2020届河北衡水中学第二次模拟考试文科数学试卷答案
2020届河北省衡水市第二次调研考试数学(文)试卷
2020届河北省衡水市第二次调研考试数学试题（文） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.1.设集合{}(){}2230,ln 2,A x x x B x y x A B =--≤==-⋂=则（ ） A ．[－3，2)B ．(2，3]C ．[－l ，2)D ．(－l ，2)2．若复数()()i m m m z 11-+-=是纯虚数，其中m 是实数，则z1=（ ） A ．i B ．i - C ．i 2 D ．i 2-3．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=1,110,log 22x xx x x f ，则()()=2f f （ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 4．以下四个命题中是真命题的是 ( )A. 对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C.若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差为1，则12x ，22x ，32x ，…，2n x 的方差为2D. 在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好5.已知两个非零单位向量→→21,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ） A ．不存在θ，使221=⋅→→e e B ．2221→→=e eC ．R ∈∀θ，)()(2121→→→→-⊥+e e e e D ．→→21e e 在方向上的投影为θsin6.对于实数m ，“21<<m ”是“方程12122=-+-m y m x 表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值为( )A ．64B ．68C ．72D ．1339．若将函数()23cos 3cos sin 2-+=x x x x f 的图象向右平移()0>ϕϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( ) A ．12π B ．4π C ．83π D ．125π10．已知以圆()41:22=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B点是抛物线：:2C y x 82=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则AB BM -的最大值为( )A. 1B. 2C. 1-D. 811．如图，正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上存在一动点P ，过点P 作垂直于平面D D BB 11的直线，与正方体表面相交于N M ,两点.设x BP =，BMN ∆的面积为S ，则当点P 由点B 运动到1BD 的中点时，函数()x f S =的图象大致是（ ）A. B ． C ．D ．12．若a b b a e e --+≥+ππ，则有（ ）A ． 0≤+b aB ．0≥-b aC ．0≤-b aD ．0≥+b a第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置. 13.设,αβ为两个不同平面，直线m α⊂，则“//αβ”是“//m β”的____ 条件.14．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥--41,014y x y y x ，则x y z ln ln -=的最小值是____.15．若侧面积为π4的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.16.已知数列{}n a 的前n 项和122+-=n n n a S ，若不等式()n a n n λ-<--5322对*∈∀N n 恒成立，则整数λ的最大值为_______.三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17. （12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且⎪⎭⎫⎝⎛-A c 2sin π是B a cos 与A b cos 的等差中项.（1）求角A ； （2）若c b a +=2，且ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积. 18. （12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)， ，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率． 19.（12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为32的菱形， 60=∠BAD ，点E 是棱BC 的中点，O AC DE =⋂，点P 在平面ABCD 的射影为O ，F 为棱PA 上一点．(1)求证：平面PED ⊥平面BCF ；(2)若BF//平面PDE ，PO=2，求四棱锥F-ABED 的体积．20. （12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为21，5=AB .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1:-=my x l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.21. （12分）已知函数()()ln 1f x x a x =-+， a R ∈在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()212122x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为14sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线⎪⎭⎫⎝⎛<<=παπαθ2:OM 与曲线1C 交于点M ，射线4:παθ-=ON 与曲线2C 交于点N ，求2211ONOM+的取值范围．23.[选修4-5:不等式选讲]（10分） 已知函数()m x x x f +++=322, R m ∈． (1)当2-=m 时，求不等式()3≤x f 的解集； （2）若()0,∞-∈∀x ，都有()xx x f 2+≥恒成立，求m 的取值范围．文数参考答案1.C2.A3.B4.D5.D6.C7.B8.B9.D 10.A 11.D 12.D13.充分不必要 14.【答案】－ln3 15.【答案】 16.【答案】417.（1）因为是与的等差中项.所以.由正弦定理得，从而可得，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此.(6分)（2）设的外接圆半径为，则，，由余弦定理得，即，所以.所以的面积为.(12分)18.【详解】(1)被采访人恰好在第2组或第6组的概率.(3分)(2)众数：170；(5分)设中位数为x，则中位数0.50.48168168.250.08x-=+=.(8分)(3)共人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f,则任选2人，可能为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中两个全是男生的有，，，共3种情况，设事件A：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率.(12分)19.证明：平面ABCD，平面ABCD，，依题意是等边三角形，E为棱BC的中点，，又，PO，平面PED，平面PED，平面BCF，平面平面BCF．(5分)2取AD的中点G，连接BG，FG，底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，，平面PDE，平面PDE，平面PDE，平面PDE，，平面平面PDE，又平面平面，平面平面，，为PA的中点.(8分)，点F到平面ABED的距离为，四棱锥的体积：．(12分)20.（1）由已知得：，，结合已知有，可得，，则椭圆的方程为.（4分）（2）设，，由得.故，，.由题意得为锐角，∴，（8分）又=∴，解得.∴的取值范围为.(12分)21.解析：（1）由已知可得()f x 的定义域为()0,.+∞()1,f x a x ='- ()110,f a ∴=-=' 1.a ∴= ()111,xf x x x-∴=-=' ()001,f x x >'<<令得 ()01,f x x <'>令得()011+.f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）(4分)（2）不等式()()212122x f x x k x -++>-可化为()21ln 122x x x k x -+->-， ()()21ln 1,(1),22x g x x x k x x =-+--->令()()21111,x k x g x x k x x-+-+=-+-='令1,x > ()()211,h x x k x =-+-+令 ()1,2kh x x -=的对称轴为 111,2kk -≤≥-当时，即 ()01),h x x 易知在（，上单调递减 ()()11,h x h k ∴<=-()1,0,k h x ≥≤若则()0,g x ∴'≤ ()01),g x x ∴在（，上单调递减 ()()10g x g ∴<=，不适合题意.若 (),01,11><≤-h k 则()001)0,x x x g x ∴∈>'必存在使得（，时()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.(9分)111,2kk -><-当时，即 ()001),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()()110,h x h k ∴>=-> ()0,g x ∴'> ()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.综上， k 的取值范围是(),1.-∞(12分)22.解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为(2分)又，曲线的极坐标方程为，即(3分)曲线的极坐标方程可化为， 故曲线的直角坐标方程为(5分)（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中则，于是由，得故的取值范围是(10分)23.解析：（1）当时，当解得当恒成立.当解得，此不等式的解集为. (5分)，当时，当时，，当单调递减，∴f(x)的最小值为3+m.(8分)设当，当且仅当时，取等号即时，g(x)取得最大值.要使恒成立，只需，即. (10分)。
