求双曲线标准方程的技巧
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
双曲线及其标准方程解答
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．②①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||s i n s i n ||||222||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
几类常见双曲线方程的求法
几类常见双曲线方程的求法邮编：745000 甘肃省庆阳一中 李树信求双曲线的方程是一类重要题型，在许多情况下，若恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境，若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简之目的。
下面我们谈谈几类常见的双曲线的方程求法，供大家参考。
类型一﹒已知双曲线经过两个已知点，可设方程为122=+ny mx 。
例1， 求过),(372-A 和),(267--B 两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。
解：设双曲线方程为122=+ny mx ，由于双曲线过两点（27﹒－3），（－7﹒－62）, 故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+126713722222)()()()(n m n m 解得 .,751251-==n m 故双曲线的标准方程为1752522=-y x . 类型二﹒与椭圆12222=+by a x 共焦点的双曲线方程，可设方程为 2222221a b b y a x <<=-+-λλλ(,）. 例2.设双曲线与椭圆1362722=+b x 有公共焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(415，).求此双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为1362722=-+-λλy x )(3627<<λ， 由于曲线过点（),415, 故136162715=-+-λλ， 解之得 ：03221==λλ,(舍去).故所求双曲线方程为: 15422=-x y . 类型三，与12222=-by a x 共渐近线的双曲线方程可设方程为)(02222≠=-λλb y a x 例3，求与双曲线116922=-y x 有公共渐近线，且过），（－623P 的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为：)(016922≠=-λλy x 点),(623-P 在双曲线上, ∴λ=--16629322)()( 解得: 21-=λ.所以, 双曲线方程为192822=-x y . 类型四.渐近线方程为0=±b y a x 或x ab y ±=的双曲线方程可设为λ=-2222b y a x )(0≠λ.例4.已知双曲线的渐近线方程为：x y 21±=且它的一条切线为0865=--y x ，求此双曲线的方程。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
求双曲线标准方程的方法
求双曲线标准方程的方法
随着互联网技术的不断发展，双曲线标准方程在计算机编程和机器视觉方面发挥着越来越重要的作用。
在这里，我们来介绍求双曲线标准方程的方法。
求双曲线标准方程的基本步骤：
一、找出双曲线的端点坐标和焦点坐标。
根据双曲线的可视特征，可以确定双曲线的端点坐标和焦点坐标，这样就可以计算出双曲线的离心率e。
二、求取双曲线的标准方程。
根据离心率e和双曲线的焦点坐标来计算双曲线的标准方程。
最后，结合上述步骤，我们可以得出双曲线标准方程。
双曲线标准方程的式子为：(x-x1)^2/a^2 - (y-y1)^2/b^2 = 1 ，其中(x1,y1)为焦点，a和b分别为半长轴和半短轴。
若双曲线在原点（0，0）上，则标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
总之，求双曲线标准方程并不困难，要做的关键是要先分析出双曲线的图形特征，然后依据离心率及其他信息推导出该双曲线的标准方程，使用该标准方程可以帮助计算机或机器视觉更好地完成一些高级任务。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
高中双曲线解题方法
高中双曲线解题方法【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是4. 已知椭圆的离心率，则的值为【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
高中数学双曲线解题技巧
高中数学双曲线解题技巧双曲线是高中数学中的一个重要内容，它在解析几何中有着广泛的应用。
在考试中，经常会出现与双曲线相关的各种题目，因此掌握双曲线的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的双曲线解题技巧，并通过具体的题目来说明。
一、双曲线的基本性质在解题之前，我们首先需要了解双曲线的基本性质。
双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的横轴和纵轴的半轴长。
双曲线的中心位于原点$(0,0)$，横轴和纵轴分别为$x=a$和$y=b$。
二、双曲线的图像与方程通过观察双曲线的方程，我们可以得到以下结论：1. 当$a=b$时，双曲线变为一对直线，方程为$x=\pm y$；2. 当$a>b$时，双曲线开口朝向$x$轴，称为右开双曲线；3. 当$a<b$时，双曲线开口朝向$y$轴，称为上开双曲线。
三、双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点和两条准线，它们与双曲线的性质密切相关。
1. 焦点：双曲线的焦点位于横轴上，坐标为$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$；2. 准线：双曲线的准线位于横轴上，坐标为$(\pm a,0)$。
四、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的方程有关。
1. 横渐近线：当$x\to\infty$或$x\to-\infty$时，双曲线趋于横渐近线$y=0$；2. 纵渐近线：当$y\to\infty$或$y\to-\infty$时，双曲线趋于纵渐近线$x=0$。
五、双曲线的对称性双曲线具有许多对称性，这些对称性可以帮助我们解题。
1. 关于$x$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上；2. 关于$y$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,y)$也在双曲线上；3. 关于原点对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上。
如何求双曲线方程的标准方程
如何求双曲线方程的标准方程黄薄喆求双曲线的标准方程主要是求实半轴长（a）和虚半轴长（b）。
基本思路有两条途径：一是根据条件直接求得a与b的值；二是根据题设条件设出（a>0，b>0）标准方程，再建立关于a与b的方程组，进而求得a 与b的值。
一、直接法直接法就是不设出双曲线的标准方程，而是根据双曲线及相关圆锥曲线的几何性质等建立方程（组）直接求出a与b的值。
但是求解时，必须首先明确焦点在哪条坐标轴上。
例1 已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A. B.C. D.分析：由焦点坐标可以知道双曲线焦点位置及半焦距的长c，由离心率可得到实半轴长a与c的关系。
解：由条件知双曲线的焦点在x轴上，半焦距c=4，离心率。
所以a=2，=，所以双曲线方程为，故选A。
点评：解答此类题型的关键是要正确判定双曲线焦点的位置（有焦点在x轴或y 轴上或两种情况并存的情况），以确定标准方程的类型及所求方程的个数。
二、定义法此方法主要适用于求动点的轨迹方程，解答时必须首先根据题设条件判定所求点的轨迹为双曲线，然后根据条件中的其他条件确定a、b的值，进而得到双曲线的标准方程，即为所求点的轨迹。
