6.2二次型的标准形
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即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
9/21
定的矩理阵6.2变为经可C T逆A线C性, 即变换f xyT
Cy (C T
A,C二)次y 型
f
xT Ax
且二次型 f 的秩不变.
说明 1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
6.2.5. 正定二次型与正定矩阵
• •
定 （1义）6.若8 对设任有何实x二0次,都型有，
f xTAx f(x )0，则称
f
为正定二次型，而对应的实对称矩阵A称为
正定矩阵，记作A>0； • （2）若对任何 x0，都有 f(x )0，则称f
为负定二次型，而对应的实对称矩阵A称为
负定矩阵，记作A<0.
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使yT CT ACy
k1 y12
k2
y
2 2
kn
y
2 n
k1
( y1, y2 , , yn)
k2
y1
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10/21
a ij a ij
6.2.1 线性变换与矩阵的合同
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 , , n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
4. 将特征向量1 , 2 , ,n正交化,单位化,得
1 ,2 , ,n ,记C 1 ,2 , ,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
12/21
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
14/21
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
15/21
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
16/21
6.2.4 惯性定理与二次型的规范型
• 定理6.5（惯性定理）设实二次型 f xTAx
• 的 及秩x 为P rz ，若,使有f 两 个1 z 1 2 实 的2 z 2 2 可 逆 线r z r 2 性变( i 换 0 , x i 1 , 2 C , y , r )
• 定义6.9 设有实二次型 f xTAx， • （1）若对任何 x0，都有 f(x )0 ，则
称f为半正定二次型，而对应的实对称矩 阵A称为半正定矩阵，记作 A0 ； • （2）若对任何 x0 ，都有 f(x )0，则 称f为半负定二次型，而对应的实对称矩 阵A称为半负定矩阵，记作 A0 .
• 定理6.7 n元实二次型为正定的充分必要条 件是：它的标准形的n个系数全为正数（即 它的正惯性指数等于n）.
• 例6.6 求 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 的负惯性指数。
• 解：f可化为如下的标准形
。
因为其中正系数有两个:2、26z，12 所2z2以2 正6z32惯性
指数为2；负系数有一个：-2，所以负惯性
指数为1.
• 定义6.7 非零平方项的系数为１或－１的 二次型称为规范形.
• 例如：f x12 x22 ， f x12 x22 x32
2 4 5 0 1 1
0 11
• 由此可知，A的特征值为1,1,6。既然特征值 均为正数，那么根据上述的推论可知f为正 定二次型。
• 例6.8 判别二次型 f x12 3x22 9x32 2x1x2 4x1x3 是正定的，还是负定的？
• 解:
1
A
1
1 3
2
0
2 0 9
a11 1 0
• 定义6.2 设变量能用变量线性表示为
•
y1 a11x1 a12x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22x2 a2n xn ,
ym am1x1 am2x2 amnxn ,
• 其中 aij 为常数，则称上式为从 x1,x2,,xn 到 y1,y2,,ym的线性变换.
6.2.2. 用正交变换化二次型为标准形
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型, 有下述结论：
11/21
n
定理6.4 任给二次型 f aij xi xj aij a ji ,总有 i, j1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
• 此变换亦可写成向量的形式： y Ax
x1
y1
a11 a12 a1n
•
其中
xxx n 2,
yyy m 2,
Aaa m 211
a22 am2
a2n a mn
• 此处：A 称为线性变换的系数矩阵，或简 称为线性变换的矩阵.
• •
定 恒 A当义 等为6变.n3换阶，可当即逆A；为矩uyrn阵阶时rx单，位y 阵时Ax ，y 称为A 可x 称逆为性
1 1 20
1 3
1 1 2 1 3 0 6 0 2 0 9
• 故f为负定二次型．
• 例6.9* 证明：若A，B均为n阶正定矩阵， 则A+B也是正定矩阵.
• 证：由于A，B均为阶实对称矩阵，所以 A所+以B也对是任n意阶实对x 称，矩有0阵.因Ax T ，A ，x B 是0 正x 定TB .x 的从，0 而 x T ( A B ) x x T A x x T B x .0 故是A+B正 定矩阵.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
A E 2 14 4 182 9
2 4 14
13/21
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
• 称为n阶方阵A的主子式.
• 定理6.8（霍尔维茨定理） 实对称矩阵A为 正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主子 式都为正；实对称矩阵A为负定矩阵的充分 必要条件是：A的奇数阶主子式为负，偶数 阶主子式为正.
• 例6.7 判别二次型
f 2 x 1 2 5 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3
• 定理 6.6 任意一个实二次型一定可以经过 可逆变换化为规范形，且规范形是唯一确定 的。 即任意一个实对称矩阵都可以合同于 一个形如
•
1
O
1
1
O
1
0
O
0
• 的对角阵，其中１的个数就是对应实二次型 的正惯性指数，－１的个数就是对应实二次
型的负惯性指数，它们的和就是对应实二次 型的秩
• •
的正定性. 解1：二次型的矩阵为：A
2 2
2 2 5 4,
2
4
5
• 而A的各阶主子式
2 2 2
220,
22 60
2
5 4 100,
25
2 4 5
• 所以为A正定矩阵，从而f为正定二次型.
