题型全。初中几何几何体上最短路径问题

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专题—最短路径问题(含解答)

专题—最短路径问题一．选择题（共7小题）1．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确解：∵四边形OABC为正方形，∴A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），∴连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），∴用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”．故选：C．2．点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP•OQ=（）A．5B．4C．3D．2解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，∵点B是矩形ACPD的中心，∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，∵A′（﹣1，2），B（2，1），设过A′B的直线为：y=kx+b，则，解得，∴Q（0，），即OQ=，∴OP•OQ=3×=5．故选：A．3．已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，∴∠OP′P″=∠OP″P′=（180°﹣80°）÷2=50°，又∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°．故选：B．4．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF 分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．5．如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．10解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=5．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5，故选：A．6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B 的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．二．填空题（共9小题）7．如图所示，点A在直线a外，点B在直线a上，在直线a上找一点P，使AP+BP 最小的点P有1个，其位置是B点．解：由题意得使AP+BP最小的点P有1个，其位置是B点，故答案为：1，B点．8．如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小，∠PMO=45°．解：∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．9．四边形ABCD中，∠BAD=136°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为88度．解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD 分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=136°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=44°∴∠AMN+∠ANM=2×44°=88°．故答案为：8810．如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是2．解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA 交于点Q，与OB交于点R，此时△PQR的周长最小．从图上可看出△PQR的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2．∴△PQR周长的最小值是2．即PQ+QR+RP的最小值是2故答案为：2．11．已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是CD和BC上的点．求作：点M、N，使△AMN的周长最小．作法：如图2，（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´=DA；（2）延长AB，在AB的延长线上截取BA″=BA；（3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N．则点M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短．解：根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短作图；故答案为：①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为100°．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°13．如图，△ABC中，∠A=15°，AB是定长．点D，E分别在AB，AC上运动，连结BE，ED．若BE+ED的最小值是2，则AB的长是4．解；作点B关于AC的对称点B'，过B作BF⊥AB'，∵点B关于AC的对称点B'，∴∠B'AE=∠CAB=15°，∵BF⊥AB'，∵BF即为BE+ED的最小值，即BF=2，∴AB=4，故答案为：414．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是12解：设∠PO A=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．故答案为：12三．解答题（共9小题）15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．解：连接AB，作AF⊥BD于点F，则BF=BD﹣AE=0.5km，∴AF=1.2，作A关于直线L的对称点A′，连接A′B到L交于点C，则C点为水厂所在地，如图，过B作BD⊥L于D，作A′G⊥BD于点G，∵BG=BD+DG=3.5，A′G=AF=1.2，CD=2÷3.5×1.2=，EC=1.2﹣=，∴AC+BC=A′C+BC=A′B=3.7km，∴总费用为3.7×1.8=6.66万元．16．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P1点去让马饮水，然后再到河岸边l2的P2点去，再次让马饮水，最后骑马到D点，他应如何选择饮水点P1，P2．才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？解：如图，作点C关于l1的对称点C′，点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，交于l1，l2于点P1，点P2，连接CP1，P1P2，P2D，所以路程CP1+P1P2+P2D最短．17．八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）解：如图所示，小花所走的行走路线为：CM﹣MN﹣ND，所走的总路程最短．18．尺规作图：（1）如图①，江边A，B两个村庄准备集资建造一个自来水厂，请你确定一个厂址，使得从自来水厂到A，B两村所用的水管最短．（2）如图②，P是∠A0B内部一点，试在角的两边上各找一个点E，F，使△PEF 的周长最小．解：（1）如图①，过A点关于江边的对称点C，再连接CB，BC与江边的交点Q 即为自来水厂厂址；（2）如图②，作点P关于OA对称的点M，作点P关于OB对称的点N，连接MN，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．19．如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B 地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？【解答】解：如图所示，交警小队沿A→C→D→B走才能使总路程最短．20．如图所示，A、B为公路l同旁的两个村庄，在l上找一点P．（1）当P到A、B等距离时，P在何处？（2）当P到两村距离之和最小时，P在何处？解：（1）因为点P到两个村庄A，B的距离相等，所以P应建在AB的垂直平分线和l的交点处，理由是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，如图1：，（2）作点A关于直线l的对称点，连接A′B交直线于点P，点P就是设置的点，如图2：21．如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据．解：如图，过点B作BC垂直国道，且使BC等于国道宽a，连接AC交国道边缘与M，作MN∥BC即可．理由：两点之间线段最短．22．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？在下图中画出路径，不写画法但要说明理由．（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于M，作MN⊥GH，则MN∥BB′且MN=BB′，于是MNBB′为平行四边形，故NB=MB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．故桥建立在MN处符合题意．23．如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；（2）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．解：（1）如图1所示，（2）如图2，作AA'垂直于河岸a，使AA′等于河宽，连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线a，则MN∥AA′且MN=AA′，于是MNAA′为平行四边形，故MA′=NA．根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．故桥建立在M、N处符合题意．。

八年级数学最短路径题型归纳

八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。

以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。

解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。

2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。

解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。

3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。

解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。

解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。

5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。

解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。

6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。

7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。

解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。

在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。

初中数学中考复习专题最短路径问题 (24张PPT)

【例题分层探究】问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题．问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ，即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交点即为P
图形
原理
两点之间线段最短
PA+PB最小值为AB
原理
两点之间线段最短
PA+PB最小值为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上点P＇和P＂，连分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的值最小．
作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段最短．
AM+MN+NB 的最小值为线段A＇B＇的

