2 第二章 理想光学系统(精通)解析

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光路计算的总体原则、注意事项



1：画出光路图，典型光线 2：标出几何大小，特别注意每个字母的正负 3：选择适当的公式 4：检查物理意义是否正确 5：逐面进行计算
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例1 玻璃棒

一个长500mm，折射率为1.5的玻璃棒，两端 为球面，其半径分别为50mm，100mm，现将 一个高为1mm的箭头垂直放置于离左端 （50mm）球面顶点200mm处的轴上，问像矩 多少？整个玻璃棒的垂轴放大率为多少？
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轴向放大率和角放大率

关于轴向放大率和角放大率，由于理想光学系 统是近轴光学的一种理想化推广，因此很显然， 近轴区域的公式可以适用的，我们只需注意一 点，在近轴区域中我们假定tanU = sin U = U 而在理想光学系统中，这一点不能用（只能在 角度很小时用），除此之外一切照旧。比如对 照第一章的（1－25）（1－27）（1－28）和 本章的（2－19）（2－23）（2－24）就可以 发现是一致的。
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u 近轴时fyu f y
物方焦平面
像方焦平面
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牛顿、高斯公式总结
牛顿公式：xx ff (注意正负), f x , x f
x和x都是从对应的焦点开始往物点和像点算的 n n xx f 2 x l f , x l f f f f l 高斯公式： 1(注意正负), , l l fl 1 1 1 n n l l f
第二章 理想光学系统（精通）
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理想光学系统中的基本概念
1. 理想光学系统(又称高斯光学）将近轴光学理 论推广到任意空间，理想模型，都能完善成像。 2. 共轭：高斯光学中，物像点一一对应关系，称 为共轭。 3. 共线成像：点对点、直线对直线、平面对平面 的成像变换称为共线成像。 4：光轴：沿光轴的光线不会改变方向，即使经 过透镜后也不会改变！
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第一节 共轴理想光学系统的成像性质
1、位于光轴上的物点对应的共轭像点必然在光轴 上；位于过光轴的某一截面内的物点对应的共轭 像点必位于该物面的共轭像面内；过光轴的任意 截面成像性质都相同；垂直于光轴的物平面，它 的共轭像平面也必然垂直于光轴（很有用）。 2、垂直于光轴的平面物与其共轭平面像的几何形 状完全相似，即：在垂直于光轴的同一平面内， 物体的各部分具有相同的放大率β。
l r lu h lim ( 1 1 u1 ) lim ( 1 1 ) 1 l1 ,u1 0 l1 ,u1 0 r r1 r1 1 经过计算得 l 67.4907, u 0.121869, h 82.055, tan u 主点位置l f 14.5644在最后折射面 焦距为 f 左侧14.5644mm处
像点
轴上物点所成像必然在光轴上！
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性质一的理解（第二，三句话）
位于过光轴的某一截面（子午面）内的物点 对应的共轭像点必位于该物面的共轭像面内， 过光轴的任意截面成像性质相同！
把三维问题简化为两维问题！！
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性质一的理解（第四句话）

垂直于光轴的物平面，它的共轭像平面也必然 垂直于光轴：反证法。

3、一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面 的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大 率，以及轴上两对共轭点的位置，则其它一切物 点的共轭像点都可以根据这些已知的共轭面和共 轭点来表示
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性质一的理解（第一句话）

光轴上物点其共轭像点必在光轴上：过光轴的 光线方向不变！
轴上物点
P’
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性质三的理解
•一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和放大率， •或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上两对共轭点的位置， •则其它一切物点的共轭像点都可以根据这些已知的共轭面和共 •轭点来表示。
O A B
A’
B’
O1
O2
O1’
O2’
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2：理想光学系统的基点基面
投射高度 投射高度h H H’ F’
F
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例子 三片型照相机
结构参数如下（长度单位为mm）
r 26.67
189.67 -49.66 25.47 72.11 -35.00
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d 5.20 7.95 1.6 6.7 2.8
n 1.6140
i1
l1 r1 u1 , 当光线平行入射时，l1 , u1 0 r1
1.6754
1.6140
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3：物像关系

几何光学目的就是求像，（对于确定的光学系 统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实）。
•两种方法：图解法（形象，定性），解 析法（精确，定量）。各有优缺点，一般 两种方法结合使用。
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图像法（追迹法）

已知一个光学系统的主点（主面）和焦点的位置， 利用光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、 线和面，通过画图追踪典型光线的方法求像。
性质二的理解
垂直于光轴的平面物与其共轭平面像的几何形状完 全相似（注意是相似）
p C
A
B PA=PB=PC
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PA=PB=PC=y
过PABC作一垂直于光轴的平面 得到下图 P
P’A’=P’B’=P’C’=y’
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
A’
B’ C’
D’
D A B C a a
PA PB PC y 由图可知： PD PA PB PC y PD 另外PD=ycosa, PD=ycosa 由于角度a是任意的，所以直线PB,PB上任意的共轭点都有 相同的比例！！

