运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-动态规划的基本方法(圣才出品)
动态规划(运筹学)
k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-图与网络优化(圣才出品)
3．无向连通图 G 是欧拉图的充要条件是______。[深圳大学 2011 研] 【答案】G 中无奇点 【解析】连通多重图 G 有欧拉圈，当且仅当 G 中无奇点。一个图若有欧拉圈，则称为 欧拉图。
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4．网络中如果树的节点个数为 z，则边的个数为______。[中山大学 2007 研] 【答案】z-1 【解析】由树的性质可知，树的边数=数的节点数-1。
2．利用破圈法求赋权图的最小支撑树时，每次都是任取一个圈并去掉其中权最小的边， 直到该赋权图不再含圈时，便得到最小支撑树。（）[暨南大学 2011 研]
【答案】× 【解析】利用破圈法求最小支撑树时，每次任取一个圈，去掉圈中权最大的边。
3．任一图 G = (V , E) 都存在支撑子图和支撑树。（）[北京交通大学 2010 研]
G1。如果 G1 不含圈，那么 G1 是 G 的圈，如此重复，最终可以得到 G 的一个支撑子图 Gk，它不含圈，于是 Gk 就是 G 的一个
支撑树。
2．流 f 为可行流必须满足______条件和______条件。[深圳大学 2007 研] 【答案】容量限制；平衡 【解析】在运输网络的实际问题中可以看出，对于流有两个明显的要求：一是每个弧上 的流量不能超过该弧的最大通过能力（即弧的容量）；二是中间点的流量为零。因为对于每 个点，运出这点的产品总量与运进这点的产品总量之差，是这点的净输出量，简称为是这一 点的流量；由于中间点只起转运作用，所以中间点的流量必为零。易而发点的净流出量和收 点的净流入量必相等，也是这个方案的总输送量。
（2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 vi ， (vi ,vj) 属于 E，且 vi 为 T 标号。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学动态规划
基本方程为：
fk ( sk ) max{qk yk pk xk fk1 ( sk1 )}
0 yk sk 0 xk H sk yk
f1(s1 )
max
0 x1 s1
{4
x1
2s22 }
max
0 x1 s1
{4
x1
2( s1
x1 )2 }
max{4s1 ,2s12} 200
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上述最短路线的计算过程可用图直观表示(标 号法)，如图4-3所示，结点上方矩形内的数字表 示该点到终点的最短距离。
5
A 18
13
B1 3
7
B2
16
13
C1 6
10 3
C2
9
3
C3
4
C4
12
7
D1
2
6
D2 1
3
D3
8
图4-3
7
E1 3
该点到G点的最短距离
4
F1 4
E2 2
5
6
E3
9
例4-3 分配投资问题的逆序求解
基本方程为：
fk
( sk
)
max { g 0 xk sk
k
(
xk
)
fk 1 ( sk 1 )}
f4 (s4 ) 0
sk+1 = sk – xk
g1(x1)= 4x1
g2(x2)= 9x2
运筹学04动态规划1
0 1 2
f3(S 3)
d
*
3
S3
3 4 5
f3(S 3)
d
*
3
0 4 7
0 1 2
9 10 11
3 4 5
店 数 0 1 2
2
区 1 0 3 7 2 0 5 10 3 0 4 7
店 数 3 4 5
区 1 12 14 15 2 14 16 16 3 9 10 11
k=2 时， 计算如下：
d
S3=S2-d2
4 E1 2 D1
动态规划的基本概念
阶段；
状态； 决策和策略；
状态转移；
指标函数。
1 阶段（Stage）
将所给问题的过程，按时间或 空间特征分解成若干个相互联系的 阶段，以便按次序去求每阶段的解。 用以描述阶段的变量叫作阶段变量， 一般以k表示阶段变量。
2 状态（State）
各阶段开始时的客观条件叫做 状态。描述各阶段状态的变量称为 状态变量，常用sk表示第k阶段的 状态变量，状态变量的取值集合称 为状态集合，用Sk表示。状态集合 可以是一离散取值的集合，也可以 为一连续的取值区间，视具体问题 而定。
动态规划是现代企业管理 中的一种重要决策方法，可用 于最优路径问题、资源分配问 题、生产计划和库存问题、投 资问题、装载问题、排序问题 及生产过程的最优控制等。
动态规划的基本原理
多阶段决策过程最优化 多阶段决策过程是指这样一类 特殊的活动过程，他们可以按时间 顺序分解成若干相互联系的阶段， 在每个阶段都要做出决策，全部过 程的决策是一个决策序列，所以多 阶段决策问题也称为序贯决策问题。
动态规划数学模型由最优指标函数递推表达式、边界 条件及状态转移方程构成。