(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。

(完整版)最短路径习题

13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。

6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为。

7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。

八年级最短路径问题30题

八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC ∆的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM ∆周长的最小值为( )A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm2．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 边于点E 、F ，点K 为EF 上一动点，则BK CK +的最小值是以下哪条线段的长度( )A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC第1题第2题第3题3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．65．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+第4题第5题第6题6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32第7题第8题第9题8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是．第10题第11题第12题12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为． 13．如图，在ABC ∆中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC ∆中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC ∆的周长的最小值为．第13题第14题第15题第16题14．如图，等腰三角形ABC 中，3AB AC ==，30B ∠=︒，点M ，N 为BC 上两个动点，且2MN =，连接AM ，AN ，则AMN ∆周长的最小值为．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为．第17题第18题第19题第20题18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为．19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为．三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为．23．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE ∆，连接AD ，CD ．（1）求证：ADE CDB ∆≅∆；（2）若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM∆周长的最小值为()A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：连接AM，AC的垂直平分线EF交AC于点E，AM CM∴=，CM DM DM AM∴+=+，即A、M、D三点共线时，CM DM+最小值为AD的长，AB AC=，点D为BC的中点，AD BC ∴⊥，122CD BC cm==，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，8AD cm∴=，CDM∴∆周长的最小值为10AD CD cm+=，故选：D．2．如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK CK+的最小值是以下哪条线段的长度()A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC【解答】解：连接AK ， EF 是线段AB 的垂直平分线，AK BK ∴=，BK CK AK CK ∴+=+，AK CK ∴+的最小值BK CK =+的最小值，AK CK AC +，∴当AK CK AC +=时，AK CK +的值最小，即BK CK +的值最小，BK CK ∴+的最小值是线段AC 的长度，故选：C ．3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o【解答】解：如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP PQ QN ++最小，OPM OPM NPQ ∴∠=∠'=∠，OQP AQN AQN ∠=∠'=∠， 11(180)20(180)22QPN AOB MQP αβ∴∠=︒-=∠+∠=︒+︒-， 18040(180)αβ∴︒-=︒+︒-，40βα∴-=︒，故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．6【解答】解：作C 点关于BD 的对称点C '，过C '作C F BC '⊥交BD 于点E ，交BC 于点F ， CE EF C E EF C F ''∴+=+，CE EF ∴+的最小值C F '的长，CC BD '∴⊥，BD 平分ABC ∠，C BG GBC '∴∠=∠，在△C BG '和CBG ∆中，C BG GBC BG BGBGC BGC '∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩， ∴△()C BG CBG ASA '≅∆，BC BC '∴=，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，8BC '=，在Rt BFC '∆中，1sin30842C F BC ''=⋅︒=⨯=， CE EF ∴+的最小值为4，故选：B ．5．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+【解答】解：连接A D '．由图分析可知A D CD '=CD AD AD A D '+=+则当点D 在A A '线段上时，AD A D '+有最小值，最小值2AA ='=．故选：A ．6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+【解答】解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接DB '交AC 于点E '，连接BE '，此时DE BE '+'的值最小．过点D 作DH BB ⊥'于H ，设BB '交AC 于点O ．6BA BC ==，BO AC ⊥， AO OC ∴=，30A BCA ∠=∠=︒，132OB AB ∴==，333AO OC OB ==， AD DB =，//DH AO ，BH OH ∴=，1332DH OA ∴==， 39322HB OH OB '=+'=+=， 2222339()()3322DB DH HB ∴'=+'=+= DE BE ∴+的最小值为33BDE ∴∆的周长的最小值为333+故选：C ．7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32 【解答】解：(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，2222(52)(15)345AB ∴=-+-=+=，2222(3)(4)345CD m m m m =--+-++=+=， 5AB CD ∴==，点B 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A ，点C 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D ，由平移的性质得：//BC AD ，BC AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴当BC CD ⊥时，BC 的值最小，(,)C m m -∴点C 在直线y x =-上运动，BC ⊥直线y x =-，∴直线BC 平行直线y x =,∴直线BC 的解析式为y x b =+，把(5,1)B 代入y x b =+得：15b =+，解得：4b =-，4y x ∴=-,联立方程组得：4y x y x =-⎧⎨=-⎩, 解得2:2x y =⎧⎨=-⎩ (2,2)C ∴-，2m ∴=，故选：C ．