2021届全品高考复习方案：第50讲 抛物线
高三 一轮复习 抛物线 教案
教学内容 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． [试一试]1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． [练一练]1．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________．2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝________，△OAB 的面积是________．考点一抛物线的标准方程及几何性质1.(2013·南通、扬州、泰州二模)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(2，m)到焦点的距离为6，则p＝________.2．(2013·苏州模底)抛物线y2＝4x的准线方程是________．3．从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．[类题通法]1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：(1)动弦中点到坐标轴距离最短问题；(2)距离之和最小问题；(3)焦点弦中距离之和最小问题.角度一动弦中点到坐标轴距离最短问题1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．角度二距离之和最小问题2．(2014·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．角度三焦点弦中距离之和最小问题3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．[类题通法]与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三直线与抛物线的位置关系[典例](2014·无锡期末)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C.若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．[类题通法]求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．[针对训练](2014·南京摸底)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过点A作l的垂线，垂足为A1，则△AA1F的面积是________．[课堂练通考点]1．(2013·镇江期末)圆心在抛物线x2＝2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________．2．设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于________．3．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________．9．(2013·天津调研)设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P，则点P的坐标为________．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·苏北四市二调)已知点A(0,2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段F A交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________.2．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．3．(2014·荆州模拟)如图，直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点F，交抛物线于点A、B，交抛物线的准线l于点C，若BC＝－2BF，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．4．(2014·黄冈月考)如图，A1，A2，A3，…，A n分别是抛物线y＝x2上的点，A1B1垂直于x轴，A1C1垂直于y轴，线段B1C1交抛物线于A2，再作A2B2⊥x轴，A2C2⊥y轴，线段B2C2交抛物线于A3，这样下去，分别可以得到A4，A5，…，A n，其中A1的坐标为(1,1)，则S矩形A n B n OC n＝________.。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
2020年高考数学(文科)一轮复习 第八单元 听课手册 第50讲抛物线
听课手册 第50讲 抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离 的点的轨迹叫作抛物线,点F 叫作抛物线的焦点,直线l 叫作抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质y =2px (p>0) y =-2px (p>0)(续表))x =2py (p>0)x =-2py (p>0)y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R常用结论1.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F之间的线段叫作抛物线的焦半径,记作r=|PF|.(1)y2=2px(p>0),r=x0+;(2)y2=-2px(p>0),r=-x0+;(3)x2=2py(p>0),r=y0+;(4)x2=-2py(p>0),r=-y0+.2.焦点弦的常用结论以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则有以下结论:(1)x1x2=,y1y2=-p2;,|BF|=;(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=-(3)|AB|=x1+x2+p=(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;(4)S△AOB=(其中θ为直线AB的倾斜角);(5)+=(定值);(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.3.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为,准线方程为x=-.题组一常识题1.[教材改编]抛物线8x2+y=0的焦点坐标为,准线方程为.2.[教材改编]抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为.3.[教材改编]若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为.4.[教材改编]抛物线y2=8x的焦点为F,P在抛物线上,若|PF|=4,则P点坐标为.5.[教材改编]过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=4,则|PQ|等于.题组二常错题◆索引:忽视抛物线的类型;不注意抛物线方程的标准形式;在方程中没有限制条件p>0的情况下,p可以为负值.6.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为.7.抛物线x2+2py=0的焦点到准线的距离为4,则p= .8.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,那么抛物线y=-x2(a≠0)的通径长为.探究点一抛物线的标准方程例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为双曲线-=1的右焦点,则此抛物线的方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π 则抛物线的方程为.[总结反思] 求抛物线方程的基本方法是定义法和待定系数法:(1)定义法就是根据抛物线的定义得到其焦参数、焦点位置,然后根据抛物线方程的形式写出其方程.(2)待定系数法就是根据已知得到焦参数的方程,求出焦参数,求解的关键是求出焦参数p和确定抛物线的焦点位置,焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可以用x2=λy(λ≠0)表示.变式题(1)直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A. y2=-12xB. y2=-8xC. y2=-6xD. y2=-4x(2)已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()A. y2=±2xB. y2=±2xC. y2=±4xD. y2=±4x探究点二抛物线的定义有关问题微点1动弦中点到坐标轴距离最短问题例2 (1)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C. 1D. 2(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的两个动点,且|AB|=8,则x1+x2的最小值是()A. 4B. 6C. 8D. 10[总结反思] 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式,这是解决此类问题的一般方法.微点2距离之和最小问题例3 (1)若点B的坐标为(3,2),F是抛物线y2=6x的焦点,点P在抛物线上移动时,使|PF|+|PB|取得最小值的P的坐标为()A. (0,0)B.C. (1,)D. (2,2)(2)已知抛物线方程为y2=8x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为.[总结反思] 利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离之间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线距离有关问题的有效途径.涉及距离和最小值的两个常见转化策略:①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.微点3焦点弦中距离之和最小问题例4 (1)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.(2)[2018·江西上饶三模]已知抛物线y2=2x,焦点为F,过F点的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为.[总结反思] 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用“通径最短”求最值.应用演练1.【微点1】定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P到y轴的距离的最小值为()A.6B.5C.3D.22.【微点3】[2018·重庆巴蜀中学月考]直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F且交抛物线C 于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为()A. 3+2B. 2+3C. 6D. 43.【微点3】[2019·唐山海港高级中学模拟]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+|BF|的最小值是 ()A. 2B.C. 4D. 24.【微点2】设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为其焦点,若B(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为.5.【微点2】已知M是抛物线x2=8y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是.探究点三抛物线的几何性质例5 (1)[2018·东北三省三校一模]抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为 ()A. 2B. 1C. D.(2)[2018·厦门二模]已知拋物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两点,|AB|=6,则AB的中点到y轴的距离是()A. 1B. 2C. 3D. 4[总结反思] 抛物线的几何性质主要表现为两点:一是抛物线上的点与焦点和准线的关系;二是抛物线的焦点弦,利用抛物线的定义以及一些常用结论公式即可解决问题.变式题(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线交抛物线于A,B两点(A在B的上方),且与准线交于点C,若=4,则=()A. B.C. 3D. 2(2)[2018·银川4月质检]已知F1,F2分别为双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为()A. x=-4B. x=-3C. x=-2D. x=-1探究点四直线与抛物线的位置关系例6 已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|<8,直线l与抛物线y=x2-4交于M,N两点,且M,N两点在y轴的两侧.(1)证明:y1y2为定值;(2)求直线l的斜率的取值范围;(3)若·=-48(O为坐标原点),求直线l的方程.[总结反思] 直线与抛物线相交问题处理规律:(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算,特别是有关弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则使用弦长公式|AB|=-;(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图形结合几何性质作出解答,并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.变式题[2019·四川华蓥一中调研]已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.(1)求抛物线C的方程;(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为,且△OCD的面积是△OAB的面积的倍(O为坐标原点),求l1和l2的方程.完成课时作业(五十)。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+10.8 抛 物 线