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学(含答案解析)
2020届衡水中学高三高考模拟试卷-文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合P={}0,1，M={}|x x P ⊆，则集合M 的子集个数为（ ）A.32B.16C.31D.642. 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=A.34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π4. 已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）5.已知等比数列{}n a 的公比为q ，则’’01q <<”是.{}n a 为递减数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()21f x -定义域为[]0,3则 ()21f x -的定义域为（ ）A.（0，92） B.902⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.(9,2-∞) D.(9,2⎤-∞⎥⎦7.在平行四边形ABCD 中，AB=8，AD=5，3CP PD =，2APBP =, AB AD ⋅=( )A,22 B.23 C.24 D.258. sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ）A.333 B.233 C.332 D.2329. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.34B.55C.78D.89x=1 y=1z=x+y50?z ≤x=y开始输出z是否10. 如图，一几何体正视图，俯视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是( )11. 设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．312. ()f x 与()1f x +事定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时()f x =sin x x -，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭-2f π⎛⎫⎪⎝⎭为( ) A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=___________________14. x,y 自变量满足x ≥0y ≥24y x +≤x y S +≤当35S ≤≤时，则32x y Z =+的最大值的变化范围为___________________15. 函数ay x =为偶函数且为减函数在()0,+∞上，则a 的范围为___________________16. 已知函数()f x =()lg ,0x x -<264,0x x x -+≥，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是___________________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17. cos cos 1αβ=-，求()sin αβ+正侧俯18. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.()()2211221221212120.1000.0500.010,2.7063.841 6.635p x k n n n n n x n n n n k ++++-=≥19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ， 求证PQ 面BCE20. 已知椭圆中()222210x y a b a b +=>>长轴为4离心率为12，点P 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l 交y 轴于点A ，直线l'过点P 且垂直于l 交y 轴于B ，试判断以AB 为直径的圆能否经过定点，若能求出定点坐标，若不能说出理由21. 设函数()()()21xf x x e kxk R =--∈当1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22. 选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 选修4－5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜2x －a ｜＋a.（Ⅰ）若不等式f （x ）≤6的解集为{x ｜－2≤x≤3}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使f （n ）≤m－f （－n ）成立，求实数m 的取值范围参考答案1. B考点：集合的子集问题 设有限集合A ，card ()A =n ()*n N ∈子集个数2n ，真子集21n -，非空真子集22n - 解析：M={}|x x P ⊆ P={}0,1则x 有如下情况：{}{}{},0,1,0,1φ 则有子集为42216n== 注意点：该类型常错在空集φ 2. A【解析】3. B 【解析】4. A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图 5.D考点:充分条件与必要条件的判定解析：若111,2a q =-=，则数列前n 项依次为-1，-11,24-，显然不是递减数列 若等比数列为-1，-2，-4，-8显然为递减数列，但其公比q=2，不满足01q综上01q 是{}n a 为递减数列的既不充分也不必要条件注意点：对于等比数列，递减数列的概念理解，做题突破点;概念，反例 6.B考点：关于定义域的考察解析：[][][]220,30,911,8x x x ∈∈-∈-所以[][]9211,8210,90,2x x x ⎡⎤-∈--∈∈⎢⎥⎣⎦所以定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦注意；一般题目中的定义域一般都是指x 的范围类似的题目：已知()f x 定义域为[]()()0,4,11f x f x ++-的定义域是？ 考点；对定义域的问题考察的综合应用解析:[][][]0,411,511,3x x x ∈+∈-∈-所以综合在一起的定义域是[]1,3 注意;定义域在一定题目中指的是x 范围，但每个题目中的x 的取值是一样的 所以在这些关系中取这三个范围中都包括的范围 7.A考点；利用不同方法求解 解析：法一：坐标法 设A坐标原点B()8,0 设DAB θ∠=所以()5cos ,5sin D θθ所以()5cos 2,5sin P θθ=+AB AD ⋅=()8,0()5cos ,5sin θθ=40cos θAP BP ⋅=()5cos 2,5sin θθ+()5cos 6,5sin 2θθ-=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以AB AD ⋅=22法二；AP BP ⋅=13244AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以AP BP ⋅=1344AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=223134416AD AD AB AB AD AB -⋅+⋅-=25-13*642216AD AB ⋅-= 所以AB AD ⋅=22 注意；巧妙运用题目关系并且记住题目中条件不是白给的，一定要用 8.B考点：函数最值方面的考察解析：方法一；sin cos y x a x =+=当53x π=时，122y a =-+=平方得：22311424a a a -+=+ 求得3a =- 3= 方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以12= 所以a = =注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为09. B【解析】10.B解析：由三视图可得1hr所以22r h +=1 ()()223111113333V sh r h h h h h πππ===-=- 将V 看成函数 ()21'133V h π=- 所以当213h =时取得最值 22213h r h -== 所以63r =注意：可以将几何和函数相结合11. A 【解析】12.A 解析：32f ⎛⎫-⎪⎝⎭=31222f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2f π⎛⎫⎪⎝⎭=222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则3122222f f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin f x x x =- ()'1cos 0f x x =->恒成立∴()f x是单调递增1222π>-∴12022f fπ⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴原式>0恒成立注意点：若关于轴x a=对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于点(),0a对称，T=2a ()()2f x f a x=-若关于(),a a对称，T=4a ()()22f x a f a x=--考点：在利用余弦转化时符号的正确利用解析：c=2 b=3 ()cos1a c B AB BCπ⋅⋅-=⋅=22225cos24a cb aBac a+--==()cos2cos1ac B B aπ-=-⋅=1cos2a B=-∴25142aaa-⋅=-∴252a-=∴23a=a=注意；()cos cosB Bπ-=-注意正负号AB BC⋅夹角是cos B-BA BC⋅夹角是cos B AB CB⋅夹角是cos B14. []7,8考点：线形规划中范围的判断解析：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B()0,4处取得∴代入248Z=⨯=∴综上范围是[]7,815. a 0<且a 为偶数考点:偶函数的定义，幂函数定义的考察 解析：为减函数 ∴a 0< 为偶函数 ∴a 为偶数类似的，若ay x =为奇函数，减函数在(),a +∞上，求范围解析：为减函数 ∴0a <为奇函数 ∴a 为奇数注意；幂函数ay x =的定义性质必须弄懂 16. 