8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒【解答】解：如图，延长AB 至A '，使A B AB '=，延长AE 至A ''，使A E AE ''=，则BC 垂直平分AA '，DE 垂直平分AA ''，AM A M ∴='，AN A N =''，根据两点之间，线段最短，当A '，M ，N ，A ''四点在一条直线时，A M MN NA '++''最小，则AM MN AN ++的值最小，即AMN ∆的周长最小，AM A M ='，AN A N =''，∴可设MAA MA A x ∠'=∠'=，NAA NA A y ∠''=∠''=，在△AA A '''中，180********x y BAE +=︒-∠=︒-︒=︒，2AMN MAA MA A x ∠=∠'+∠'=，2ANM y ∠=，2256AMN ANM x y ∴∠+∠=+=︒，故选：B ．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+【解答】解：如图，作D 关于AB 的对称点G ，作D 关于AC 的对称点H ，连接BG ，CH ，FH ，GH ，90ABC ∠=︒，90GBE ABC ∴∠=∠=︒，G ∴，B ，D ，C 在同一条直线上，由对称性可知，3GB DB ==，1CH CD ==，45FCH FCD ∠=∠=︒，FH FD =，EG ED =，90HCG ∴∠=︒，3317GC GB BD DC =++=++=，22227152GH GC CH ∴+=+=，52DE EF FD GE EF FH GH ∴++=++=DEF ∴∆的周长的最小值52．故选：A ．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3【解答】解：如图，过C 作AB 的对称点1C ，连接1CC ，交AB 于N ；过1C 作12//C C AB ，且123C C =，过2C 作2C F AC ⊥于F ，交AB 于E ，2C F 的长度即为所求最小值，12//C C DE ，12C C DE =，∴四边形12C DEC 是平行四边形，12C D C E ∴=，又C 、1C 关于AB 对称，1CD C D ∴=，2CD EF C F ∴+=，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，323AC BC ∴==，3CN ∴=，3AN =，过2C 作2C M AB ⊥，则213C M C N CN ===，21//C M C N ∴，12//C C MN ，123MN C C ∴==， 2MEC AEF ∠=∠，290AFE C ME ∠=∠=︒，230MC E A ∴∠=∠=︒，在Rt △2C ME 中，1ME =，23C M =，22C E =，33123AE AN MN ME ∴=--=--=-，31EF ∴=-， 233213C F ∴=+-=-．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是 16.8 ．【解答】解：过点B 作BE AC ⊥于点E ，BE 交AD 于点P ，则此时PC PE +取最小值，最小值为BE 的长，如图所示．AB AC =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，BP CP ∴=，90ADB ∠=︒，10AB AC ==，8AD =，6BD ∴=，212BC BD ∴==，1122ABC S BC AD AC BE ∆=⋅=⋅， 1289.610BC AD BE AC ⋅⨯∴===． PC PE ∴+的最小值是9.6，90BEC ∠=︒，22365CE BC BE ∴=-=， CPE ∴∆周长的最小值是16.8，故答案为：16.8．12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为 133+ ．【解答】解：点P 到A ，D 两点的距离相等，P ∴点在AD 的垂线平分线l 上，作B 点关于l 的对称点B '，连结B C '交l 于点P ，BP B P '∴=，BP CP B P CP B C ''∴+=+=，此时BCP ∆的周长最小，AD BC ⊥，1BD =，2AD CD ==，2BB '∴=，3BC =，在Rt BCB '∆中，229413B C BC B B ''++，BCP ∴∆133，133．13．如图，在ABCAC=，直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，P是直线mBC=，4∆中，6AB=，7上的一动点，则APC∆的周长的最小值为10．【解答】解：直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，∴=，BP CP=++=+++，∴∆的周长AP PC AC BP AP AC AB ACACP∆的周长最小，∴当A、B、P三点共线时，ACPAC=，BC=，46AB=，7∴∆的周长6410+=，ACP∴∆的周长最小值为10，ACP故答案为10．14．如图，等腰三角形ABC中，3MN=，连接AB AC∠=︒，点M，N为BC上两个动点，且2==，30BAM，AN，则AMN+．∆周长的最小值为213【解答】解：过点A 作//AD BC ，且AD MN =，连接MD ，则四边形ADMN 是平行四边形，MD AN ∴=，作点A 关于BC 的对称点A '，连接AA '交BC 于点O ，连接A M '，则AM A M '=，AM AN A M DM '∴+=+，∴三点D 、M 、A '共线时，A M DM '+最小为A D '的长，//AD BC ，AO BC ⊥，90DAA '∴∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，1322AO AB ∴==， 3AA '∴=，在Rt ADA '∆中，由勾股定理得：22222313A D AD AA ''=++，AMN ∴∆周长的最小值132A D MN '=+． 132．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 245．【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ． AD 平分CAB ∠，∴根据对称知，EF EF ='，1122ABC S AB CH AC BC ∆==， ∴245AC BC CH AB ==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245，故答案为245． 16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为 8(,0)3．【解答】解：在y 轴负半轴上取点A '，使2OA OA ='=，OP ∴垂直平分AA '，(0,2)A '-，PA PA ∴='两点之间，线段最短，∴当A '，P ，B 三点在一条直线上时，PA PB '+的值最小，此时PA PB +取得最小值，设直线A B '的解析式为2y kx =-，代入点B 的坐标(4,1)得，421k -=， 34k ∴=， ∴直线A B '的解析式为324y x =-，令0y =，则83x =， ∴点P 的坐标为8(3，0)，故答案为：8(3，0)．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为 14(5，4)5．【解答】解：如图，连接BC ，PB ，BD ．