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则 企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价 格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法： 极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。 注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小 于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质 （1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。 （3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问 题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0
《运筹学》第五章习题及答案
《运筹学》第五章习题及答案《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。
3．计算下图所示的从A到E的最短路问题4．计算下图所示的从A到E的最短路问题5．计算从A到B、C、D的最短路线。
已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295m a x x x x x z-+-=；???≥≤+0,52121x x x x；（2）．33221m a x x x x z=???≥≤++0,,6321321x x x x x x；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。
物品重量及其价值等数据见下表。
试问每种物品装多少件，使整个背包的价值最大？913千克。
物品重量及其价值的关系如表所示。
试问如何装这些物品，使整个背包价值最大？10量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又每生产100件产品的费用为1000元。
运筹学(第四版)：第8章 动态规划的基本方法
五 动态规划
第8章 动态规划的基本方法 第9章 动态规划应用举例
1
动态规划
什么是动态规划
解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。
f6 (F1)
f6 (F2 )
min
3 5
4
3
7
其相应的决策为 us (E1) F1
这说明，由E1至终点G的最短距离为7，其最短路线是
E1 F1 G16 Nhomakorabea第2节 动态规划的基本思想和基本方程
同理，从E2和E3出发，则有
f5
(E2
)
min
d5 d5
(E2 (E2
, ,
F1 ) F2 )
(2) 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶段的指标的乘积。即
n
这时就可写成
Vk,n (sk , uk ,, sn1) v j (s j , u j )
jk
Vk,n (sk , uk ,, sn1) vk (sk , uk )Vk1,n (sk1, uk1,, sn1)
指标函数的最优值，称为最优值函数，记为
18
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
为了找出最短路线，再按计算的顺序反推之，可求出最优决策函数序列
uk ，即由
u1( A) B1, u2 (B1) C2 , u3 (C2 ) D1, u4 (D1) E2 , u5 (E2 ) F2 , u6 (F2 ) G
组成一个最优策略。因而，找出相应的最短路线为
23
第2节 动态规划的基本思想和基本方程
运筹学题库及详解答案
运筹学题库及详解答案1. 简述线性规划的基本假设条件。
答案：线性规划的基本假设条件包括目标函数和约束条件都是线性的，所有变量的取值范围都是连续的，并且目标函数和约束条件都是确定的。
2. 解释单纯形法的基本原理。
答案：单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。
它从一个初始可行解开始，通过迭代的方式，每次选择一个非基变量，通过行操作将其变为基变量，同时保持解的可行性，直到达到最优解。
3. 什么是对偶问题？请给出一个例子。
答案：对偶问题是指一个线性规划问题与其对应的另一个线性规划问题之间的关系。
它们共享相同的技术系数矩阵，但目标函数和约束条件互换。
例如，如果原问题是最大化目标函数 \( c^T x \) 受约束\( Ax \leq b \)，对偶问题则是最小化 \( b^T y \) 受约束 \( A^T y \geq c \)。
4. 如何确定一个线性规划问题的最优解？答案：确定线性规划问题的最优解通常需要满足以下条件：(1) 所有约束条件都得到满足；(2) 目标函数的值达到可能的最大值（最大化问题）或最小值（最小化问题）；(3) 存在至少一个基解，使得所有非基变量的值都为零。
