汽车车身曲面光顺与评价方法

• 与B样条曲面相似的性质 • 可以描述自由曲面，也可以描述初等曲面。
NURBS B样条 有理Bézier Bézier
图 3-10 各种方法之间的关系
4.4 Bézier与B样条曲线/面的品质对比
• 对任意5个点进行插值，青色的是Bézier曲线，曲 率梳良好； • 如果用B样条曲线，选择3次，曲线分两段，可见 其曲率梳较差。 • 分析原因。
a2
a0
' a3 (a3 )
b0
b1
a'3
a1
a0
b2
b3
曲线1曲率梳
曲线2曲率梳 曲线3曲率梳
实例验证2：间距不同，法向偏差同
' Г8： a 0 , a1 , a 2 , a 3 偏差都为0.2mm
Г10：a 0 , a1 , a 2 , a 3
在法向偏差相同的时候，两拼接的 Bézier 曲线公共 顶点与邻近的一个控制顶点距离越大，那么两曲线之间的 曲率梳误差越小。当然，也可以推知，在拼接点上两曲线 的切线方向夹角越小，即两曲线的相切误差也越小。
• Bézier曲线的定义式展开为：
P(t ) b j B j ,n (t ) b 0 B0,n (t ) b1 B1,n (t ) b n Bn,n (t )
j 0 0 1 k n Cn b 0 (1 t ) n C n b1t (1 t ) n 1 C n b k t k (1 t ) n k C n b nt n n
a0
a1
a1, 2
a 0, 0
a 2, 2 a3,2 b0,2
a2
b 2,3
a 0, 0
b 2, 2
b2
b 3, 3 b 3, 2
b3
a 2,1
a3,1 b0,1
a1,1
b1,1
a 0,1
b 2,1
a1, 0
a a 2 , 0 a3, 0 b0, 0
0, 0
b1, 0
b 2, 0
b 3,1
讨论
• 当法向偏差越大，两Bézier曲线在拼接点的 切向夹角越大，即相切误差越大，带来的 曲率误差值也越大； • 同时当 a 越小和 a n2 越大，也会使得相切 误差增大，曲率误差也会越大。
n1
实例验证1：法向有不同偏差
右边一条曲线3，控制顶点是 b0 , b1, b2 , b3 左边是曲线 1 和曲线 2 ，曲线 1 的顶点是 a0a1a2a3， 除a3在法向有0.2mm偏差外，其他都满足G2的条件， 曲线2的顶点是 a0a1a2a’3，除a’3在法向有0.7mm偏 差外，其他都满足G2的条件
p(u ) d i N i ,k (u )
i 0 n
• 1．B样条曲线的局部性质。 • 2 ． B 样条曲线的可微性及参数连续性。在 每一段B样条曲线内是无限次可微的，在对 应于节点的曲线段端部是k-r次可微的，r是 节点的重复度。 • 3．移动一个控制顶点仅与该控制顶点有关 的局部移动，其他部分不变。
b 0 (1 t ) n nb1t (1 t ) n 1
实际上，这是一个插值多项式，由法贝尔定 理可知，当n→+∞时，在定义域【0，1】上 存在一个函数f，使得多项式插值不一致收敛 于f 。在实践中，表现为高次Bézier曲线出现 振荡。
n(n 1) (n k 1) b k t k (1 t ) n k b n t n k!
