上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题

上海市七宝中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 3．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.4．在62x ⎛⎝展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）5．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127，则该样本标准差s = （克）（用数字作答）．6．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种.7．若在1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，若奇数项的二项式系数之和为32，则含4x 的系数是_____________.8．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．9．在()9a b c ++的展开式中，432a b c 项的系数为_____________.（用数字作答）10．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.11．设集合{}1,2,3,4,5I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有________种.12．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、单选题13．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．2π＋B．4π＋C D14．从2018名学生志愿者中选择50名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为140D．都相等，且为25100915．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．6B ．8C ．12D ．1816．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．227B ．258C ．15750D ．355113三、解答题17．毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1）A 、B 两人不排在一起，有几种排法？ （2）A 、B 两人必须排在一起，有几种排法？ （3）A 不在排头，B 不在排尾，有几种排法？ 18．已知二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项. 19．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？20．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.21．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.参考答案1．64 【解析】 【分析】每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有3464=种不同的投递方式. 故答案为：64. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 2．1 【分析】先根据侧面展开是面积为2π的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解. 【详解】 如图所示：设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是半径为l ，面积为2π的半圆面， 所以2122l ππ=，解得2l =，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长， 所以2r l ππ=，故圆锥的底面半径12lr ==. 【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式. 3．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4．60 【分析】求出62x ⎛+ ⎝展开式的通项，利用x 的指数为零求出参数的值，再将参数代入通项即可得出展开式中常数项的值. 【详解】62x ⎛⎝展开式的通项为()136666622666222kkk k k k k k k k C x C x x C x------⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅. 令3602k-=，解得4k =.因此，62x ⎛ ⎝展开式中的常数项为426215460C ⋅=⨯=.故答案为：60. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，一般利用展开式通项来求解，考查计算能力，属于基础题. 5．2 【解析】因为样本平均数1(125124*********)1245x =++++=，则样本方差2222221(1313)4,5s O =++++=所以2s =．6．19 【分析】6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量. 【详解】根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有3620C =种选取方法 ，其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有331C =种， 所以至少选择一门理科学科的选法有20－1＝19种； 故答案为19， 【点睛】本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法. 7．6- 【分析】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为1232n -=，求出6n =，然后求出展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含4x 项的系数. 【详解】由题意可知，奇数项的二项式系数之和为1232n -=，解得6n =，1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6626611kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令624k -=，得1k =，因此，展开式中含4x 的系数为()11616C ⋅-=-.故答案为6-. 【点睛】本题考查二项展开式中奇数项系数和的问题，同时也考查了二项展开式中指定项系数的求解，一般利用展开式通项来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 8．1(,)3+∞ 【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点(22)A ，，而目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，所以1133AB k a a ->=-∴> 考点：线性规划、最值问题. 9．1260 【分析】由()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦，然后利用二项式定理得出含4a 项为()5549C a b c +，然后利用二项式展开式通项求出()5b c +中32b c 项的系数，与59C 相乘即可得出结果.【详解】()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦，展开式中含4a 的项为()5549C a b c +，()5b c +中含32b c 项为2325C b c ，因此，()9a b c ++的展开式中432a b c 项的系数为52951260C C =.故答案为：1260. 【点睛】本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题. 10．128 【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y xx ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128. 故答案为128. 【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 11．49 【解析】试题分析：若集合,A B 中分别有一个元素，则选法种数有2510=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3510=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有455=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有551=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3510=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有455=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有551=C 种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有455=C 种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有551=C 种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有551=C 种；总计有49种．故答案应填：49．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合,A B 中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有2510=C 种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；从5个元素中选出3个元素，有3510=C 种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有210=20⨯种方法；从5个元素中选出4个元素，有455=C 种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有35=15⨯种方法；从5个元素中选出5个元素，有551=C 种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有41=4⨯种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．