直线的参数方程课件(北师大选修4-4)33787
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选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
演
练
参数方程为__________．
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
作 业
课
sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ 内
时 作 业
课 内
y＝3＋2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上，所以有
1＋
5 5
课 内
巩
t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上，所以不能使用参数 t 的几
B．(－3,4)
练
课
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2， 课
内
∴t＝±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t＝ 22时，对应点为(－3,4)，
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α＝π6，所以 sinα＝12，
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 课件：2.2.1直线的参数方程
§2
直线和圆锥曲线的参数方程
2.1
直线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数的几何 意义. 2.能 依据直线的几何性 质,写出它的两种形式的 参数方程,体会 参数的几 何意义. 3.能 利用直线的参数方程 解决简单的实际问题.
直线的参数方程
条 件
名师点拨当λ>0时,点M为内分点;当λ<0,且λ≠-1时,点M为外分点; 当λ=0时,点M与Q重合.
������ = -2 + ������cos30 °, 做一做 直线 ������ = 3-������sin60 ° (t为参数)的倾斜角α等于 ( ) A.30° B.60° C.-45° D.135°
(2)经过点 P(x0,y 0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������sin������, (t 为参数). ( × ) ������ = ������0 + ������cos������ ������ = ������, ������ = 1-2������, (3)直线 l1: (t 为参数)与直线 l2: (s 为参数)垂直. ������ = 1 2 ������ ������ = 2-������ ( )
1+
2 5�Leabharlann ����'25
+ 2+
1 5
������' =9,整理得 5t'2+8t'-4 5=0.
8 5
2
设方程的两根分别为 t1',t2',则有 t1'+t2'=- ,t1'· t2'=-4, 所以 |t1'-t2'|= (������1 ' + ������2 ')2 -4 ������1 '������2 ' = 即直线被圆截得的弦长为 12 5 答案：
直线和圆锥曲线的参数方程
2.1
直线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数的几何 意义. 2.能 依据直线的几何性 质,写出它的两种形式的 参数方程,体会 参数的几 何意义. 3.能 利用直线的参数方程 解决简单的实际问题.
直线的参数方程
条 件
名师点拨当λ>0时,点M为内分点;当λ<0,且λ≠-1时,点M为外分点; 当λ=0时,点M与Q重合.
������ = -2 + ������cos30 °, 做一做 直线 ������ = 3-������sin60 ° (t为参数)的倾斜角α等于 ( ) A.30° B.60° C.-45° D.135°
(2)经过点 P(x0,y 0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������sin������, (t 为参数). ( × ) ������ = ������0 + ������cos������ ������ = ������, ������ = 1-2������, (3)直线 l1: (t 为参数)与直线 l2: (s 为参数)垂直. ������ = 1 2 ������ ������ = 2-������ ( )
1+
2 5�Leabharlann ����'25
+ 2+
1 5
������' =9,整理得 5t'2+8t'-4 5=0.
8 5
2
设方程的两根分别为 t1',t2',则有 t1'+t2'=- ,t1'· t2'=-4, 所以 |t1'-t2'|= (������1 ' + ������2 ')2 -4 ������1 '������2 ' = 即直线被圆截得的弦长为 12 5 答案：
直线的参数方程课件(北师大选修4-4)3383326页PPT
2
2
2
2
35 3542
（1）如何写出l直 的线 参数方程？
①
（ 2）如何A 求 ， B所 出对 交应 点 t1， 的 t2? 参数
①
（ 3）AB 、 MA MB 与t1，t2有什么关系？
探究
直线与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应的参数 分别为t1,t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少？ （2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 b离2 . 1时，
x x0 y y0
at bt
(t为 t才参 具数 有|此） t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
P 4习 1 2.3 题 1 、 3
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如： 当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不 断增大)，那么问题又该如何解决？
程 中 参 数 t的 几 何 意 义 吗 ？
解:
uuuuuur r QM0Mte
uuuuuur r M0M te
r
r
y
又 Q e 是 单 位 向 量 ， e 1
M
这意就义 是,要tM u的u牢u0u几M 记uur何t
r e
t
M0
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直
r e
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
又 那么 Qers的in终表 点示 就e会的都纵在坐第标一，，若eMu的 u二ut0u纵 M<象 uur的0坐 限,点则标 ，方都er的 向大方 向于向 下0 ;
选修4-4直线的参数方程优秀课件
设直线 l的倾斜角为 ，定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
高中数学第二章参数方程2.1直线的参数方程课件北师大版选修4_4
则常数 a 的值为________．
[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线 的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系 确定参数值的方法．
[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直 线 l1：x－2y－1＝0，直线 l2：2x－ay－a＝0.因为两直线平 行，所以 1×(－a)＝－2×2，故 a＝4，经检验，符合题意．
(a，b 为常数，t 为参数)．当 a2＋b2＝1 时，
|t|的几何意义是有向线段M0M 的长度，当 a2＋b2≠1 时，|t|
的几何意义是M0M 的长度的
1 a2＋b2.