172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 解析：()226435x x x -+=--∴()()210f x bf x -+=在[]0,4上有2个根令()t f x = 210t bt -+=在[]0,4上有2个根>()0,42b∈()00f >()40f≥所以解得b ∈172,4⎛⎤⎥⎦⎝ 思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根 最后利用根分布求范围 17. 考点:对特殊函数值的理解 解析：cos 1α≤ cos 1β≤∴cos ,cos αβ中肯定一个为1，一个为-1若cos 1α=，则cos 1β=- 则2,2k k απβππ==+∴()41k αβπ+=+ ∴()sin 0αβ+= 反之也成立注意：cos α，cos β，sin ,sin αβ取值范围可利用取特值法进行分析 18. 【答案】 （1） 有95%的把握认为有关（2） 107【解析】（1）22100(60102010)1004.762 3.8418020703073x -==≈>所以，有95％的把握认为“南方和北方的学生在甜品饮食方面有差异”（2）10776116111035==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有欢甜品的情况有种；其中，没有学生喜人，共有人中选从19. 解析：证明： 证法一：如图作PMAB 交BE 于M ，作QN AB 交BC 于N 连接MN正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ∴AE=BD 又AP=DQ ∴PE=QB又PM AB QN ,PM PE QB QN BQAB AE BD DC BD∴===PM QNAB DC∴=PM ∴QN 且PM=QN 即四边形PMNQ 为平行四边形 PQ MN ∴又MC ⊂面BCE PQ ⊄面BCE∴PQ 面BCE证法二：如图连接AQ 并延长交BC 的延长线于K ，连接EKAE BD = AP DQ = PE BQ ∴= AP DQPE BQ∴= 又AD BK DQ AQ BQ QK ∴= AP AQPE QK∴= PQ EK ∴ 又PQ ⊄面BCE EK ⊂面BCEPQ ∴面BCE证法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PMBE ，交AB 于M ，连接QMPM 面BCE ，且AP AMPE MB=又AE BD = AP DQ = PE BQ ∴=AP DQ PE BQ ∴= AM DQMB QB∴= MQ AD ∴ 又AD BC MQ BC ∴ MQ ∴面BCE又PM MQ M ⋂= ∴面PMQ 面BCE 又PQ ⊂面PMQ PQ ∴面BCE注意：把线面平行转化为线线平行时必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行20.解析：22143x y += 设P 为()00,x y ，P 为切点且P 在椭圆上 设l 为00143x x y y += l ’与l 是垂直的∴'l 为0034x x x ym -=直线l 过P ()00,x y 点代入 000034x y x y m ∴-= 0012x ym ∴= ∴'l 为00034y x x ym --= 在l 中令0x =得030,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在'l 中令0x =得00,3yB ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP BP ⊥ 0PA PB ∴⋅= 200303y x y y y ⎛⎫⎛⎫∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22003103y x y y y ⎛⎫∴++--= ⎪⎝⎭过定点与P ()00,x y 无关 0y ∴= 21x ∴= 1x =±∴定点为()1,0或()1,0-思路点拨;本题技巧已知两线垂直的那以x 与y 前的系数好互例 体现在l ’与l 是垂直的∴0034x x x ym -=21.解析：解析：()()21x f x x e kx =--()()'20x f x x e k =-=可得120,ln 2x x k ==]1,12k ⎛∈ ⎝则](21,2k ∈ ](ln 20,ln 2k ∴∈ 令21x x >ln2k()()0ln 2k ln 2k,k ∴↓↑在，图像为ln2kk由图像可知最大值在0处或k 处取得()()()k 3f k f 0k 1e k 1∴-=--+()()()()()k 2k 2k 1e k 1k k 1k 1e k k 1=---++=----令()k 2h k e k k 1=--- ()k h'k e 2k 1=-- ()k h''k e 20=-= k=ln2∴ln2121在]112,⎛⎝上先减后增()h'1e 30=-< 1h 'e 202⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()max h'k 0∴< 即()h k 单调递减()max 1137h k h e e 2424⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭又()()49e 0f k f 0016-<∴-> ()()()()k 3k 3max f x f k k 1e k k 1e k ∴==--=--思路点拨：本题的精华点在于导函数与原函数的穿插运用，注意图像中导函数与原函数的图像可知 解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, AB AC AD AF ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23. （Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( ) A ．{}|011x x ≤+≤ B ．{}|11x x -<≤ C ．{}0,1 D ．{}1【答案】C【解析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值. 【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-， 集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I . 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( ) A ．2,1 B ．-2，-1 C ．3,1 D ．-3，-1【答案】C【解析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值. 【详解】将1x =代入切线52y x =-， 得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ， 所以23ln y x b x =-， 求导得6by x x'=-， 代入1x =得6k b =-， 所以65b -=，得1b =. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.3．已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】根据命题p 、q 的等价条件确定k 的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】p :设()42x x f x =-，因为211()42224x x x f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42xxf x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥;q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥; 所以，命题p 是命题q 的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、必要条件.4．设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】由35lg64lg64log 4log 8lg27lg25==，比较 b ，c 的大小，利用中间量32比较a , c ，从而得解. 【详解】∵327lg64log 4log 64lg27==，525lg64log 8log 64lg25==，∴35log 4log 8<. ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=.又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.5．若函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减，则k 的最小值是（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．2-【答案】A【解析】对函数求导，则函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减等价于()0f x '„在()1, +∞上恒成立，分离参数k ，即可求出k 的最小值。
2020年河北省衡水二中高考二模数学试题(附答案解析)
采用逐一验证法，根据图表，可得结果.