核心考点·精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( )A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. B.2 C. D.33.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C 上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M 为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由已知得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即-8y 0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得=5.又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,A,B,将A代入抛物线方程,可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.答案:161.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x 轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m ≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y 轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程考点二直线与抛物线的综合问题【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则= ( )A. B. C. D.2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为( )A.±B.±1C.±D.±3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解题导思】序号联想解题一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物1线的定义进行转化当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点2差)法当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的3有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,因为∠ABN=60°,于是=,解得n=3m,则==.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4, 由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决. 2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|= ( )A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=. 答案:3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB=·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.考点三抛物线的性质及应用命题精解读考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.(1)求p的值.(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,焦点到准线的距离为2,即p=2.(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2), l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.联立方程得:即M(2k,-1).M点到直线l的距离d==,|AB|==4(1+k2),所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.抛物线与向量的综合问题【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.(2)由(1)知,x2-5x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,所以A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】选B.由题意可知,抛物线的图形如图:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|==6,所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.【解析】直线l斜率必存在,由题可得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故直线l斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.故k的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]1.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图象(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=________.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以∠FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=×2=,即|FB|=,所以|MF|=5.答案:5关闭Word文档返回原板块。
2021届高考数学(文)考前复习学案-专题14-直线与圆、抛物线-含解析
专题14 直线与圆、抛物线1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系:d<r ⇔相交;d=r ⇔相切;d>r ⇔相离.(2)代数法:联立直线l 与圆C 的方程,消去y(或x),得一元二次方程,计算判别式Δ=b 2-4ac,Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.2.计算直线被圆截得弦长的常用考向一【典例】(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x 2+y 2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4考向二 【典例】(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y 2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C 的焦点坐标为A.B.C.(1,0)D.(2,0)1.若直线y=k(x-2)与圆x 2+y 2=1相切,则k=( ) A.1 B.±C.±D.±2.已知圆心在y 轴上的圆C 与直线x=3切于点M .若直线3x+4y+m=0与圆C 相切,则m 的值为A.9B.7C.-21或9D.-23或73.若过直线3x-4y+2=0上一点M向圆Γ:(x-2)2+(y+3)2=4作一条切线于切点T,则的最小值为A. B.4 C.2 D.24.过点P且和圆C:x2+y2-2x+4y+4=0相切的直线方程为A.y+1=0或x=0B.x+1=0或y=0C.y=1或x=0D.x-1=0或y=05.若直线ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦长为6,则的最小值为A.3+B.3+2C.5D.76.直线y=kx+3与圆+=4相交于M,N 两点,若≥2,则k的取值范围是( ) A. B.方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离),弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:弦长公式AB==3.抛物线的焦点弦通过抛物线y2=2px的焦点的直线与抛物线交于A,C. D.7.如图,过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,设直线AB的倾斜角为θ,若θ∈,则的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知矩形AFKN的四个顶点的坐标分别为A,F,K,N,抛物线C的焦点是F,准线是直线KN,过点N作抛物线的两条切线,切点为P,Q,则P,Q两点间的距离为A.4B.8C.16D.329.已知直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,·=0(其中O为坐标原点).若=+,则直线OP的斜率的取值范围是A.∪B.∪B,则: (1)y1y2=-p2,x1x2= ;(2)若直线AB的倾斜角为θ,则AB==x1+x2+p.1.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,点与线的对称.2.抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可相互转化.3.求抛物线标准方程要先确定形C.∪D.∪式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my.1.点到直线的距离应该将直线的方程化为一般式Ax+By+C=0.【案例】T1首先应该将直线y=k(x-2)化为kx-y-2k=0,然后用点到直线的距离求解.2.求过圆外一点的圆的切线时,容易忽略斜率不存在的情况.【案例】T4首先讨论斜率不存在的情况,若所求切线的斜率不存在,则切线方程为x=0,符合题意;当斜率存在的时候,设所求切线的方程为y=kx-1,用点到直线的距离公式求解.专题14 直线与圆、抛物线///真题再研析·提升审题力///考向一圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,设圆心为C,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3,设P(1,2),易知点P在圆内部,当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,根据弦长公式最小值为2=2=2.考向二B 将x=2代入y2=2px(p>0)得y=±2,由OD⊥OE得k OD·k OE=-1,即·=-1,得p=1,所以抛物线C:y2=2x的焦点坐标为.///高考演兵场·检验考试力///1.D 直线y=k(x-2)即kx-y-2k=0,由题意可得,圆x2+y2=1的圆心O(0,0)到kx-y-2k=0的距离等于半径1,即=1,解得k=±.2.D 圆心在y轴上的圆C与直线x=3切于点M.可得圆C的半径为3,圆心为.因为直线3x+4y+m=0与圆C相切,所以由切线性质及点到直线距离公式可得=3,解得m=-23或7.3.D 圆Γ:(x-2)2+(y+3)2=4的圆心坐标为,半径为2,要求的最小值,则圆心到直线3x-4y+2=0的距离最小,为=4,所以的最小值为=2.4.A 圆C的标准方程为+=1,圆心为C,半径为r=1,因为+>1,则点P在圆C外.①若所求切线的斜率不存在,则切线方程为x=0,此时圆心到直线x=0的距离为1,合乎题意;②若所求切线的斜率存在,设所求切线的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,圆心C到该直线的距离为d==1,解得k=0,此时所求切线的方程为y+1=0.综上所述,所求切线的方程为y+1=0或x=0.5.B 由题得圆的方程可以化为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心为(2,-1),半径为r=3,因为直线ax-4by-4=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-4x+2y-4=0截得的弦长为6,所以直线经过圆心,所以2a+4b-4=0,即+b=1,所以==3++≥3+2=3+2,当且仅当a=4-2,b=-1时,取“=”,所以的最小值为3+2.6.B 因为≥2,设圆心到直线y=kx+3的距离为d, 则d=≤1,所以d==≤1,所以8k≤0,解得-≤k≤0.7.C 设直线AB的方程为y=k(x-1),则C(-1,-2k),当θ=时,k=1.直线AB的方程为y=x-1,联立所以x2-2x+1-4x=0,解得A(3+2,2+2),B(3-2,2-2),C(-1,-2), =====(-1)2=3-4.当θ=时,k=,直线AB的方程为y=(x-1),联立所以3(x-1)2=4x,所以3x2-10x+3=0,所以(x-3)(3x-1)=0,所以A(3,2),B,C(-1,-2),====.8.C 如图,因为焦点F,所以抛物线C的方程为x2=8y,即y=x2.设切线方程为y+2=k,与抛物线方程联立,消元得x2-kx+4k+2=0.因为相切,所以Δ=k2-4×=0,即k2-2k-1=0,设k1,k2为两个不同的根,所以k1+k2=2,k1k2=-1,所以两个切点的横坐标分别为4k1,4k2.设点P,Q,因为P,Q都在抛物线上,所以y1=,y2=,则=====4=16.9.D 如图,设A,B,因为=+,则P,又·=0,即x 1x2+y1y2=0,即x1x2+=0,即x1x2=-16(x1x2=0舍去),设直线OP的斜率为k, 则k====+,=+≥2=2,当且仅当=,即=4时等号成立,故k∈∪.关闭Word文档返回原板块。