6OA =，(2,4)B ，45BAO ∴∠=︒， CE 垂直平分线段AB ，CB CA ∴=，PA PB =，45CBA CAB ∴∠=∠=︒，90BCA ∴∠=︒，2OC ∴=，4AC BC ==，3OD DA ==，1CD OD CD ∴=-=，PAD ∆的周长3PD PA AD PB PA =++=++，又BP PD BD +，B ∴，P ，D 共线时BP PD +的值最小，直线CE 的解析式为2y x =-，直线BD 的解析式为412y x =-+，由2412y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得14545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴满足条件的点14(5P ，4)5．故答案为：14(5，4)5． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为 92．【解答】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF AP ⊥于F ，点A 的坐标为(0,6)，6OA ∴=，点P 为OA 的中点，3AP ∴=，AEP ∆是等边三角形，EF AP ⊥，32AF PF ∴==，AE AP =，60EAP BAC ∠=∠=︒， BAE CAP ∴∠=∠，在ABE ∆和ACP ∆中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACP SAS ∴∆≅∆，BE PC ∴=，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE x ⊥轴时，BE 有最小值，BE ∴的最小值为39322OF OP PF =+=+=， PC ∴的最小值为92，故答案为92． 19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =，BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为 3262- ．【解答】解：作CF AB ⊥于F ，交BD 于E ，此时12CE BE CE EF CF +=+=最小， 60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，BD AC ⊥，30ABD ∴∠=︒，12EF BE ∴=，CF BF =，3AF CF =， 2AB BF AF =+=，32CF CF ∴+=， 326CF -∴=， 12CE BE ∴+的最小值为：326-．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为 17132+ ．【解答】解：如图，在y 轴上取点E ，使1BE CD ==，则四边形BCDE 为平行四边形，(0,4)B ，(1,0)A -，4OB ∴=，1OA =，3OE ∴=，221417AB +作点A 关于直线1x =的对称点A '，(3,0)A '∴，AD A D '=，AD DE A D DE '∴+=+，即A '、E 、D 三点共线时，AD DE +最小值为A E '的长，在Rt △A OE '中，由勾股定理得223332A E '=+，ABCD C ∴四边形最小值17132AB CD BC AD AB CD A E '=+++=+++ 17132+三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．【解答】解：（1）如图，ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥，∴点E 关于直线CD 的对称点F 在线段CB 上，连接AF 交CD 于点P ，连接PE ，此时PA PE +的值最小．即点P 即为所求作．（2）12CD =，90CDA ∠=︒，60CAD ∠=︒，30ACD ∴∠=︒，2AC AD ∴=，222412AD AD ∴=+ 43AD ∴=，AE EC =，E ，F 关于CD 对称，CF BF ∴=，AC AB =，30BAF CAF ACD ∴∠=∠=∠=︒，2PA PC PD ∴==143PD CD ∴==．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为 33 ．【解答】解：（1）3AB =，6AC =，33BC =222AB BC AC ∴+=，90ABC ∴∠=︒，1sin 2AB ACB AC ∠==，30ACB ∴∠=︒，ED 垂直平分线段AC ，3AD CD ∴==， 23cos30CDCE ∴==︒，3BE BC CE ∴=-=（2）连接AE ，延长AE 交CF 于H ，CB ，FD 是ACF ∆的高，AH ∴也是高，FD 垂直平分线段AC ，CM AM ∴=， CM MN AM MN ∴+=+，AM MN AH +，sin 6033AH AC =⋅︒=，33CM MN ∴+，CM MN ∴+的最小值为33故答案为：3323．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．【解答】解：（1）BD AC ⊥于D ，//EG BD ，EG AC ∴⊥， AE 平分BAC ∠，90ABC ∠=︒，BE EG ∴=，在Rt ABE ∆和Rt AGE ∆中，BE GE AE AE =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt AGE(HL)∴∆≅∆，AB AG ∴=；（2）30BAE ∠=︒，AE 平分BAC ∠，60BAC ∴∠=︒，30CAE ∠=︒，90ABC ∠=︒，30C ∴∠=︒，AE EC ∴=，EG AC ⊥，AG CG ∴=，A ∴与C 关于EG 对称，连接BC 与EG 的交点即为P 点，此时P 点与E 重合，PA PB BC +=，值最小， 2BE =，30BAE ∠=︒， 323AB BE ∴==，在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，33236BC AB ∴==⨯=，AP BP ∴+的最小值为6．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．【解答】解：（1）(1,0)C ，1OC ∴=，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，2AC ∴=，3OA如图1，①当AC AP =，90CAP ∠=︒，过1P 作1PB y ⊥轴于B ，则1ABP COA ∆≅∆，1AB OC ∴==，13BP AO ==13OB ∴=，1(3P ∴13)；②当AC CP =，90ACP ∠=︒，过2P 作2P D x ⊥轴于D ，同理可得：CD OA ==，21P D =，2(1P ∴1)；③当CP AP =，90APC ∠=︒，过3P 作3P E x ⊥轴于E ，则3P 是2AP 的中点，12OE OD ∴==321()2P E OA P D =+，3P ∴；综上所述，P ，1，(1+1)，；（2）如图2，任取AOC ∆内一点Q ，连接AQ 、OQ 、CQ ，将ACQ ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到△A CQ '’，2AC AC ∴'==，CQ CQ ='，AQ A Q =''，60ACA QCQ ∠'=∠'=︒，QCQ ∴∆'是等边三角形，CQ QQ ∴='，AQ OQ CQ A Q OQ QQ ∴++=''++’， ∴当A Q ''，OQ ，QQ '这三条线段在同一直线时最短，即AQ OQ CQ ++的最小值OA ='， 60ACO ACA ∠=∠'=︒，60ACB ∴∠'=︒，过A '作A B x '⊥轴于B ，12BC A ∴=’ 1C =，A B ' 2OB ∴=，A O ∴'AQ ∴、OQ 、CQ25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．【解答】解：（1）如图1，作AH OB ⊥于H ，CE OB ⊥于E ．在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，43OB =60AOB ∴∠=︒，1232OA OB == 30OAH ∴∠=︒，132OH OA ∴==， 2222(23)(3)3AH OA OH ∴--=，(3A ∴，3)， OC 平分AOB ∠，30COB CBO ∴∠=∠=︒，CO CB ∴=，CE OB ⊥，23OE EB ∴==2OC CE =，222OC CE OE -=，222(2)(23)CE CE ∴-=，2EC ∴=，(23C ∴2)；（2）如图2中，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于P ，连接PA ，此时PA PB +的值最小．