A正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102
C正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大
D错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
4．C
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，写出函数的单调区间即得极值点.
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，
所以函数f（x）的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
所以函数有两个极大值点 ，两个极小值点 .
故选：C
本题主要考查函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21．为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在 上．将这些成绩分成六段 ， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图．
（Ⅰ）求抽出的60名学生中分数在 内的人数；
（Ⅱ）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．
22．已知函数 （ 且 ）.
（1）当 时，曲线 与 相切，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
23．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ） ，且 ，求 的长．
【答案与解析】
1．A
根据图象可知，函数 为奇函数，以及函数在 上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若射线 分别与圆 和直线 交于点 ， （点 异于坐标原点 ），求线段 的长.
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期二调考试数学(文)试题 Word版含解析
2019—2020学年度上学期高三年级二调考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小.【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角AB C 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )A.31- B. 232C. 232D.62【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=, ∴7a 4s?6212in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 13【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】Q 奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A. 43 B. 23 C. 23【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2cos cos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ， ∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B 3≤3故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1xxf x x e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增， 所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后，得到sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图像， 又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-，则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，Q 切线过原点()2122101m ln m m mm ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101m ln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解． 【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<<⎪⎝⎭，∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-．故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 3 【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称 ()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭即：31sincos 332a b b bππ+=+= 3b a ∴= 3【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 3【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()32a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅ ()()13322224a a a a =-⨯=- ()22334a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立． 即ACD ∆33【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值.【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13- 【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭1322sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC V 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，17CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =222217217x x =⨯⨯⨯⨯.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC V 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cos 2217CDA x ∠=⨯⨯2cos 217CDB x ∠=⨯⨯．因为CDA CDB π∠=-∠，222217217x x =⨯⨯⨯⨯2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞.【解析】 【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-Q ，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k …．∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>. 【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1， 故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0， ∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围.【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=. 令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e xϕ-'=+>，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x -=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x=>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x-=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e =-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x -'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增，在区间()0,∞+内单调递减，则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。
河北省衡水中学2020届高三押题II卷文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 学%科%网...12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.学%科%网...请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，学,科,网...共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，学,科,网...则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y= =1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y= =，时不满足条件y2≥x，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A学,科,网...【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，学,科,网...则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.学,科,网...在中，由余弦定理，得.解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.学,科,网...又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..【答案】（1）.（2）见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值. 试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①学,科,网...又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.学,科,网...设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，学,科,网...而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.21 / 21 （2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而， 从而. 当且仅当时，等号成立， 即，时，有最小值， 所以得证.。
【精编】2020年衡水中学高三下学期二模数学(文)试题(解析版)
