2014年高考新课标I卷理科数学试题及答案(河南 山西 河北)

PQ
3 ，∴ QM
3 ，由抛物线定义知 QF
QM
3
PF 4
4 PF 4
选C
11.已知函数 f (x) = ax3 3x2 1 ，若 f (x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0，则 a 的取值范围
为
A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
【答案】：B
图像大致为
【答案】：B
【解析】：如图：过 M 作 MD⊥OP 于Ｄ，则 PM= sin x ，
OM= cos x ,在 RtOMP 中，MD= OM PM cos x sin x
OP
1
cos x sin x
1 sin 2x ，∴ f (x) 1 sin 2x (0 x ) ，选 B. .
1.已知集合 A={ x | x2 2x 3 0 }，B= x 2 x 2 ，则 A B =
A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）
【答案】：A
【解析】：∵A={ x | x2 2x 3 0 }= x x 1 或 x 3 ，B= x 2 x 2 ， ∴ A B =x 2 x 1 ，选 A..
2源自文库
2
7.执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M =
20 16
A.
B.
3
5
C.7
15 D.
2
8
【答案】：D
【解析】：输入 a 1,b 2, k 3 ； n 1 时： M 1 1 3 , a 2,b 3 ；
22
2
n 2 时： M 2 2 8 , a 3 ,b 8 ； n 3 时： M 3 3 15 , a 8 ,b 15 ；
(1 i)3 2. (1 i)2 =
A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i
【答案】：D
【解析】：∵
(1 i)3 (1 i)2
=
2i(1 i) 2i
1 i
，选
D..
3.设函数 f (x) ， g(x) 的定义域都为 R，且 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，则下列结论正
确的是
.(用数字填写答案)
【答案】： 20
【解析】： (x y)8 展开式的通项为 Tr1 C8r x8r yr (r 0,1,,8) ，
∴ T8 C87 xy7 8xy7 ， T7 C86 x2 y6 28x2 y6
∴ (x y)(x y)8 的展开式中 x2 y7 的项为 x8xy7 y28x2 y6 20x2 y7 ，故系数为 20。
33 2 3
28 8 3 8
n 4 时：输出 M 15 . 选 D. 8
8.设
(0, 2
)
，
(0, 2
)
，且
tan
1 sin cos
，则
A . 3 2
B . 2 C . 3
2
2
【答案】：Ｂ
D . 2 2
【解析】：∵ tan sin 1 sin ，∴ sin cos cos cos sin cos cos
【解析】：(Ⅰ)由题设 anan1 Sn 1， an1an2 Sn1 1，两式相减
an1 an2 an an1 ，由于 an 0 ，所以 an2 an
…………6 分
（Ⅱ）由题设 a1 =1， a1a2 S1 1 ，可得 a2 1 1 ，由(Ⅰ)知 a3 1
假设{ an }为等差数列，则 a1, a2 , a3 成等差数列，∴ a1 a3 2a2 ，解得 4 ；
为 16 2 7 ；选 D. 16 8
6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始 边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将 点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f (x) ，则 y = f (x) 在[0, ]上的
【解析 1】：由已知 a 0 ， f (x) 3ax2 6x ，令 f (x) 0 ，得 x 0 或 x 2 ， a
当
a
0
时，
x
, 0,
f
( x)
0;
x
0,
2 a
,
f
( x)
0;
x
2 a
,
,
f
( x)
0
；
且 f (0) 1 0 ， f (x) 有小于零的零点，不符合题意。
当
a
其中真命题是
A . p2 ， P3
B . p1 ， p4
C . p1 ， p2 D . p1 ， P3
【答案】：C
【解析】：作出可行域如图：设 x 2 y z ，即 y 1 x z ， 22
当直线过A2, 1 时，
zmin 2 2 0 ，∴ z 0 ，∴命题 p1 、 p2 真命题，选 C.
A . f (x) g(x) 是偶函数 B .| f (x) | g(x) 是奇函数 C . f (x) | g(x) |是奇函数 D .| f (x) g(x) |是奇函数
【答案】：C
【解析】：设 F (x) f (x) g(x) ，则 F (x) f (x) g(x) ，∵ f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，∴ F (x) f (x) g(x) F (x) ， F (x) 为奇函数，选 C.
(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 （同一组数据用该区间的中
点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，其
中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s2 .
sin
cos
sin
2
， 2
2
,0
2
2
∴ ，即 2 ，选 B
2
2
x y 1 9.不等式组 x 2 y 4 的解集记为 D .有下面四个命题：
p1 ： (x, y) D, x 2 y 2 ， p2 ： (x, y) D, x 2 y 2 ,
P3 ： (x, y) D, x 2 y 3 ， p4 ： (x, y) D, x 2 y 1.