A，3)，A，A'关于y轴对称，(3∴'-，3)，(3AB，0)，(4322∴+='+='=+=，PA PB PA PB BA(53)3221∴+的最小值为221．PA PB26．如图，在Rt ABC∆，连BAC∠=︒，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE ∆中，90ACB∠=︒，30接AD，CD．（1）求证：ADE CDB∆≅∆；（2）若3+最小，并求出这个最小值．BC=，在AC边上找一点H，使得BH EH【解答】（1）证明：在Rt ABC∠=︒，E为AB边的中点，BAC∆中，30∠=︒．ABCBC EA∴=，60∆为等边三角形，DEB∴=，60DB DE∠=∠=︒，DEB DBE∠=︒，∴∠=︒，120DBC120DEA∴∠=∠DEA DBC∴∆≅∆．ADE CDB（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H 即为符合条件的点．由作图可知：EH HE '=，AE AE '=，30E AC BAC '∠=∠=︒．60EAE '∴∠=︒，EAE '∴∆为等边三角形， ∴12EE EA AB '==， 90AE B '∴∠=︒，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，3BC =，∴23AB =，3AE AE '==，∴2222(23)(3)3BE AB AE ''=-=-=，BH EH ∴+的最小值为3．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？【解答】（1）证明：如图1，连接DG ，EG 垂直平分AD ，AF DF ∴=，EG AD ⊥， AD 平分CAB ∠，EAF GAF ∴∠=∠，90AFE AFG ∠=∠=︒，AEF AGE ∴∠=∠，AE AG ∴=，EF FG ∴=，AF DF =，AD EG ⊥，∴四边形DEAG 是菱形，DE AG ∴=；（2）解：如图2，连接EB 交AD 于P ，连接PG ，此时PG PB +最小，理由如下：在AD 上任取一点P '（不与P 重合），连接EP '、BP '、GP '，由（1）知：AD 是EG 的垂直平分线，EP PG ∴=，EP GP ''=，EB EP PB PG PB ∴=+=+，△EP B '中，EP BP P G BP EB ''''+=+>，即P G P B PG PB ''+>+，此时PG PB +的值最小，如图3，过E 作EH AB ⊥于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，则EH DM =，Rt AEH ∆中，10AE ED ==，30CAB ∠=︒，5EH ∴=，5DM ∴=，Rt DMB ∆中，45ABC ∠=︒，5DM BM ∴==，10ED HM ==，10515BH HM BM ∴=+=+=，Rt EHB ∆中，2222515250510BE EH HB =+=+==，即PG PB +的最小值是510．28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= 100︒ ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．【解答】解：（1）①点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ， OG OP ∴=，OM GP ⊥，OM ∴平分POG ∠，同理可得ON 平分POH ∠，2250100GOH MON ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：100︒；②5PO =，5GO HO ∴==，当90MON ∠=︒时，180GOH ∠=︒，∴点G ，O ，H 在同一直线上，10GH GO HO ∴=+=；（2）如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，则AP AP '=，BP BP = “，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''的长．由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，2260120P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，(180120)230OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，30OPA OP A '∴∠=∠=︒，同理可得30BPO OP B ∠=∠''=︒，303060APB ∴∠=︒+︒=︒．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2224(12)9x x +-+【解答】解：（1）22225(8)AC AB BC x =+=+-， 2221CE CD DE x =+=+，22125(8)AC CE x x ∴+=+++-；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC CE +的值最小，过A 作AF DE ⊥交ED 的延长线于F ，5DF AB ∴==，226810AE ∴=+=，AC CE ∴+的最小值是10；（3）如图2所示，作12BD =，过点B 作AB BD ⊥，过点D 作ED BD ⊥，使2AB =，3ED =，连接AE 交BD 于点C ，设BC x =，则AE 的长即为代数式224(12)9x x ++-+的最小值．过点A 作//AF BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则2AB DF ==，12AF BD ==，325EF ED DF =+=+=，所以2213AE AF EF =+=，即224(12)9x x ++-+的最小值为13．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．【解答】解：（1）如图，过A 点作AM y ⊥轴于M ，过B 点作BN y ⊥轴于N ，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，C 的坐标为(0,4)， 5AM ∴=，3CM =，90ACB ∠=︒，90ACM CAM ACM BCN ∴∠+∠=︒=∠+∠， CAM BCN ∴∠=∠，在ACM ∆和CBN ∆中，CAM BCN AMC CNB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACM CBN AAS ∴∆≅∆，5CN AM ∴==，3BN CM ==， 541ON CN OC ∴=-=-=，（2）设直线AB的解析式为y kx b=+，把(5,1)A-，(3,1)B-代入得5131k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得1414kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为1144y x=--，令0y=，则1144x=--，解得1x=-，(1,0)D∴-；（3）如图，作C点关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于点P，此时PA PC+最小，即ACP∆的周长最小，C的坐标为(0,4)，C∴'的坐标为(0,4)-，设直线AC'的解析式为y mx n=+，∴514m nn-+=⎧⎨=-⎩，解得14mn=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC'的解析式为4y x=--，令0y=，则4x=-，(4,0)P∴-；（4）如图，延长BC至B'，使B C BC'=，过B'作B N x'⊥轴，交AC于M，根据垂线段最短可知BM MN+的最小值为B N'，(3,1)B-，(0,4)C，9∴'=，BN∴+的最小值为9．BM MN。

