第十章 定积分的应用

（1） ，绕 轴
Βιβλιοθήκη Baidu解：
由旋转体侧面积公式，得
（2） 绕 轴
解：
（3） ，绕 轴
解：
当 时，
当 时，
当 时，
（4） ，绕 轴
解：
2.设平面光滑曲线有极坐标方程 给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式
解： 在直角坐标下的旋转曲面面积微元
有坐标变换公式
及极坐标下弧长微分公式
将其代入 式，得，
由 到 积分即可得到
（1）解：矩形法
由矩形法公式有
梯形法
由梯形法公式有
抛物线法
由辛普森公式有
（2）答：若按算术平均数所求平均气温表达式应是 ，而按矩形法可推得 故这两种算法结果是相同的,而与梯形法相比较,从上面的算式不难看出,在梯形法中除 项与 项除以2以外其余 至 各项以及算式均相同
解：铁索的线密度 公斤/米
功的微元
9.一物体在某介质中按 作直线运动，介质的阻力与速度 的平方成正比，计算物体由 移至 时克服介质阻力所作的功。
解：
依题意
10.半径为 的球体沉入水中，其比重与水相同，试问将球体从水中捞出需作多少功？
解：用微元法，图10-15中考虑在 处厚度为 的一薄片，当其从 上提到 时在水中行程为 ，在水上行程为 ，又球体密度与水相同，故薄片上所受的浮力与重力合力为0，所以薄片在水中由 升到水面时提升力为0，不做功，而由水面上提到 点时，克服重力做功
解：设椭圆周长为 ， ，在 的周长为
则
依题意
故两边积分限均为 ，并令 中
有
当 时， 时有
，
4.设曲线由极坐标方程 给出,且二阶可导,证明它在点 处曲率为
证明：由 得
对 来说，以 代入 的公式，得
5.用上题公式，求心形线 在 处的曲率、曲率半径和曲率圆.
解：已知去曲线极坐标方程为
它在 曲率为
曲率半径
曲率圆的圆心在 轴上，半径为 ，
解：由曲线绕 轴旋转所得立体的体积为
5.导出曲边梯形 绕 轴旋转所得立体的体积公式为
证明：如图在区间 上的柱壳体积即为体积元素
则
由微元法知旋转体体积：
6.求 所围平面图形绕 轴旋转所得立体的体积。
解：
§3平面曲线的弧长与曲率
习题
1.求下列曲线的弧长:
(1)
解：由于
由曲线的弧长公式有
(2)
解：令 ，则
即
§6定积分的近似计算
习题
1.分别用梯形法和抛物线法计算 （将积分区间十等分）
解：梯形法（取 ）
用抛物线法
2.用抛物线法求 (分别将积分区间二等分、四等分、六等分)
解：用抛物线法公式
当 时，
当 时，
当 时，
3.图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积。
解：设该河截面积为 ，有定积分近似计算抛物线法公式
第十章定积分的应用
§1.平面图形的面积
习题
1.求由抛物线 所围图形的面积。
解：设所围图形的面积为 ，如图10-1
解方程组
得两曲线两交点坐标为 ，则积分区间为 ，
图形面积为
2.求由 与直线 和 所围图形的面积。
解：设所围图形总面积为 ，
3.抛物线 把圆 分成两部分，求这两部分面积之比。
解：设 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则
4.试证摆线 所围图形的面积（图10—7）。
解：设所围图形的全部面积为 ，取积分变量为 ，当 由 变到 时，就得到曲线在第一象限的部分，
5.求心形线 所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，取积分变量为 ，当 由 变到 时，即得到曲线在 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有：
6.求三叶形线 所围图形的面积。
方程为
6.证明抛物线 在顶点处曲率为最小。
证明：抛物线 在任意点 的曲率
即当 时， 达到最大值，而
故在抛物线 的顶点 处的曲率半径最小
7.求曲线 上曲率最大的点
解：曲线 任意点 处的曲率
令 得
容易验证 为 的最大值
故曲线 上点 处的曲率最大
§4旋转曲面的面积
习题
1.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：
解：
7.求由 与坐标轴所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，将曲线方程化为显式为：
曲线与 轴、 轴的坐标分别为 ，取 为积分变量，则积分区间为 故有
8.求由曲线 所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，由参数方程下定积分计算面积公式有
9.求二曲线 与 所围公共部分的面积。
解：由方程组
得
当曲线 中 从 变到 ，且曲线 中 从 变到 时即得到封闭图形，其面积 为
由上题结果知
故两细棒间引力为
6.设有半径为 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为 ，在圆心处有一单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。
解：上述电荷其电量为
由库仑定律，它对点电荷的作用力为
7.一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水，试问把水抽尽需作多少功？
解：功的微元
8.长10米的铁索下垂于矿井中,已知铁索每米重8千克,问将此铁索由矿井全部提出地面,需作功多少?