例2 已知动圆M与C1：，C2：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________________。
分析：根据两圆相切的条件可以确定出等式。
由此知动圆圆心M 的轨迹为双曲线的一支，然后再根据相关条件求得实半轴长a与虚半轴长b的值。
解：设动圆M的半径为r，则，。
∴，故点M的轨迹是以C1、C2为焦点，实轴长为1的双曲线的一支，。
∴（x<0），M的轨迹为该双曲线的左支。
点评：本题充分挖掘题设中所给的几何性质，巧妙运用平面几何的知识，得到相关线段间的几何关系，结合圆锥曲线的定义判断所求点的轨迹的类型，这体现了平面几何知识在解析几何中的简化作用。
三、待定系数法利用待定系数法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得参数。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
知识讲解_双曲线及其标准方程_基础
双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的集合叫作双曲线． 1F 2F 12F F 定点、叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 1F 2F 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=，这可以借助于三角形中边的相1212PF PF F F -<关性质“两边之差小于第三边”来理解；2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若 常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 1212PF PF F F -<0>2F 若 常数=（常数），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支． 2112PF PF F F -<0>1F 若 常数=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 1212PF PF F F -=若 常数=，则动点轨迹不存在；1212PF PF F F ->若 常数=，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．12=0PF PF -要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程2． 标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|M F 2|=±2a }．∵ 12||||MF MF ==2a =±(4)化简将这个方程移项，得2a =±两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：①()()22222222ca x a y a c a --=-（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义， 即，所以． 22c a ，c a ，220c a -，令，222(0)c a b b -=，代入上式得：， 222222b x a y a b -=两边同除以，得：22a b 即，其中． 22221x y a b -=(0,0)a b >>222c a b =+这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．x 要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：，其中．22221y x a b -=(0,0)a b >>222c a b =+3． 两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于零1F 2F 且小于）的点的集合12F F 图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >>不 同 点焦点坐标， ()10F c ，()20F c ，，()10F c ，()20F c ，a 、b 、c 的关系222c a b =+相 同 点 焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义 根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大） （a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大） （0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程，（焦点在x 轴） 22221x y a b +=，（焦点在y 轴） 22221y x a b +=其中a ＞b ＞0，（焦点在x 轴） 22221x y a b -=，（焦点在y 轴） 22221y x a b -=其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的 统一形式 221x y m n+=（当时，表示椭圆；当时，表示双曲线）0,0,m n m n >>≠0mn <2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C可化为，即，221Ax By C C+=221x y C C A B+=所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当时，双曲线的焦点在x 轴上； 0,0C CA B ><当时，双曲线的焦点在y 轴上． 0,0C CA B<>要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；a b c ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．＝1(y >0)22197x y -=C ． 或22197x y -=22179x y -=D ． (x >0)22197x y -=【答案】 D【解析】 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：(x >0)22197x y -=【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不12||F F 存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A例2． 已知P 是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值2216436x y -=12,F F 1||17,PF =2||PF 【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线中，故．221164x y -=8,6,a b ==10c =由P 是双曲线上一点，得． 12||||||16PF PF -=∴或 2||1,PF =2||33,PF =又得2||2,PF c a ≥-=2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略这一条件，而得出错误的结论或 2||2,PF c a ≥-=2||1,PF =2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求的面221916x y -=12,F F P 12PF PF ⊥1 2 PF F ∆积．S 【答案】16【解析】中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．221916x y -=设，，由题意可知，11PF r =22PF r = 112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以，()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦因为是直角三角形，所以．1 2 PF F ∆111==162S r r 【变式2】过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为，另一焦点22221(0,0)x y a b a b-=>>1F AB m 2F ，求的周长．2ABF ∆【解析】∵，且，2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=11||||AF BF m +=∴ 2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴的周长为：．2ABF ∆22||||||42AF BFAB a m ++=+【变式3】已知点P (x ，y )，则动点P 的轨迹4=是（）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．； ； ； 22(1)142x y -=22(2)4936y x -=22(3)638x y -=； ； ．822(5)134x y +=22(6)1515x y +=-【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，=4，=2，=6，所以a =2，b，c． 2a 2b 222=c a b +（2）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=9，=4，=13． 所以a =3，b =2，c．22194x y -=2a 2b 222=c a b +（3）能．双曲线可化为：，它的焦点在x 轴上，=，=，=4，所以a，b2214833x y -=2a 432b 83222=c a b +c =2．（4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则=9，所以b =3．． 222=b c a （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线为标准方程的步骤为： 22Ax By C +=（1）常数化为1：两边同除以，将双曲线化为 ； C 221Ax By C C +=（2）分子上的系数化为1：22x y ，利用，将双曲线化为 ；1b a b a ⨯=221x y C C A B +=（3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为； 221x y C C A B =若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为． 221y x C C BA=【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．，0) B ．，0)C ．0) D ．0)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为，22=11y x ，∴a 2＝1，b 2＝，∴12c =故右焦点的坐标为0)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．【答案】 1±【解析】当k >0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k =1； 22118x y k k =22183a b c k k =====，当k <0时，双曲线的标准方程为，此时，解得k ＝－22181x y k k=22813a b c k k =====，1．所以k 的值为．1±例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为；22114425x y -=当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为．22114425y x -=【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．12(5,0),(5,0)F F -（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点．(0,6)-(5,6)A -【答案】（1）；（2）．221169x y -=2211620y x -=【变式2】求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．221164x y -=2)【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为－=122a x 22by 由已知得，22220a b c +==又双曲线过点2)241b-=∴ 222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩故所求双曲线的方程为．221128x y -=解法二：依题意设双曲线方程为，221164x yk k-=-+将点代入，解得，2)221164x y k k -=-+4k =所以双曲线方程为．221128x y -=类型三：双曲线与椭圆例5．讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 221259x y k k+=--【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于：221x y m n+=当时，方程表示椭圆；当时，方程表示双曲线． 0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩0mn <【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为． 221259x y k k -=--此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A2212736x y +=的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线(M >0，n>0)和椭圆(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两221x y m n -=221x y a b+=曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝①±|MF 1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足， ||||330413202000PA PB -=⨯=<又所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． ||||,PA PB >以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，得21320,22000a c ==660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是 221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记a 录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸340a =点P 到AB 中点M 的距离．【答案】米。
双曲线怎么求标准方程
双曲线怎么求标准方程双曲线是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习双曲线的过程中，求其标准方程是一个基础且必须掌握的内容。
本文将详细介绍双曲线的标准方程求解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 双曲线的定义。
在直角坐标系中，双曲线是一类特殊的曲线，其定义可以通过几何、代数或者参数方程进行描述。
在本文中，我们主要讨论双曲线的代数定义，即通过方程的形式来描述双曲线。
双曲线的代数定义为，设a、b为正实数，且a≠b，点F1(-c,0)和F2(c,0)为平面上两定点，且2c=2a。
点P(x,y)到F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1-PF2|=2a，则点P(x,y)的轨迹方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。
2. 求解双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程是指将双曲线的方程化为一种特定的标准形式，便于对其性质进行分析和研究。
双曲线的标准方程通常采用以下形式，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
求解双曲线的标准方程的一般步骤如下：步骤一，将双曲线的方程化为标准形式。
首先，我们需要将给定的双曲线方程化为标准形式。
具体的方法是利用平移变换和坐标轴旋转等技巧，将双曲线的方程化为上述所述的标准形式。
步骤二，确定标准方程中的参数。
在将双曲线的方程化为标准形式后，我们需要确定标准方程中的参数。
其中，参数(h,k)表示双曲线的中心坐标，参数a表示双曲线在x轴上的半轴长度，参数b 表示双曲线在y轴上的半轴长度。
步骤三，写出标准方程。
最后，根据确定的参数，我们可以将双曲线的标准方程写出来。
在写出标准方程时，需要保证等式两边的平方项系数分别为1，且一项为正一项为负。
3. 求解实例。
接下来，我们通过一个具体的实例来演示如何求解双曲线的标准方程。
例，求双曲线x^2/16-y^2/9=1的标准方程。
解，首先，我们将给定的双曲线方程化为标准形式，得到(x-0)^2/16-(y-0)^2/9=1。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
利用“λ”法求双曲线标准方程
＝ —— －— — －— —— － －— —— —－ －— — ●— —— － —— —— — —— —＝ 。
ｐ 的必要条件意味着 ｑ ｐ 是 成立 的必不可少的条 件．解题 时恰 当利用必要条件可 帮助探求解题 思路， 简化解题过程．
（ ＋２ ｉ ＋（＋２ Ｏ １ ｓ ） １ ＣＳ ） ｎ 必大于零小于１ 因此， （） ｘ ∈【 １恒 ． ｆｘ ＞ｏ ￣ ０】 ，
如果用于 已知渐近 线方 程求解有关双 曲线方程 的其 他例题也同样奏效．
又因为点Ｐ（，） ４３在双曲线 ① 上， 所以
—
９ １ ６ ， ｋ — ４— — ‘ ２ — —— ２ — ｋ
解得 ｋ ２＝５ ．
例 １ 求中心在原 点， 一条渐近线方程为２
一
． 所求双 曲线的方程为 一 ｘ ． ・ －＝ １
曲线的焦点在 轴上； 若 ＜０ 则双 曲线的焦点 ，
所以 曲 方 为 一ｙ ＝１ 双 线 表 ２
，
因为焦 点 （ ４０， 以ｃ ＝ ９ ｛４ ＝ 一 ，） 所 ２ Ａ－ Ａ －
１ Ａ＝ １ ， ３ ６
，
在！ ， 轴上． 而其渐近线方程为Ｙ ４／ ， ＝－ 恰恰 － ，
与 无关． 这从几何上看， 即当已知双 曲线时， 其 对应 的一对渐近 线是唯一 的； 反之， 当双 曲线的
解ａ Ｉ＝ ， 得 ＝ ６箸 ２ ２
・ ． ．
所双 线 方 为 一 １ 求 曲 的 程 蔷＝．
１ ３
ｎ 一
１ ３
（ 法 双 线 程 等 －（ “ ） 曲方为 一２Ａ＞ 设 ｙ Ａ
０， ）
所谓 “ ” 即把双 曲线方程写成 一 ＝ 法，
（ ≠０ 且 ｍ、ｎ同号） ， 的形式， 若 ＞ ０ 则双 ，
双曲线常考题型解题技巧总结
双曲线常考题型解题技巧总结学习目标 1.提升对双曲线的定义和标准方程的理解.2.掌握双曲线的几何特征，会用几何性质解决相关问题.3.学会解决直线与双曲线相交问题的综合问题.知识点一双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的________________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在.答案差的绝对值焦点焦距知识点二双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a知识点三直线与双曲线的位置关系(1)直线与双曲线的位置的判断方法直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 2b2＝1，消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，①式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交； 当b 2－a 2k 2≠0时，若Δ>0，直线与双曲线有两个公共点，相交； 若Δ＝0，直线与双曲线有一个公共点，相切； 若Δ<0，直线与双曲线没有公共点，相离.(2)对于弦长的问题，通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解. 设直线与双曲线的交点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， |P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2) 或|P 1P 2|＝[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]⎝⎛⎭⎫1＋1k 2.类型一 双曲线的几何性质例1 分别求适合下列条件的双曲线的离心率. (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 解 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133.综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3⎝⎛⎭⎫b 2a 22－10×b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 反思与感悟 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值.而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.在本题的(2)中，要注意条件0<a <b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性.跟踪训练1 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率.解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .∴|PF 1|＝b 2a .由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°. 知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b 2a ＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去). ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2. 类型二 直线与双曲线例2 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值. 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时， k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2). (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 反思与感悟 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验. 跟踪训练2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程. 解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3，设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝4(m 2＋1)3，由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|得 2·⎝⎛⎭⎫－83m 2－16(m 2＋1)3＝8311， ∴42·m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设与双曲线交于A ′(x 1，y 1)、B ′(x 2，y 2)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2.由x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝34， ∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，∵Δ>0，∴所求直线与双曲线有两个交点， 即所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.类型三 与双曲线定义有关的应用问题例3 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).解 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接PF 2，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|，因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10， 所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9.反思与感悟 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据.在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用.跟踪训练3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1.点(1,0)到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D.3 答案 B解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，∴d ＝32. 2.已知双曲线的标准方程为y 22－x 2＝1，则双曲线离心率为( )A. 2B.3C.62D.3答案 C解析 由方程知a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，∴e ＝c a ＝62.3.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则双曲线的方程为( ) A.y 29－x 216＝1 B.y 24－x 23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x 24＝1 答案 A解析 双曲线的焦点在y 轴上，c ＝42＋32＝5， 渐近线方程y ＝±34x .∴b ＝4，a ＝3，∴选A.4.已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43 答案 C解析 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.5.双曲线的一条渐近线方程是3x ＋4y ＝0，一个焦点是(4,0)，则双曲线的标准方程为________________. 答案 x 225625－y 214425＝1解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0， ∴设双曲线的标准方程为x 216－y 29＝λ，由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝1625.∴所求的双曲线的标准方程为x 225625－y 214425＝1.6.过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有________条. 答案 3解析 右焦点(3，0)，把x ＝3代入双曲线方程，得：y ＝±2，当直线过右焦点且垂直于x 轴时，l 与双曲线相交的弦长|AB |＝4，当l 与x 轴重合时，|AB |＝2，由数形结合知，还存在两条直线使得|AB |＝4.1.求双曲线离心率有两种方法： (1)直接法：利用e ＝1＋(b a)2.(2)方程法：不能确定a ，b ，c 具体值，借助于b 2＝c 2－a 2，e ＝ca ，转化为关于e 的方程.2.直线与双曲线位置关系：通过联立方程，先看二次项系数是否为0，若不为0，利用判别式Δ判断直线与双曲线位置关系.3.弦长问题可以利用弦长公式，中点弦可以利用点差法.一、选择题1.两个正数a ，b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于( ) A.32B.152C.13D.133答案 D解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝52，ab ＝6，a >b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，∴e ＝a 2＋b 2a ＝32＋223＝133.2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a . ∴渐近线方程为y＝±bax ，即y ＝±2x .3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，∴直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ， 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4.设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A.4 2B.8 3C.24D.48 答案 C解析 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案 B解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形. 二、填空题6.方程x 2|k |－2＋y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是____________________.答案 －2<k <2或k >5解析 由题意得(|k |－2)(5－k )<0， 解不等式得－2<k <2或k >5.7.已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________________. 答案 x 24－y 2＝1解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x2下方，∴双曲线焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝12，∴设a ＝2k ，b ＝k (k >0)， ∴x 24k 2－y 2k2＝1， 代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1， ∴方程为x 24－y 2＝1.8.已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率是3，则n ＝______.答案 4解析 根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12， 则双曲线的离心率e ＝c a ＝12n ＝3，∴n ＝4.三、解答题9.求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程.解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ.联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0. 设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么：|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1)⎝⎛⎭⎫82－4×36＋λ3＝8(12－λ)3＝833.解得：λ＝4，所以，所求双曲线方程是：x 24－y 2＝1. 10.已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长.解 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1， 则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72<0， ∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上.∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－2)2－4⎝⎛⎭⎫－72＝6. 因此弦AB 的长为6.11.已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1,3)，求C 的离心率.解 易求得直线l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程，并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2， 由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1， ∴12×4a 2b 2－a 2＝1，有b 2＝3a 2. ∴c ＝a 2＋b 2＝2a .∴C 的离心率e ＝c a＝2. 12.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0. 解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0).则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)， 可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 13.炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s.已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程.解 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上.设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PF1|－|PF2|＝6 000，即2a＝6 000，a＝3 000.而c＝5 000，∴b2＝5 0002－3 0002＝4 0002，∵|PF1|－|PF2|＝6 000>0，∴x>0，所求双曲线方程为x23 0002－y24 0002＝1(x>0).。
已知两点求双曲线方程的方法
已知两点求双曲线方程的方法
要求解双曲线的方程，至少需要知道一条焦点和一条渐近线。
有以下两种求解方法：
1. 根据焦点和渐近线求解双曲线方程：
a. 假设一条焦点为（h，k）的双曲线。
该双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中 a 和b 分别为双曲线的半轴长度。
b. 将已知的焦点代入双曲线方程中得到一个未知常数。
c. 由于已知双曲线的渐近线方程，将双曲线方程化简，可以得到 a 和 b 之间的关系。
d. 将已知点代入化简后的双曲线方程，求解最终的双曲线方程。
2. 根据两点求解双曲线方程：
a. 假设一条双曲线的焦点为（h，k1）和（h，k2），其中 k1 和 k2 是焦点的纵坐标。
b. 由于双曲线对称于 x 轴，渐近线的斜率等于 (k2 - k1)/2h。
c. 通过焦点和斜率的信息，可以确定双曲线的标准方程。
(x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = 1 或 (x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = -1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = 1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = -1。
根据已知信息的不同，使用上述方法之一，可以求解双曲线的方程。
如何求双曲线方程的标准方程
如何求双曲线方程的标准方程
黄薄喆
【期刊名称】《中学生数理化（高二高三版）》
【年(卷),期】2007(000)011
【摘要】@@ 求双曲线的标准方程主要是求实半轴长(a)和虚半轴长(b).基本思路有两条途径:一是根据条件直接求得a与b的值;二是根据题设条件设出x2/a2-
y2/b2=±1(a>0,b>0)标准方程,再建立关于a与b的方程组,进而求得a与b的值.【总页数】2页(P27-28)
【作者】黄薄喆
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.求双曲线标准方程的技巧
2.求双曲线标准方程的若干方法
3.已知渐近线方程求双曲线方程的一种方法技巧
4.用圆交点法求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程
5.利用“λ”法求双曲线标准方程
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求双曲线标准方程的技巧
求双曲线标准方程的技巧-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN求双曲线标准方程的技巧在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。
下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。
一 双曲线的一般方程例1 求经过点(3,P ,()Q -的双曲线标准方程。
分析 双曲线的标准方程有两种形式：22x a －22y b ＝１（a ＞０，b ＞０）或22y a －22x b＝１（a ＞０，b ＞０），可以讨论解决。
也可以应用下面的方法解决。
解 设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０）。
因为所求双曲线经过点(3,P ,()Q -，所以9281,7249 1.A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝－175，B ＝125。
故所求双曲线方程为225y －275x ＝１。
说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０），这样可以简化运算。
二 等轴双曲线例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线x －2y ＝０交于两点A 、B ，且AB ＝分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程2x －2y ＝2a （a ＞０），求出a 即可。
解 设等轴双曲线方程为2x －2y ＝2a （a ＞０）。
由222,20.x y a x y ⎧-=⎨-=⎩解得交点A 、B 的坐标分别为、⎛ ⎝。
因为AB ＝3a ＝a ＝３。
故所求双曲线方程为2x －2y ＝９。
说明等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如：离心率e，渐近线方程为y＝x±且互相垂直等等。
三共焦点双曲线例３已知过点()2，且与双曲线216x－24y＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
分析根据双曲线焦点与2a、2b的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为216xk-－24yk+＝１（－４＜k＜16），求出k即可。
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求双曲线标准方程的技巧
在求双曲线标准方程时,如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算,优化解题过程。
下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。
一 双曲线的一般方程
例1 求经过点(3,P ,()
Q -的双曲线标准方程。
分析 双曲线的标准方程有两种形式:22x a -2
2y b
＝１(a >０,b >０）或22y a -22x b ＝1（a ＞
0，b >0)，可以讨论解决。
也可以应用下面的方法解决。
解 设双曲线方程为2
Ax +2
By =1（AB ＜0）。
因为所求双曲线经过点
(
3,P ,()
Q -，所以9281,7249 1.
A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝－175,B ＝125。
故所求双曲线
方程为225y －2
75
x ＝1。
说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,一般设双曲线方程为2Ax ＋2
By ＝1(AB <０),这样可以简化运算。
二 等轴双曲线
例２ 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上,与直线x －2y =0交于两点A 、B ，
且AB =
分析 根据等轴双曲线的特点,可以设含有一个参数的方程2
x －2
y =2
a (a >０）,求出
a 即可。
解 设等轴双曲线方程为2
x -2
y =2
a （a ＞０）。
由222,20.
x y a x y ⎧-=⎨-=⎩解得交点A 、B 的
坐标分别为
、⎛ ⎝。
因为AB 3=所以a ＝3。
故所求双曲线方程为2
x －2
y =9。
说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线,它有一些特殊的性质,比如：离心率e ,渐近线方程为y =x ±且互相垂直等等。
三 共焦点双曲线
例３ 已知过点()
2，且与双曲线216x -2
4
y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
分析 根据双曲线焦点与2
a 、2
b 的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为2
16x k
-－
2
4y k
+=1（－４＜k <1６)，求出k 即可。
解 设双曲线方程为216x k --2
4y k
+＝１(-４<k <1６)
，将()
2代入,得k =4。
故所
求双曲线方程为2
12
x －28y ＝１。
说明 与双曲线22x a -22y b
=1共焦点的双曲线方程可设为22x a k --22y b k +＝1(－2
b ＜
k <2
a )。
根据椭圆与双曲线的关系,与椭圆22x a
+2
2y b ＝1共焦点的双曲线方程可设为
22x a k --22
y b k
-＝1(2b <k ＜2
a ),请注意它们的区别。
四 共渐近线双曲线
例4
求经过点(-，且与双曲线29x -2
16
y =1有共同渐近线的双曲线方程。
分析 因为双曲线29x －216y =１的两条渐近线方程为双曲线2
9x －216y ＝０，因此与它
共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线2
9
x －216y ＝λ(λ≠０)。
解 设双曲线方程为29x -2
16
y =λ(λ≠0）
，因为双曲线经过点(-,所以
λ=
()2
39
-
-(2
16
＝1
4。
故所求双曲线方程为29x -216y ＝14,即294
x －24y ＝１。
说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程,使解题更合理。
另外,以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
显然共轭双曲线有相同的渐近线，因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。
五 同离心率的双曲线
例5 求经过点()2,0，且与双曲线264x -2
16y =1的离心率相同的双曲线的标准方程。
分析 因为一条双曲线和双曲线22x a -2
2y b ＝1（a ＞0,b >0）离心率相同，那么它的焦点
可能在x 轴上,也可能在y 轴上。
若焦点在x 轴上,它的方程可设为2
2x a －22y b =λ（a ＞0,b ＞
0,λ>０）；若焦点在y 轴上,它的方程可设为22y a -2
2x b
=λ（a >0,b ＞0，λ>0）。
解 (1)当所求双曲线的焦点在x 轴上时,它的方程可设为2
64x －216
y =λ(λ＞０），将
()2,0代入，得λ=1
16。
此时所求双曲线的标准方程为24x -2y =1。
（2)当所求双曲线的焦点在y 轴上时,它的方程可设为264y －2
16
x ＝λ（λ＞０），将
()2,0代入，得λ＝－
1
4
<0(舍去)。
故所求双曲线的标准方程为24
x -2
y =１。
说明 已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似,请你比较它们的区别。
六 已知双曲线渐近线的双曲线
例６ 求一条渐近线方程为3x ＋4y =０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。
分析 由3x +4y ＝0,得
4x +3
y
=0,因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所求双曲线方程为2
16
x －29y ＝λ（λ≠０）,求出λ即可。
解 根据题意,可设所求双曲线方程为2
16
x －29y =λ（λ≠０)。
又因为焦点在x 轴上,
所以λ＞0。
因为c =４,所以16λ＋9λ=16，解得λ=16
25。
故所求双曲线方程为225625
x －
214425y ＝1。
说明渐近线方程为x
a
±
y
b
＝0或y=±
b
x
a
的双曲线方程可设为
2
2
x
a
－
2
2
y
b
＝λ（λ
≠0),然后确定λ的值。
因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时,一定要认真审题,弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。