5. 解释灵敏度分析在运筹学中的作用。
答案：灵敏度分析用于评估当线性规划问题中的参数发生变化时，对最优解的影响。
它可以帮助决策者了解哪些参数的变化对结果影响最大，从而在实际应用中做出更灵活的决策。
6. 什么是运输问题，它与一般线性规划问题有何不同？答案：运输问题是线性规划的一个特例，它涉及将一种或多种商品从一个地点运输到另一个地点，以满足不同地点的需求，同时最小化运输成本。
与一般线性规划问题不同，运输问题通常具有特定的结构，可以通过特定的算法（如西北角法或最小元素法）来求解。
7. 描述网络流问题的基本特征。
答案：网络流问题涉及在网络中流动的资源或商品，目标是最大化或最小化流的总价值或成本。
网络由节点和边组成，节点代表资源的供应点或需求点，边代表资源流动的路径。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-线性规划与单纯形法(圣才出品)
约束条件应引入（ ）。[北京交通大学 2010 研]
A．可控变量
B．环境变量
C．人工变量
D．松弛变量
【答案】D
【解析】约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式左端减去一个非负剩余变量（也
可称松弛变量）。
2．单纯形法中，关于松弛变量和人工ห้องสมุดไป่ตู้量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学 2008 研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】如果人工变量不为 0，则原问题无可行解。
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
6．若 X1，X2 分别是某一线性规划问题的最优解，则 X=λ1X1+λ2X2 也是该线性规划问 题的最优解，其中 λ1，λ2 为正实数。[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】×
【解析】 1，2 不但应该是正实数，还应该满足 1+2 =1
7．如果线性规划问题有最优解，则它一定是基可行解。[东北财经大学 2008 研] 【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
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是
C
m n
个。[暨南大学
2011
研]
【答案】×
【解析】其基解的个数最多是
C
m n
个，且一般情况下，基可行解的数目小于基解的个数。
5．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。[南京航空航天大 学 2011 研]
【答案】C
【解析】当某些 σj＞0 时，xj 增加则目标函数值还可以增大，这时要将某个非基变量 xj
动态规划基本方法
（3）确定决策变量uk及允许决策集Dk(sk)； （4）给出状态转移方程 sk+1=Tk(sk,uk)； （5）给出满足要求的过程指标函数Vk,n及相应的最 优值函数；
（6）写出递推方程和边界条件，建立基本方程； （7）按照基本方程递推求解。
0≤x1≤s1
=23.7s1
(x1*=0)
f1(1000)=23.7╳1000=23700
s1=1000 s2=900
s3=810
x1*=0
x2*=0
x3*=810
s1-x1*=1000 s2-x2*=900 s3-x3*=0
s4=567 x4*=567 s4-x4*=0
s5=397 x5*=397 s5-x5*=0
2.2 动态规划的基本方程 动态规划的最优性原理（贝尔曼原理）：作为整 个过程的最优策略具有这样的性质，即无论过去的状 态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余 下的诸决策必须构成最优策略。简言之，最优策略的 子策略也必是最优的。 根据此原理，要求全过程最优策略，可从子过程 策略的最优化入手。对于过程指标函数是阶段指标函 数和的形式，考虑k-子过程最优值函数fk(sk):
第4节 动态规划和静态规划的关系
静态规划所研究的问题是与时间无关的，而动态
规划所研究的问题是和时间有关的。对于某些静态规 划问题，也可人为地引入时间因素，把它看做一个按 阶段进行的动态规划问题，用动态规划的方法求解。
例 用动态规划法求解
max F=4x12-x22+2x32+12 3x1+2x2+x3≤9 xi≥0 i=1,2,3
0≤x4≤s4
0≤x4≤s4
运筹学第四章动态规划
7
7
5
8
4
3
B1
4
C1
8
C4
4
D1
3
5 E1
4
6
D2 2
F
3
1
3 E2
D3
解：（逆序解法）
（1）从k＝5开始，到终点的路长
f 5 ( E1 ) 4, f 5 ( E2 ) 3
（2）k=4, 状态有3个D1,D2,D3，到终点的最短路长
d ( D1 , E1 ) f5 ( E1 )
资数额才能使总收益最大？
解：求x1,x2,x3，使
max z 4 x1 9 x2 2 x
2
3
x1 x2 x3 10
s.t.
