归纳推理

归纳推理
汉川一中林静
一、教材分析
推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次.教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识的使用它们，以培养言之有理，论证有据的习惯.
本章结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍了两种基本的推理——合情推理与演绎推理；两类证明方法——直接证明与间接证明.
合情推理分为归纳推理和类比推理，本节课是第一课时. 基于上述分析，我将教学目标及重点确定如下：
二、目标和目标解析
教学目标：
1.结合生活实例了解推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单
的推理.
2.学生通过欣赏伟大猜想产生的过程，体会归纳推理在数学发现中的作用.
3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.
教学重点：归纳推理的概念理解和应用，体会归纳推理在数学发现中的作用.
三、教学问题诊断分析
本节课教学中可能会遇到以下问题：
1．结论的开放性
归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致.只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维. 当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的.
2．过程的复杂性
归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题都只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论.而且有些“猜想”有一定的偶然性，当然这种灵感来源于平时的积累.在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程善于发现问题的能力，锲而不舍的精神.
3．结论的正确性
归纳推理所得的结论不是一定都正确.甚至有的问题很难举出反例说明它是错误的.有时
也不容易证明结论的正确性，比如哥德巴赫猜想.课上有意安排这样的例子，目的是使学生
能辩证地看待归纳推理这种方法,体会归纳推理发现新事实，提供研究方向的作用.
所以确定教学难点：归纳推理的应用；如何培养学生发现问题、解决问题的能力.
四、教法及学法分析
（1）教法分析：根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，提出问题、思考问题、解决问题等教学过程.
教材以哥德巴赫猜想的思维过程为背景，从中概括出归纳推理的含义，然后借助例题说明应用归纳推理的一般步骤以及归纳推理的作用.但由于高二学生已经具备了分辨是非
的能力，一定的语言概括能力，而且他们在以前的学习和生活中已经用到了归纳推理的方法，所以我从一些大家熟悉的例子中，通过观察、对比提炼出归纳推理的概念，更符合学生的最近发展区.而哥德巴赫猜想更注重的是其思维过程，所以通过欣赏哥德巴赫猜想产生的过程，总结归纳推理的一般步骤，体会归纳推理在数学发现中的作用,激发学生的学习兴趣.最后通过典型例题的分析和课堂练习的演练，让学生在具体问题中自主地去探索，帮助学生突破难点.
（2）学法分析：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括和归纳相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

五、教学过程
教学设计设计意图
一. 学习章头，引入新知
1.问题引入，激发兴趣
（最近一天温差比较大，生病的同学比较多，某人去看病向医生描述：）
病人看病时向医生描述：鼻塞、流涕、咽部不适，医生会诊断他得了什么病呢？（学生齐答）
这里的思维方式就是推理.
2.推理的概念形成
在我们的学习和生活中还会遇到这样的情形：
(1)天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你会想到什么？
(2)一列数的第一个数是2，第二个数是4，第三个数是6，
则第n个数是多少呢？
问题：什么是推理？
总结：根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式就叫推理.
3．自主阅读. 自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”.
切入主题.
从学生熟悉的生活经验出发，让学生体会推理的含义，逐步总结其定义.
引导学生归纳出推理的概念..
自主阅读章头，整体把握，培养学生归纳概括的能力.
二. 实例递进，探究新知
1、初步感知，形成概念
问题1：下列推理的前提和结论分别是什么？每个推理的前提和结论间有什么联系？
（1）矩形内角和为360°，梯形内角和为360°，菱形内角和为360°，所以平面四边形的内角和为360°. （2）铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，所以一切生活与数学结合的实例，巩固推理的概念并引出归纳推理.
金属都能导电.
（3）由003,002,001=⨯=⨯=⨯得).(00N n n ∈=⨯
问题2：什么是归纳推理？
总结：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.
特点：由部分到整体，由个别到一般.
一般模式：S 1具有性质P, S 2具有性质P, S 3具有性质P,... S n 具有性质P(S 1, S 2, S 3,..., S n 是A 类事物的对象)，所以A 类事物具有性质P.
2、实例判断，巩固概念
问题3：下列推理中哪些是归纳推理？
（1）数列,...,31
1
,
151,71,31,1的一个通项公式为1
21
-=n n a
（2）地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，
因此猜想火星上也有生命.
（3）三角形的内角和为180°，四边形的内角和为
180°×2，五边形的内角和为180°×2，所以 n 边形的内角和为180°×(n －2).
（4）由某人鼻塞、流涕、咽部不适推断此人得了感冒.
（5）因为所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底也会死.
3、交流讨论，理解概念 问题4：你能举出一些归纳推理的例子吗？
4、经典探究，深化概念
（1）介绍歌德巴赫猜想的产生
观察下列等式
3+7=10，3+17=20，13+17=30 你们能从中发现什么规律？ 问题5：你能说说归纳推理的结论有什么特点吗? 总结：归纳推理结论不唯一. 如果换一种写法呢？
引导学生概括归纳推理的概念.
.
巩固归纳推理概念，让学生对各种推理有初步的认识.
进一步加深对归纳推理概念的理解,让学生体会数学在生
活中的应用.
设置歌德巴赫猜想产生情景，激发学生的求知欲，总结归纳推理的一般步骤，体会归纳推理结论不唯一，也不一定正确.
10=3+7，20=3+17，30=13+17
这个规律对于其他偶数是否成立？
问题5：归纳推理结论还有什么特点呢？ 总结：归纳推理结论不一定正确.
问题6：根据归纳推理的概念以及上面的例子你能得出归
纳推理的一般步骤吗？ 总结：①寻找共性：通过观察个别情况发现某些相同性质；
②提出猜想：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题;
应用归纳推理时一般还加上： ③检验猜想.
（2）介绍人们对歌德巴赫猜想的研究过程 问题7:归纳推理有什么作用？ 总结：发现新事实，提供研究方向
提及猜想产生的时代背景，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用.
三. 例题分析，运用新知
例1 已知数列{a n }的第1项a 1=1，且n
n
n a a a +=
+11
,...),3,2,1(=n 试归纳出这个数列的通项公式.
通过例题，巩固归纳推理的步骤，进一步学习其用法.
四. 习题演练，巩固提升
设11)(2
++=n n n f ，计算
),...5(),4(),3(),2(),1(f f f f f ，你有什么发现？
练习的处理：
(1) 计算发现)5(),4(),3(),2(),1(f f f f f 都是质数，但
由此归纳推理得()f n 为质数确是错误的.
(2) 题目本身是开放的，还可以得出很多结论，比如都是
奇数，相邻项之差为等差数列，等等. 鼓励同学给出自己的结论，但要引导他们得出更深刻的结论.
这是一道开放性题，培养学生探究问题能力，强调归纳推理所得的结论不是唯一的，也不一定正确.
培养学生概括总结的能力.
五. 引导小结，设疑再思
1. 回顾小结
本节课学到了什么？还有什么疑问吗？
2. 布置作业：课本第83页1,2。