2020年衡水中学高三下学期二模数学（文）试题一、单选题1．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128PP P 的中心，18PP x ⊥轴，现用如下方法等可能地确定点M ：点M 满足2i j OM OP OP ++=0（其中1,8i j ≤≤且*,i j N ∈，i j ≠），则点M （异于点O ）落在坐标轴上的概率为（ ）A ．35B ．37C ．38D ．272．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩的中位数为130；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( ) A ．A B = B ．A B =∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =4．设i =（ ） A ．1i -+ B ．22i -+C ．1i -D ．22i - 5．某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ） A ．18万元 B ．12万元 C ．10万元 D ．8万元6．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．87．m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．//m α，n αβ=，则//m nC ．m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥D ．αβ⊥，m α⊥，则//m β8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是2243π，则它的表面积是（ ）A ．68πB ．69πC ．70πD ．80π9．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则3445b b b b ++的值为（）A ．12B ．4C ．2 D10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y （单位：m ）和时刻t （0≤t ≤24）的关系可用函数y ＝Asin （ωt +φ）+h 来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m ）为（ ）A ．4B ．5C ．5D ．311．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．212．已知x ＝﹣1是函数f （x ）13=x 312-（a 2+a ﹣3）x 2+（2a +2）x 的极大值点，则实数a ＝（ ） A ．0B ．0或﹣3C ．0或3D ．﹣3二、填空题13．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________14．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30，同时从点O 南偏东60︒的B 点，测得气球P 的仰角为45︒.若A ，B 两点的距离为，则气球P 离地面的距离为________m.15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式为______．16．已知双曲线22:221(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥ ，122MF b MF =+，则22b a=_______.三、解答题17．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AAC C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .(l)求证：1A C ⊥平面1ABC ；(Ⅱ)求证：1//AA EF ；(Ⅲ)记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BF BC的值．19．（本小题满分14分）已知函数，对任意的，满足，其中为常数． （1）若的图像在处切线过点，求的值； （2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．20．函数()log (01)a f x b x a a =+>≠且的图象经过点(8,2)和(1,1)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数2()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小值． 21．椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点.（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.22．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：表1：男、女生上网时间与频数分布表（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？ 附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中23．已知函数()()231f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧． （1）求实数m 的取值范围；（2）令2t m =-+，求1t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值（其中[]t 表示不超过t 的最大整数，例如：[]11=，[]2.52=)； （3）对（2）中的t 求函数()[][]1111t tg t t t t t +=⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．。
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科) (含解析)
2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|log 2(x −1)<1}，集合N ={x|x 2+x −6<0}，则M ∪N =( )A. {x|−3<x <3}B. {x|1<x <2}C. {x|x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知x1+i =1−yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x +yi 的共轭复数为 ( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=( )A. 35B. 34C. 45D. 434. 某算法的程序框图如图所示，若a =4−5，b =log 45，c =log 154，则输出的是( )A. 4−5B. log 45C. log 154 D. 不确定5. 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 356. 设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2，则 ( )A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是)①平均数x≤3；②标准差S≤2；③平均数x≤3且标准差S≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A. ①②B. ③④C. ③④⑤D. ④⑤8.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA=4√3，PO=6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为()．A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√39.如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P从点A出发，沿A→B→C→A的方向前进，最后回到点A.在此过程中，点P走过的路程为x，点P到点A，B，C的距离之和为f(x)，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B.C. D.10.抛物线y2=4x的准线与x轴交于A点，焦点是F，P是抛物线上的任意一点，令m=|PF||PA|，当m 取得最小值时，PA的斜率是()A. ±1B. 1C. −1D. ±211.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为A. 4√153cm2 B. 163cm2 C. 10√23cm2 D. 8√33cm212.函数在[1e,e]上的值域是()A. [1,2+1e2] B. [1,e2−2] C. [1,2−1e2] D. [1,e2+2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满足约束条件{x−y+1≤03x−y+1≥0x≤a，若z=x+y的最大值为5a，则a=________．14.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：∘C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是_______小时．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x−y+1=0相切，则圆C的半径为______ ．16.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若cosBsinC AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosCsinBAC⃗⃗⃗⃗⃗ =2m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m=.(用θ表示)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E、F分别为AB，CD的中点．求证：AF//平面PEC．19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。
河北省衡水二中2020届高考数学二模试卷2（含答案解析）
河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2（含答案解析）河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2<4}，B={0,1，2，4}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}|=√2(i为虚数单位)，则a=()2.若实数a满⾜|1+iaiA. 1B. ±1C. ?2D. ±23.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若⼲个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n)．由f(1)=1，f(2)=7，f(3)=19，…，可推出f(10)=()A. 271B. 272C. 273D. 2744.对于平⾯α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是()A. 如果m?α，n//α，m、n共⾯，那么m//nB. 如果m?α，n与α相交，那么m、n是异⾯直线C. 如果m?α，n?α，m、n是异⾯直线，那么n//αD. 如果m⊥α，n⊥m，那么n//α5.下图可能是下列哪个函数的图像()A. y=x2(x?2)x?1B. y=x(x?2)ln|x?1|C. y=x2ln|x?1|D. y=tanx?ln(x+1)6.设a?，b? ，c?为单位向量，且a??b? =0，则c??(a?+b? )的最⼤值为()A. 2B. √2C. 1D. 07.5名同学中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2⼈，则这2⼈都会说外语的概率为()A. 110B. 310C. 710D. 9108.⽤a1、a2、…，a10表⽰某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85，68，95，75，88，92，90，80，78，87.执⾏如图所⽰的程序框图，若分别输⼊a的10个值，则输出的ni?1的值为()A. 35B. 13C. 710D. 799.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收⼊占⽐和净利润占⽐统计表：空调类冰箱类⼩家电类其他类营业收⼊占⽐90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占⽐95.80%?0.48% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是()A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度⼩家电类电器营业收⼊和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占⽐将会降低10.设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=3，则直线l的⽅程为()A. y=2√2x+1B. y=√3x+1C. y=√2x+1D. y=2√3x+211.如图，在三棱锥O?ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=90°，OC⊥平⾯AOB，D为AB中点，则OD与平⾯OBC所成的⾓为()A. π4B. π3C. π2D. 3π412. 