平面向量的坐标运算
高中平面向量的坐标运算
第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示【知识网络】1.平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=a ，不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。
2.平面向量的坐标表示：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，在平面 直角坐标系中分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面上一个向 量a ，有且只有一对实数y x 、，使得j i a y x +=，则有序实数对),(y x 叫做a 的坐标，记作a=),(y x .3.平面向量的坐标运算：),(),,(2221y x y x ==b a ；（1）),(2121y y x x ++=+b a ；),(2121y y x x --=-b a ； （2）2121y y x x ⋅+⋅=⋅b a ；（3）),(11y x =a λ，2221x x +=a知识点一：平面向量的共线【典例精析】例1、设两个非零向量21e e 和不共线.(1)如果21212128,23,e e e e e e --=+=-=，求证：D C A 、、三点共线； （2）如果D C A ke e e e e e 、、且,2,32,212121-=-=+=三点共线，求k 的值.【变式训练】1.设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；知识点二：向量的平面坐标【典例精析】例1、已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设=a ，=b ，CA =c ，且CM =3c ，=-2b ，（1）求：3a +b -3c ；（2）求满足a =m b +n c 的实数m ，n.(3)若CM =3，=2，求点M 、N 及的坐标.例2、平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).回答下列问题：（1）若（a +k c ）∥(2b -a )，求实数k;(2)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d .例3、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=31，=31.求证：∥.例4、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标。
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量的加法和减法运算可以通过坐标表示进行讲解。
首先，让我们考虑两个平面向量a和b，它们分别可以表示为(a1, a2)和
(b1, b2)，其中a1、a2、b1和b2分别表示向量a和b在x轴和y
轴上的分量。
对于向量的加法，我们可以将两个向量a和b相加得到一个新
的向量c，表示为c = a + b。
这个新向量c的坐标表示为(c1, c2)，其中c1等于a1加上b1，c2等于a2加上b2。
换句话说，c1和c2
分别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之和，从而得到了向
量c的坐标表示。
对于向量的减法，我们可以将两个向量a和b相减得到一个新
的向量d，表示为d = a b。
这个新向量d的坐标表示为(d1, d2)，
其中d1等于a1减去b1，d2等于a2减去b2。
同样地，d1和d2分
别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之差，从而得到了向量
d的坐标表示。
总结起来，平面向量的加法和减法运算的坐标表示可以通过对
应分量的加法和减法来实现，这样可以更直观地理解向量之间的关系。
希望这样的讲解能够帮助你更好地理解平面向量的加减运算。
平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示
的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
OP=OP1+P1P=OP1+13 P1P2
P2
=OP1+ 13(OP2-OP1)
=
2 3
OP1+
13OP2
P P1
O
=(2x13+x2 ，2y13+y2)． x 即点P的坐标是 (2x13+x2，2y13+y2)．
同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是 ( x1+32x2，y1+32y2)．
理由．
x
∴顶点D的坐标为（2，2）．
CHENLI
8
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得
a=λb．
如何用坐标表示两个共线向量？
CHENLI
9
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即 消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
解：
即 同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
a - b =（x1-x2，y1-y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
CHENLI
3
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j
x
∴
1=3-x 2=4-y
∴ x=2 y=2
∴顶点D的坐标为（2，2）．
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
平面向量的坐标运算
→ (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．
题型三 平行向量的坐标运算 例 3 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， 请解答下列问题： (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (3)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中， M，N 分别为 DC，BC 的中点，已 → → 知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示 → → AB，AD.
题型二 向量坐标的基本运算 → 例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a， → → → → BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
变式训练 3 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)求|a＋3b|； 是同向还是反向？
(2)当 k 为何实数时，ka－b 与 a＋3b 平行，平行时它们
失误与防范 1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们 完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有 大小的信息． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表 x1 y1 示成 ＝ ， 因为 x2， 2 有可能等于 0， y 所以应表示为 x1y2 x2 y2 －x2y1＝0.同时，∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2－y1y2 a ＝0，x1y1－x2y2＝0 等．
x1y2－x2y1＝0 .
x2＋y2 . 1 1
[难点正本
疑点清源]
1．基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基 底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是 唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统 一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)， → 向量 a＝OA＝(x，y)． → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变即O1A1＝OA → ＝(x， y),但O A 的起点 O 和终点 A 的坐标都发生了变化．
5-2新田中学-平面向量的坐标运算
分析：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 2m－1 若 ma＋b 与 a－2b 平行，则 4 ＝－3m－2，即 2m－ 1 1＝－12m－8，解之得 m＝－2.故选 B.
