运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-动态规划的基本方法(圣才出品)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
第 8 章 动态规划的基本方法
一、判断题 1．用动态规划方法求最优解时，都是在行进方向规定后，均要顺着这个规定的行进方 向，逐段找出最优途径。( )[暨南大学 2011 研] 【答案】√ 【解析】用递推法求解动态规划问题，首先将过程分成几个相互联系的阶段，选取状态 变量和决策变量并定义最优值函数，然后写出基本的递推关系式和基本方程。 其行进方向 的规定，即选择用逆推法还是顺推法。因为动态规划的状态具有无后效性，所以必须按规定 的行进方向逐段找出最优途径。
三、计算题 1．用动态规划方法求解下列整数规划问题：
要求写出动态规划模型的基本要素并求解。[北京交通大学 2010 研]
解：将该过程分为 3 个阶段；决策变量为 xk ；状态变量为 sk ，表示第 k 阶段开始时候
的状态（k=1,2,3），其中 s1 8 ；最优指标函数 fk (sk ) = mxak x{gk (xk )+fk+1(sk+1)} ,表示第 k
16, s2 = 8, x2* = 0
k=1
时，
f1(s1)
=
0
x1
max [4
s1 2
，x1为整数
x1
+
f2 (s2 )] =18, x1*
=1
所以得 x1*=1,x2*=2,x3*=0,maxZ=18
2．某工厂的生产任务最近波动很大，为降低成本宜雇佣临时工，但熟练的生产工人临 时难以雇到，培训新手的费用又高，今后四个月需要工人数量如下表 8-1 所示：
表 8-1
每月超过需要量聘用，每人浪费 600 元，聘用或解聘费为 200 元乘上两个月份聘用人 数之差的平方。以这四个月的总花费最小为目标，写出本问题中厂方应如何聘用工人的动态 规划的模型。（假定工资按实际工作时间计算，则聘用人数可为分数）[北京交通大学 2009 研]
解：按月份将问题分为四个阶段，阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ，设状态变量 sk 为第 k 月末的 工人数，决策变量 uk 表示第 k 月招聘或解聘的工人数(招聘为正，解聘为负)，允许决策集合
( ) 为 Dk sk = uk sk dk ，dk 表示第 k 个月所需的工人数，状态转移方程为 sk−1 = sk −uk 。
( ) fk sk 为第 1 个月至第 k 个月的最小总花费。
3 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
动态规划的基本方程为：
二、选择题 1．动态规划是解决( )的一种数学方法。[暨南大学 2011 研] A．单阶段决策过程最优化 B．多目标决策过程最优化 C．多阶段决策过程最优化 D．位目标决策过程最优化 【答案】C 【解析】动态规则是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方 法。
2．对于动态规划，下列说法正确的有( )[中山大学 2007 研]
分公司至第 3 个分公司时所增加的最大效益。可写出递推关系式：
( ) fk
sk
= max 0xk sk
Pk ( xk ) + ( fk−1 sk − xk )
, k = 3, 2,1
f4 (s4 ) = 0
k=3
时，
f3
( s3
)
=
max x3
P3
(x3 )
，其数值计算如表
8-3
所示。
表 8-3
阶段状态为
sk
时，第
k
阶段至第
3
阶段的最优值，且
f4 (s4 )
=
0,
gk
(xk )
=
74xx12,,kk
=1 =2
表示
8x3, k = 3
每个阶段的指标函数。采用逆推法
2 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
k=3
时，
f3 (s3 )
=
0x3ms43，axx3为整数(8x3 )
1 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
A．在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目 B．动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性 C．对一个动态规划问题，应用顺推成逆推解法可能会得出不同的最优解 D．假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将划分 为 6 个阶段，每个阶段的状态将有一个 8 维的向量组成 【答案】A B 【解析】对于一个动态规划问题，不论是采用顺推法还是逆推法，只能得到一个唯一的 解； 假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将按照变 量的个数划分为 8 个阶段，每个阶段的状态将有一个 6 维的向量组成。
示：用动态规划方法）[北京交通大学 2009 研]
表 8-2
解：将问题按分公司分为三个阶段，将 A、B、C 三个分公司分别编号 1、2、3。设 sk
( ) 为分配给第 k 个分公司至第 3 个分公司的投资。xk 为分配给第 k 个分公司的投资。Pk xk ( ) 表示分配给第 k 个分公司的投资为 xk 后增加的效益。fk sk 表示为 sk 的投资分配给第 k 个
( ) fk
sk
= min
uk Dk (sk )
600(sk − dk ) + 200uk2 +
( ) fk−1 sk − uk
, k =1, 2,3, 4
f0 (s0 ) = 0
3．某公司有资金 4 百万元，可向 A、B、C 三个分公司增加投资，已知各分公司增加不
同数量资金后增加的相应效益如表 8-2 所示，问如何分配资金可使公司总效益最大？（提
=
80，,s3s3 [4[,08,)4, )x,3*x3=*
= 1
16,s3 = 8, x3* = 2
0
07， , s2s2 [3[,04,)3,)x,2x*2*==1 0
k=2
时，
f2 (s2 )
=
0
x2
max (7
s2 3
，x2为整数
x2
+
f3 (s3 ))
=
8, s2 [4, 6), x2* = 0 14, s2 [6,8), x2* = 2
x3
s3
0
0
0
P3 ( x3 )
1
2
3 4 f3 (s3 )
x3*
0
0
4 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
