已知a，b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过
代入已知条件，化简为函数求最值． 解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（
点评：
）2（当且仅当x=2y时取等号） 整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0
即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0， 所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号） 则x+2y的最小值是 4 故答案为：4．
， 化为
， ∴
≤0， 解得
， ∴ac≤2， 当且仅当a=2c=2取等号． ∴ac的最大值为2． 故答案为：2．
点评： 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解 法，属于基础题．
5．（2015•恩施州一模）已知x＞2，则
+x的最小值为 4 ．
考点： 专题： 分析： 解答：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 变形利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵x＞2， ∴
20． 已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最
小值为 பைடு நூலகம்
．
21．已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是 ．
22．己知x＞0，y＞0，且x+y+
+
=5，则x+y的最大值是
．
23．若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为 ．
24．已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的
=1，则x+2y的最小值是 8 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 根据
=1可得x+2y=（x+2y）（
解答：
），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号 成立的条件．
解：∵两个正实数x，y满足
=1， ∴x+2y=（x+2y）（
）=4+
≥4+2
=8，当且仅当
代入可得，2x+3y=（2x+3y）（
）=
解答：
+29，由基本不等式可得答案． 解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（
） =
+29≥2
+29=29+6 当且仅当
，即x=
，y=
点评：
时取等号， 故2x+3y的最小值为： 故答案为：
本题考查基本不等式的应用，把
代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关 键，属基础题． 3．（2015•中山市二模）设a＞0，b＞0．若
的最小值为3． 故答案为3．
点评：
本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处 理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运 用，属中档题．
11．（2014•阳泉二模）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足
f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是 7 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有
不等式的解法及应用．
由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子 分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用 基本不等式可求最小值．
解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数， 所以
=
． 当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时 x=y=1． 所以
．
28．实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为 ．
29． 已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范
围是
．
30．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值
范围是
．
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题） 1．（2015•资阳模拟）若两个正实数x，y满足
=
=
=9，当且仅当x=4y=
时取等号． ∴
的最小值为9．
故答案为：9．
点评： 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题． 14．（2014•温州三模）已知a＞b＞0，ab=1，则
的最小值为 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
基本不等式．菁优网版权所有
不等式的解法及应用．
本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞
基本不等式；对数的运算性质．菁优网版权所有 计算题． 由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本 不等式得
=2≤
=
解答：
，变形可得m+n的最小值．
解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）
+f（2n）=3，m＞2，n＞1，
∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n
解：∵x∈（0，3）， ∴函数y=
+
≥
=3，当且仅当
，即x=1时取等号． ∴函数y=
+
的最小值为3． 故答案为：3．
点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．
7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大
值为 2 ．
考点：
基本不等式．菁优网版权所有
此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2
在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们 多加注意．
17．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且
时取等号即x=4，y=2， 故x+2y的最小值是8． 故答案为：8．
点评：
本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的 活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
2．（2013•东莞二模）已知x＞0，y＞0，且
，则2x+3y的最小值为 ．
考点： 专题： 分析：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 把
的最小值为
．
15．设x、y均为正实数，且
，则xy的最小值为
．
16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 ．
17．已知x，y∈R*且
+
=1，则xy的最小值是
．
18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为 ．
19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为 ．
，则xy的最小值为 16 ．
考点： 专题： 分析：
解答：
基本不等式．菁优网版权所有 不等式的解法及应用． 将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为 关于
的一元二次不等式，解出
的范围． 解：∵x、y均为正实数，且
，进一步化简得 xy﹣x﹣y﹣8=0． x+y=xy﹣8≥2
，令t=
，t2﹣2t﹣8≥0，
的最小值为
．
11．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）
+f（2n）=3，则m+n的最小值是
．
12．已知a，b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过点（0， 1），则
的最小值是
．
13．已知正数x，y满足x+2y=2，则
的最小值为
．
14．已知a＞b＞0，ab=1，则
基本不等式基础练习题
1．若两个正实数x，y满足
=1，则x+2y的最小值是 2．已知x＞0，y＞0，且
．
，则2x+3y的最小值为 3．设a＞0，b＞0．若 是2a与2b的等比中项，则
．
的最小值为
．
4．若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为 ．
5．已知x＞2，则
+x的最小值为