通常将理想光学中（高斯光学）已知的共轭面和共轭点分别称为共轴系统的“基 面”和“基点”，原则上有无穷多。 一般将：一对主点，焦点，节点，主平面，焦平面，节平面称为光学系统的基点 和基面。节点是指角放大率为一的点。注意像方焦距是H’F’,从主点H’算起到焦点 F’
为什么不直接测焦距？？
投射高度h和像方孔径角U，像方焦距f 的关系 由图可知 像方焦距 f=HF=h/tanU 用此公式可以方便求的光学器件的焦距
500mm
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对第一个折射面：n1 1, n1 1.5, r1 50mm, l1 200mm n l 1.5 1 1.5 1 1 1 l1 300mm, 1 1 50 l1 200 n1l1 对第二个折射面：n2 1.5, n2 1, r2 100mm, l2 l1 d 200mm 1.5*(400) n l 1 1.5 1 1.5 2 2 l2 400mm, 2 3 200 l2 200 100 n2l2
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近轴和理想光学系统放大率关系
近轴系统
y nl 垂轴放大率 y nl dl n 2 轴向放大率 dl n u l n 角放大率 u l n
理想光学系统
y nl 垂轴放大率 y nl dl n 2 轴向放大率 dl n tan U l n 角放大率 tan U l n ny tan U ny tan U J 拉赫不变量
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性质一，二的理解
F’
可以用来方便的测定焦距
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性质三的理解
倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交 于像方焦平面上的一点
像方焦平面
F’
事实上,性质一只是性质三的一种特殊情况， 即当平行光束沿光轴入射时，性质三就是性质一
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性质四的理解
物方焦平面
M M’
B A F
N H
N’ H’ F’ A’
利用了两条性质: 1：过A点沿光轴做一条光线，方向不会改变。 2：所有从物方焦平面上一点发出的光线经过透镜后都成为相互平行的光线。
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轴上物点的图像求解方法二 两光线交点确定一个像点
M N A F H
M’ B N’ H’ F’ A’
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F
事实上，根据光路可逆原理，性质三和四是等价的！
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性质五的理解
光线
共轭光线
显然两条光线的透射高度一样！！
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五条性质的总结


前面四条可以归结为一条:所有过焦平面的点， 其出射光线必为一些相互平行的光线！！ 第五条很显然！
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轴上物点的图像求解方法一 两光线交点确定一个像点
A,B离光轴等距，一开始A在上，B在下，图中黑线， 物体在垂直于光轴的平面内旋转180度图中红线，A 在下，B在上。
A B’
B
A
A’ 转过180度以后，由于A。B点距离光轴相等，物体和原来一样， 所以所成像应该和原来一样，但是按照前面假定，像不垂直就出现 右图的情况！！矛盾！！！
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B
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轴外物点的图像求解
B
A’ A
F
F’ B’
注意：图像法只能求得像的大致位置，至于具体位置在哪，完全不清楚！ 因此有必要有一种可以定量求得像的位置的方法！！！
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解析法（牛顿公式）
X’
-x A F M -f H N M’ f H’ N’ F’ B’ y’ A’
-y
B
l’ y f MH FH ABF MHF AB FA y x N H F H y x ABF N H F AB F A y f 注意x, x是指物点和像点离开物方焦点和像方焦点的距离， -l
1 2 3
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例题2

已知一个透镜把物体放大 -2倍，当透镜向物体移近 20mm时，放大倍数为 -3倍，求一开始的物距以及透 镜的焦距？对应的像移动了多少？往哪移？
l 2 3 3 l l l1 l2 (l1 20) 1 1 1 f 1 1 (2) 1 (3) 4 l l f l1 (l2 ) 20 l1 180mm, l2 160mm, f l1 360mm, l2 480mm远离透镜 2 ( 180) 120mm, 3
1。平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点；
2。过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴；
3。倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像 方焦平面上的一点； 4。自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜 于光轴的平行光束； 5。共轭光线在主平面上的投射高度相等。由于光路可逆， 事实上，1，2可以等同看待，3，4也可以等同看待
tan U 去掉x, x得到 fy tan U f y
-U F -f -x U’ f’ F’ x
此公式对于理想光学系统总是成立的 近轴时我们有nuy n u y J 拉赫不变量 f f 两式相除 n n 如果两边介质一样，f=-f
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两焦距的关系
f f 两个公式很像，只要把高斯公式中的f 用 高斯公式 1 －f’代替就可推出高中的公式，偶然吗？？ l l 1 1 1 高中熟知的公式 ( x f ) tan(U ) ( x f ) tan U l l f y f x 由牛顿公式的垂轴放大率公式 y x f
其正负是从焦点算起到物点或像点，顺光为正，逆光为负 xx ff ，以焦点为原点的物象公式，称为牛顿公式! 垂轴放大率 y f x y x f
轴向放大率，角放大率与垂轴放大率的关系和以前一样！
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高斯公式
根据上页 x l f , x l f 代入牛顿公式中 f f lf l f ll 1 l l 以主点为原点的物象公式!称为高斯公式！