2.3 汽车车身曲线曲面的光顺方法
目前主要集中在算法上面，主要光顺方法如 下： 能量法 选点修改法 参数化法 光学检验修改法 直接给定曲率法 凸曲线曲面法 单调曲率法
• • • • • • •
• 光顺的方法很多，一般是针对曲面光顺中 的某一种情况进行讨论，取得了较好的效 果。 • 但是，在车身曲面光顺中，我们执行的交 互设计，如何根据这些方法，形成一个标 准的流程，快捷的得到高质量的光顺曲面 是光顺师必须面对的课题。
• Bézier曲面的几何位置连续是两曲面有公共 的边界线，这和参数连续是相同的。 • 而 Bézier 曲面的 G1 连续是两 Bé zier 曲面在 公共连接处有公共的切平面（或公共的曲 面法向）。 • 两曲面 G2 连续，当且仅当沿着公共连接线 处有公共的切平面，同时又有公共的主曲 率，以及在两个主曲率不相等的时候有公 共的主方向 。
a 0, 0
b 3, 0
两Bézier曲线拼接误差的关系
n 1 a n 2 a n 1 n 1 h1 k (1) 3 n n a n 1 2 a n 1
h1 an1
2
n 1 b 0 b1 n 1 h2 k (0) 3 n n b 0 2 b 0
3 车身点云数据的测绘与预处理
主要内容有： • 点云数据的采集：有接触式和非接触式。 • 点云数据的预处理：包括点云的三角化、 圈选、精简、截交等，是为了便于观察， 同时提高软件的运行速度等。 • 坐标对正：将测绘点云汽车坐标系对正到 系统坐标系下，或者将补拍点云对正。 • 点云的评价与修复：评价点云，修复之。
2.4 曲面的评价方法
• 从现有的文献看，人们注重曲面评价的曲 率梳法、斑马线法和曲率颜色图法，并且 也给出了相应的评价办法。但是这些方法 仅能反映曲面的表象问题，而没有涉及到 引起这些问题的根本原因——控制顶点。 • 所以我们想研究这些方法之间的关系，揭 示其问题的本质。同时根据重要程度给出 评价的权重，建立一个评价体系.
汽车车身曲面光顺与评价方法研究
主要内容
• • • • • 点云数据测绘与预处理 车身曲面表示方法 车身曲面拼接误差关系与减小误差方法 车身曲面光顺方法 车身曲面评价方法
2.1 汽车车身曲面的表示方法
现在曲线曲面的表示方法主要有 • Bézier方法、B样条方法、NURBS方法。 • 每种曲线/面的表示方法都有自己的优势。 • 车身曲面根据可见性不同，要求不相同。 • 光顺中对于曲面采取什么样的表示方法更 好，其曲线曲面的次数问题应该如何确定， 都是交互光顺实践中需要解决的关键课题。
5. Bézier曲线/面连续性 与拼接误差减小措施
本部分讨论 • Bézier曲线曲面的参数连续性、几何连续性； • 减小曲线曲面拼接连续性误差的措施。
5.1 Bézier曲线的连续性
• Cr参数连续条件：
wenku.baidu.com
a n k b0 ,
k k
k 0,1,, r
• 如C0连续则 an b0 即两条曲线的有公共端 点 an1 b0 ,即an an1 b1 b0 • C1参数连续条件： • 其他类推。
4 汽车车身曲面表示与次数的选择
• 本部分讨论曲面的表示方法，通过表示方 法的讨论，给出汽车车身曲面的表示方法。 • 通过曲线曲面的高次振荡和连续性要求， 确定汽车车身曲面的次数的选择要求。
4.1 Bézier曲线/面定义与性质
p(t ) b j B j ,n (t )
j 0 n
0 t 1
• Bézier曲线的几何连续性：当且仅当两条曲 线段的相应弧长参数化在公共连接点具有 Cn 连续性，就称它们在该点具有 Gn 连续性， 或者说是 Gn 的。也就是说在弧长参数化下， 曲线的几何连续性和参数连续性是一致的。
5.2 Bézier曲面连续性
• Bézier曲面连续性也有参数连续与几何连续。 • Bézier曲面的参数连续是指：当且仅当两个 曲面沿它们的公共连接线处处有直到 n阶偏 导矢，那么称它们沿该连接线具有n阶参数 连续性（即Cn连续）。 • 曲面的参数连续性是和参数的选取以及参 数化有关的。如果对已经连续的两曲面中 的一个重新参数化，一般来说，它们就不 再是连续的。
高次Bézier曲线的振荡
16次Bézier曲线
16次理想Bézier曲线-绿线
8次Bézier曲线
高次Bézier曲面的振荡
结论
• 所以Bézier曲线曲面的次数不能太高，一般 根据连续性要求最大可以在 5 次（ 6 排控制 顶点，曲率连续），或者 7 次（ 8 排控制顶 点，挠率连续）。 • 最低也不能低于 2 次（ 3 排控制顶点），否 则是直纹面，难以满足汽车车身曲面的要 求。

