曲线的曲率曲率半径

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曲率半径推导

曲率半径推导曲率半径是描述曲线圆弧程度的重要概念，它揭示了曲线在一定点附近的弯曲程度和方向。

在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，本文将围绕曲率半径推导进行阐述。

一、曲率概念曲率是描述曲线附近的局部弯曲程度的量。

对于曲线上任意一点处的曲率，其计算公式如下：K = |dθ/ds|其中，K表示曲率，θ表示曲线在该点处的方向角度，ds表示曲线在该点处的弧长。

尤其当曲线处于二维平面上时，我们可以把曲率表示为以下形式：K = |(xdy-ydx)/((x^2+y^2)^1.5)|其中，x、y分别表示曲线在该点处的横向、纵向偏移量。

二、曲率半径的定义与推导曲率半径也叫曲率圆半径，是指曲线在某一点处切线所在的圆的半径。

我们可以通过以下公式来计算曲率半径：R = 1/K其中，R表示曲率半径。

接下来，我们来推导这个公式。

考虑曲线上一点P(x0,y0)，假设其曲率半径为R，圆心为O(xc,yc)，则有以下关系：|PO| = R但是，我们很难直接求出曲率K。

这时候，我们可以借助极限和微积分知识，使用以下公式来近似计算曲率：K = lim (Δθ/Δs) = lim ((θ2-θ1)/(s2-s1))其中，Δθ表示θ2-θ1，Δs表示s2-s1。

当Δs趋近于0时，极限值就是连续曲线在该点处的曲率。

考虑P点处的两个相邻点Q(x1,y1)和R(x2,y2)。

假设曲线在P点的切线方向角度为θ，则有以下关系：tan θ = |QR| / |PQ|在Δs趋近于0的极限情况下，上式变为：θ = lim arctan ((Δy/Δx)) = arctan(dy/dx)其中，Δx = x2-x1，Δy = y2-y1。

因此，我们可以得到：K = lim ((dy/dx)/(ds/dx)) =(d^2y/dx^2)/(1+(dy/dx)^2)^(3/2)此时我们将计算曲率K的公式代入曲率半径的公式中可以得到：R = 1 / [(d^2y/dx^2)/(1+(dy/dx)^2)^(3/2)]这样，我们就得到了曲率半径计算公式。

曲率及其曲率半径的计算

Ds MM Dx | MM |
(
2
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
2
从而，有
| y | K ． 2 32 (1 y )
| y | K 例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率． (1 y 2 ) 3 2
解
1 由y ，得 x
x 因此，y|x11，y|x12．
y
1
2
，y
2 x
3
．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
| y | 2 1 2 K ． 2 32 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
| y | K 2 例2 抛物线yax bxc 上哪一点处的曲率最大？ (1 y 2 ) 3 2
解由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，代入曲率公式，得
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率．我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率．我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在存在的条件下． Ds 0 Ds ds ds
）

平均曲率：
曲率的计算公式：
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1，又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ．由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx

导数的应用曲率与曲率半径

导数的应用曲率与曲率半径导数的应用：曲率与曲率半径导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学、经济学等领域也有重要的作用。

其中，导数的应用之一就是计算曲线的曲率及曲率半径，这在几何学中有着重要的意义。

一、导数与曲线的切线关系在探讨导数与曲率的关系之前，我们先来了解一下导数与曲线的切线关系。

在函数图像中，如果函数在某一点的导数存在，那么此点的切线斜率就等于导数的值。

也就是说，导数可以描述曲线在某一点的切线的斜率。

二、曲率的概念及计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量，它衡量的是曲线上某一点处曲线弯曲的程度。

曲率越大，说明曲线变化越明显，曲率越小，说明曲线变化较为平缓。

计算曲线的曲率可以通过导数来实现。

对于给定的曲线 y=f(x)，我们可以通过以下公式来计算曲线在某一点 x 处的曲率 K：K = |f''(x)| / (1+f'(x)²)^(3/2)其中，f'(x) 表示函数 y=f(x) 的一阶导数，f''(x) 表示函数 y=f(x) 的二阶导数。