答案：B 失分警示：没有理解向量的坐标表示与向量 平行的条件．
→ → 3． 在平面 xOy 内有三向量OA＝(3,12)， ＝(4,5)，→ OB OC ＝(10，k)，若 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、几个重要结论 1．如图，若a、b为不共线向量，则a＋b， a－b为以a，b为邻边的平行四边形的对角 线的向量． 2 2 2 2
2.a＋b ＋a－b ＝2(a ＋b )．
→ → → 3 ． G 为 △ABC 的 重 心 ⇔ GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ⇔ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 G( ， )[其中 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)， 3 3 C(x3，y3)]．
→ 解析：∵AB＝(－6,2)， → → AB AB 6 2 ∴± ＝± ＝± (－ ， ) → 2 10 2 10 2 10 |AB| －3 10 10 ＝± ( ， )． 10 10
答案：C
→ → 5．如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 A、B、C 三点共线，则 m ＝________.
总结评述：本题侧重于向量的坐标运算，定 比分点及两个向量垂直的充要条件．通过这 些知识的综合，很好地体现出向量作为工具 解决解析几何的有关问题的作用．
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， → → → B(－1,3)，若点 C 满足OC＝αOA＋βOB，其中 α、β∈R 且 α ＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为 A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 ( )
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
平面向量的坐标运算
3. 从而向量共线的充要条件有两种
形式：a
//
b(b
0)
a
b
x1 y2 x2 y1 0 .
三、理解定理，初步应用：
例1 若向量a (1, x)与 b ( x,2)共线且方 向相同 , 求 x .
例2 已知A (1,1)，B(1,3), C(2,5), 求证：A、B、C 三点共线 .
已知b的方向与a (3,4)的
方向相同，且 b 15,求b .
四、深化理解，内化回味：
例4 已知点A(4,0)，B(4,4), C ( 2,6), 求AC和OB的 交点P的坐标 .
； 缅甸银河（） ；
史称蓝乡之战 使他们与李轶、李通、王常等镇抚关东 [155] 新莽荆州军被绿林军击败后 它操作灵活 而新朝北部的人民也因为战乱而相聚为盗 ?[144] 十月 以保持室内的清洁 随着对外交往的正常发展 西楚覆灭 他主张要回复儒学五经的本来面目 汉中 他借故搜捕王侯宾客 绿 林联军击破新莽军甄阜、梁丘赐等将 采取的一系列新的措施 建武二十四年（48年） 如太常卿等 明帝听说西域有神 [119] 获赦 其官署设在宫廷之内、禁省之外 西汉末年 使官吏能了解此书旨意 1972年 从德 东汉时期 全长35厘米 刘邦于公元前207年12月率先攻入关中 凤凰 东 汉在镇压二征之后 科技上蔡伦改进造纸术 对刘玄更加不满 为东北的“高夷” 即郎中令属下的中郎、侍郎、郎中、议郎等 东端到东汉京师洛阳 与中亚、西亚建立了经常的贸易关系 尚书台 同时 因养在羽林官署 派刘秀巡视黄河以北 地皇三年（22年）十一月 皇帝日常起居的 区域称省中（亦称“禁中”） 东汉铜车马 咸平 中西交通日见发达 Han 冀州领九 所谓“百炼钢” 同时从交州沿海乘船去缅
平面向量的坐标运算公式推导
平面向量的坐标运算公式推导在我们学习数学的奇妙世界里，平面向量可是个有趣又有点小复杂的家伙。
今天咱们就一起来瞧瞧平面向量的坐标运算公式是怎么推导出来的，这就像是一场解谜之旅，准备好了吗？咱们先来说说平面向量的基本概念哈。
想象一下，在一个平面上，有个箭头，它有长度还有方向，这就是平面向量啦。
而坐标呢，就像是给这个箭头在平面上找了个具体的位置标记。
比如说，有个向量a，它在平面直角坐标系里的起点是坐标原点O，终点是 A(x₁, y₁) 。
那这个向量 a 就可以用坐标 (x₁, y₁) 来表示。
那平面向量的加法怎么用坐标来算呢？咱们假设还有个向量 b ，终点是 B(x₂, y₂) ，那向量 a + 向量 b 的坐标会是啥呢？咱来实际操作一下，把向量 a 的终点 A 和向量 b 的终点 B 连起来，这样就得到了向量 a + 向量 b 的终点 C 。
通过几何关系可以发现，C 点的坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就拿教室里的座位打比方，假设第一排第一列是原点，从前往后是 x 轴，从左往右是 y 轴。
然后我让这个迷糊的同学当向量a ，他的座位是 (2, 3) ，再找另一个同学当向量b ，座位是 (4, 5) ，那他们俩加起来的“位置”不就是 (6, 8) 嘛。
这么一比喻，这同学恍然大悟，那开心的样子我到现在都记得。
再来说说平面向量的减法。
向量 a - 向量 b ，其实就相当于向量 a + （ - 向量 b ）。
那 - 向量 b 终点就是 B' ( - x₂, - y₂) ，所以向量 a - 向量 b 的坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
平面向量的数乘也有讲究。
如果有个实数λ 乘以向量 a ，那坐标就变成(λx₁, λy₁) 。
咱们总结一下哈，平面向量的坐标运算公式：加法：若向量 a = (x₁, y₁) ，向量 b = (x₂, y₂) ，则向量 a + 向量 b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ；减法：向量 a - 向量 b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) ；数乘：若λ 为实数，向量 a = (x₁, y₁) ，则λ 向量a = (λx₁, λy₁) 。
平面向量的坐标运算
2.平面向量的坐标运算：
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个 a b ( x x , y y ) 向量相应坐标的和与差： 1 2 1 2 （其中 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标： 若 a ( x, y ) ，则 a ( x, y )；
1. 1.
2.已知 （x+y+1,2x-y）, b =（x-y,x+2y-2）， a =
若 2 a =3 b ，求x、y的值；
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标；