则积分区间从 到 ，故薄板每侧所受的静压力为
3.直径为6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米,求球面上所受压力.
解：球面在水深 m处所受压力的微元为
球面所受总压力
4.在坐标轴的原点有一质量为 的质点，在区间上有一质量为 的均匀细杆。试求质点有细杆之间的万有引力。
解：如图10-11任取 ，当 很小时可将这一小段细杆看作一质点，其质量
由相似三角形边长比的关系知 ，
又
2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体体积:
(1) ,绕 轴；
解：
(2) 绕 轴；
解：
(3) 绕极轴；
解：曲线的参量方程为：
由图有：
(4) 绕 轴；
解：由 ，得
则
3.已知球半径为 ，验证高为 的球缺体积 。
解：设球缺体积为 ，半径为 ，高为 ，则由旋转体体积公式有
4.求曲线 所围平面图形（图10—7）绕 轴旋转所得立体的体积。
解：如图10-8，由 、 点的坐标 及 ，求出过 的直线方程为：
，即
由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于 ，故当 很小时，闸门从深度 到 这一狭条 上受的静压力为
2.边长为 和 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体中。设 ，长边平行于液面，上沿位于深 处，液体的比重为 。试求薄板每侧所受的静压力。
解：如图10-9所示在液体内部 m深处，作用在薄板上压力的微分为
10.求两椭圆 与 所围公共部分的面积。
解：两椭圆在第一象限内的交点为
阴影部分的面积：
故公共部分的面积为：
§2由平行截面面积求体积
习题
1.如图10—13所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜面所截，试求截得锲形体的体积。
解：设垂直于 轴的截面面积函数为 ，立体体积为 按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为：
4下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：
时间
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
温度
25.8
23.0
24.1
25.6
27.3
30.2
33.4
35.0
33.8
31.1
28.2
27.0
25.0
（1）按积分平均 求这一天的平均气温，其中定积分值有三种近似法分别计算。
（2）若按算术平均 或 求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由。
有万有引力公式有
则
5.两条各长为 的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离 每根细杆的质量为 试求它们之间的万有引力。（提示：在第四题的基础上再作一次积分）
解：建立如图10-12坐标系， 轴通过两细棒，向右为正向，第二根棒上午左端点为原点，在第二根棒中 处取一小段 ，它的质量为 ，它与第一根棒中心距离为
由参数方程下弧长公式
(3)
解：
(4)
解：
(5)
(6)
解：
由极坐标下弧长公式
2.求下列各曲线在指定点处的曲率:
(1) 在点(2,2)
解：
由曲率公式，曲线在 处的曲率为：
(2) 在点(1,0)
解：
(3) 在 的点
解：
由曲率公式有
(4) 在 的点
解：
3.求 的值，使椭圆 的周长等于正弦曲线 在 上一段的长。
式即是极坐标系下旋转曲面面积公式
3.试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：
（1）心形线 ；
解：由图形的对称性和参数方程下的旋转曲面面积公式有
（2）双纽线 。
解：
§5定积分在物理中的某些应用
习题
1.有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边长为10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。