初中数学最短路径问题专练习题附答案

最短路径问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A1B 12C ．1D ．12【答案】B【解析】【分析】如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则∵ABO 为等腰直角三角形，N 为AB 的中点，∵ON=12AB = 又∵M 为AC 的中点，∵MN 为∵ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =，12，∵OM 12【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．2．如图，在∵ABC中，AB＝2，∵ABC＝60°，∵ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE∵l，BF∵l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A【答案】A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK∵l于点K，过点A作AH∵BC于点H，在Rt∵AHB中，∵BH ＝1，AH在Rt∵AHC 中，∵ACB ＝45°，∵AC=∵点D 为BC 中点，∵BD ＝CD ，在∵BFD 与∵CKD 中，90BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BFD∵∵CKD （AAS ），∵BF ＝CK ，延长AE ，过点C 作CN∵AE 于点N ，可得AE+BF ＝AE+CK ＝AE+EN ＝AN ，在Rt∵ACN 中，AN ＜AC ，当直线l∵AC，综上所述，AE+BF．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．3．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，PCD 周长最小时，α，β之间的关系是（）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．90αβ=︒-【答案】C连接AP ，根据线段垂直垂直平分线的性质可知P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．由PCD L DP PC CD =++，即得出PCD LDP PA CD =++，由此可知当A 、P 、D 在同一直线上时，PCD L 最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD 为BAC ∠的平分线，即1122PAC A α∠=∠=．最后根据三角形外角性质即得出PAC PCA β=∠+∠，由此即可判断αβ=．【详解】如图，连接AP ，∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线，且P 在线段MN 上，∵P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．∵PCD LDP PC CD =++, ∵PCDL DP PA CD =++．由图可知CD 为定值，当A 、P 、D 在同一直线上时，DP PA +最小，即为AD 的长， ∵此时PCD L 最小．∵D 是边BC 的中点，AB =AC ，∵AD 为BAC ∠的平分线， ∵1122PAC A α∠=∠=． ∵CPD PAC PCA ∠=∠+∠，即PAC PCA β=∠+∠，∵αβ=．本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L 最小是解题关键． 4．如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，AB AC ⊥，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP △周长的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．128【答案】B【解析】【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点E 重合时，AP BP +的最小值，求出AC 长度即可得到结论．【详解】解：设AC 交EF 于点E ，连接CP ，EF 垂直平分BC ，B ∴、C 关于EF 对称，∵CP BP =，∵CP AP AC +≥∵BP AP AC +≥，∴当P 和E 重合时，AP BP +的值最小，最小值等于AC 的长，ABP ∴∆周长的最小值是437AC AB +=+=．故选：B ．【点睛】题的关键是找出P的位置．5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）cmA B．13cm C．D．【答案】B【解析】【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∵A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∵A′B13cm．故选：B．【点睛】和勾股定理进行求解是解题的关键．6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD∵BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵MC+MD的最小值为8．故选：B．【点睛】7．如图，在ABC 中，10AB AC BC ==，，60ABC S =△，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到6AD =，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长度PB PD =+的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB AC =，10BC =，60ABC S =△，AD BC ⊥， ∵1=602BC AD ⨯， ∵12AD =，∵EF 垂直平分AB ，∵点A ，B 关于直线EF 对称，∵EF 与AD 的交点即为P 的，此时PA PB =，AD 的长度PB PD =+的最小值，即PB PD +的最小值为12，故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD 的长度PB PD =+的最小值是解题的关键．分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】【分析】根据题意，点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值AD+DC，利用三角形面积公式计算AD即可．【详解】∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，∵点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值是AD+DC，∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，DC=2，11416 22BC AD AD=⨯⨯=，解得AD=8，∵△CDM周长的最小值为：AD+DC=8+2=10，故选C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，将军饮马河原理，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为___．【答案】【解析】【分析】如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．说明P A=PC，再根据垂线段最短，解决问题即可．【详解】解：如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∵A、C关于BD对称，∵P A=PC，∵PE+PC=AP+PE，∵AP+PE≥AH，∵S菱形ABCD=BC•AH，∵AH ，∵PE+PC∵PE+PC的最小值为故答案为：．垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，已知点A （0，4）．以AB 为直角边在AB 左侧作等腰直角△ABC ，∵CAB ＝90°．(1)当点B 在x 轴正半轴上，且AB ＝8时∵求AB 解析式；∵求C 点坐标；(2)当点B 在x 轴上运动时，连接OC ，求AC +OC 的最小值及此时B 点坐标．【答案】(1)∵4y =+；∵C (4,4--(2)(2,0)B【解析】【分析】（1）∵根据(0,4)A ，8AB =，推出OB B ，0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，将A 、B 坐标代入即可求出AB 解析式；∵过点A 作x 轴的平行线，分别过点C 、B 作y 轴的平行线，交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆，所以4AG HB ==，CG AH ==C (4,4--；（2）由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，所以AC OC AC O C '+=+，AC OC +的最小值为AO '的长度，此时2OB AH CG ===，即可求出B 坐标．(1)解：∵(0,4)A ，8AB =，OB ∴B ∴0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，04∴=+，k =AB ∴解析式：4y x =+； ∵过点A 作x 轴的平行线，与分别过点C 、B 作y 轴的平行线交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆()AAS4AG HB ∴==，CG AH ==C ∴(4,4--；(2)由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，(B 在x 轴负半轴同理可说明）点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，4OC O C '∴==，448OO '=+=，AC OC AC O C '∴+=+．AC OC +的最小值为AO '=此时2OB AH CG ===，(2,0)B ∴．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．。

八年级数学几何中的最短路径问题（一）

八年级数学几何中的最短路径问题（一）一、最短路径问题：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

二、涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

通常出题点结合角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等知识点中出现。

三、解题思路：找对称点实现化“折” 为“直” 。

四、十二个基本问题（前6个）：问题1、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图1作法：如图，连接 AB ，与 L 交点即为 P 。

图2原理：两点之间线段最短，PA + PB 最小值为 AB 。

问题2（将军饮马）、如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小。

图3作法：作点 B 关于 L 的对称点 B' ，连接 AB' ，与 L 交点即为P 。

图4原理：两点之间线段最短，PA+PB 最小值为 A B＇。

问题3、如图，在直线 Ll 、L2 上分别求点 M、N，使△PMN 的周长最小。

图5作法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和P “，连P'P“，与两直线交点即为 M，N 。