三、曲率半径的概念及计算方法曲率半径是描述曲线弯曲程度的另一个量，与曲率密切相关。

曲率半径 R 是曲线在某一点的曲率的倒数，表示曲线弯曲程度的反比。

计算曲线的曲率半径可以通过曲率来实现。

对于给定的曲线 y=f(x)，我们可以通过以下公式来计算曲线在某一点 x 处的曲率半径 R：R = 1 / K其中，K 表示曲线在某一点处的曲率。

四、曲率与曲率半径的几何解释曲率和曲率半径的几何解释有助于我们更好地理解这两个概念。

在一个平面曲线上，曲率越大，说明曲线越弯曲，曲率半径就越小；曲率越小，说明曲线越平坦，曲率半径就越大。

当曲率半径 R 等于无穷大时，曲线是一条直线；当曲率半径 R 等于零时，曲线是一个尖点或一个曲率不连续的点。

五、导数、曲率和曲率半径的应用领域导数、曲率和曲率半径的应用领域广泛。

曲率及其曲率半径的计算

于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线线 C 上从点 M 到点 M 的弧为 D s ，切线的转角为 D a ．
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函数． y y (
Ds MM Dx | MM |
(
2
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4 2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？

求曲率半径的公式

求曲率半径的公式
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

1、曲率半径是指曲面的曲率，它表示曲线或曲面上任意一点到它的曲线中心的最小距离。

2、曲率半径的计算公式为：R=1/κ，其中κ表示曲率，它可以由下式计算出来：κ=(y''dx²+2y'xdx+y)/(dx²+2ydx+y²)^(3/2)。

3、其中，y代表任意点处的曲率，dx、dy分别表示该点处的横纵坐标差值，y'和y''表示曲率在此点处的一阶和二阶导数。

曲线上点的曲率半径计算

曲线上点的曲率半径计算在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

曲率半径主要用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度。

比如曲率半径是圆的半径是因为圆上各处的弯曲程度都是一样的；直线不弯曲，在该点与直线相切的圆的半径可以任意大，所以曲率为0，所以直线没有曲率半径。

圆的半径越大，弯曲的程度越小，越接近直线。

所以曲率半径越大，曲率越小，反之亦然。

如果对于曲线上的某一点可以找到曲率相同的圆，那么曲线上该点的曲率半径就是圆的半径(注意是该点的曲率半径，其他点有其他曲率半径)。

也可以理解为尽可能地对曲线进行微分，直到最后逼近一段弧，这段弧对应的半径就是曲线上这一点的曲率半径。

曲率半zhidao径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|代码package .example.maventest.scort.curvartureRadius;import javafx.geometry.Point2D;public class CurvartureRadius {public static void main(String[] args) {Point2D point2D1 = new Point2D(0, 1);Point2D point2D2 = new Point2D(1, 1);Point2D point2D3 = new Point2D(1, 2);double curvartureRadius =CurvartureRadius.getCurvartureRadius(point2D1,point2D2, point2D3);System.out.println(curvartureRadius);}/*** 曲率半径计算** @param p1 点1* @param p2 点2* @param p3 点3* @return*/public static double getCurvartureRadius(Point2D p1, Point2D p2, Point2D p3) {Point2D v12 = p2.subtract(p1);Point2D v23 = p2.subtract(p2);//three point on the same line,the curvature radius is infinite, return 99999.0if (v12.normalize().equals(v23.normalize())) { return 99999.0;}double x1, x2, x3, y1, y2, y3, x12, y12, x23, y23;double x0, y0;x1 = p1.getX();x2 = p2.getX();x3 = p3.getX();y1 = p1.getY();y2 = p2.getY();y3 = p3.getY();x12 = (x1 + x2) / 2;y12 = (y1 + y2) / 2;x23 = (x2 + x3) / 2;y23 = (y2 + y3) / 2;if (v12.getY() == 0) {x0 = x12;y0 = ((y3 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x3 - x0, 2)) / (y3 - y2)) / 2;} else if (v23.getY() == 0) {x0 = x23;y0 = ((y1 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x1 - x0, 2)) / (y1 - y2)) / 2;} else {double k12 = -v12.getX() / v12.getY();double k23 = -v23.getX() / v23.getY();x0 = (y23 - y12 - k23 * x23 + k12 * x12) / (k12 - k23);y0 = (x0 - x12) * k12 + y12;}double R = Math.sqrt(Math.pow((x1 - x0), 2) + Math.pow((y1 - y0), 2));return R;}}。