2．过点 A(1，－5)的直线 l1 的参数方程为xy＝＝－1＋5＋t， 3t (t 为参数)，它与方程为 x－y－2 3＝0 的直线 l2 相交于一 点 P，求点 A 与点 P 之间的距离．
－ 2)．
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段 PM
的长度，即 P 与 M 间的距离．
2．过定点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是
x＝x0＋at， y＝y0＋bt
8245＝2
21 5.
1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若 涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参 数方程中参数 t 的几何意义求解，比利用直线 l 的普通 方程来解决更为方便．
2．在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)＝0 的交点间的距离 时，把直线 l 的参数方程xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα， 代入 f(x，y)＝0， 可以得到一个关于 t 的方程 f(x0＋tcos α，y0＋tsin α)＝0. 假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t 的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
北师版数学高二选修4-4课件 三 直线的参数方程
跟踪训练3
已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝
π 6
，
(1)写出直线l的参数方程； 解 因为直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为π6，
所以直线的参数方程为x＝1＋tcos y＝1＋tsin
π6， π6，
即xy＝ ＝11＋ ＋212t3t，
为所求.
解答
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.
(1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数 方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值 得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与 曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参 数的几何意义加以解决.
跟踪训练 4
答案
思考2
在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程 是什么？
答案
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数).
答案
梳理
(1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
x＝x0＋tcos
y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)；
M(x，y)的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)，这是直线参数方程的标准
形式，特别地，当 α＝2π时，直线的参数方程为xy＝ ＝xy00， ＋t (t 为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)， 斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (a、b 为常数，t 为参数).
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 课件：2.2.1直线的参数方程
2 ������, 2 (t 为参数 ), 2 ������ 2 2 2 3 + ������ +2 4 + ������ 2 2
=6,
探究一
探究二
思维 = 1 + 2������, 【例2】 已知直线的参数方程为 ������ = 2 + ������ (t为参数),则该直 线被圆x2+y2=9截得的弦长是 . ������ = 1 + 2������, 解析： 将参数方程 (t 为参数 )转化为直线参数方程的 ������ = 2 + ������ 2 ������ = 1 + ������', 5 标准形式为 (t'为参数 ),并代入圆的方程,得 1 ������ = 2 + ������'
探究一
探究二
思维辨析
直线的参数方程与参数的几何意义 【例1】 已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出 直线l的参数方程,并分别求出点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.
分析：由直线 l 的方程可知,直线的斜率为 ,即直线的倾斜角(设 为 上,为了方便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距 离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式 来求.
(2)经过点 P(x0,y 0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������sin������, (t 为参数). ( × ) ������ = ������0 + ������cos������ ������ = ������, ������ = 1-2������, (3)直线 l1: (t 为参数)与直线 l2: (s 为参数)垂直. ������ = 1 2 ������ ������ = 2-������ ( )
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.1 直线的参数方程
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
典型例题1
已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的 距离.
思路分析:由直线 l 的方程可知,直线的斜率为34,即直线的倾斜角(设为 α) 的正切值为34,即 tan α=34,则 sin α=35,cos α=45.因为点 P 在直线 l 上,为了方 便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距离可以根据参
MP
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
温馨提示
当λ>0时,M为内分点;当λ<0且λ≠-1时,M为外分点;当λ=0时,点M与Q重合.
做一做1
直线
������
=
−2
+
������cos30°, (t
为参数)的倾斜角
α
等于
(
)
������ = 3−������sin60°
探究一
探究二
探究三
∴t1+t2=−1
+1s0icno2s������������,t1t2=
3 2(1+si
n
2
������),
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=
3 2(1+si n2������ )
.