图6原理：两点之间线段最短 , PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长。

问题4、如图，在直线L1 、L2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小。

图7作法：分别作点 Q 、P 关于直线 Ll , L2 的对称点 Q＇和 P＇，连Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N 。

图8原理：两点之间线段最短，四边形PQMN 周长的最小值为线段QP + Q'P' 的长。

问题5（造桥选址）、如图，直线m ∥ n ，在m 、 n ，上分别求点 M、N，使MN⊥m，且 AM+MN+BN 的值最小。

图9作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n 于点 N，过点 N 作NM⊥m 于点 M 。

初中数学《最短路径问题》典型题型复习

最短路径◎知识聚焦所谓最短距离，就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及大的定理：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。

常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

◎例题导航例1：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE中，AE+EC＞AC,即 AE+EC＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点D,2. 作点C关于直线 OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

【初中数学】最短路径模型及例题解析

【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。

例如，从家到学校、从甲地到乙地等。

在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。

最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。

最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。

2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。

3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。

4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。

二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。

这种方法适用于顶点数量较少的简单图。

2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。

3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。

三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。

下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。

【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。

1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。

2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。

此时，A为已访问顶点。

3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。

此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。

4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。

最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。

【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。

题型全。初中几何几何体上最短路径问题

确定几何体上的最短路径问题例1．有一圆柱形油罐，如图所示，要行A点环绕油罐建梯子正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m）例2．如图所示是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60㎝、30㎝、10㎝，A和B是这个台阶两个相对的端点。

在A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，请你帮助蚂蚁计算一下，它沿着台阶面从A点爬到B点的最短路程是多少？例3．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？例4．如图所示，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8㎝㎝，8㎝，12㎝，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短距离是多少？例5．有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究有长方体的地面点A到长方体中与点A相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为，高为5，请帮助该小组求出有A点到B点的最短距离。

（21.592≈466,18.442≈340）变式训练1．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图所示，已知杯子高8㎝，点B距杯口3㎝（杯口在上），杯子底面半径为4㎝，蚂蚁沿表面从A点爬到B点的最短距离是多少？（取3）2．如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=20km，BB1=40km，且A1B1=80km。

现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最短。

请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离。

3．如图1-6，圆柱形玻璃杯，高为12㎝，底面周长为18㎝，在杯内离杯底4㎝的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4㎝与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？4.同学们为学校国庆晚会设计了一个圆柱形灯罩，然后在侧面上缠绕红色彩纸如图（1）所示。

中考专题立体图形中的最短路径问题

中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名：（蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB是5m ，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。

问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

3、正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1A BABcABCABD C D 1C 1①421AC 1=√42+32=√25;②A B B 1CA 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A B 1D 1D A 1C 1③412AC 1=√52+22=√29 .4、长方体问题如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，372925<<路线①即为所求。