高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法

高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法在高考数学中，曲率与曲率半径是一个比较重要的概念，在平面几何和空间几何中都有应用。

曲率指的是曲线在某一点处的弯曲程度，而曲率半径则是曲率的倒数。

对于考生来说，了解曲率与曲率半径的计算方法，能够帮助他们更好地理解和解决相关考题。

一、曲率的定义和计算方法1. 弧长的导数曲线在某一点处的曲率定义为该点处切线与曲线上足够靠近该点的两个点的切线的极限夹角的大小，即：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}$$其中，$\Delta s$为曲线上两个足够靠近该点的点之间的弧长，$\Delta\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角。

由于$\Delta\alpha$较难直接求解，我们可以通过对式子进行简化，得到：$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to0}\frac{\Delta(\tan\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\cdot\frac{\Delta\al pha}{\Deltas}=\lim_{\Delta\theta\to0}\frac{\tan\Delta\theta}{\Delta\theta}=\frac{d \alpha}{ds}$$其中，$\Delta\theta$为所求点处两条足够靠近该点的切线夹角，$d\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角微分。

这里要注意的是，当弧长趋近于0时，我们通常会取$\Delta\alpha$为两条切线的夹角$\theta$，而不是切线的转角$d\alpha$。

2. 参数方程的第二类曲率对于参数方程$x=x(t)$，$y=y(t)$，曲线的切向量可以表示为：$$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$那么，曲线在某一点处的曲率可以表示为：$$k=\left\lvert\frac{d\vec{T}}{ds}\right\rvert=\sqrt{\left(\frac{d\ve c{T_x}}{ds}\right)^2+\left(\frac{d\vec{T_y}}{ds}\right)^2}$$其中，$\lvert\cdot\rvert$表示向量的模，$\vec{T_x}$和$\vec{T_y}$分别表示$\vec{T}$在$x$和$y$方向上的分量。