h2 b0
2
法向有偏差
n 1 a n2 an 1E 当很小时 n 1 EF k (1) 3 2 n n a n 1 an 1E
n 1 EF n 1 h2 k k (1) k (0) 2 2 n a n 1 n b 0 n 1 h1 a n 1 ( a n 1 a n 2 sin ) h2 ( ) 2 2 n a n 1 b 0 n 1 a n 2 sin 2 n a n 1
切向有偏差时同理可推出
• 切向有偏差时，尽管有位置误差，但是这 时的切向误差很小，甚至为零，但是曲率 误差较大。
结论
• 两Bézier曲线的G0越大，那么其G2就越大； • G1 误差与 G0 的偏差方向有关，若 G0 偏差发生在 拼接点法向，则 G1 误差会越大，若 G0 的偏差发 生在拼接点切向，那么则G1误差会极小，甚至为 零； • 同 时 ， 曲 率 误 差 不 仅 与 G1 误 差 有 关 ， 而 且 与 |△an-2| 和 |△an-1| 有关。 |△an-2| 越大， |△an-1| 越 小，曲率误差绝对值就越大。所以在这种情况下， 要满足曲率误差的要求，就可以通过减小|△an-2| ， 增大|△an-1|来实现。 • 当然，在工程实践中，还要同时兼顾曲线或曲面 与数据点的偏离程度，以达到最佳的拼接效果。
• 左图是用B样条曲面光顺的，用5X5个点，两个参 数方向的次数是3。右图则是用同样的5X5个点光 顺，是Bézier曲面光顺，两个参数方向次数是4。 • 通过曲率梳可见，用Bézier曲面较一般的B样条效 果好。
结论
• 在光顺A级曲面时，用Bézier曲线曲面要比 一般的B样条曲线曲面要好。
Bézier曲线曲面次数的选择
NURBS曲面
p(u, v) d i , j Ri ,k ; j ,l (u, v)
i 0 j 0
m n
m
n
Ri ,k ; j ,l (u, v)
i , j N i ,k (u ) N j ,l (v)
r ,s

r 0 s 0
N r ,k (u ) N s ,l (v)
• 1．端点性质：首末端点与控制顶点重合。K阶 导矢与首末K+1各端点有关。 • 2．曲线内部无限次连续。 • 3．移动第j个控制顶点的时候，将对整条曲线 都有影响，其中对曲线上参数t=j/n的点产生的 影响最大。其原因是因为对相应的基函数产生 的影响最大。
Bézier曲面
p b i , j Bi ,m (u ) B j ,n (v),
2.2 曲线曲面的连续性
• 曲线曲面的连续性分参数连续和几何连续，光顺 实践中用几何连续。 • 研究集中在曲线曲面连续性的条件，而且对于 Bézier和有理Bézier比较多，B样条也有，但不多， 而且G1连续。 • 但是如何将这些连续性的条件应用到光顺实践中， 如何减小各阶拼接误差，这对提高光顺的质量和 效率是至关重要的。从目前的文献来看，还没有 这方面的研究。
B样条曲面
p(u, v) d i , j N i ,k (u) N j ,l (v)
i 0 j 0 m n
uk u um1 , vl v vn1
• 1．B样条曲面具有局部性 。 • 2 ． B 样条曲面的可微性及参数连续性在两 个参数方向上与B样条曲线类似。 • 3. 移动一个控制顶点仅与该控制顶点有关 的局部移动，其他部分不变。
• 但是在光顺实践中， 我们一般考虑的是最 简单的情况，即两曲 面在拼接时的控制顶 点对应，每一组都满 足单条曲线拼接的条 件，如右图所示。
5.3 Bézier曲面拼接误差的影响因素 与减小误差措施
a1,3
a 2,3 a3,3 b0,3
a3 b 0
b1, 3 b1, 2
b1
a 0,3 a 0, 2
i 0 j 0 m n
0 u, v 1
• 1．Bézier曲面的四个角点正好是其控制网 格的四个控制顶点。 • 2．内部无限次连续。 • 3．移动Bézier曲面的一个控制顶点，对曲 面上所有点都有影响，但是对曲面上参数 为对应点影响最大，离该点越远，影响越 小。
4.2 B样条曲线/面定义与性质
4.3 NURBS曲线/面的定义与性质
p(u ) d i Ri ,k (u )
i 0 n
Ri ,k (u )
i N i ,k (u )

j 0
n
, i 0,1, n
j
N j ,k (u )
• 有与B样条曲线相似的性质 • 可以描述自由曲线，也可以描述二次曲线 等初等几何曲线。