2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9.5 抛物线(讲解部分)
则x1+x2=12,x1x2=4,
由抛物线定义知|FP|=x1+2,|FQ|=x2+2,
所以 1 + 1 = 1 + 1 = x1 x2 4 = 12 4 = 1 ,故选A.
|FP| |FQ| x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 4 2 12 4 2
解法二:由题意知k≠0.
(3)定义中定点与定直线的位置关系为:定点F不能在定直线l上.若定点F在 定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线,因此在用抛物线 定义解决动点轨迹问题前,应首先判断定点与定直线的位置关系. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线 的四种不同形式的标准方程y2=±2px,x2=±2py,其中p>0.
1⊥l于点B1,MM1⊥l于点M1,由抛物线的方程知p=12 ,由抛物线定义知|AA1|+|
BB1|=|AF|+|BF|=3,所以点M到y轴的距离为|MM1|-
p 2
=1
2
(|AA1|+|BB1|)-
p 2
=
1 2
×3-
1 = 5 ,故选C.
44
(2)设抛物线的焦点为F.如图所示,作PM⊥l2于点M,PN⊥l1于点N,由抛物线y 2=4x知其准线方程为x=-1,由抛物线定义可知点P到直线l1:x=-1的距离|PN| 等于点P到焦点F的距离|PF|,∴点P到直线l1的距离与点P到直线l2的距离之 和|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当P,M,F三点共线时,|PM|+|PF|取得最小值,为点F
江苏高考数学复习平面解析几何第50课抛物线课时分层训练
第九章 平面解析几何 第50课 抛物线课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． (1,0) [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．3 [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：62172276】32 [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 又y 2＝4x 的焦点F (1,0)， ∴焦点F 到直线的距离d ＝332＋－2＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________．y 2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2.所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为__________．8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34[∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上．∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)．∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.]7．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x ＝－2 [由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：62172277】5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连结AF 交抛物线于点P ，此时最小值为AF ＝[1－－2＋－2＝ 5.]9．如图502，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝__________.图5022＋1 [由题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，ba＝2＋1(舍去2－1)．] 10．(2017·徐州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.2 3 [y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形． 因此不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 3. 又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1， 从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.]11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________． －4 [①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.] 12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________. 【导学号：62172278】y 2＝4x 或y 2＝16x [由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)．则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4.由MF ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ， ∴AB ＝212＋32＝12.]2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵AB ＝42，DE ＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]3．(2017·南京模拟)如图503，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．图503y 2＝3x [如图，分别过A ，B 作AA1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°， ∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .]4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32， 代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12OF |y 0|＝12×2×26＝2 3.]5．(2017·南通调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则PQ ＋PN 的最小值为________．3 [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则PQ ＋PN 的最小值等于MH －1＝3.]6．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]。
2021-2022年高三数学抛物线专题教案 新人教A版
2021年高三数学抛物线专题教案新人教A版一、xx年考纲要求：二、知识点复习：1．定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}注意：2．抛物线的标准方程及其简单几何性质三、课前热身：1. 抛物线的标准方程y2=2px中，P称，P的取值范围是 ___，P的几何意义是。
2.抛物线x2+y=0=的焦点位于（）A．x轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．y轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上3. 抛物线的焦点坐标是( )A. (0,)B. ( ,0)C.(0,1)D.(1,0)4．抛物线y2= -8x的焦点到准线的距离是( )A. 4B. 1C. 2D. 85．抛物线y= -2x2的准线方程是( )A. x=-B. x=C. y=D. y=-四、例题分析：类型一：定义应用例1.抛物线上的点P到焦点的距离为6，则P点横坐标为例2. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M（0,2）的距离与点P到准线距离之和的最小值为例3. 已知点P是抛物线上4，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到焦点距离之和去的最小值时，点P的坐标为例4. 设O为坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上一点，与x轴正向的夹角为，则例5. 设F为抛物线的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若,则类型二：求抛物线方程例1. 已知抛物线：，则焦准距= ；焦点坐标为；准线方程为；例2. 已知抛物线：，则焦准距= ；焦点坐标为；准线方程为；例3. 根据已知求下列抛物线的标准方程：（1）.焦点为（0,2）；（2）.准线为；（3）. 焦准距为2；（4）.焦点在x轴上，且过点（2，-）；（5）. 点（2，-）；五、练习题：练习8.3 抛物线（A组）一、选择题：在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：1. 抛物线y=－x2的焦点坐标为（）A.（0，）B.（0，－）C.（，0）D.（－，0）２．抛物线y=－x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=4３．抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.32４．若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是( )A.2B.C.3D.６．过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于( )A.4B.6C.8D.10二、填空题：将每小题所选出的答案填写在题后的横线上7. 如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12 =0 上，则抛物线的方程是 _____8. 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 ______9. 直线x－2y－1=0和曲线的交点是________________三、解答题：解答应写出必要的文字说明和步骤10. 在抛物线上有一点P，它到焦点的距离是20，求P点的坐标11. 已知抛物线形拱桥的顶点距水面2m 时，测量水面宽为8m,当水面升高1m后，水面宽度练习8.3 抛物线（B组）一、选择题：在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.抛物线的焦点坐标为( )A． B． C． D．2. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为( )A.2B.3C.4D.53. 已知点P（3，m）是抛物线上的点，则点P抛物线焦点F的距离等于（）A．4 B. 3 C. 2 D.4. 抛物线的焦点为Ｆ，Ｐ为其上一点，Ｏ为坐标原点，若为等腰三角形，则这样的点Ｐ的个数为（）A．２B．３ C．４D．６5. 抛物线上的点到直线的最短距离是（）A. B. C. D.二、填空题：将每小题所选出的答案填写在题后的横线上6.抛物线的焦点坐标为_______，准线方程为_______.7.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是8.过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心为直径的圆方程是________________.9.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为三、解答题：解答应写出必要的文字说明和步骤10.已知P为抛物线y2=16x上的定点，Q为曲线x2+y2-8x+15=0上的动点，若|PQ|的最大值为7，求点P的坐标。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：抛物线