几何练习计算曲面的曲率和曲率半径

几何练习计算曲面的曲率和曲率半径在几何学中，曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念之一。

曲率的计算可以帮助我们理解曲面的形状，并且在许多应用中有着重要的意义。

本文将介绍如何计算曲面的曲率和曲率半径，以及相关的基本概念和公式。

一、曲面曲率的定义在数学中，曲面的曲率是指曲面上某一点处的切平面与曲面相交所形成的曲线的弯曲程度。

曲率描述了曲线的弯曲程度，曲面的曲率则描述了曲面的弯曲程度。

曲率的计算可以帮助我们理解曲面的局部特征，比如凸凹性、平滑性等。

二、曲率的计算方法对于一个参数形式给定的曲面，我们可以利用曲面上的两个参数方向上的切向量来计算曲面的曲率。

设曲面的参数方程为：x = f(u,v), y =g(u,v), z = h(u,v)，其中u,v为参数。

曲率的计算可以分为以下几个步骤：1. 计算切向量由曲面的参数方程可得，曲面上任意一点(x,y,z)处的切向量为：T_u= ∂T/∂T,T_v= ∂T/∂T。

其中P(u,v)表示参数方程对应点的位置向量。

2. 计算曲面法向量曲面法向量N可以通过两个参数方向的向量积得到：N=T_u ×T_v。

3. 计算曲率向量曲率向量K的计算需要先计算曲面法向量N的对称矩阵A：A=T^T ×T。

然后利用切向量T对矩阵A进行线性变换：K=A^(-1) ×T。

4. 计算主曲率和曲率半径考虑到曲面上任意一点的曲率向量K都是三维的，我们可以将其分解为两个相互垂直的方向，即主曲率方向。

主曲率是曲率向量在主曲率方向上的投影。

曲率半径是主曲率倒数的绝对值，即曲率半径=1/主曲率。

三、曲率计算的应用曲率计算在几何学和物理学中具有广泛的应用。

在几何学中，曲率可以帮助我们理解曲面的形状和特征，比如判定曲面的凹凸性、寻找曲面上的最小曲率点等。

在物理学中，曲率计算可以用于描述物体表面的曲率分布，如天体表面的曲率分布、流体表面的曲率分布等。

四、举例说明下面我们通过一个简单的例子来说明曲率的计算方法。

曲率及其曲率半径的计算.ppt

M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线线C上从点 M 到点 M ?的弧
为Ds ，切线的转角为 Da ．
C y
M?
M0 s
Ds M
Da
a
a+Da
O
x
平均曲率：
我们称 K ? Da
）?
为弧段 MM ? 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K ? lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Dx? 0 | MM?| M ?? M | MM?|
Dx? 0 Dx
因此
ds dx
??
1 ? y?2 ．
由于s? s(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds ?
dx
1? y?2 ．
于是 ds ? 1? y?2 dx．这就是弧微分公式．
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
2
? ? ?
? ??1 ?
?
?? ?
Dy Dx
2
? ? ?
?
? ?
y M0
M?
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
因为
Ds ??
Dx
?? ?|
M(M MM
? ?|
2
? ? ?
? ??1 ?
?
?? ?
Dy Dx
2
? ? ?
?
? ?
lim | M(M?| ? lim | M(M?| ?1，又 lim Dy ?y?，
，y??? 2 x3

曲率半径与曲率

曲率半径目录词条定义曲率半径解析冒编辑本段词条定义曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。

平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim| △ a / △ s| △ s趋向于0的时候，定义k就是曲率。

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度特殊的如：一个圆上任一圆弧的曲率半径恰好等于圆的半径，也许可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能的微分，直到最后近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径吧，个人理解比如说曲率/曲率半径应用题一飞机沿抛物线路径y=(xT)/10000 (y轴铅直向上，单位为m)作俯冲飞行，在坐标原点0处飞机的速度为v=200m/s。

飞行员体重G=70kg。

求飞机俯冲至最低点即原点0处时座椅对飞行员的反力。

解：y=x A2/10000y'=2x/10000=x/5000y"=1/5000要求飞机俯冲至原点O处座椅对飞行员的反力，令x=0,则：y'=0y"=1/5000代入曲率半径公式p =1/k=[(1+y'A2)A(3/2)]/ I y" I =5000 米所以飞行员所受的向心力F=mvA2/ p =70*200八2/5000=560 牛得飞机俯冲至原点O处座椅对飞行员的反力R=F+mg=560+70*9.8=1246N编辑本段曲率半径解析在曲线上某一点找到一个和它内切的半径最大的圆，这个圆的半径就定义为曲率半径。

比如说：直线上每一点随便都能找个圆与它相切，那么称直线上的曲率半径无意义(或称无穷大)而在圆上，每一点与它内切的圆就是其本身，故其曲率半径为其本身的半径。

抛物线顶点曲率半径为焦距两倍则椭圆曲率半径等于2mn/(m+n)cos a ,m,n分别为两焦距，a为入射角双曲线曲率半径等于2mn/(m-n)cos a ,m,n分别为两焦距，a为入射角抛物线率半径等于2n/cos a ,n为焦距或到准线距离，a为入射角对于y=f(x),求导得y=g(x),再求导得y=h(x),(x 。