即 (a b)(sin A sin B) (c b) sin C ，由及正弦定理得： (a b)(a b) (c b)c
∴ b2 c2 a2 bc ，故 cos A b2 c2 a2 1 ，∴ A 600 ，∴ b2 c2 4 bc
2bc
2
4
b2
c2
bc
bc
，∴ SABC
1 bc sin 2
A
3，
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， a1 =1， an 0 ， anan1 Sn 1， 其中 为常数.
(Ⅰ)证明： an2 an ；
（Ⅱ）是否存在 ，使得{ an }为等差数列？并说明理由.
10.已知抛物线 C ： y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的
一个交点，若 FP 4FQ ，则| QF |=
7 A.
5 B.
C .3
D .2
2
2
【答案】：C
【解析】：过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M，∵ FP 4FQ
PQ
∴
3 ，又 QM
证明 4 时，{ an }为等差数列：由 an2 an 4 知
数列奇数项构成的数列 a2m1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 a2m1 4m 3
令
n
2m
1,
则
m
n 1 2
，∴
an
2n
1
(n
2m
1)
数列偶数项构成的数列a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a2m 4m 1
令n
2m,
则m
n 2
，∴
an
2n
1
(n
2m)
∴ an 2n 1（ n N * ）， an1 an 2
因此，存在存在 4 ，使得{ an }为等差数列.
………12 分
18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值， 由测量结果得如下频率分布直方图：
4.已知 F 是双曲线 C ： x2 my2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距
离为
A . 3 B .3 C . 3m D . 3m
【答案】：A
【解析】：由 C ： x2 my2 3m(m 0) ，得 x2 y2 1， c2 3m 3, c 3m 3 3m 3
12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A . 6 2 B . 4 2 C .6 D .4
【答案】：C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥 D ABC ， 其中 AB BC 4, AC 4 2, DB DC 2 5 ，
设 F 3m 3, 0 ，一条渐近线 y 3 x ，即 x m y 0 ，则点 F 到 C 的一条渐近线 3m
的距离 d
3m 3
=
3 ，选 A. .
1 m
5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公
益活动的概率
1 A.
3 B.
C.5
8
8
8
【答案】：D
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；
乙说：我没去过 C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为
.
【答案】：A
【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过 B 城市，乙说：我没去过 C 城市
∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市 B，甲去过的城市至多两
2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
新课标 I 卷（河南 山西 河北）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分。考试时 间 120 分钟。
第Ⅰ卷
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的一项。
7 D.
8
【解析】：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 24 16 种，
周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有 C41 A21 8 种；②每
天
2
人有 C42
6 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
86 16
7 8
；或间接解法：
4 位同学都在周六或周日参加公益活动有 2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
y t3 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t) t3 3t ， f (t) 3t2 3 ，由
f (t) 0 ， t 1， t , 1, f (t) 0;t 1,1, f (t) 0; ，
t 1, , f (t) 0 ，要使 a t3 3t 有唯一的正零根，只需 a f (1) 2 ，选 B
16.已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a =2，且
(2 b)(sin A sin B) (c b) sin C ，则 ABC 面积的最大值为
.
【答案】： 3 【解析】：由 a 2 且 (2 b)(sin A sin B) (c b) sin C ，
2
DA 4 2 4 6 ，故最长的棱的长度为 DA 6 ，选 C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作 答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13. (x y)(x y)8 的展开式中 x2 y2 的系数为
个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.
15.已知
A，B，C
是圆
O
上的三点，若
AO
1
( AB
AC)
，则
AB
与
AC
的夹角
2
为
.
【答案】： 900
【解析】：∵
AO
1
( AB
AC)
，∴O
为线段
BC
中点，故
BC
为
O
的直径，
2
∴ BAC 900 ，∴ AB 与 AC 的夹角为 900 。
0
时，
x
,
2 a
,
f
( x)
0;
x
2 a
,
0
,
f
( x)
0;
x
0,
,
f
( x)
0
要使
f
(x)
有唯一的零点
x0 且
x0 ＞0，只需
f
(2) a
0
，即 a2
4，a
2 ．选
B
【解析
2】：由已知 a
0
，
f
(x)
= ax3
3x2
1 有唯一的正零点，等价于
a
3 1 x
1 x3
有唯一的正零根，令 t 1 ，则问题又等价于 a t3 3t 有唯一的正零根，即 y a 与 x