§8.7抛物线考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y ＝4x 2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x 2＝4y .(√)教材改编题1．抛物线x 2＝14y 的准线方程为()A ．y ＝－116B ．x ＝－116C ．y ＝116D ．x ＝116答案A解析由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y 线方程为y ＝－116.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A ．9B ．8C ．7D ．6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x答案B解析由题意可得|MF |＝x M ＋p2，则3＋p2＝4，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .题型一抛物线的定义及应用例1(1)(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于()A ．2B ．22C ．3D ．32答案B 解析方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设y 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2，所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4，所以AF 的长为通径长的一半，所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.(2)已知点M (20,40)不在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，抛物线C 的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________．答案42或22解析当点M (20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为4141，解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或p ＝22.①②思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1(1)已知抛物线y ＝mx 2(m >0)上的点(x 0,2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A ．4B ．3 C.14D.13答案D解析由题意知，抛物线y ＝mx 2(m >0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0,2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13.(2)若P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案34－4解析圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4的圆心为C (－3,3)，半径r ＝2，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为P 是抛物线y 2＝8x 上的动点，P 到y 轴的距离为d 1，到圆C ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝4上动点Q 的距离为d 2，所以要使d 1＋d 2最小，即P 到抛物线的焦点与到圆C 的圆心的距离最小，如图，连接PF ，FC ，则d 1＋d 2的最小值为|FC |减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即(－3－2)2＋(3－0)2－2－2＝34－4，所以d 1＋d 2的最小值为34－4.题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x答案D解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，∴在Rt △ACE 中，2|AE |＝|AC |，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，∴3＋3a ＝6，解得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，∴p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(2)(2022·烟台模拟)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝－2D ．x ＝－4答案B解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点将点P 的横坐标代入抛物线得y 2＝16p ，可得y ＝±4p ，不妨令P (8,4p )，则S △OFP ＝12×p2×4p ＝p p ＝22，解得p ＝2，则抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y 2＝8x 上有三点A ，B ，C ，F 为其焦点，且F 为△ABC 的重心，则|AF |＋|BF |＋|CF |等于()A ．6B ．8C ．9D ．12答案D解析由题意得，F 为△ABC 的重心，故AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，设点A ，B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，∵抛物线y 2＝8x ，F 为其焦点，∴F (2,0)，∴AF →＝(2－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，∵AF →＝13(AB →＋AC →)，∴2－x 1＝13(x 2－x 1＋x 3－x 1)，∴x 1＋x 2＋x 3＝6，∴|AF →|＋|BF →|＋|CF →|＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是()A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4答案ABC解析如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE ∥x 轴，所以∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，所以∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；因为∠DAE ＝60°，所以∠ADE ＝30°，所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3(p ＝0舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM →＝2MN →，则|FN |＝________.答案16解析易知焦点F 的坐标为(4,0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM →＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C ：y 2＝－32x 的准线方程为()A ．x ＝38B ．x ＝－38C ．y ＝38D ．y ＝－38答案A解析y 2＝－32x 的准线方程为x ＝38.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A ．6B ．4C ．3D ．2答案D解析由题可知，抛物线准线为y ＝－p 2，可得1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝－8x答案D解析由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .4．(2022·北京模拟)设M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若∠OFM ＝120°，则|FM |等于()A ．3B ．4 C.43D.73答案B解析过点M 作抛物线的准线l 的垂线，垂足为点N ，连接FN ，如图所示，因为∠OFM ＝120°，MN ∥x 轴，则∠FMN ＝60°，由抛物线的定义可得|MN |＝|FM |，所以△FNM 为等边三角形，则∠FNM ＝60°，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设直线x ＝－1交x 轴于点E ，则∠ENF ＝30°，易知|EF |＝2，∠FEN ＝90°，则|FM |＝|FN |＝2|EF |＝4.5．(多选)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线的方程为y 2＝8x ，焦点F (2,0)，故B 错误；则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)－8＝4，得x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点，点B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，则下列结论正确的是()A ．C 的准线方程为x ＝24B ．b ＝2C.OA →·OB →＝2D.1|AF |＋1|BF |＝16215答案BD解析点a >0)，B (a ，b )(b >0)在抛物线C 上，2＝a 22，2＝a 2，＝2，＝2，则抛物线C ：y 2＝2x ，B (2，2)，抛物线C 的准线方程为x ＝－24，故A 错误，B 正确；OA →·OB →＝22×2＋1×2＝1＋2，故C 错误；抛物线C 的焦点则|AF |＝324，|BF |＝524，则1|AF |＋1|BF |＝223＋225＝16215，故D 正确．7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．答案26解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．8．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案545解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|FM |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F 0，p 2当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1，M 坐标为(－2,1)．又直线l 过点F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1)．∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，不符合题意，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的第一象限的点P (x ,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程和点P 的坐标；(2)1l 交抛物线C 于A ，B 两点，若∠APB 的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．解(1)由1＋p 2＝2，可得p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y ，当y ＝1时，x 2＝4，又因为x >0，所以x ＝2，所以点P 的坐标为(2,1)．(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)＋12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋k ＋12，2＝4y ，得x 2－4kx －4k －2＝0，所以Δ＝16k 2＋4(4k ＋2)>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k －2，因为∠APB 的角平分线与y 轴垂直，所以k P A ＋k PB ＝0，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，即x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，即x 1＋x 2＋4＝0，所以k ＝－1，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P 4116，1r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论正确的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案BCD 解析设抛物线的焦点为F，如图所示，则F 14，0因为4116，1l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14x －14＝43x －13.y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B 116，－14故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确；直线AO ：y ＝x ＝x ，＝－14.可得－14，－y C ＝y 2，所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确．