二阶曲线方程的系数曲率和曲率半径

二阶曲线方程的系数曲率和曲率半径二阶曲线方程是指形如y(x) = ax^2 + bx + c的二次多项式函数。

其中a、b、c分别为二阶曲线的系数，决定了二阶曲线的特征和形状。

在数学中，系数曲率和曲率半径是用来描述曲线曲率大小和形状的重要概念，下面将详细介绍二阶曲线方程的系数曲率和曲率半径。

首先介绍系数曲率的概念。

系数曲率是指在二阶曲线方程中，系数a的大小决定了曲线的曲率。

具体来说，系数曲率k可以表示为k = 2|a|。

即系数曲率k的大小正比于系数a的绝对值，系数a越大，则曲线的曲率越大。

曲率反映了曲线弯曲的程度，系数曲率的概念使得我们可以通过系数a的大小来直观地理解二阶曲线的曲率特征。

其次介绍曲率半径的概念。

曲率半径是描述曲线弯曲程度的量。

对于二阶曲线方程y(x) = ax^2 + bx + c，曲率半径R可以通过下面的公式来计算：R = (1 + dy/dx)^3 / |d^2y/dx^2|。

其中dy/dx和d^2y/dx^2分别表示曲线的斜率和曲率。

计算曲率半径可以帮助我们直观地理解曲线的形状特征，例如，曲率半径较小说明曲线的弯曲程度较大，曲率半径较大说明曲线的弯曲程度较小。

曲率半径的概念使得我们可以通过一个具体的数值来描述曲线的几何特征。

在实际应用中，系数曲率和曲率半径可以帮助我们分析和描述曲线的特性。

比如，在工程领域中，我们可以通过系数曲率和曲率半径来评估道路的曲率设计是否合理，从而保证车辆行驶的安全性。

在自然科学领域中，我们可以通过系数曲率和曲率半径来研究自然界中各种曲线的形状特征，从而深入理解自然现象的规律性。

另外，在数学建模和计算机图形学领域，系数曲率和曲率半径也是重要的基础概念，为曲线建模和形状描述提供了重要的理论基础。

总之，系数曲率和曲率半径是描述二阶曲线方程特征的重要概念。

通过深入理解和运用这些概念，我们可以更好地分析和理解曲线的形状和几何特征，进而应用于各个领域的实际问题中。

曲线与弧线几何中的曲线形状

曲线与弧线几何中的曲线形状曲线在几何学中是指连续的、平滑的曲线段，其形状可以通过方程或参数方程进行描述。

而弧线是曲线中的一种特殊形式，指的是由两个点之间的连续曲线段。

在几何学中，曲线的形状是一个重要的研究领域。

曲线的形状直接关系到曲线的性质和应用，因此对于曲线形状的研究具有重要意义。

一、曲线形状的分类曲线在几何学中根据其形状可以被分为以下几类：1. 直线：直线是最简单的一种曲线形状，它由一条无限延伸的线段构成。

直线没有弯曲或者弧度。

2. 抛物线：抛物线是一种对称曲线，它由平面上的一个动点和一个定点构成。

当动点沿着某条直线或方向移动时，它到定点的距离与动点到直线的垂直距离的平方成正比。

3. 椭圆：椭圆是一种闭合曲线，它由平面上距离两个定点的距离之和为常数的点构成。

椭圆具有两个焦点和两个主轴，其中主轴相交于椭圆的中心。

4. 双曲线：双曲线是一种对称曲线，它由平面上距离两个定点的距离之差为常数的点构成。

双曲线具有两个焦点和两个虚线轴，虚线轴相交于双曲线的中心。

5. 阿基米德螺线：阿基米德螺线是一种螺线，它由极坐标系中的方程描述。

阿基米德螺线具有平坦的形状，它的距离和角度成线性关系。

6. 三角函数曲线：三角函数曲线是由三角函数方程描述的曲线，例如正弦曲线、余弦曲线和正切曲线等。

这些曲线具有周期性，形状可以根据函数方程进行调整。

二、曲线形状的性质曲线形状的性质直接关系到曲线的应用和几何推导。

以下是一些常见的曲线形状性质：1. 弧长：曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。

通过弧长可以计算曲线的长度和曲率。

2. 曲率：曲线的曲率是指曲线在某一点的弯曲程度。

曲率可以通过求解曲线的导数得到。

3. 曲线的方程：曲线的方程是描述曲线形状的数学公式。

根据曲线的性质和形状可以选择不同的方程形式。

4. 曲率半径：曲率半径是反映曲线在某一点弯曲程度的指标，它是曲线在该点的切线的曲率的倒数。

5. 高斯曲率：高斯曲率是曲线在某一点的曲率和曲线法平面上的度量，它是判断曲线形状的一个重要参数。

曲率及其曲率半径的计算

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.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