小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。

5、圆锥问题如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）．练习：1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题]典范题型及解题技能最短路径问题中,症结在于,我们擅长作定点关于动点地点直线的对称点,或应用平移和睁开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的感化.理论根据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”“立体图形睁开图”.教材中的例题“饮马问题”,“造桥选址问题”“立体睁开图”.考的较多的照样“饮马问题”.常识点：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”.“饮马问题”,“造桥选址问题”.考的较多的照样“饮马问题”,出题布景变式有角.三角形.菱形.矩形.正方形.梯形.圆.坐标轴.抛物线等.解题总思绪：找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年消失“三折线”转“直”等变式问题考核.一.两点在一条直线异侧例：已知：如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小.解：衔接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求.（根据：两点之间线段最短.）二. 两点在一条直线同侧例：图所示,要在街道旁建筑一个奶站,向居平易近区A.B供给牛奶,奶站应建在什么地方,才干使从A.B到它的距离之和最短．解：只有A.C.B在一向线上时,才干使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后衔接A′B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点．三.一点在两订交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部随意率性一点,在∠MON的双方OM,ON上各取一点B,C,构成三角形,使三角形周长最小.解：分离作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;衔接A′,A″,分离交OM,ON 于点B.点C,则点B.点C即为所求剖析：当AB.BC 和AC 三条边的长度正好可以或许表如今一条直线上时,三角形的周长最小例：如图,A.B 两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才干使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的偏向平移一个河宽到E,2.衔接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的地位,MN 为所建的桥.证实：由平移的性质,得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的地位建在CD 处,衔接AC.CD.DB.CE,则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中,∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的地位建在CD 处,AB 两地的旅程最短.例：如图,A.B 是两个蓄水池,都在河道a 的同侧,为了便利浇灌作物,•要在河畔建一个抽水站,将河水送到A.B 两地,问该站建在河畔什么地方,•可使所修的渠道最短,试在图中肯定该点.作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,衔接AC 交直线a 于点D,则点D 为建抽水站的地位.证实：在直线 a 上别的任取一点E,衔接AE.CE.BE.BD, · ·CD A BE a A· MNE∵在直线 a上,∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE中,AE+EC＞AC,即 AE+EC＞AD+DB所以抽水站应建在河畔的点D处,例：某班举办晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮忙他设计一条行走路线,使其所走的总旅程最短？OA的对称点点D,2. 作点C关于直线 OB的对称点点E,OA.OB于点M.N,则CM+MN+CN最短例：如图：C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河畔饮马,然后回到帐篷,请你帮他肯定这一天的最短路线.OA 的对称点点F,2. 作点D关于直线 OB的对称点点E,OA.OB于点G.H,则CG+GH+DH最短E四.求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的计划设计在此问题中可根据圆上最远点与比来点和点的关系可得最优设计计划.例:一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离为1,则圆的半径为若干？（5或4）四.点在圆柱中可将其正面睁开求出最短旅程将圆柱正面展成长方形,圆柱体睁开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的宽．可求出最短旅程例：如图所示,是一个圆柱体,ABCD是它的一个横截面,AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从A点爬行到C点,那么,比来的旅程长为（）A．7 B．C． D．5剖析：请求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的正面睁开,进而根据“两点之间线段最短”得出成果．解：将圆柱体睁开,衔接A.C,∵==•π•=4,BC=3,根据两点之间线段最短,AC==5．故选D．五.在长方体（正方体）中,求最短旅程1）将右正面睁开与下底面在统一平面内,求得其旅程2）将前概况睁开与上概况在统一平面内,求得其旅程3）将上概况睁开与左正面在统一平面内,求得其旅程了然落后行比较大小,即可得到最短旅程.例：有一长.宽.高分离是5cm,4cm,3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个极点A处沿长方体的概况爬到长方体上和A相对的极点B处,则须要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm剖析：把此长方体的一面睁开,在平面内,两点之间线段最短．应用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中,一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长方体的长宽之和,应用勾股定理可求得．解：因为平面睁开图不独一,故分情形分离盘算,进行大.小比较,再从各个路线中肯定最短的路线．（1）睁开前面.右面,由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90;（2）睁开前面.上面,由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74;（3）睁开左面.上面,由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80;所以最短路径长为cm．例：如图是一个长4m,宽3m,高2m的有盖仓库,在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎,B处（宽的三等分）有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B．C．5 D．剖析：先将图形睁开,再根据两点之间线段最短可知．解：有两种睁开办法：①将长方体睁开成如图所示,衔接A.B,根据两点之间线段最短,AB==;②将长方体睁开成如图所示,衔接A.B,则AB==5＜;所以最短距离5例：有一棵9米高的大树,树下有一个1米高的小孩,假如大树在距地面4米处折断（未完整折断）,则小孩至少分开大树米之外才是安然的．剖析：根据题意构建直角三角形ABC,应用勾股定懂得答．解：如图,BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m,则BC=4﹣1=3m,AB=9﹣4=5m,在Rt△ABC中,AC===4．例：如图,在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且＞AD,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处须要走的最短旅程是米．（准确到0.01米）剖析：解答此题要将木块睁开,然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知,将木块睁开,相当于是AB+2个正方形的宽,∴×2=2.4米;宽为1米．于是最短路径为：=2.60米．例：如图,AB为⊙O直径,AB=2,OC为半径,OC⊥AB,D为AC三等分点,点P为OC上的动点,求AP+PD的最小值.分折：作D关于OC的对称点D’,于是有PA+PD’≥AD’,（当且仅当P活动到P o处,等号成立,易求AD’=3.六.在圆锥中,可将其正面睁开求出最短旅程将圆锥正面睁开,根据统一平面内的问题可求出最优设计计划例：如图,一向圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点动身,绕圆锥的正面爬行一周后又回到A点,则蚂蚁爬行的最短路线长是（成果保存根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的睁开图的扇形的弧所对的弦长, 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则,则2×π×2=,解得：n=90°,由勾股定理求得它的弦长AA一.题中消失一个动点.当题中只消失一个动点时,可作定点关于动点地点直线的对称点,应用两点之间线段最短,或三角形双方之和小于第三边求出最值.例：如图,在正方形ABCD 中,点E 为AB 上必定点,且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点,求PE+PC 最小值.剖析：作E 关于BD 对称点E ’,E ’在AB 上,有PE+PC=PE ’+PC ≥E ’C 易求E ’C=26.二.题中消失两个动点.当题中消失两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点地点直线的对称点.应用两点之间线段最短求出最值.例：如图,在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0,n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求mn . 分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B ’,n ×π×8 180A 关于x 轴对称点A ’,DA+DC+BC=DA ’+DC+B ’C ≥B ’A ’(当D,C 活动到AB 和x 轴y 轴的交点时等号成立),易求直线A ’B ’解折式三.题中消失三个动点时.在求解时应留意两点：(1)作定点关于动点地点直线的对称点,(2)同时要斟酌点点,点线,线线之间的最短问题.例：如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P 分离为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值分折:作E 关于AC 所直线的对称点E ’,于是有,PE+PF=PF+PE ’≥E ’F,又因为E 在AB 上活动,故当EF 和AD,BC 垂直时,E0F 最短,易求例：如图,∠AOB=45,角内有一动点P ,PO=10,在AO,BO 上有两动点Q,R,求△PQR 周长的最小值.分折：作P 关于OA,OB 对称点P1,P2 .于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2,由对称性易知△P1OP2为等腰RT △总之,在这一类动点最值问题中,症结在于,我们擅长作定点关于动点地点直线的对称点,或动点关于动点地点直线的对称点.这对于我们解决此类问题有事半功倍的感化.1.应用轴对称解决距离最短问题应用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的根本思绪,不管标题若何变更,应用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个焦点,所有作法都雷同．留意：应用轴对称解决最值问题应留意标题请求根据轴对称的性质.应用三角形的三边关系,经由过程比较来解释最值问题是经常应用的一种办法．解决这类最值问题时,要卖力审题,不要只留意图形而疏忽题意请求,审题不清导致答非所问．2.应用平移肯定最短路径选址选址问题的症结是把各条线段转化到一条线段上．假如两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,假如两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理解释,平日根据最大值或最小值的情形取个中一个点的对称点来解决．解决衔接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以经由过程平移河岸的办法使河的宽度变成零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时,我们平日应用轴对称.平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的办法来解决问题．。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

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