12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点M 是抛物线C 上一点，MH ⊥l 于H ，若|MH |＝4，∠HFM ＝60°，则抛物线C 的方程为________．答案y 2＝4x 解析因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF |＝|MH |＝4，又∠HFM ＝60°，所以△MHF 为正三角形，所以|HF |＝4，记准线l 与x 轴交于点Q ，则∠QHF ＝30°，所以p ＝|QF |＝|HF |sin ∠QHF ＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y 2＝4x .13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (9,6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |等于()A ．4B ．2C.43D.23答案A解析设P (x ，y )，则y C ＝y ，∵l OB ：y ＝23x ，∴，∴E (0，y )，，∵FC ∥y 轴，∴△OPE ∽△FPC ，∴EP CP ＝OE FC，∴x 32y －x ＝y 6－y ，即y 2＝4x ，∴P 的轨迹方程为y 2＝4x 在第一象限的部分且0≤x ≤9，故A (1,0)为该抛物线的焦点．设Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，AQ →＝(x 0－1，y 0)，AO →＝(－1,0)，∴cos ∠OAQ ＝AO →·AQ →|AO →|·|AQ →|＝1－x 0(x 0－1)2＋y 20·1＝1－x 0x 0＋1＝－12，解得x 0＝3，∴|AQ |＝x 0＋p 2＝3＋1＝4.14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线C 上的两个动点，且AF ⊥AB ，∠ABF ＝30°，设线段AB 的中点M 在准线l 上的射影为点N ，则|MN ||AB |的值是________．答案32解析如图所示，作BE ⊥l ，AD ⊥l ，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝3a 2，又|AB|＝b2－a2＝3a，故|MN||AB|＝3a23a＝32.。
清泉州阳光实验学校高三数学大一轮复习 抛物线教案 理
清泉州阳光实验学校§抛物线2021高考会这样考1.考察抛物线的定义、标准方程；2.考察抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考察直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做1.纯熟掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的间隔图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F F F F离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．抛物线的定义抛物线的定义本质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的间隔转化为到准线的间隔，可以使运算化繁为简．2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的间隔，等于焦点到抛物线顶点的间隔．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要根据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，那么动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，那么圆心到点(1,0)的间隔与到直线x＝－1的间隔相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.2．假设抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，那么p的值是________．答案4解析因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，那么p＝4.3．(2021·)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，假设|AB|＝，|AF|<|BF|，那么|AF|＝________.答案解析由于y2＝2x的焦点坐标为，设AB所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，将y ＝k代入y2＝2x，得k22＝2x，∴k2x2－(k2＋2)x＋＝0.∴x1x2＝.而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，∴x1＋x2＝.∴x1＝，x2＝.∴|AF|＝x1＋＝＋＝.4．(2021·)抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．假设点M到该抛物线焦点的间隔为3，那么|OM|＝()A．2 B．2 C．4 D．2答案B解析由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，那么M到焦点的间隔为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，∴|OM|＝＝＝2.5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公一一共点，那么直线l的斜率的取值范围是()A. B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用例1抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的间隔等于点P到准线l的间隔d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－的间隔为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．探究进步与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵敏性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线〞，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2021·)F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，那么线段AB的中点到y轴的间隔为()A. B．1 C. D.答案C解析∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的间隔为＝.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公一一共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公一一共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，那么|MA|＝|AN|，而|AN|＝.∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或者者x2＝－y.抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.探究进步(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，那么直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或者者x＝.∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.那么p2＝＝.又p>0，那么p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.题型三直线与抛物线的位置关系例3(2021·)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设＝＋λ，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．解(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或者者λ＝2.探究进步(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：·是一个定值．(1)解∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.∴|AB|＝＝·＝·＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴·是一个定值．直线与抛物线的位置关系问题典例：(12分)(2021·)平面内一动点P到点F(1,0)的间隔与点P到y轴的间隔的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．审题视角(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出·关于k的解析式，利用根本不等式求最值．标准解答解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．[5分](2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，那么l1的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.[7分]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，那么同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.[9分]故·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||·||＋||·||＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4≥8＋4×2＝16.[11分]当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.[12分]答题模板第一步：联立方程，得关于x或者者y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或者者指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目的函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或者者根本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回忆，有无忽略特殊情况．温馨提醒解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对Δ>0的限制或者者验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目的函数；探究性问题要先假设存在，然后推理求解．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进展分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或者者x2＝my(m≠0)．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)假设直线AB的倾斜角为θ，那么|AB|＝；(3)假设F为抛物线焦点，那么有＋＝.失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y答案D解析由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或者者(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或者者x2＝－12y.2．直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，那么△ABP的面积为()A．18 B．24 C．36 D．48答案C解析不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x ＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假设直线AF的斜率为－，那么|PF|等于()A．4 B．8 C．8 D．16答案B解析设P，那么A(－2，y)，由kAF＝－，即＝－，得y＝4，|PF|＝|PA|＝＋2＝8.4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，那么△MPF 的面积为()A．5 B．10 C．20 D.答案B解析由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．假设点P到直线y＝－1的间隔比它到点(0，3)的间隔小2，那么点P的轨迹方程是_______．答案x2＝12y解析由题意可知点P到直线y＝－3的间隔等于它到点(0，3)的间隔，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.6．抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的间隔|MF|＝4，那么点M的横坐标x＝________.答案3解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的间隔为4，那么M的横坐标为3.7．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，那么点P到点B(－1,1)的间隔与点P到直线x＝－1的间隔之和的最小值为______．答案解析∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的间隔与点P到准线x＝－1的间隔之和等于|PB|＋|PF|.如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点一一共线时获得最小值，此时|BF|＝＝.三、解答题(一一共22分)8．(10分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，那么直线方程为y＝－x＋p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋＋x2＋＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y得x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p.将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线的方程为y2＝±4x.9．(12分)定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，假设·<0，求直线l的斜率的取值范围．解(1)设P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)．∵·＝(－2，yE)·(－2，yF)＝yE·yF＋4＝0，∴yE·yF＝－4，①又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，且∥，∥，∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，∴yE＝y，yF＝－，代入①得y2＝4x(x≠0)，∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．(2)设l：y－2＝kx(易知k存在)，联立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么y1＋y2＝，y1·y2＝，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－＋1＋y1y2＝2－＋y1y2＋1＝＋1<0，∴－12<k<0，那么实数k的取值范围为(－12,0)．B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，假设直线l的倾斜角为45°，那么弦AB的中点坐标为()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)答案C解析依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)，因此选C.2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，假设＋＋＝0，那么||＋||＋||等于()A．9 B．6 C．4 D．3答案B解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.3．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，假设△AMF 与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，那么点A的坐标为() A．(2,2) B．(2，－2)C．(2，±) D．(2，±2)答案D解析如下列图，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝＝3，∴|AF|＝|AM|＝3，设A，∴＋1＝3，解得y0＝±2.∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的间隔为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，那么|PA|＋|PM|的最小值是________．答案解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，那么F，又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，那么|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，假设AM⊥MF，那么p的值是________．答案解析由抛物线定义可知|BM|＝|BF|，又由平面几何知识得|BM|＝|BA|，所以点B为AF的中点，又B在抛物线上，所以12＝2p×，即p2＝2，又p>0，故p＝.6．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，那么||＝________.答案p解析过A作AD垂直于x轴于点D，令|FD|＝m，那么|FA|＝2m，p＋m＝2m，m＝p.∴||＝＝p.三、解答题7．(13分)A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，(1)求动点P的轨迹方程；(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由．解(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；那么＝(－8，b)，＝(x，y－b)，＝(c，－b)，＝(x－c，y)．∴·＝－8x＋b(y－b)＝0.①由＝，得∴b＝－y代入①得y2＝－4x.∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，那么l：y＝k(x－8)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，由·＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②将y＝k(x－8)代入y2＝－4x得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.∵直线l与y2＝－4x交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2>0，即－<k<，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝64.代入②式得：64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.整理得k2＝，∴k＝±.∵k＝±∉，∴这样的直线l不存在．。
清泉州阳光实验学校高三数学总复习 抛物线教案
清泉州阳光实验学校2021届高三数学总复习抛物线教案A版答案：x2＝－12y解析：∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.2.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．答案：x＝2解析：∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.3.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，那么a的值是________．答案：－解析：抛物线的标准方程为x2＝y.那么a＜0且2＝－，得a＝－.4.(选修11P44习题2改编)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的间隔为3，那么点M的横坐标x＝________．答案：2解析：∵2p＝4，∴p＝2，准线方程x＝－1.由抛物线定义可知，点M到准线的间隔为3，那么x＋1＝3，即x＝2.5.斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A，假设△OAF(O为坐标原点)的面积为4，那么抛物线方程为________．答案：y2＝8x解析：依题意得，OF＝，又直线l的斜率为2，可知AO＝2OF＝，△AOF的面积等于·AO·OF＝＝4，那么a2＝64.又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)间隔相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) 图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝－x＝焦点对称轴关于x轴对称顶点(0，0)离心率e＝1标准方程x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程y＝－y＝焦点对称轴关于y轴对称顶点(0，0)离心率e＝1例1抛物线y2＝8x的焦点到准线的间隔是________．答案：4解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的间隔就是p，所以焦点到准线的间隔为4.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．答案：x＝2解析：∵2p＝8，∴p＝4，准线方程为x＝2.题型2求抛物线的方程例2(选修11P44习题5改编)抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x－y－4＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线2x－y－4＝0与x轴的交点是(2，0)，与y轴的交点是(0，－4)．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，那么①假设抛物线焦点在x轴上，那么抛物线的标准方程是y2＝8x；②假设抛物线焦点在y轴上，那么抛物线的标准方程是x2＝－16y；故所求抛物线方程为y2＝8x或者者x2＝－16y.Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2＝2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝x，△AOB 的面积为6，求该抛物线的方程．解：∵OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝x，OB所在直线的方程为y＝－x，由得A点坐标为，由得B点坐标为(6p，－2p)，∴OA＝|p|，OB＝4|p|，又S△OAB＝p2＝6，∴p＝±.∴该抛物线的方程为y2＝3x或者者y2＝－3x.题型3抛物线的几何性质探究例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的间隔为f(m)，求f(m)关于m的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－＝0.(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1，2＝.由ME＝2DM知1＋＝2(－1)，化简得k2＝.因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(y1－y2)2＝＝(m2＋4m)，所以f(m)＝(m>0)．(解法2)设D，E.由点M(m，0)及＝2，得t2－m＝2，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s2.所以f(m)＝DE＝＝(m>0)．抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－2，该抛物线上的每个点到准线x＝－2的间隔都与到定点N的间隔相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圆，(1)求定点N的坐标；(2)是否存在一条直线l同时满足以下条件：①l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E(4，1)；②l被圆N截得的弦长为2.解：(1)因为抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－2.所以p＝4，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为(2，0)．(2)假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y－1＝k(x－4)，k≠±1.以N为圆心，同时与直线l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圆N的半径为.因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的间隔等于1,即d＝＝1，解得k＝0或者者，当k＝0时，显然不合AB中点为E(4，1)的条件，矛盾，当k＝时，l的方程为4x－3y－13＝0.由，解得点A的坐标为(13，13)；由，解得点B的坐标为.显然AB中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.1.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的间隔的最小值是________．