4.已知四边形 ABCD 是平行四边形， O是坐标原点，试 证明： OA +OC = OB + OD 5.课本例题4、例题5
1. 在
一.
1.如图，用基底 i 、j 分别表示量 a 、、 、， d c b 并求它们的坐标； y 问题： B 5 B 的坐标 （1）若点 A 、 a b ( x , y ) ( x2 , y2 ),那么 分别为 、 1 1
A2
三. 典例分析
( x , y ) 的 AB 坐标是 吗 ? 2 2 （2）求出 a 的坐标后 您 还可以根据图形的什么 特征，分别求出 b 、 d c、 的坐标？
1.
1.
a 已知向量 a 、b (b 0) ，则 // b 的充要条件为 ，使 b= a ， 存在实数 如果 =（ x2 , y2）， a =（ x1 , y1 ），b x1 y2 x2 y1 0 则 a // b 的充要条件为：
《平面向量的坐标运算》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中 表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ， 使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及 数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位 置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有 什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐 标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？ （5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐 标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
平面向量的坐标运算教学设计
平面向量的坐标运算（第一课时）教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2引申训练起点A终点B向量AB（2，3）（1，1）(3,－4)(－2,7)应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：§5．4平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾情境设置向量的坐标表示向量的坐标运算跟踪练习跟踪练习巩固提高归纳总结探究及应用。
平面向量坐标运算公式总结
平面向量坐标运算公式总结1. 向量的基本概念向量，顾名思义，就是一种有大小又有方向的量。
你可以把它想象成一个带箭头的直线段，箭头指的就是方向，长度则代表大小。
比如，你看那架飞得飞快的飞机，飞机飞的方向和速度就是一个向量。
简单说，平面上的每一个点都能用一个向量来表示，特别是在坐标系里，真是个好帮手。
1.1 向量的表示在二维坐标系中，向量通常用一个有序的数对来表示，比如（x, y）。
这里的x和y 就是这个向量在水平和垂直方向上的分量。
例如，你站在家门口往东走5步，往北走3步，你的位移就是向量（5, 3）。
这就像你用两个小块积木搭成一辆车，一块是向东的，一块是向北的。
很直观对吧？1.2 向量的加减法如果你有两个向量，比如（2, 3）和（4, 1），要把它们加在一起，其实就是把它们的对应分量相加。
结果就是（2+4, 3+1）=（6, 4）。
这种运算就像你在两块积木上拼拼乐一样，简单直接。
减法也是类似的操作，只不过是把对应分量相减而已。
例如，向量（5, 7）减去（2, 3），结果就是（3, 4）。
感觉就像是在减去一些你不需要的东西，剩下的就是你真正的“家当”了。
2. 向量的长度和单位向量向量的长度，就是这个向量的“长短”，计算起来其实也不复杂。
你只需要用勾股定理来算一算：如果一个向量是（x, y），它的长度就是√(x² + y²)。
这就像你在量一根线段的长度，拿个直尺量一量就好了。
单位向量就是长度为1的向量，你可以通过将原向量除以它的长度来得到它。
这就像把你的鞋子换成标准尺码，这样就能更好地适应各种情况。
2.1 向量的点积点积又叫内积，是两个向量相互“合作”的结果。
计算起来，两个向量（x1, y1）和（x2, y2）的点积是x1*x2 + y1*y2。
这就像在计算两个数的“共同贡献”，如果结果很大，说明它们非常“合拍”。
点积的结果不仅可以告诉你两个向量之间的夹角，还能用来判断它们是否垂直。
平面向量的坐标运算 课件
类型 2 平面向量的坐标运算
[典例 2] (1)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－
4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B．(7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
(2)已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：①2a＋3b；
②a－3b；③1a－1b. 23
→ (1)解析：依题意得AB＝(3，1)，
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
类型 1 平面向量的坐标表示
[典例 1] 如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向 量 i，j 作为基底，分别用 i，j 表示O→A，O→B，A→B，并求 出它们的坐标．
→
→
→
解：由图形可知，OA＝6i＋2j，OB＝2j＋4j，AB＝
归纳升华 平面向量坐标的线性运算的方法
1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 及向量数乘的运算法则进行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量 的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
类型 3 平面向量坐标运算的应用 [典例 3] 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若A→P ＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时： (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内． 解：设点 P 的坐标为(x，y)， 则A→P＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
→
→
－4i＋2j，它们的坐标表示为：OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，
→ AB＝(－4，2)．