xi 0 (i 1,2,3)
本例可转化为3阶段的决策问题。
4.2 动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划的基本概念
（1）阶段：将问题按时间或空间特征分解成若干相互联系
ቊ
∗2 (1 ) = 1
(1 , 2 ) + 1 (1 )
3+4
2 (2 ) = min
= min
=7
(2 , 2 ) + 1 (2 )
൞
8+5
∗2 (2 ) = 1
(1 , 3 ) + 1 (1 )
6+4
2 (3 ) = min
= min
= 10
uk
f 0 ( s1 ) 0
顺序解法与逆序解法在本质上没有区别。
当问题给定了一个初始状态和一个终止状态时
，两种方法都可以用。
4.3 动态规划模型的建立与求解
运筹学[第八章动态规划的基本方法]山东大学期末考试知识点复习
![运筹学[第八章动态规划的基本方法]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/1f48093f240c844768eaee1f.png)
第八章动态规划的基本方法1．动态规划的概念动态规划是解决多阶段决策问题最优化的一种数学方法，是一种解决问题的思路，而不是一种算法。
这一点与线性规划不同。
因此，在应用动态规划方法求解多阶段决策问题时，要对具体问题进行具体分析。
2．动态规划的基本思想(1)动态规划方法的关键在于正确写出基本的递推关系式和恰当的边界条件(简言之为基本方程)，要做到这一点，必须先将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当地选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化成一组同类型的子问题，然后逐个求解，最后一个子问题所得的最优解就是整个问题的最优解。
(2)在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。
因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的。
(3)在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。
如初始状态A已知，则按下面箭头所指的方向逐次变换有从而可得最优策略为{u1(A)，u2(B1)，…，u'0(F2)}，相应的最短路线为A →B1→C2→…→F2→G。
3．动态规划的基本方程动态规划的基本方程：k阶段与k+1阶段之间的递推关系边界条件为fn+1(sn+1)=04．状态转移方程(1)逆序递推的基本方程其求解过程：根据边界条件从k=n开始，由后向前逆推，可逐步求得各段的最优决策和相应的最优值，当最后求出f1(s1)时，便得到整个问题的最优解。
其各阶段和各变量之间的关系如图8—1所示。
(2)顺序递推的基本方程其求解过程：根据边界条件从k=1开始，由前向后顺推，可逐步求得各段的最优决策和相应的最优值，当最后求得fn (sn+1)时，便得到整个问题的最优解。
其各阶段和各变量之间的关系如图8—2所示。
一般来说，当过程的始点给定时，用逆序递推比较方便；而当过程的终点给定时，用顺序递推比较方便。
动态规划的基本方法
2+1 = min 3+3 1+4 (最短路线为B2→C1 →D)
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。
f3(A)1 = d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6
f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7 ∴ f3 (A) = min
无后效性(马尔可夫性)
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个
阶段以前各段状态的影响； 过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展；构造
动态规划模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求；
状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变量不能满足无后效 性的要求，应适当地改变状态的定义或规定方法。 状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方程如下
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要给出决
策变量的取值范围，即确定允许决策集合。
4、确定状态转移方程 根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变量，状 态转移方程应当具有递推关系。 5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程 阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是指从第k
之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线， 使总距离最短？ 3
C1
3 4 C3
2
A 4
B1 1 2 B2 3
3 C2 1
1 D
3 2 A 4 B1 3
C1
1
1
2
B2
3 1
C2 4 C3
3
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( ) fk sk 为第 1 个月至第 k 个月的最小总花费。
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动态规划的基本方程为：
分公司至第 3 个分公司时所增加的最大效益。可写出递推关系式：
( ) fk
sk