若函数f(x)=e x (e x ?4ax)存在两个极值点，则实数a 的取值范围为( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13. 双曲线y 29?x 2b 2=1的离⼼率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是______ ． 14. 已知等⽐数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 2+a 3=7，S 6=63，b n =log 2a n+1，则数列{1b n b n+1}的前2019项的和为______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满⾜：f (x )={x 2+2,x ∈[0,1),2?x 2,x ∈[?1,0),且f (x +2)=f (x ),g (x )=2x+5x+2，则⽅程f (x )=g (x )在区间[?5,1]上的所有实根之和为________．16. 已知在三棱锥S ?ABC 中，SA ⊥平⾯SBC ，∠BSC =90°，SC =1，⼆⾯A ?BC ?S 为45°，⼆⾯⾓B ?AC ?S 为60°，则三棱锥S ?ABC 外接球的表⾯积为______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =π3，AB ：BC =2：3，AC =√7．(1)求sin∠ACB 的值； (2)若∠BCD =3π4，CD =1，求△ACD 的⾯积．18. 如图，在四棱锥S ?ABCD 中，SA ⊥底⾯ABCD ，ABCD 是边长为1的正⽅形，且SA =1，点M是SD 的中点．(1)求证：SC⊥AM；(2)求平⾯SAB与平⾯SCD所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩．19.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的⽅程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20.已知函数f(x)=12x2+bx+alnx的极⼤值点是1．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x0)=f(1)(x0≠1)，证明：a21. 某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)若90≤x +y <100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收⼊?成本)附：线性回归⽅程y ?=b ?x +a ?中系数计算公式：b ?=i ?x?)(?y i ?y?)ni=1∑(?x ?x?)2n ，a ?=y ?b ??x ，其中x 、y 表⽰样本均值．∑(x i ?x )2n i=1=0.7,∑(x i ?x )n i=1(y i ?y )=?14.22. 在直⾓坐标系xOy 中，直线l 1的参数⽅程为{x =?4t +2y =kt?(t 为参数)，直线l 2的参数⽅程为{x =m ?2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，求曲线C 的极坐标⽅程；(II)设曲线C 上的点A 的极⾓为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)?2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23.已知函数f(x)=|x+1|?|4?2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x?1)的解集；(2)若函数f(x)的最⼤值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：考查描交集的运算．可求出集合A，然后进⾏交集的运算即可．解：A={x|?2∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：∵1+iai =?i(1+i)ai2=1?ia=1a1ai，∴|1+iai |=|1a1ai|=√(1a)2+(?1a)2=√2，解得a=±1．故选：B．3.答案：A解析：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之⼀，出等差数列和等⽐数列外，⼤部分的数列求和都需要⼀定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)?f(n?1)=6(n?1)，进⽽根据合并求和的⽅法求得f(n)的表达式，即可求得f(10)的值．解：由于：f(4)=37，f(5)=61．由于：f(2)?f(1)=7?1=6，f(3)?f(2)=19?7=2×6，f(4)?f(3)=37?19=3×6，f(5)?f(4)=61?37=4×6，因此：当n≥2时，有f(n)?f(n?1)=6(n?1)，所以：f(n)=[f(n)?f(n?1)]+[f(n?1)?f(n?2)]+?+[f(2)?f(1)]+f(1)=6[(n?1)+(n?2)+?+2+1]+1=3n2?3n+1．⼜：f(1)=1=3×12?3×1+1，所以：f(n)=3n2?3n+1．所以：f(10)=3×102?3×10+1=271．故选A．4.答案：A解析：解：A答案中：如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n，故A正确；B答案中：如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线，故B答案错误；C答案中：如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α故D答案错误；故选：A．本题考查的知识点是空间中直线与平⾯之间的位置关系，如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n；如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线；如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α.分析后即可得到正确的答案．要判断空间中直线与平⾯的位置关系，有良好的空间想像能⼒，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏或垂直的判定定理及性质定理，并能利⽤教室、三棱锥、长⽅体等实例举出满⾜条件的例⼦或反例是解决问题的重要条件．5.答案：C解析：。
河北省衡水中学2020届高三年级小二调考试数学文科试卷(解析版)
2019-2020学年度高三年级小二调试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一个符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}|10A x x =+>，{}|1B x x =∈≤Z ，则A B =I ( )A. {}|011x x ≤+≤B. {}|11x x -<≤C. {}0,1D. {}1 【答案】C【分析】对集合A 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到A B I 的值.【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =+>=>-，集合{}|1B x x =∈≤Z所以{}{}|110,1B x x A =∈-<≤=Z I .故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.若函数2ln y ax b x =-在1x =处的切线方程为52y x =-，则a ，b 的值为( )A. 2,1B. -2，-1C. 3,1D. -3，-1 【答案】C【分析】将1x =代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到a ，利用导数的几何意义，对函数求导，代入1x =，得到切线斜率，得b 的值.【详解】将1x =代入切线52y x =-，得到切点坐标为()1,3，将()1,3代入到函数解析式中，得到3=a ，所以23ln y x b x =-， 求导得6b y x x'=-， 代入1x =得6k b =-，所以65b -=，得1b =.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.3.已知命题[)0:0,p x ∃∈+∞使00420x x k --=.命题2:(0,),0q x x k ∀∈+∞+>.则命题p 是命题q 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题p 、q 的等价条件确定k 的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】p :设()42x x f x =-，因为211()42224x xx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，得当0x =时，()f x 取最小值0，且0[0,)x ∃∈+∞使00420x x k --=的等价条件为()42x x f x =-在[0,)+∞的值域即为k 的范围，即0k ≥; q ：2(0,),0x x k ∀∈+∞+>的等价条件为0k ≥;所以，命题p 是命题q 的充要条件.故选：C【点睛】本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、必要条件. 4.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >> 【答案】D【分析】 由35lg64lg64log 4log 8lg27lg25==，比较 b ，c 的大小，利用中间量32比较 a , c ，从而得解. 【详解】∵327lg64log 4log 64lg27==，525lg64log 8log 64lg25==，∴35log 4log 8<. ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 故选D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.5.若函数()ln f x x kx =-在()1, +∞上单调递减，则k 的最小值是（ ）。
2020年河北省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年河北省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡水中学2020届高三下学期二模数学(文)试题含解析
【解析】
【分析】
由 的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【详解】解：∵函数 的定义域是
∴ ,
∵ 是函数 的唯一一个极值点
∴ 是导函数 的唯一根，
∴ 在 无变号零点，
即 在 上无变号零点，令 ，
因为 ,
所以 在 上单调递减，在 上单调递增
所以 的最小值为 ，
所以必须 ，
【分析】
根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定,即可求解.
【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得:
对于A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为 ，故A正确；
对于B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B正确；
故选A．
【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．
12.已知抛物线 的方程为 , 为其焦点，过 的直线与抛物线 交于 两点（点 在 轴上方），点 ,连接 交 轴于 ，过 作 交 于 ，若 ,则 斜率为( )
A。 B。 C. D。 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作 垂直于准线交准线于 ，画出几何关系图形。由 且 ,可得 ，结合抛物线定义可知 求得点 的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线 斜率，即为 的斜率.
【分析】
利用双曲线的性质及条件列a，b，c的方程组，求出c可得。
【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点 到渐近线 的距离为 ，所以 ，解得 ，所以双曲线的焦距为4。故答案为4.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件 ，考查运算求解能力,属于基础题.