根据题意，B 中最小的数大于A 中最大的数，则集合,A B 中没有相同的元素，且都不是空集，按,A B 中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题． 12．【详解】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，所以BE =CE . 取BC 中点F ， 连接EF ，则EF ⊥BC ，EF =2，，四面体ABCD 的体积，显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为b =，所以.[评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD (同时AC=CD )，从而致命一击，逃出生天！ 13．C 【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长2径是2，高是2，所以组合体的体积是21122122323ππ⨯⨯⨯⨯⨯=+，故选C. 考点：几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题. 14．D 【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率. 【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的， 因此，每个人入选的概率为502520181009=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.15．C【解析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图16．B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为258，故选B.考点：《算数书》中的近似计算，容易题.17．（1）480；（2）240；（3）504.【分析】（1）利用插空法可求出排法种数；（2）利用捆绑法可求出排法种数；（3）分两种情况讨论：①若A在排尾；②若A不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案.【详解】（1）将A、B插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为42452420480A A=⨯=；（2）将A、B两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排，因此，排法种数为25252120240A A=⨯=；（3）分以下两种情况讨论：①若A在排尾，则剩下的5人全排列，故有55120A=种排法；②若A不在排尾，则A有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有114444384C C A=种排法.综上所述，共有120384504+=种不同的排法种数. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．（1）8；（2）358；（3）437x . 【分析】（1）根据等差中项的性质列方程可得出n 的值；（2）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；（3）由11881188********r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，求出r 的取值范围，即可得出系数最大项对应的项的序数. 【详解】（1）二项式n展开式的通项为2312r rn rn rrr n n C C x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式系数的绝对值成等差数列，则10211224n n n C C C ⋅=+⋅，即()118n n n -=+，整理得2980n n -+=，2n ≥，解得8n =；（2）第1r +项的二项式系数为8rC ，因此，第5项的二项式系数最大，此时，4r =；（3）由11881188********r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得()()()()()()28!8!!81!7!8!28!!81!9!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪-+-⎪⎨⨯⎪≥⎪---⎩！！， 整理得22892r rr r+≥-⎧⎨-≥⎩，解得23r ≤≤，所以当2r或3时，项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为2442338172C x x ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的定义和基本性质，同时也考查了项的系数最大项的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）(1，0)，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2）214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆 【解析】 (1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y－1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221{1y x x y －），＋＝，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. (2)C 1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为212{12x sin y sin cos ααα＝，＝－(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆 20．（1）115；（2）195；（3）19. 【分析】（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（3）由题意得出箱子里红球和白球都是2个，并求出操作三次的情况总数，以及恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的情况数，然后利用古典概型的概率公式可得出答案. 【详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法.因此，共有12490115++=种不同的取法；（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有134680C C =种不同的取法.因此，共有1249080195+++=种不同的取法；（3）由题意知，箱子中4个球中红球有2个，白球也为2个，从这4个球中取出2个球，取出2个红球只有一种情况，取出2个白球也只有一种情况，取出1红1白有11224C C =种情况，总共有6种情况.若取出的4个球放入一箱子里，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中去”为一次操作，如果操作三次，共有36216=种不同情况.恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有1132424C C ⨯=种情况， 因此，恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率为2412169=. 【点睛】本题考查分类计数原理以及概率的计算，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.21．（1）证明见解析；（2）arcsin 3；（3【分析】（1）由题设得知AM CM ⊥，再证明CD ⊥平面PAD ，可得出AM CD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出AM ⊥平面PCD ；（2）先利用等体积法计算出点D 到平面ACM 的距离h ，然后利用hCD作为直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值，即可得出直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）先根据条件分析出所求距离为点P 到平面ACM 距离的59，可得出点P 到平面ACM 的距离为h ，再利用第二问的结论即可得出答案. 【详解】（1）以AC 为直径的球面交PD 于点M ，则AM CM ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥，四边形ABCD 为矩形，CD AD ∴⊥.PA AD A =,CD 平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，CD AM ∴⊥.CMCD C =，AM ∴⊥平面PCD ；（2）由（1）知，AM ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，AM PD ∴⊥，又PA AD =，则M 为PD 的中点，且12AM PD ==CM =.ACM ∴∆的面积为1122ACM S AM CM ∆=⋅=⨯=ACD ∆的面积为1142422ACD S AD CD ∆=⋅=⨯⨯=，M 为PD 的中点，所以，1118443263M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯=，设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=，得1833ACM S h ∆⋅=，8ACMh S ∆∴===设直线CD 与平面ACM 所成角的大小为θ，则1sin 2h CD θ===.因此，直线CD 与平面ACM 所成角的大小为arcsin （3）PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，22AC AB BC =+=6PC ∴=，AN CN ⊥，且90PAC ∠=，则cos PN PAAPC PA PC∠==， 得283PA PN PC ==，59CN PC ∴=， 故点N 到平面ACM 的距离是点P 到平面ACM 的距离的59. 又M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为59h =. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明、直线与平面所成角的计算以及点到平面距离的计算，考查了等体积法的应用，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.。