= max 0xk sk
Pk ( xk ) + ( fk−1 sk − xk )
, k = 3, 2,1
f4 (s4 ) = 0
k=3
时，
f3
( s3
)
=
max x3
P3
(x3 )
，其数值计算如表
8-3
所示。
表 8-3
阶段状态为
sk
时，第
k
阶段至第
3
阶段的最优值，且
f4 (s4 )
=
0,
gk
(xk )
=
74xx12,,kk
=1 =2
表示
8x3, k = 3
每个阶段的指标函数。采用逆推法
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k=3
时，
f3 (s3 )
=
0x3ms43，axx3为整数(8x3 )
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A．在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目 B．动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性 C．对一个动态规划问题，应用顺推成逆推解法可能会得出不同的最优解 D．假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将划分 为 6 个阶段，每个阶段的状态将有一个 8 维的向量组成 【答案】A B 【解析】对于一个动态规划问题，不论是采用顺推法还是逆推法，只能得到一个唯一的 解； 假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将按照变 量的个数划分为 8 个阶段，每个阶段的状态将有一个 6 维的向量组成。
表 8-1
每月超过需要量聘用，每人浪费 600 元，聘用或解聘费为 200 元乘上两个月份聘用人 数之差的平方。以这四个月的总花费最小为目标，写出本问题中厂方应如何聘用工人的动态 规划的模型。（假定工资按实际工作时间计算，则聘用人数可为分数）[北京交通大学 2009 研]
解：按月份将问题分为四个阶段，阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ，设状态变量 sk 为第 k 月末的 工人数，决策变量 uk 表示第 k 月招聘或解聘的工人数(招聘为正，解聘为负)，允许决策集合
16, s2 = 8, x2* = 0
k=1
时，
f1(s1)
=
0
x1
max [4
s1 2
，x1为整数
x1
+
f2 (s2 )] =18, x1*
=1
所以得 x1*=1,x2*=2,x3*=0,maxZ=18
2．某工厂的生产任务最近波动很大，为降低成本宜雇佣临时工，但熟练的生产工人临 时难以雇到，培训新手的费用又高，今后四个月需要工人数量如下表 8-1 所示：
( ) fk
sk
= min
uk Dk (sk )
600(sk − dk ) + 200uk2 +
( ) fk−1 sk − uk
, k =1, 2,3, 4
f0 (s0 ) = 0
3．某公司有资金 4 百万元，可向 A、B、C 三个分公司增加投资，已知各分公司增加不
同数量资金后增加的相应效益如表 8-2 所示，问如何分配资金可使公司总效益最大？（提
示：用动态规划方法）[北京交通大学 2009 研]
表 8-2
解：将问题按分公司分为三个阶段，将 A、B、C 三个分公司分别编号 1、2、3。设 sk
( ) 为分配给第 k 个分公司至第 3 个分公司的投资。xk 为分配给第 k 个分公司的投资。Pk xk ( ) 表示分配给第 k 个分公司的投资为 xk 后增加的效益。fk sk 表示为 sk 的投资分配给第 k 个
=
80，,s3s3 [4[,08,)4, )x,3*x3=*
= 1
16,s3 = 8, x3* = 2
0
07， , s2s2 [3[,04,)3,)x,2x*2*==1 0
k=2
时，
f2 (s2 )
=
0
x2
max (7
s2 3
，x2为整数
x2
+
f3 (s3 ))
=
8, s2 [4, 6), x2* = 0 14, s2 [6,8), x2* = 2
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第 8 章 动态规划的基本方法
一、判断题 1．用动态规划方法求最优解时，都是在行进方向规定后，均要顺着这个规定的行进方 向，逐段找出最优途径。( )[暨南大学 2011 研] 【答案】√ 【解析】用递推法求解动态规划问题，首先将过程分成几个相互联系的阶段，选取状态 变量和决策变量并定义最优值函数，然后写出基本的递推关系式和基本方程。 其行进方向 的规定，即选择用逆推法还是顺推法。因为动态规划的状态具有无后效性，所以必须按规定 的行进方向逐段找出最优途径。
三、计算题 1．用动态规划方法求解下列整数规划问题：
要求写出动态规划模型的基本要素并求解。[北京交通大学 2010 研]
解：将该过程分为 3 个阶段；决策变量为 xk ；状态变量为 sk ，表示第 k 阶段开始时候
的状态（k=1,2,3），其中 s1 8 ；最优指标函数 fk (sk ) = mxak x{gk (xk )+fk+1(sk+1)} ,表示第 k
二、选择题 1．动态规划是解决( )的一种数学方法。[暨南大学 2011 研] A．单阶段决策过程最优化 B．多目标决策过程最优化 C．多阶段决策过程最优化 D．位目标决策过程最优化 【答案】C 【解析】动态规则是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方 法。
2．对于动态规划，下列说法正确的有( )[中山大学 2007 研]
x3
s3
0
0
0
P3 ( x3 )
1
2
3 4 f3 (s3 )
x3*
0
0
4 / 12
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1
26
26
1
2
40
40
2
3
58
58
3
4
68