2020届河北省衡水中学新高考第二次摸底考试数学(文)试题
2020届河北省衡水中学新高考第二次摸底考试数学（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知11abi i=-+-，其中,a b 是实数，则复数a bi -在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知m n ∈R ,，集合72l {}og A m =,，{2}n B m =,，若{1}A B =，则m n += A ．5B ．6C ．7D ．83．设15log 6a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，165c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<4．八卦的形成源于《河图》《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“”.在八卦中任选一卦，则这一卦至少含有两条“”的概率是A.3 B.1 C. 3 D.5 5A.|sin |ln )(x x f = B.)ln(cos )(x x f =C.|tan |sin )(x x f -=D.)tan(cos )(x x f -=6．如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 7．27log cos4π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．1- B ．12- C ．12D8.已知向量,a b 满足()2,3a a b a =-=-，则向量b 在a 方向上的投影为 A.2 B.12 C.13 D ．12- 9.已知4616117421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= T ，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①和②处可以分别填入A.i m m i +=≤，?10B.1?10++=≤i m m i ，C.i m m i +=≤，?11D.1?11++=≤i m m i ，10．已知点()12,0F -，圆()222:236F x y -+=，点M 是圆上一动点，线段1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .则点N 的轨迹方程为A.22192x y -= B.320x y --= C.2236x y += D.22195x y +=11c a +的取值范围A.94⎤⎥⎦B.90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 94⎤⎥⎦ D.90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线(0)y kx k =>与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是A.2B.1211二、填空题：本题大共4小题，每小题5分，满分20分．13.设奇函数()()321f x x a x ax =+-+．则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 .14.已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为 .15.已知函数()2sin cos f x x x x =+.设()0,απ∈，124f α⎛⎫=⎪⎝⎭，则sin α= .16.已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则该三棱锥的外接球的体积是 .三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市,蕉岭县组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率. 18．(本题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12， S 12>0，S 13<0．（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3…S 12中哪一个值最大？并说明理由． 19．(本题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为四边形，,AC BD ⊥BC CD =,PD PB =,平面⊥PAC 平面4,30,32,==∠=PC PCA AC PBD .(1)求证：⊥PA 平面ABCD ；(2)若四边形ABCD 中，M BC AB BAD ,,120⊥=∠为PC 上一点，且满足2=MCPM，求三棱锥PBD M -的体积. 20．(本题满分12分)已知函数21()ln 2f x x m x =-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程2()(1)f x x m x =-+的解的个数，并说明理由．21．(本题满分12分)已知椭圆22:216C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆上，点B 在直线4x =上，且0OA OB ⋅=，求直线AB 截圆2217x y +=所得的弦长l ．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离12||3C C =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）过点O 的直线1l 、2l 与圆2C 异于点O 的交点分别为点A 和点D ，与圆1C 异于点O 的交点分别为点C 和点B ，且12l l ⊥.求四边形ABCD 面积的最大值． 23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-. （1）若不等式()12102f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为(][),22,-∞-+∞U ，求实数m 的值；（2）若不等式()2232yy af x x ≤+++对任意的,x y ∈R 恒成立，求正实数a 的最小值.数学（文科）参考答案1~12 BCABB DBBAD AD 13．0x y -=； 14.1或12-；5；16.32π3. 12解析：设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性知四边形FM F N '为平行四边形，又||MN ==2c=FF '，故FM F N '为矩形，|||FM FN ≤='|F M ，'||||2FM F M a +=，即2a F M M '-≤',∴F M ≥'又222(2a )4F M F M c -+='',故1117．解：（1）8788919193905x ++++==甲，---------------------------------1分8589919293=905x ++++=乙，----------------------------------------------2分()()()()()2222221248790889091909190939055s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，-------3分()()()()()22222218590899091909290939085s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，--------4分显然22,x x s s =<甲乙甲乙，-------------------------------------------------------5分 可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好. ----------------------------------------------------------------------------6分（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为()85,89，()85,91，()85,92，()85,93，()89,91，()89,92，()89,93，()91,92，()91,93，()92,93，共10个.--------------------------------------------------------------------8分 记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()85,89,()85,91，()85,92，()85,93，()89,93，共5个.----------------------10分由古典概型计算公式可知()51102P A ==.--------------------------------------11分答：抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率为12.----------------------12分18．（1）依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=②①021*******111212113112d a S d a S ----------------------------------------------2分 即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a ，--------------------------------------------------------------------------------3分由a 3=a 1+2d =12得a 1=12－2d ，----------------------------------------------------------------4分 代入①②⇒－724<d <－3．------------------------------------------------------------ --------6分 （2）由d <0，可知此数列为递减数列．因此若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n >0，a n +1<0时，则S n 就是S 1，S 2…S 12中最大值-------------------------------------------------------------------------7分 由于()()1137713713130,022a a a a S a ++==<∴<------------------------------------------8分()()112671267613130,0,022a a a a S a a a ++==>∴+>∴>------------------------------10分∴此数列前6项为正数，从第7项开始为负数，故在S 1，S 2…S 11，S 12中S 6的值最大．----------------------------------------------------------12分19．证明：设O BD AC = ，连接PO .,,BD AC CD BC ⊥= O ∴为BD 的中点.又BD PO PD PB ⊥∴=, .------------1分平面⊥PAC 平面PBD ,平面 PAC 平面PO PBD =,⊥∴BD 平面PAC .-------2分又⊂PA 平面BD PA PAC ⊥∴,.---------------------------------------------3分在PCA ∆中，由余弦定理得，42332421216302222=⨯⨯⨯-+=⋅⋅-+= COS AC PC AC PC PA ,2=∴PA ACPA PC AC PA ⊥∴=+,222 .---------------------------------------------5分又⊥∴=PA O AC BD , 平面A B CD -----------------------------------------6分(2)由2=MC PM ,可知点M 到平面PBD 的距离是点C 到平面PBD 的距离的32, BCD P PBD C PBD M V V V ---==∴3232------------------------------------------------8分又⊥PA 平面ABCD ，∴点P 到平面BCD 的距离为PA ，由(1)得2=PA .