复变函数第8讲3

1)n11nein; 2)nncosin
级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 1)n11nein; 2)nncosin
1)n11nein; 2)nncosin
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3)收敛圆与收敛半径
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:
(1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 (2) 处收敛.
(2)
对所有的正实数除 cn(z z0)n n0
外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
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(1)设f(z)anzn,Rr1,g(z)bnzn,Rr2. n0 n0
n1 n
为 1 , 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周 n1 n 上即有级数的收敛点,也有级数的发散点.
也收敛,
故原级数收敛. 但因为1)n11nein; 2)nncosin 条件收敛,
所以原级数非绝对收敛.
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3.复变函数项级数
c n ( z a ) n
表达式
1)n11 nein; 2)nncosin
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 项的和 如ln果inmcn0,
R

1

.
称为级数的部分和.
5
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛,1)n11nein; 2)nncosin 则级数 n1n称为收敛,并且极ln限 imsn s称
收敛
故原级数发散.
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2) 因
1)
n1
zn n3
(并讨论在收敛圆周上的情形);
2) (z 1)n (并讨论 z=0,2 时的情形);
n1 n

3) (cosin)zn
n0
, 由正项级
数的比值审敛法知 1)n11nein; 2)nncosin
收敛,
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
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(2)幂如级果数当的代1)n11n换ein; 2)n(ncosin复时合,1))n运1算1nein; 2)nncosin 又设在
f (z) , 内 解析且满足 那末当 f (z) , 1)n11nein; 2)nncosin
2)nncosin
1)n11 nein; 2)nncosin


n
o n 1
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2)收敛定理
----阿贝尔Abel定理
z0 如果级数
在 收敛, 那末对 1)n11nein; 2)nncosin
满足 的 级数必绝对收敛, 如果 在 R 1)n11nein; 2)nncosin
当 a0时 ,
绝对收敛 条件收敛
7
例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
1)n 11 n ein; 2)nncosin
8
[解] 1) 因
( 1 ) n
n1 n
9
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
为级数的.如 和果数{列 sn}不收敛 ,则级数

n称为发散.
n1

充要条件 cn(za)nc0c1(za)c2(za)2
n 0

必要条件 f n ( z ) .
n1
6
3)复级数的绝对收敛与条件收敛 如果 1)n11nein; 2)nncosin收敛, 那末称级数 1)n11nein; 2)nncos为in 绝对收敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
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3) 因
[解] 1)
因为lim n
cn1 cn

lim
n

n
n
2
3

1,
或
lim
n
n
|
cn
|

lim
n
n
1 n3
lim 1 n n n 3
1
所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1
内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级

1)n11nein; 2)nncosin
时, 1)n11nein; 2)nncosin
复变幂级数在收敛圆内的解析性
（定理四）设幂级数1)n11nein;
2)nncosin的收敛半径
为

f(z) anzn,
n0
那末
g(z)r, (1) 它的和函数 即 f[g(z)] an[g(z)n]. n0
其中各项在区域 D内有定义.表达式
s n 1 2
称为复变函数项级数, 记作
n
级数最前面 zz0 项的和
z z 0 ( 0 ) 称为这级数的部分和.
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4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
1 ) n 11 n ei n;
的级数称为幂级数.

f (z)dz cn(za)ndz, C| za|R
C
n0 C
或
z

f ()d
cn
(z a)n1
a
n0 n1
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作业
第1题 第6题1),2),3),4)小题
30
20
No Image
21
4)收敛半径的求法
方法1: 比值法
s(z)f(z)f(z)f(z) 1)n11nein; 2)nncosin 那末收敛半径 n 1 2 n
方法2: 根值法
n 那末收敛半径 1)n11nein; 2)nncosin
1)n11nein; 2)nncosin
是收敛圆 g( z) 内的解析函数 .
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(2) 在收敛圆 g( z ) 内的导数可将其幂 1)n11nein; 2)nncosin
级数逐项求导得到, 即 1)n11nein; 2)nncosin
(3) 在收敛圆内可以逐项积分, 即 1)n11nein; 2)nncosin
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例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收 敛?
1
2n
n 1
11
[解] 1) 因
1)n11nein; 2)nncosin
发散
sn
1
z

z2


zn

1 zn 1 z
,(z
1)
当 | z | 1时 ,由于 lim z n 0 , 从而有 n
2 ) n n c o s i n
如果任意 0,给 相定 应地都能数 找到
N ()使 , n 在 n N 时,成立
则a称为复数列{an}当n时的极限,
记作 lni mn
此时也称复数列{n}收敛于.
4
2.复数项级数
1) 定义 {an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,
n1
复数项级数 复数列 收敛半径的计算 函数项级数
收敛条件
充必绝条 要要对件 条条收收 件件敛敛
收敛半径R
运算与性质
幂级数
泰勒级数
洛朗级数
f(z)在z0解析
复变函数
3
1.复数列
设{an}(n=1,2,...)为一复数列,
1)n11 nein;
2)nncosin1 ) n 1 1 n e i n ;
22
例2 求下列幂级数的收敛半径
No Image
23
No Image
24
No Image
25
No Image
26
5)幂级数的运算与性质
Fra Baidu bibliotek
zaR

f(z)
cn(zz0)n
n 0
f (z)
1)n11 nein; 2)nncosin

cn z n
n 0
f (z) ,
lim
n
sn

1 1
z
,
即 | z | 1时级数

z n收敛 , 和函数为
n 1
1 1
z
,
当 | z | 1时 ,由于 n 时 z n不趋于零 , 级数发散 .
收敛范围为 | z | 1, 在此范围内绝对收敛 , 并有
1 1 z z2 zn 1 z
数
n1
zn n3

n1
1 n3
是收敛的,
因为这是一个
p
级数, p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处
处收敛的.
收敛;
2) lim cn1 lim n 1, 即 R=1.
c n n
n n 1
在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
(1)n 1, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成
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例1 求幂级数
3)
因为 cn
cos in chn
1 (e n 2
lim
n
cn 1 cn

lim
n
e n 1 en
e n 1 en
e
故收敛半径 R 1 e
en ),
所以
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
No Image

f(z)g(z)anznbnzn(anbn)zn,
n0 n0 n0
.

n
n1
.
(anb0an1b1a0bn)zn,
n0
收敛圆 收敛半径
1)n11nein; 2)nncosin
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
1)n11nein; 2)nncosin 1)n11nein; 2)nncosin 1)n11nein; 2)nncosin
一、重点与难点
重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点：函数展开成洛朗级数
2
为复常数
n
an 为函f数 n(z)