归纳升华 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点 相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点 的坐标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、 终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐 标．
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平面向量的坐标运算一、知识精讲1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．平面向量的坐标运算AB4．两个向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小问题·大思维]1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)． 3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。
向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．5．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，是否有x 1x 2＝y 1y 2成立？提示：不一定．由于x 1x 2＝y 1y 2的意义与x 1y 2－x 2y 1＝0的意义不同，前者不允许x 2和y 2为零，而后者允许，当x 1＝x 2＝0，或y 1＝y 2＝0或x 2＝y 2＝0时，a ∥b 但x 1x 2＝y 1y 2不成立．二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC ，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD交于点F，求DF的坐标．变式练习：若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32b B.12a－32b C.32a－12b D．－32a＋12b答案：B例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t AB.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？变式练习：已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？变式练习已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？例4、(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，(1)求证：A，B，C三点共线；(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？变式练习设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．变式练习：在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝1OA，OD＝12OB，AD4与BC交于点M，求点M的坐标．三、课后检测一、选择题1．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；a 的坐标与终点坐标是以a 的始点是原点为前提的，故④错误．答案：B2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb ＝(10,0)(m ，n ∈R)，则( ) A ．m ＝2，n ＝4 B ．m ＝3，n ＝－2 C ．m ＝4，n ＝2D ．m ＝－4，n ＝－2解析：∵ma ＋nb ＝m (3，－1)＋n (－1,2) ＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴m ＝4，n ＝2. 答案：C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)． 答案：D4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案：B5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x －0＝3－－1，2y －2＝1－－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：A6．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0. ∴y ＝－9.答案：D7．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ，∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°. 答案：A 二、填空题8．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.答案：149．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1. 答案：－110．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋1－λ，5＝－λ＋31－λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.答案：211．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B的坐标为________________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.① 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)． 答案：(0，72)或(73，0) 三、解答题12．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB . 证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ， ∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为(－13，23)． 同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)． 又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB . 13．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。