三角形重心性质定理题教案资料

三角形重心性质定理

1．三角形重心性质定理

课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）

在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）

分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形

重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。

证法1：（根据课本上的提示证明）

（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。）

（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。）

2.三角形重心性质定理的应用

⑴求线段长

例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。

解：

⑵求面积

例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。

解：

练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。

2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为 。

巧用中线的性质解题

我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.

一、巧算式子的值

例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求

23411112222++++ (12)

n +的值.

解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12

n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)

n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算.

二、求图形的面积

例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

图2