26
26
1
2
40
40
2
3
58
58
3
4
68
www.100xuexi.com
第 8 章 动态规划的基本方法
一、判断题 1．用动态规划方法求最优解时，都是在行进方向规定后，均要顺着这个规定的行进方 向，逐段找出最优途径。( )[暨南大学 2011 研] 【答案】√ 【解析】用递推法求解动态规划问题，首先将过程分成几个相互联系的阶段，选取状态 变量和决策变量并定义最优值函数，然后写出基本的递推关系式和基本方程。 其行进方向 的规定，即选择用逆推法还是顺推法。因为动态规划的状态具有无后效性，所以必须按规定 的行进方向逐段找出最优途径。
三、计算题 1．用动态规划方法求解下列整数规划问题：
要求写出动态规划模型的基本要素并求解。[北京交通大学 2010 研]
解：将该过程分为 3 个阶段；决策变量为 xk ；状态变量为 sk ，表示第 k 阶段开始时候
的状态（k=1,2,3），其中 s1 8 ；最优指标函数 fk (sk ) = mxak x{gk (xk )+fk+1(sk+1)} ,表示第 k
16, s2 = 8, x2* = 0
k=1
时，
f1(s1)
=
0
x1
max [4
s1 2
，x1为整数
x1
+
f2 (s2 )] =18, x1*
=1
所以得 x1*=1,x2*=2,x3*=0,maxZ=18
2．某工厂的生产任务最近波动很大，为降低成本宜雇佣临时工，但熟练的生产工人临 时难以雇到，培训新手的费用又高，今后四个月需要工人数量如下表 8-1 所示：
表 8-1
每月超过需要量聘用，每人浪费 600 元，聘用或解聘费为 200 元乘上两个月份聘用人 数之差的平方。以这四个月的总花费最小为目标，写出本问题中厂方应如何聘用工人的动态 规划的模型。（假定工资按实际工作时间计算，则聘用人数可为分数）[北京交通大学 2009 研]
解：按月份将问题分为四个阶段，阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ，设状态变量 sk 为第 k 月末的 工人数，决策变量 uk 表示第 k 月招聘或解聘的工人数(招聘为正，解聘为负)，允许决策集合
( ) 为 Dk sk = uk sk dk ，dk 表示第 k 个月所需的工人数，状态转移方程为 sk−1 = sk −uk 。
( ) fk sk 为第 1 个月至第 k 个月的最小总花费。
3 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
动态规划的基本方程为：
二、选择题 1．动态规划是解决( )的一种数学方法。[暨南大学 2011 研] A．单阶段决策过程最优化 B．多目标决策过程最优化 C．多阶段决策过程最优化 D．位目标决策过程最优化 【答案】C 【解析】动态规则是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方 法。
2．对于动态规划，下列说法正确的有( )[中山大学 2007 研]
分公司至第 3 个分公司时所增加的最大效益。可写出递推关系式：
( ) fk
sk
= max 0xk sk
Pk ( xk ) + ( fk−1 sk − xk )
, k = 3, 2,1
f4 (s4 ) = 0
k=3
时，
f3
( s3
)
=
max x3
P3
(x3 )
，其数值计算如表
8-3
所示。
表 8-3
阶段状态为
sk
时，第
k
阶段至第
3
阶段的最优值，且
f4 (s4 )
=
0,
gk
(xk )
=
74xx12,,kk
=1 =2
表示
8x3, k = 3
每个阶段的指标函数。采用逆推法
2 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
k=3
时，
f3 (s3 )
=
0x3ms43，axx3为整数(8x3 )
1 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
A．在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目 B．动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性 C．对一个动态规划问题，应用顺推成逆推解法可能会得出不同的最优解 D．假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将划分 为 6 个阶段，每个阶段的状态将有一个 8 维的向量组成 【答案】A B 【解析】对于一个动态规划问题，不论是采用顺推法还是逆推法，只能得到一个唯一的 解； 假如一个线性规划问题含有 8 个变量和 6 个约束，则用动态规划方法求解时将按照变 量的个数划分为 8 个阶段，每个阶段的状态将有一个 6 维的向量组成。
示：用动态规划方法）[北京交通大学 2009 研]
表 8-2
解：将问题按分公司分为三个阶段，将 A、B、C 三个分公司分别编号 1、2、3。设 sk
( ) 为分配给第 k 个分公司至第 3 个分公司的投资。xk 为分配给第 k 个分公司的投资。Pk xk ( ) 表示分配给第 k 个分公司的投资为 xk 后增加的效益。fk sk 表示为 sk 的投资分配给第 k 个
( ) fk
sk
= min
uk Dk (sk )
600(sk − dk ) + 200uk2 +
( ) fk−1 sk − uk
, k =1, 2,3, 4
f0 (s0 ) = 0
3．某公司有资金 4 百万元，可向 A、B、C 三个分公司增加投资，已知各分公司增加不
同数量资金后增加的相应效益如表 8-2 所示，问如何分配资金可使公司总效益最大？（提
=
80，,s3s3 [4[,08,)4, )x,3*x3=*
= 1
16,s3 = 8, x3* = 2
0
07， , s2s2 [3[,04,)3,)x,2x*2*==1 0
k=2
时，
f2 (s2 )
=
0
x2
max (7
s2 3
，x2为整数
x2
+
f3 (s3 ))
=
8, s2 [4, 6), x2* = 0 14, s2 [6,8), x2* = 2
x3
s3
0
0
0
P3 ( x3 )
1
2
3 4 f3 (s3 )
x3*
0
0
4 / 12
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
26
26
1
2
40
40
2
3
58
58
3
4
68