• 解2：我们先来计算A的特征值。
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 5 4 2 5 4 (1 ) 2 5 4 12 ( 6)
定义：只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
2/21
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 Fra Baidu bibliotek1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2
c2n
yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
8/21
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理6.1 任给可逆矩阵C,令B CT AC,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且R B R A.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
• 推论：n元实二次型为正定的充分必要条件 是：n阶实对称矩阵的n个特征值全为正数.
• 定义6.10
a11 a12
设有n阶方阵
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
• 位于左上角的各阶子式
a11,
a11 a12, a21 a22
,
a11 a1n an1 ann
八、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．
• 及 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k r y r 2 ( k i 0 , i 1 , 2 , , r )
• 则 1,2,,r中正数的个数与 k1,k2,,kr
中正数的个数相等.
• 定义6.6 标准形中正系数的个数称为二次 型的正惯性指数，负系数的个数称为二次 型的负惯性指数.
若 y Ax 是可逆线性变换，则
xA1y
• 也是可逆线性变换，称为 yAx的逆变
换.
• 定义6.4 设 xr (x1, x2, L , xn )T yr ( y1, y2 , L , yn )T • C (cij )nn 为阶可逆矩阵，则可逆线性变换 • xr Cyr ( | C | 0 ) 称为可逆变换.
• 定义6.5 设A、B均为n阶实对称矩阵，如果
• 存在n阶可逆矩阵C，使得 CT AC B ，
• 则称矩阵A与B合同. 从A到B的变换称为合 同变换，C称为合同变换矩阵.
• 注﹡
• (1)合同的矩阵秩相等，但行列式不一定相 等.
• (2) 两方阵相似不一定合同，合同也不一定 相似.
• (3) 两实对称矩阵相似必合同，合同必等价.
线性变换，也称为非退化线性变换；
• 当A为n阶正交矩阵时，y Ax 称为正交变
换.
• 定理6.3 正交变换保持向量的长度不变.
• 证：设 yPx为正交变换，即P为正交阵， 则：
y y T y ( P x ) T ( P x ) x T P T P x x T x x
•
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
21/21
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
9/21
定的矩理阵6.2变为经可C T逆A线C性, 即变换f xyT
Cy (C T
A,C二)次y 型
f
xT Ax
且二次型 f 的秩不变.
说明 1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
6.2.5. 正定二次型与正定矩阵
• •
定 （1义）6.若8 对设任有何实x二0次,都型有，
f xTAx f(x )0，则称
f
为正定二次型，而对应的实对称矩阵A称为
正定矩阵，记作A>0； • （2）若对任何 x0，都有 f(x )0，则称f
为负定二次型，而对应的实对称矩阵A称为
负定矩阵，记作A<0.
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使yT CT ACy
k1 y12
k2
y
2 2
kn
y
2 n
k1
( y1, y2 , , yn)
k2
y1
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10/21
a ij a ij
6.2.1 线性变换与矩阵的合同
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 , , n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
4. 将特征向量1 , 2 , ,n正交化,单位化,得
1 ,2 , ,n ,记C 1 ,2 , ,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
12/21
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
14/21
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
15/21
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
16/21
6.2.4 惯性定理与二次型的规范型
• 定理6.5（惯性定理）设实二次型 f xTAx
• 的 及秩x 为P rz ，若,使有f 两 个1 z 1 2 实 的2 z 2 2 可 逆 线r z r 2 性变( i 换 0 , x i 1 , 2 C , y , r )
• 定义6.9 设有实二次型 f xTAx， • （1）若对任何 x0，都有 f(x )0 ，则
称f为半正定二次型，而对应的实对称矩 阵A称为半正定矩阵，记作 A0 ； • （2）若对任何 x0 ，都有 f(x )0，则 称f为半负定二次型，而对应的实对称矩 阵A称为半负定矩阵，记作 A0 .
• 定理6.7 n元实二次型为正定的充分必要条 件是：它的标准形的n个系数全为正数（即 它的正惯性指数等于n）.
• 例6.6 求 f 2x1x2 2x1x3 6x2x3 的负惯性指数。
• 解：f可化为如下的标准形
。
因为其中正系数有两个:2、26z，12 所2z2以2 正6z32惯性
指数为2；负系数有一个：-2，所以负惯性
指数为1.
• 定义6.7 非零平方项的系数为１或－１的 二次型称为规范形.