又∵Δ=( 10cos α)2-4(1+sin2α)×32≥0,
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
高中数学课件-第5课时 直线的参数方程
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
k y y0 b x x0 a
| MM 0 | (x x0 )2 ( y y0 )2 (at)2 (bt)2 (a)2 (b)2 t
(1)
(2)若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数，
则直线的斜率为 （ ）
A、2
t＝－6( 3＋1)．
根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
(3)若直线L的参数方程为
x
y
a b
t t
t为参数，L上的点P1对应的参数
是t ，则点P与P
1
1
a,
b
之间的距离
是（ C ）
A、t1
B、2 t1
C、2 t1
D、 2 2
t1
例：已知直线 l : x y 1 0与抛物线y x2交于A, B 两点，点M (1,2)在直线AB上.
|,
| MP || t1 t2 2
|
例2.经过点M 2,1作直线L,交椭圆 x2 y2 1于A, B两点。
16 4 如果点M 恰好为线段AB的中点，求直线L的方程。
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
x
y
2 t cos 1 t sin ,
赛课直线的参数方程ppt课件
线的弦M1M2的长是多少?
M1M2 t1t2 (t1t2)24t1t2
;
练习:
设直线l经过点M0(1,5),倾斜角为 .
(1)求直线l的参数方程;
x 1 13 t
2 （t为参数）
y 5 3 t
2
l (2)求直线l和直线x-y-2 3 =0的交点到点
M0的距离; t (106 3)
(3)求直线l和圆x2+y2=16的两个交点到 点M0的距离的和与积.
两 点 的 距 离 之 积 。
解:因为把点M的坐标代入直线方
程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 易知直线的倾斜角为 3 所以直线的参数方程可以4写成
3
x 1t cos
34（t为参数）
y 2t sin
;
4
y
M(-1,2)
B
O
x
x 1 2 t
2 （t为参数）
y2 2 t
A
2
y M(-1,2)
y
A
M(-1,2)
B
O
x
;
例 1.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
y
解 ： 由 x y y x 21 0 得 ： x 2 x 1 0 (* ) 由 韦 达 定 理 得 ： x 1 x 2 1 ， x 1 x 2 1
两个交点到点 M
的距离的和为
0
;
1
5
3 积为10
三：小结
1.直线参数方程
x y
x0 y0
t t
cos sin
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记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
2
2
2
2
35 3542
（1）如何写出l直 的线 参数方程？
B
O
x
三、例题讲解
解 ： x y y x 21 由 0 得 x 2 ： x 1 0
(*)
由韦达 x1 定 x2 理 1 ， x1x 得 21 ：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 10
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25 y13 25， y2325
5.已知经过 A(5,3)且倾斜角的余弦3是的 5
直线与圆 x2 y2 25交于B、C两点， (1)求BC中点坐标； (2)求过点A的切线方程及切点。 坐标
(1)(44, 6 )； 25 25
(2)过点A的切线为 x 5，切点为5（ ，0）
和8x 15y 85 0,切点为（ 130，27） 17 17
简化求直线上两点当间的a2距 b离2 . 1时，
xyxy00
at bt
(t为 t才参 具数 有|此） t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
P 4习 1 2.3 题 1 、 3
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如： 当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不 断增大)，那么问题又该如何解决？
①
（ 2）如何A 求 ， B所 出对 交应 点 t1， 的 t2? 参数
①
（ 3）AB 、 MA MB 与t1，t2有什么关系？
探究
直线与曲线yf(x)交于M1,M2两点，对应的参数 分别为t1,t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少？ （2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 (2)t t1 t22课堂练习源自1.一条直线的参数方程是x
1 1t 2
(t为参数），
y 5
3t 2
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是 4 3
课堂练习
四、课堂小结
1.直线参数方程
探究:直线的
xy=x0y0 tctossin(t是参参式数 数 是一） 方 不的程 是形 唯
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
练习： 1、直{线 x2 2t(t为参)数 上与P点 (2,3)
y3 2t 距离等2于 的点的坐(标 C 是)
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
演示结束，谢谢！
三、例题讲解
例例 11.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上