答案：解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的间隔为，当m＝时，获得最小值.2.双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.假设抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的间隔为2，那么抛物线C2的方程为________．答案：x2＝16y解析：∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y ＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的间隔为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.3.抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．假设点M到该抛物线焦点的间隔为3，那么OM＝________．答案：2解析：依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，那么有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，OM＝＝2.4.抛物线D的顶点是椭圆C：＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．①假设直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？假设存在，求出m的方程；假设不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由a2－b2＝4－3＝1，得c＝1，∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y2＝4x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．①直线l的方程为y＝x－4，联立整理得x2－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，∴MN＝＝4.②设存在直线m：x＝a满足题意，那么圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m与圆E的一个交点为G.可得|E′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE′|2＝,4)－＝y＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.当a＝3时，|E′G|2＝3，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2，因此存在直线m：x＝3满足题意．5.如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：(1)依题意，OB＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，那么x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，那么x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由，,y＝－1，))得－4,2x0)，,y＝－1.))所以Q为－4,2x0)，－1)).设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝－4,2x0)，－1－y1))，由·＝0，得－4,2)－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以＋y1－2＝0，))解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．1.(文)抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，那么|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的间隔d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．(理)以下列图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.答案：2解析：设抛物线的方程为x2＝－2py，那么点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.2.(文)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，假设△PQF是边长为2的正三角形，那么p的值是________．答案：2±解析：依题意得F，设P,2p)，y1))，Q,2p)，y2))(y1≠y2)．由抛物线定义及PF＝QF，得,2p)＋＝,2p)＋，所以y＝y，所以y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±.(理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，拋物线与双曲线的一个交点为，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设拋物线方程为y2＝4c·x.∵拋物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故拋物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点，∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.∴a2＝或者者a2＝9(舍)．∴b2＝，故双曲线方程为4x2－＝1.3.(文)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C.假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么此抛物线的方程为________．答案：y2＝3x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的间隔．由|BC|＝2|BF|，得∠BCM＝30°.又|AF|＝3，从而A.由A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝.(理)如下列图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的间隔与到点N的间隔相等．假设△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA、xB为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M、N.由|AM|＝，|AN|＝3，得＋2pxA＝17，①＋2pxA＝9.②联立①②，解得xA＝，代入①式，并由p＞0，解得或者者∵△AMN为锐角三角形，∴＞xA.∴由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|－＝4.综上，曲线C的方程为y2＝8x(1≤x≤4，y>0)．4.(文)求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解：(1)设所求抛物线的方程为y2＝－2px或者者x2＝2py(p＞0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或者者9＝2p·2.∴p＝或者者p＝.∴所求抛物线的方程为y2＝－x 或者者x2＝y，前者的准线方程是x＝，后者的准线方程是y＝－.(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或者者(0，－2)．当焦点为(4，0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的方程为y2＝16x；焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线的方程为x2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y2＝16x或者者x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.(理)定点F(0，1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．解：(1)由题设点C到点F的间隔等于它到l1的间隔，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，·＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.1.涉及抛物线上的点到焦点(准线)的间隔问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的间隔问题求解．2.求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．3.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．[备课札记]。
清泉州阳光实验学校高三数学总复习 抛物线及其标准方程教案
清泉州阳光实验学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：抛物线及其标准方程一、教学目的(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)才能训练点要求学生进一步纯熟掌握解析几何的根本思想方法，进步分析、比照、概括、转化等方面的才能．(三)学科浸透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进展理论来源于理论的辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：抛物线的定义和标准方程．(解决方法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识．)2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决方法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最正确方法，防止了硬性规定坐标系．)3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上〞的限制．(解决方法：向学生加以说明．)三、活动设计提问、回忆、实验、讲解、演板、归纳表格．四、教学过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程〞．请大家考虑两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或者者开口向下两种情形．引导学生进一步考虑：假设抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回忆平面内与一个定点F的间隔和一条定直线l的间隔的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的间隔AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线l的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的间隔为p(p为数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的间隔为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线间隔的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据以下所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；(3)焦点到准线的间隔是2．由三名学生演板，教师予以订正．答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或者者准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；假设抛物线的焦点坐标或者者准线方程没有给定，那么所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、布置作业到准线的间隔是多少？点M的横坐标是多少？2．求以下抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据以下条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的间隔等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x(2)x2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x2=-12y或者者y2=16x 六、板书设计。
高考数学一轮复习 第50讲抛物线课件 理 新人教课标A
第50讲 │ 要点探究
► 探究点4 抛物线的综合应用
例4 一水渠的横截面积如图50－2 所示，它的横截面边界AOB是抛物线 的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC 为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m. (1)求水面EF的宽度； (2)如果把此水渠改造为横截面是等腰 梯形，要求渠深不变，不准往回填土， 只准挖土，试求截面梯形的下底边长 为多大时，才能使所挖的土最少？