• 例如：f x12 x22 ， f x12 x22 x32
2 4 5 0 1 1
0 11
• 由此可知，A的特征值为1,1,6。既然特征值 均为正数，那么根据上述的推论可知f为正 定二次型。
• 例6.8 判别二次型 f x12 3x22 9x32 2x1x2 4x1x3 是正定的，还是负定的？
• 解:
1
A
1
1 3
2
0
2 0 9
a11 1 0
• 定义6.2 设变量能用变量线性表示为
•
y1 a11x1 a12x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22x2 a2n xn ,
ym am1x1 am2x2 amnxn ,
• 其中 aij 为常数，则称上式为从 x1,x2,,xn 到 y1,y2,,ym的线性变换.
6.2.2. 用正交变换化二次型为标准形
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型, 有下述结论：
11/21
n
定理6.4 任给二次型 f aij xi xj aij a ji ,总有 i, j1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
• 此变换亦可写成向量的形式： y Ax
x1
y1
a11 a12 a1n
•
其中
xxx n 2,
yyy m 2,
Aaa m 211
a22 am2
a2n a mn
• 此处：A 称为线性变换的系数矩阵，或简 称为线性变换的矩阵.
• •
定 恒 A当义 等为6变.n3换阶，可当即逆A；为矩uyrn阵阶时rx单，位y 阵时Ax ，y 称为A 可x 称逆为性
1 1 20
1 3
1 1 2 1 3 0 6 0 2 0 9
• 故f为负定二次型．
• 例6.9* 证明：若A，B均为n阶正定矩阵， 则A+B也是正定矩阵.
• 证：由于A，B均为阶实对称矩阵，所以 A所+以B也对是任n意阶实对x 称，矩有0阵.因Ax T ，A ，x B 是0 正x 定TB .x 的从，0 而 x T ( A B ) x x T A x x T B x .0 故是A+B正 定矩阵.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
A E 2 14 4 182 9
2 4 14
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从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
• 称为n阶方阵A的主子式.
• 定理6.8（霍尔维茨定理） 实对称矩阵A为 正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主子 式都为正；实对称矩阵A为负定矩阵的充分 必要条件是：A的奇数阶主子式为负，偶数 阶主子式为正.
• 例6.7 判别二次型
f 2 x 1 2 5 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3
• 定理 6.6 任意一个实二次型一定可以经过 可逆变换化为规范形，且规范形是唯一确定 的。 即任意一个实对称矩阵都可以合同于 一个形如
•
1
O
1
1
O
1
0
O
0
• 的对角阵，其中１的个数就是对应实二次型 的正惯性指数，－１的个数就是对应实二次
型的负惯性指数，它们的和就是对应实二次 型的秩
• •
的正定性. 解1：二次型的矩阵为：A
2 2
2 2 5 4,
2
4
5
• 而A的各阶主子式
2 2 2
220,
22 60
2
5 4 100,
25
2 4 5
• 所以为A正定矩阵，从而f为正定二次型.
• 解2：我们先来计算A的特征值。
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 5 4 2 5 4 (1 ) 2 5 4 12 ( 6)
定义：只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
2/21
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 Fra Baidu bibliotek1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2
c2n
yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
8/21
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理6.1 任给可逆矩阵C,令B CT AC,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且R B R A.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
• 推论：n元实二次型为正定的充分必要条件 是：n阶实对称矩阵的n个特征值全为正数.
• 定义6.10
a11 a12
设有n阶方阵
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
• 位于左上角的各阶子式
a11,
a11 a12, a21 a22
,
a11 a1n an1 ann
八、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．
• 及 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k r y r 2 ( k i 0 , i 1 , 2 , , r )
• 则 1,2,,r中正数的个数与 k1,k2,,kr
中正数的个数相等.
• 定义6.6 标准形中正系数的个数称为二次 型的正惯性指数，负系数的个数称为二次 型的负惯性指数.
若 y Ax 是可逆线性变换，则
xA1y
• 也是可逆线性变换，称为 yAx的逆变
换.
• 定义6.4 设 xr (x1, x2, L , xn )T yr ( y1, y2 , L , yn )T • C (cij )nn 为阶可逆矩阵，则可逆线性变换 • xr Cyr ( | C | 0 ) 称为可逆变换.
• 定义6.5 设A、B均为n阶实对称矩阵，如果
• 存在n阶可逆矩阵C，使得 CT AC B ，
• 则称矩阵A与B合同. 从A到B的变换称为合 同变换，C称为合同变换矩阵.
• 注﹡
• (1)合同的矩阵秩相等，但行列式不一定相 等.
• (2) 两方阵相似不一定合同，合同也不一定 相似.
• (3) 两实对称矩阵相似必合同，合同必等价.
线性变换，也称为非退化线性变换；
• 当A为n阶正交矩阵时，y Ax 称为正交变
换.
• 定理6.3 正交变换保持向量的长度不变.
• 证：设 yPx为正交变换，即P为正交阵， 则：
y y T y ( P x ) T ( P x ) x T P T P x x T x x
•
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
21/21