2
2
Kt
1 4a
.
例3 求圆x2+y2=R2上任意一点M（x,y）的曲率。
解：x2+y2=R2两端求导，2x+2yy’=0 => y’=- x/y
两端求导，2+2y’2+2yy”=0 => y”= - R2/y3
d2y dx2
x '(t) y"(t) x"(t) y '(t) x '3(t)
.
. .. .. .
由 k
y 3 .
(1 y2 )2
| x y x y |
k .
.3
[x2 y2]2
例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
4)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧
例1 设工件内表面截线为抛物线y=0.4x2 现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径
多大的砂轮才比较合适？
解：砂轮半径应不大于抛物线各点曲率半径中最小值，
由抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此只要求出
其在顶点O（0，0）处的曲率半径，
y
y’=0.8x, y”=0.8
代入K=
y"
=1/R
(1
y'2
3
)2
例4 曲线弧y=sinx(0<x<π)上哪点处的曲率最大？
并求出该点曲率。
解y’=cosx,y”=-sinx,K= y" =
(1
y'2
3
)2
sin x
(1
c os2
3 (0<x<π,sinx>0)
x) 2
故所考虑区间（0<x<π） x=π/2 ，k=k(x)的最大，
设曲线弧为 y f ( x) (a x b)，其中 f ( x) 在[a, b]上有一阶连续导数
y
以对应小切线段的长代替小弧段的长
dy
小切线段的长
o a x x dx b x
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧微分 ds 1 y2dx
ds2 dx2 dy2
曲率K d .的计算公式
ds
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
ds 1 y2dx.
d
y 1 y2
dx,
y
k
3.
(1 y2 )2
用参数方程表示的曲线的曲率公式：
设
x
y
x(t), y(t),
r 二阶可导,或r(t) (x(t), y(t))
dy y '(t) , dx x '(t)
K=0.8，
曲率半径ρ=1.25, 直径不超过2.5
o
x
例2 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒,
飞行员体重70千克.求俯冲
o
x
到原点时,飞行员对座椅的
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
压力. Q
解如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
mv 2
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又 ( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2
求摆线xy
(a(t sin t) a(1 cost)
在t
处的曲率(a
0)。
解：
Q y sin t , (1 y2 )3/2 1
所以K（π/2）=1为最大的曲率。
二、平面曲线的曲率中心
y
1、定义设曲线y=f(x)在点M(x,y)处曲率为K(K≠0) 在点M处曲线凹侧的法线上取点0为圆心，
使|oM|=1/K=ρ为半径作圆曲率圆
M
o
x
曲率圆圆心叫做曲线在M处曲率中心，曲率圆半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径。
曲率圆与曲线关系： 1）在M点有相同的切线； 2）在M点有相同的曲率； 3）在M点有相同的凹向。
极坐标
x r cos
y
r
sin
心形线r a(1 cos ) (a 0).
双纽线 2 a2 cos 2 阿基米德螺线r a (a 0)
y x
三叶玫瑰线r = a sin3
sin3 ≥0，有
0 ,2 33
及 4 5 .
3
3