浅谈因式分解的几种方法

因式分解常用的几种方法

十字相乘法。

双十字相乘法运用很巧妙，可以将一个很复杂的数据简单地呈现，我们一起来学习一下吧！！

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中

x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。下面，就来看看因式分解的题目了，你们想必也会乐在其中。

1．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：

-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a+2b+c>0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC为等腰三角形。

3证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式

=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．

例1有一天，小明和爸爸去公园里散步，看到公园有一块长为51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，其中小路宽1.2m，然后小明就问爸爸：“剩余绿地的面积是多少？”爸爸笑了笑，便轻易的回答说：“剩余绿地的面积为2500m2

你知道其中的奥秘么？在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.。

分析：用整块绿地的面积减去小路的面积

就是剩余绿地的面积

解：51.22-（2×1.2×51.2-1.22）

=51.22-2×1.2×51.2+1.22

=（51.2-1.2）2

=502

=2500

所以剩余绿地的面积为2500m 2

应用公式法，常用的公式有：

（1）22

2)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=-

（3）))((2233b ab a b a b a +±=±

（4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±

（5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++

（6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++

公式（5）证明如下：

ac bc ab c b a 222222+++++

222)22()2(c bc ac b ab a +++++=

22)(2)(c c b a b a ++++=

2)(c b a ++=

公式（6）证明如下：

abc c b a 3333-++

abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++=

)333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++=

)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++=

))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=

在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0， 于是，

（7）abc c b a 3333=++

这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍．

我们把被分解的多项式分成若干组分别按分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合来再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果这种分解因式的方法叫做分组分解法。

如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间的多项式有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利