2．明确p的几何意义：焦点F到准线的距离，抛物线y2＝ 2px上3．的有点关常抛设物为线的2yp2焦，y半 .径、焦点弦问题，常转化为点到准线 的距离．有关直线与抛物线的位置关系问题，常用方程组思想、 消元法，结合根与系数的关系求解．
第50讲 │ 规律总结
4．抛物线方程的四种标准形式， 可以合并为两个：y2＝mx，x2＝ my(m≠0)．
∵过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的是等腰直角三 角形， ∴直线m的斜率为1. 设直线m与准线l交于点A， 准线l与x轴交于点P， 如图，可得各点的坐标为
Pp2，0，Ap2，p.
第50讲 │ 要点探究
∴S△PAF＝12p2＝8，解得 p＝4， ∴抛物线方程为y2＝－8x.
[点评] 求抛物线的标准方程，只需确定一个待定参数．具体 求解时，要确定参数p的值和开口方向两个条件，必要时要进行 讨论．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
【焦点】高考数学一轮复习第九章平面解析几何第50课抛物线教师用书
【关键字】焦点第50课抛物线[最新考纲]平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是________．y＝－1 [∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．(1,0) [抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9 [设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x＝9，∴点M到y轴的距离为9.](1)＝x0，则x0＝________.(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为__________．(1)1 (2)2 [(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝AF.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.根据抛物线的定义，AF＝AC＋1，BF＝BD＋1.因此AC＋BD＝AF＋BF－2＝AB－2.所以AC＋BD取到最小值，当且仅当AB取得最小值，又AB＝2p＝4为最小值．故AC＋BD的最小值为4－2＝2.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得PF ＝x0＋；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为AB ＝x1＋x2＋p ，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] 已知抛物线C ：y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若＝4 ，则QF ＝________.【导学号：】3 [∵＝4 ， ∴FP ＝4FQ ， ∴＝.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则AF ＝4， ∴＝＝， ∴QQ ′＝3.根据抛物线定义可知QF ＝QQ ′＝3.]如图50-1直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．图50-1[解] 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－x ， 由得x ＝0或x ＝.∴A 点坐标为，同理得B 点坐标为(2pk2，－2pk)，由OA ＝1，OB ＝8， 可得②÷①得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝＝.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .[规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] 写出适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点与双曲线3x 2－y 2＝3的一个焦点重合； (2)焦点到准线的距离为3.[解] (1)∵双曲线3x 2－y 2＝3的焦点坐标为(±2,0)， 当焦点坐标为(2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝8x ； 当焦点坐标为(－2,0)时，抛物线的标准方程为y 2＝－8x . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝±8x .(2)由题意可知p ＝3，故2p ＝6，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±6x 或x 2＝±6y .抛物线的几何性质已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 【导学号：】[证明] (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF ) ＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[规律方法] 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点解题，同时要注意抛物线定义的应用，如焦点弦问题：AB ＝x 1＋x 2＋p ，其中A ，B 为焦点弦的两个端点．[变式训练3] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________．322[由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4. ∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.][思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．课时分层训练(五十) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． (1,0) [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．3 [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为AF ＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：】32 [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 又y 2＝4x 的焦点F (1,0)， ∴焦点F 到直线的距离d ＝332＋－12＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________．y 2＝±42x [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2.所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为__________．8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)．∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.]7．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x ＝－2 [由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________. 【导学号：】5 [如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连结AF 交抛物线于点P ，此时最小值为AF ＝[1－－1]2＋0－12＝ 5.]9．如图502，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝__________.图5022＋1 [由题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，ba＝2＋1(舍去2－1)．]10．(2017·徐州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.2 3 [y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形． 因此不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 3. 又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1， 从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.]11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________． －4 [①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4.] 12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________. 【导学号：】y 2＝4x 或y 2＝16x [由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，点M (x 0，y 0)．则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4.由MF ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ， ∴AB ＝212＋32＝12.]2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵AB ＝42，DE ＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]3．(2017·南京模拟)如图503，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．图503y 2＝3x [如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°， ∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .]4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为________．2 3 [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32， 代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12OF |y 0|＝12×2×26＝2 3.]5．(2017·南通调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则PQ ＋PN 的最小值为________．3 [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合． 过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则PQ ＋PN 的最小值等于MH －1＝3.]6．已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第九章 9.7 抛物线 Word版含解析
姓名，年级：时间：§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1。
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px (p〉0）y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0）x2＝－2py(p>0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O（0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝错误!y＝－错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径x0＋错误!－x0＋错误!y0＋错误!－y0＋错误!通径长2p概念方法微思考1。
若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线。
2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时,只有一个交点，但不是相切,所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。
题组一思考辨析1。
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ×）(2）方程y＝ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!,准线方程是x＝－错误!.( ×）（3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a〉0)的通径长为2a。