平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算

一、知识精讲

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

3．平面向量的坐标运算

AB

4．两个向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

[小问题·大思维]

1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．

2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)． 3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？

提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？

提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．

5．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，是否有x 1x 2＝y 1

y 2

成立？

提示：不一定．由于x 1x 2＝y 1

y 2

的意义与x 1y 2－x 2y 1＝0的意义不同，前者不

允许x 2和y 2为零，而后者允许，当x 1＝x 2＝0，或y 1＝y 2＝0或x 2＝y 2＝0时，a ∥b 但x 1x 2＝y 1

y 2不成立．

二、典例精析

例1、如图所示，已知△ABC ，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与

AD交于点F，求DF的坐标．

变式练习：

若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()

A．－1

2a＋

3

2b B.

1

2a－

3

2b C.

3

2a－

1

2b D．－

3

2a＋

1

2b

答案：B

例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t AB.

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．

保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

变式练习：

已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．

(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．

例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？

变式练习

已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

例4、(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，

(1)求证：A，B，C三点共线；

(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？

变式练习

设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？

例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC

和OB交点P的坐标．

变式练习：

在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝1

OA，OD＝12OB，AD

4

与BC交于点M，求点M的坐标．

三、课后检测

一、选择题

1．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．

答案：B

2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则( ) A ．m ＝2，n ＝4 B ．m ＝3，n ＝－2 C ．m ＝4，n ＝2

D ．m ＝－4，n ＝－2

解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2) ＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 答案：C

3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )

A ．(2,6)

B ．(－2,6)

C ．(2，－6)

D ．(－2，－6)