在四边形ABCD 中，BC AB BAD ⊥=∠,120,及(1)O 为BD 中点，AO BD ⊥,得ABD ∆为等腰三角形， 故233,23,3,60====∠CO BO BC BAC ,-------------------------------------10分则1132222BCD S BD CO ∆=⨯⨯=⨯⨯= -------------------------------11分324393132313232=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯==∴∆--PA S V V BCD BCD P PBD M ------------------12分20.（1）依题意得，2()m x mf x x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞，当0m ≤时，()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值；-----------2分当0m >时，()f x '=令()0f x '<，得0x <<()f x 单调递减，令()0f x '>，得x >()f x 单调递增，故函数()f x 有极小值ln (1ln )22m mf m m =-=-．------------------------4分综上所述，当0m ≤时，函数()f x 无极值；当0m >时，函数()f x 有极小值(1ln )2mm -，无极大值．--------------------------------------------------------------------5分（2）令221()()(1)(1)ln ,02F x f x x m x x m x m x x =-++=-++->， 原问题等价于求函数()F x 的零点个数． ------------------------------------------6分易得(1)()()1m x x m F x x m x x--'=-++-=-．-----------------------------------7分①若1m =，则()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点； -------------------9分②若1m >，则当01x <<或x m >时，()0F x '<，当1x m <<时，()0F x '>， 所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞上单调递减，在(1,)m 上单调递增， 注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点． ----11分综上，若1m ≥，函数()F x 有唯一零点，即方程2()(1)f x x m x =-+有唯一解．---------12分21、（1）由题设将椭圆化为标准形式可得221168y x +=，∴4a =，b =，∴c =--------------------------------3分故椭圆C的离心率2c e a ==．----------------------------------------------------------------4分 （2）设点A ，B 的坐标分别为()000(),0x y y ≠，(4，t )，22001168y x += ①，0040x OA OB t y ⋅=⇒=- ②，---------------------------------------------------6分根据点斜式得出直线AB 的方程为00(4)4y ty t x x --=--， 化简得0000()(4)40y t x x y y tx ----+=，原点O 到AB的距离d =，------------------------------------------------8分将①②代入可得d =0044||x y x -=22=2=221616yy=++=-----------------------------------------------------------10分在圆2217x y+=中，由勾股定理可得32l==，故所求弦长6l=．---------12分22．解：（1）由圆1C的参数方程1cossinx ty t=-+⎧⎨=⎩（t为参数），得22(1)1x y++=，---------------------------------------------------------------------------------------------------1分所以1(1,0)C-，11r=又因为圆2C与圆1C外切于原点O，且两圆圆心的距离12||3C C=，可得1(2,0)C，22r=，则圆2C的方程为22(2)4x y-+=--------------------------------------------------3分所以由cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩得圆1C的极坐标方程为2cosρθ=-，----------------------------------------------4分圆2C的极坐标方程为4cosρθ=----------------------------------------------------------------------------------5分（3）由已知设1A(,)ρθ，则由12l l⊥可得2B(,)2πρθ+，3C(,)ρθπ+，43D(,)2ρθπ+由（1）得12344cos2cos()2sin22cos()2cos34cos()4sin2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩，--------------------------------------------------------------7分所以132411()()18sin cos9sin222ABCDS AC BDρρρρθθθ=⋅=++==四边形-------------------------8分所以当sin21θ=时，即4πθ=时，ABCDS四边形有最大值9----------------------------------------------10分23．解：（1）122f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由条件得221x m ≥+， 得12x m ≤--或12x m ≥+，------------------------------------------------------3分 又不等式的解集为(][),22,-∞-+∞U ，---------------------------------------------4分 所以32m =．--------------------------------------------------------------------5分 （2）原不等式等价于212322y y a x x --+≤+， 而()212321234x x x x --+≤--+=，所以242y y a +≥，即()242y y a ≥-恒成立，---7分 又()2424y y -≤，所以4a ≥，当且仅当1y =时取等号．------------------------------9分故正实数a 的最小值为4．----------------------------------------------------------10分。
河北衡水中学高三第二次模拟试卷文科数学
河北衡水中学高三第二次模拟试卷数学 （文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分,时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互，那么 P(A •B)=P(A)•P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率是k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= (R 表示球的半径) 球的体积公式 334R V π=(R 表示球的半径) 第I 卷(选择题，共60分)一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合{}{}1,M x x P x x t =≤=>，若MP φ=，则t（A ）1t > （B ）1t ≥ （C ）1t < （D ）1t ≤2. 已知平面上三点A 、B 、C 满足AB CA CA BC BC AB CA BC AB ⋅+⋅+⋅===则,5||,4||,3||的值等于(A)25 (B)24(C)－25 (D)－243．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是 A.0≤t B.0≥t C.3-≤t D.3-≥t4. 已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=⋅PB PA ，0=⋅PC PB ，0=⋅PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为 （ ）A ．2B ．1C ．21D ．415．当[]2,3x ∈-时，不等式22x x a >+成立，则实数a 的取值范围（A ）(),8-∞- (B) (),3-∞- （C ）(),1-∞ （D ）),8(+∞- 6．直线00cos140sin 4010x y ++=的倾斜角是(A)040 （B ）050 （C ）0130 （D ）01407．AB 是抛物线x y 22=的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是(A)2(B)21 (C)23 (D)25 8．若二项式233nx x ⎛ ⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （A ）4 （B ）6 (C) 7 （D ）89.已知数列{n a }中，！n e a nn =, 则下列结论中正确的是(A) 数列{n a }为递增数列 (B)数列{n a }为递减数列 (C) 数列{n a }从某项递减 (D)数列{n a }从某项递增10.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23的值为(A)23 (B)332 (C)239(D)2732 11.定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足： f （－x ）＝－f （x ）， f （1＋x ）＝f （1－x ），当x ∈[－1,1]时， f （x ）＝x 3，则f （）的值是 (A)－1(B) 0(C) 1 (D)212.已知三棱锥ABC P -的三条侧棱两两垂直，且长分别为c b a ,,，又6)(22=+c b a ，侧面PAB 与底面ABC 成的角为060，当三棱锥的体积最大时，a 的值为（A ）5 （B ）3 (C) 2 （D ）1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在试题的横线上） 13．设定点A （0，1），动点(),P x y 的坐标满足条件0,,x y x ≥⎧⎨≤⎩则PA 的最小值是___________ 14. _在ABC ∆,21=ABAB AC ,23=BABA BC 则AB 的长为 15．数列{n a }中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为偶数）为奇数）n n a nnn (52(51，n n a a a 2212S +++= ，则2n S =16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称函数 f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π；③x x f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知函数x a x x x f 2sin 2cos 4sin 3)(+=在6π=x 时取到最大值.(1)求函数)(x f 的定义域; (2)求实数a 的值.18.（本题满分12分）小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛。