妙用旋转巧解题
巧“旋转”,妙解题
内一点，且 # + ) * - $ + ) # ，求 证 ：
解 析 ：虽 然 题 目 中 相 等 的 元 素 集 中 在 A + * ) 和
A + # ) 中 ，但 无 法 证 明 A + * ) 和 A + # ) 全 等 ，所以需要
把条件转移之后再利用，
例3 如图5 ，菱形A # C& 中 ，' 、（分别为# C 、C& 上的
点 ，且 # # 'A (*60。，求证:A '*A (+
ALeabharlann A解 析 ：如 图 6 ，连接A C ，证 明 A A # ' ! A A C ((A S A ) 即可!
事 实 上 ，A A C ( 可 以 看 成 是 A A # ' 绕点A 逆时针旋 转60。而 成 的 ，其实旋转为我们认识全等提供了一个新 的 角 度 ，即从动态的角度来重新认识全等.观察图2 、图 4,我 们 可 以 发 现 旋 转 必 然 会 产 生 “有公共顶点的等线 段 图 形 （线 段 和 中 点 、等 腰 三 角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）， 反 之 ，“有公共顶点的等线段图形（线段的中点、等腰 三角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）中必然隐藏着旋转型全等，我 们 只 需 找 到 它 们 ，问题便随之解决.
2018年 2 月
巧 “旋转”，妙解题
! ! 东省烟台市教育科学研究院辛珍文
图形的旋转是《义务教育数学课程标准(2011年 版 )》 规 定 的 学 习 内 容 ，旋转变换在初中几何中占据非常重 要 的 地 位 ，它 贯 穿 于 三 角 形 、四 边 形 、圆等几乎所有重 要 的 几 何 内 容 之 中 ，在 近 几年的中考试题中所占的比 重 不 断 上 升 ，是 中 考 的 热 点 ，而且相关试题往往构思巧 妙 ，令人耳目一新，学生在解决这类问题时倍感困难，经 常没有头绪.本文试图从三个层次来帮助学生掌握旋转 的 特 征 ，以期帮助学生抓住旋转的规律，从而轻松解决 问题.
巧用旋转法解几何题
百度文库-让每个人平等地提升自我巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法,主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。
例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F"分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF , AE BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG •/ AD=DB / ADG=/ BDF •••" ADd " BDF ( SAS •••/ DAG=/ DBF BF=AG • AG// BC•••/ C=90°A Z EAG=90 • EG=Ah+AG=AE+BF •/ DEI DF • EG=EF2 2 2• EF=AE+BF例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。
初中数学旋转问题解题技巧
初中数学旋转问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？遇到旋转问题别慌张！比如像钟表指针的转动，那就是旋转呀！咱就拿这个例子说，看到旋转角，那就是关键线索啊，可别小瞧它！
2. 同学们，旋转问题里找对应边对应角很重要哦！就好像拼图似的，得把它们都对上才行。
比如说一个三角形旋转后，那对应的边和角不就得赶紧找到呀！
3. 哎呀呀，旋转图形里的中心对称点可得看准了！你想想看，就像游乐场的摩天轮中心一样重要呢！比如给定一个图形绕着某个点旋转，那这个点不就是核心嘛！
4. 嘿，注意旋转方向呀！顺时针还是逆时针可不能搞错啊，这就好比走路，方向错了可就到不了目的地啦。
就像那个风车旋转，得清楚是怎么转的呀！
5. 别忘了利用旋转前后图形全等这个特性哦！这多有用呀！好比原来的你和现在的你，本质上还是同一个人呀！比如知道了一个图形旋转前的情况，那旋转后的很多性质就可以利用全等知道啦！
6. 哇塞，在做旋转问题时可以动手画一画呀！亲手画的过程就像给自己搭房子，一砖一瓦都清楚。
像一个四边形旋转，动手画画不就更直观了嘛！
7. 你们有没有发现呀，有些旋转问题和生活中的现象超像的！就像风扇的转动一样。
比如说判断图形经过旋转后的样子，是不是和风扇转了一圈很类似呀！
8. 哈哈，遇到复杂的旋转问题别头疼，一步步来呀！就像爬山，一步一步总能到山顶。
比如那个多次旋转的问题，不要怕，慢慢分析总会搞清楚的！
9. 反正呀，初中数学的旋转问题没那么难，只要用心去琢磨，就像研究自己喜欢的东西一样，总能找到方法解决的！
我的观点结论：只要掌握好方法和技巧，初中数学旋转问题就能轻松搞定！。
初中数学破题致胜微方法(巧用旋转)
1111例：在△ABC 中， ∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D 点，已知：BD=6,CD=4,则高AD的长为_____.分析：此题看到45°，可以将它扩大到90°，将△BCD 沿BC 翻折，使D 到D 1处，△ADB 沿AB 翻折，使D 到D 2处，则C D 1=CD=4, B D 2=BD=6,∠D 1AD 2=90°，四边形A D 1 D 3 D 2为正方形，利用△AD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233BC BD CD =+, B D 3= D 2D 3- B D 2= AD-BD=AD-6, C D 3= D 1D 3- C D 1=AD-CD=AD-4,可求得12AD =. 答案：12总结：如图，涉及三角形内45°角对边上的高时，对应的高，底边上被高分成的两个线段这三量知二求一时，可考虑翻折+半角的反应用，把半角扩大到90°，再利用翻折的性质、正方形的性质把相关量转移到直角三角形中，应用勾股定理解决.练习：1. 如图，在△ABC 中， ∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D 点，已知：BD=3,CD=2,则△ABC 的面积为_____.22. 如图，在△ABC 中， ∠ABC=45°， BD ⊥AC 于D 点，已知：BD=6,AC=5,则CD=_____.答案：1. 6分析：参考例题做法，则此时四边形A D 1 D 3 D 2为正方形，利用△BD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233BC BD CD =+, B D 3= D 2D 3- B D 2=AD-BD=AD-3, C D 3= D 1D 3- C D 1=AD-CD=AD-3,可求得6AD=.2. 2或3分析：参考例题做法，则此时四边形B D 1 D 3 D 2为正方形，利用△BD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233AC AD CD =+, A D 3= D 2D 3- A D 2=BD-AD=6-(AC-CD)=1+CD, C D 3= D 1D 3- C D 1=BD-CD,可求得3CD =或2CD =.3例：已知：在△ABC 中，60BAC ∠=︒．（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B ，得到△ADB ，连结DP ．①依题意补全图1；②直接写出PB 的长；（2）如图2 ，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且3PA =，5PB =，4PC =，求APC ∠的度数；（3）如图3，若2AB AC =，点P 在△ABC 内，且3PA =5PB = ，120APC ∠=︒，直接写出PC 的长．CBAP图2图3图1CBAPBAP分析：（1）画出旋转后的图形，根据旋转的性质，旋转前后所对应的两个三角形全等，∴△ADB≌△APC，则AD=AP,BD=CP,∠ADB=∠APC,又∠BAC=60°，则旋转角是60°，则∠ADP=60°，∴△ADP为等边三角形，∴∠BDP=120°-60°=90°，DP=AP=3,则BP=5。
巧用旋转法解几何题
巧用旋转法解几何题旋转变换是平面几何中常见的一种转化思想，通过旋转几何图形的某一部分可将几何图形中看似无关的线段作为等量转移建立数量关系，从而达到简化问题的目的试看以下几例：例1．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从要证的结论来看，令人想到了勾股定理，但要注意EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D 为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：将⊿BDF以D为旋转中心，旋转180°，得到⊿ADG.∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG ∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2 ∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目的已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一个三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中. 由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：将⊿CAP以C为旋转中心,沿逆时针方向旋转90°,得到⊿CMB.∴⊿CAP≌⊿CBM（SAS）∴MB=AP=3∵PC=MC，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MCPC =22PC=22，在⊿MPB中，PB2+PM2=（22）2+12=9=BM2∴⊿MPB是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+CF2B分析：在这个题目中，求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将∠BAE和∠CAF放在同一个三角形中。
利用旋转图形作辅助巧妙解题
利用旋转图形作辅助巧妙解题利用旋转图形作辅助图形，能很巧妙地解决一些难解的数学题，本文就近年的几道中考题和竞赛题作分析，共同感受这种方法的巧妙。
例1、如图，在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M 和N ，使∠MCN=45°，则以AM 、BN 、MN 为边组成的三角形为（ ） A 、 锐角三角形； B 、 直角三角形； C 、 钝角三角形； D 、 无法确定。
分析：把△AMC 绕点C 逆时针旋转90°到△BDC 位置，易知BD=AM 、BD ⊥AB ， 由∠MCN=45°，∠MCD=90°得∠NCD=45°；∴∠MCN=∠NCD ，又MC=CD ，CN 公共，可证△MCN ≌△DCN ， ∴MN=DN这样把AM 、BN 、MN 三条线段转化到△NBD 中使问题得以解决。
选（B ）点评：利用旋转使线段AM 、BN 、NM 集中到一个三角形中，这是一种较高难度的转化。
例2、如图，在等边三角形ABC 内部有一点P ，PA=1，PB=3，PC=2.求∠APC 的度数。
分析：把△APC 绕点A 顺时针旋转60°到△AQB 位置，易知BQ=PC ，易证△AQP 为等边三角形，得PQ=AP ，这样把PA 、PB 、PC 三条线段转化到△QPB 中，由PA=1， PB=3，PC=2，判断△QPB 为直角三角形，∠QBP=30°，∠BQP=60° ∴∠APC=∠AQB=120°点评：利用旋转使线段PA 、PB 、PC 集中到一个三角形BPQ 中，有效利用条件求角度。
例3、如图，△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠BDE=90°连接AE 、CD 。
求证：AE=2CD.分析：把△CBD 绕点C 顺时针旋转90°到△CAF 位置，易知△CFD 为等腰直角三角形，DF=2CD由旋转可证AF ⊥BD 且AF=BD又ED ⊥BD 且ED=BD ，可知AF ∥ED 且AF=ED ，∴四边形AFDE 为平行四边形，∴AE=DF ，∴AE=2CD点评：利用旋转使线段AE 、CD 集中到一个三角形CDF 中，使问题得以解决。
旋转问题的解题技巧
旋转问题的解题技巧
1. 哎呀呀，遇到旋转问题不要慌！你看那电风扇转得多快呀，就像我们解题的思路一样要迅速找到关键。
比如一个图形绕着一个点旋转，那就要紧紧抓住旋转中心这个关键呀！是不是一下子就清楚啦？
2. 嘿，你知道吗，旋转问题有个绝招来啦！想象一下时钟的指针转动，这就跟我们要解的旋转问题很像呀。
像那种给出旋转前后的图形，我们就得观察它们之间的变化规律呀，这招超好用的呀！
3. 哇哦，解决旋转问题还得学会找特点呢！就像每个玩具都有它独特的地方一样。
比如知道了旋转的角度和方向，解题不就容易多了嘛！你说是不是呀？
4. 哈哈，面对旋转问题就得大胆去尝试呀！好比划船，不尝试怎么知道能不能到对岸呢。
试试不同的方法，也许答案就冒出来啦，就像突然找到宝藏一样惊喜呀！
5. 诶呀，旋转问题里可藏着不少秘密呢！就像一个神秘的盒子等你去打开。
像是两个图形通过旋转重合，那我们就找找它们重合的关键点嘛，这样不就柳暗花明啦？
6. 哟呵，要善于利用对称性来解决旋转问题呀！好比照镜子，对称的两边是不是很好找呀。
碰到有对称关系的旋转，那答案准能快速找到啦！
7. 哇，旋转问题可不能死脑筋呀！要像脑筋急转弯一样灵活。
例如给定一个复杂的图形旋转，我们别害怕，一点点分析，总会找到解题思路的啦！
8. 嘿呀，总之记住这些解题技巧，旋转问题就难不倒你啦！不管遇到什么难题，都可以像勇士一样去战斗，把答案给攻克下来呀！
我的观点结论就是：掌握了这些技巧，再难的旋转问题都能迎刃而解！。
10解题技巧专题巧用旋转进行计算
10解题技巧专题巧用旋转进行计算在解题过程中，有时我们可以巧用旋转来进行计算，以简化问题、加快解题速度。
下面将介绍几种巧用旋转进行计算的技巧。
1.点的旋转：对于一个点(x,y)，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的点(x',y')，计算方法如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解两点之间的距离、判断点的位置关系等问题。
2.向量的旋转：对于一个向量(x,y)，我们同样可以将其逆时针旋转θ度得到新的向量(x',y')，计算方法与点的旋转类似。
x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解向量的和、点积、叉积等问题。
3. 复数的旋转：对于一个复数a + bi，我们可以将其旋转θ度得到新的复数c + di，计算方法同样类似。
c = (a + bi) * cosθd = (a + bi) * sinθ这种技巧可以用来求解复数的乘法、除法等问题。
4.矩阵的旋转：对于一个二维矩阵，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的矩阵，计算方法如下：对于一个点(x,y)在原矩阵中的位置(i,j)，新矩阵中该点的位置为：i' = j * sinθ + i * cosθj' = j * cosθ - i * sinθ这种技巧可以用来求解矩阵的转置、乘法、快速幂等问题。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的旋转方法。
例如，在计算几何中，通过旋转可以使问题简化为求解两点之间的距离或者判断一些点是否在条直线上，从而简化问题的求解过程。
在矩阵运算中，可以通过旋转将矩阵进行转置或者快速幂运算，提高运算效率。
巧用旋转进行计算可以节省时间、简化问题，但在应用时也需要注意旋转角度的选择和计算的正确性。
在实际解题过程中，可以通过举例或者推导来验证旋转计算的正确性，避免出现错误的结果。
利用旋转解决几何问题
利用旋转解决几何问题在几何学中，旋转是一种常见的解决问题的方法。
通过将形状绕着某一点或某一轴旋转，可以得到新的形状，从而解决一些原本复杂的几何问题。
本文将通过几个例子，介绍如何利用旋转来解决几何问题。
一、旋转体的体积计算旋转体的体积计算是旋转解决几何问题的经典应用之一。
考虑一个曲线y=f(x)，如果将该曲线绕x轴旋转一周，就可以得到一个旋转体。
我们可以利用旋转体的性质来计算其体积。
例如，我们要计算曲线y=x^2在x=0到x=1之间的旋转体体积。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，我们将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，高度为f(x)。
因此，该薄片的体积可以用V=π(f(x))^2Δx来表示。
最后，将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积。
二、旋转体的表面积计算除了计算旋转体的体积，我们还可以计算旋转体的表面积。
同样，我们可以将旋转体切割成薄片，每个薄片在x轴上的宽度为Δx。
但是，不同于计算体积时使用薄片的高度f(x)，计算表面积时，我们使用薄片的周长。
例如，考虑一个曲线y=√x在x=1到x=4之间的旋转体。
我们可以将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，周长为2πf(x)。
因此，该薄片的表面积可以用S=2πf(x)Δx来表示。
最后，将所有薄片的表面积相加，即可得到旋转体的表面积。
三、旋转体的质心计算旋转体的质心是指旋转体的重心或质量中心，即旋转体的几何中心。
我们可以利用旋转解决几何问题的方法来计算旋转体的质心。
以曲线y=x为例，我们要计算其在x=0到x=1之间的旋转体的质心。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，根据物理学的原理，质心可以通过计算各个薄片的质心位置得到。
每个薄片的宽度为Δx，高度为f(x)。
根据几何学中的平均值定理，每个薄片的质心位置x可以用公式x=∫xf(x)Δx/∫f(x)Δx来表示。
初中数学巧旋转 妙解题学法指导学法指导
初中数学巧旋转 妙解题同学们都知道旋转具有以下特征：1. 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2. 对应点到旋转中心的距离相等；3. 对应角、对应线段相等；4. 图形的形状和大小都不变。
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、求线段长例1. 如图1所示，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E 在BC 上，且EF AE ,EF AE =⊥，求CF 的长。
解析：将ABE ∆以点E 为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B 旋转到点B ’处，AE 与FE 重合。
由旋转特征，知BC E 'B ⊥，所以四边形B ’ECF 为矩形所以4AB 'FB CE ===所以6BC CE 'EB CE CF ==+=+所以246CE BC CF =-=-=故CF 的长为2。
二、求角的大小例2. 如图2，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 为斜边，如果将ABD ∆绕点A 按逆时针方向旋转到'ACD ∆的位置，则∠ADD ’的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°解析：由旋转的性质：“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角对应相等”，可知AD=AD ’，∠DAB=∠D ’AC 。
又因为∠CAB=90°，所以∠D ’AD=90°故∠ADD ’=45°故选D 。
三、探究说理例3. 如图3，任意剪一个平行四边形纸片ABCD ，利用对折的方法找到一组对应的中点E 、F ，按如图3中所示的方法过点F 剪下一个等腰三角形FDG ，按图中箭头所指的方向旋转180°。
（1）你得到的四边形ABHG 是什么形状的四边形？（2）用尺规作一条线段，使它等于线段AG 与线段BH 的和，再把它跟线段EF 的2倍作比较，你发现了什么？你能说明这个发现是正确的吗？解析：（1）因为FDG ∆绕点F 旋转180°得到FCH ∆，所以FCH FDG ≅∆所以∠D=∠FCH 。
八年级数学下册利用旋转妙解正方形问题(人教版)
利用旋转妙解正方形问题正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性.因此，在正方形中的线段证明和计算等问题上，利用旋转变换可巧妙地拼接图形，使条件发生转化并相对集中，可达到化难为易的目的. 现举例如下.例1如图正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上两点，BF平分∠EBC.求证：BE=AE+CF.分析：四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠A=∠C=90°，把△BCF绕点B 逆时针旋转90°到△BAG的位置，如图，此时AG=CF，只需再证BE=GE即可，由于∠CBF=∠FBE=∠GBA，所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G.因而BE=GE.证明略.评注：本题将△BCF绕点B进行旋转变换，使线段CF与AE巧妙拼接，并与BE组成三角形，从而利用等腰三角形的知识解题.例2如图P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，∠APB=135°，求PC的长.分析：由AB=BC，∠ABC=90°，可将△BAP绕点B按顺时针方向旋转90°，得△BCP′，如图连结PP′，则△BPP′是等腰直角三角形.因为PB=P′B=2，根据勾股定理，得PP′=2 2 .又因为∠CP′B=∠APB=135°，∠PP′B=45°，所以∠CP′P=90°，即△CP′P是直角三角形，从而PC=3.评注：本题通过旋转变换，将线段PC、C P′与PP′巧妙构成直角三角形，且使已知条件相对集中，并与结论沟通起来，达到了化难为易的目的.以下两题供同学们练习：1、如图，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD边上的两点，∠EAF=45°.求证：EF=BE=DF.2、如图，正方形ABCD的边长为1，BC、CD边上各有一点E、F，若△CEF的周长为2，求∠EAF的度数.。
中考数学复习指导：旋转变换在解题中的妙用
旋转变换在解题中的妙用初中数学中蕴含着许多数学思想和方法，灵活运用好这些思想与方法，才能帮助我们解决问题．本文以旋转变换为例，与大家一起感受将图形旋转的思想方法是如何帮助我们聚集条件，搭建桥梁，从而顺利解题的．一、利用旋转变换，把分散的条件集中到一个三角形中例1 如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，且AC＝3，BC＝4，CD＝，试判断△ABC的形状．分析本题给出的条件CD与AC.BC间并不在同一三角形中，条件显得分散．但如果把△BCD绕D点旋转180°后，已知的三条线段就都能集中到△ACM中，从而通过旋转集中了条件．例2 如图2，在正方形ABCD中，P为其内部一点，且AP＝1，BP＝，PC＝，求∠APB度数．分析显然已知P点到顶点A,B,C的距离，三个条件也是过于分散，但如果把△ABP 绕B点顺时旋转90°，到△BMC处，则三个条件就可转化到△PMC中，从而由直角三角形性质可求出∠PMC,∠BMP的度数．二、利用旋转变换，把分散的线段集中到一条直线上例3 如图3，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，E,F分别在BC与CD上，求证：EF＝BE＋DF．分析将△ADF旋转到△ABM的位置即可求解．例4 D是正△ABC外一点，且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，E,F在AB,AC上．求证：EF＝BE＋CF．分析通过旋转可把BE与CF集中到同一直线AC上，然后由△MDF≌△FDE可得所求结论．三、利用旋转变换，把不规则的图形变成规则的图形例5 在△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点，将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得△DEF，若AC＝6，求重叠部分面积．分析两直角重叠部分为不规则四边形，若用常规方法，则要先求△BPQ面积，再求△BO R面积，然后相减得出重叠部分面积，显然比较麻烦，若用旋转则可达到意想不到的简化效果，作OM⊥PQ,ON⊥BC，把△POM旋转到△R ON位置，则不规则的重叠部分变成了正方形MONQ，由OM为中位线，得ON＝AC＝3，从而S阴＝9．例6 在Rt△ABC中，D,E,F分别在AB.AC.BC上，且DECF为正方形，AD＝6，BD＝8，求S阴．分析本题若从常规角度思考则感觉条件似乎不充分，无从下手，但若把△AED绕D 点顺时旋转90°，则可得阴影部分面积就是△A'BD的面积，且A'D＝AD＝6，∠A'DB＝90，从而有，S阴＝6·8·＝24．。
巧旋转,妙解题 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
巧旋转，妙解题
教学目标
学会巧用旋转的性质来解决几何中的变化问题及分割问题
学情分析
学生已经学习完旋转的性质并可以熟练应用
教学重点难点
巧用旋转的性质解几何问题
教学过程
复习回顾
1.初中阶段有哪几种几何图形变换?
平移，轴对称，旋转
2.旋转变换的性质？
①旋转变换不改变图形的大小和形状，
②对应点到旋转中心的距离都相等，
③对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度。
⑴巧解几何图形变换
①如图,正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,OA1交AB于点E,OC1交BC于点F。
正方形的边长都为1,那么无论正方形A1B1C1O 绕O点如何转动,两个正方形重叠部分的面积等于多少?为什么?
②将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1,A2,A3…A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为多少
⑵巧解面积
如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积为9,求DP的长。
⑶巧解角的度数
如图:正方形ABCD内有一点P。
PA=1,PB=2,PC=3,如果将∆PCB绕B点顺时针旋转90⁰,能较快地求出∠APB的度数,请试试看
⑷巧拼接
已知四边形纸片ABCD,现需要将该纸片拼成一个与他面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线最多有两条,能否做到?若能请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法,若不能请简要说明
理由
小结：
利用旋转巧解结合图形变换，巧解面积，巧解度数，巧拼接。
初中数学善观察 巧旋转 妙解题学法指导
初中数学善观察巧旋转 妙解题学法指导沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。
一. 通过旋转，解答角度问题例1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。
求∠APB 的度数。
图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。
将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△FAB ，连接PF （如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。
∴△FAP 是等边三角形，FP=PA=6。
在△PBF 中，222222BF 1068PF PB ==+=+ ∴∠BPF=90°∴∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°图2二. 通过旋转，计算线段长度问题例2. 如图3，P 是正△ABC 内一点，PA=2，32PB =，PC=4，求BC 的长。
图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。
将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，则BA 与BC 重合（如图4），BP=BM ，PA=MC ，连接MP 。
则△MBP 是正三角形，即2MC ,4PC ,32MP ===， 由222222PC 42)32(MC MP ==+=+， 故∠CMP=90°，因为PC 21MC =， 所以∠MPC=30°， 又因为∠MPB=60°， 故∠CPB=90°，得72PC PB BC 22=+=图4例3. 如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC （BC>AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。
应用图形的旋转巧解“难题”
应用图形的旋转巧解 “难题图形旋转的实质是图形的全等，而图形的全等中有对应边相等、 对应角相等的性质， 通过旋转， 可以得到一些新的特殊图形、 特殊关 系，利用这些图形和关系，能巧妙地解决一些 “难题 ”。
面通过例子说明利用旋转解题的一些思路方法， 希望能为同学们学习、运用旋转更好地解决问题提供帮助。
一、正方形类型在正方形 ABCD 中，P 为正方形 ABCD 内一点， 将 ΔAPD 绕 A 点按顺时针方向旋转 900， 使得 AD 与 AB 重合，连接 PQ ，可得等腰直角 ΔAPQ ，且图 1 中与 PA 、 PB 、PD 三条线段 相关的线段集中于图 2 中的 ?PBQ 中，对问题的解决起到重要的作用。
例 1、正方形 ABCD 内一点 P ，且 PA=2，PB=4，PD= 2 2 ，则∠ APD= _____ ；提示：正方形 ABCD 中， AB=AD ，∴ △APD 绕点 A 顺时针旋转 90°到△AQB ， ∴∠APD =∠AQB ，PA=QA 连结 PQ∵旋转角为 90°，∴∠ PAQ= 90°∴ △PAQ 是等腰直角三角形， ∴∠ AQP= 45°， 又 AQ=PA= 2，Rt △PAQ 中，由勾股定理得： PQ=2 2又 BQ=PD= 2 2 ∴ PQ 2 BQ 2 (2 2)2 (2 2)2 16 PB 2 由勾股定理的逆定理得： ∠ PQB=90°图2∴ ∠APD= ∠AQB= ∠AQP+∠PQB=45°+90°=135°；变式：正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，若BE=3，DF=2，且∠ EAF= 450，求EF 的长。
分析：本题看起来无从下手，只要将它与旋转联系起来问题就好解决了。
解：正方形ABCD中，AB=AD，将△ADF绕点A顺时针方向旋转900，使AD 与AB 重合，点 F 的对应点是G ，∴ △ ABG ≌△ADF ，则AG=AF ，∠BAG= ∠DAFBG=DF= 2，且∠ABG= ∠D =∠ABE=900∴ G、B、 E 三点在同一直线上。
旋转巧 计算更妙
旋转巧 计算更妙学习了弧长的计算公式及扇形面积的计箅公式，我们可以解决有关的计箅问题，但在中考试题中常会出现一些旋转型的计箅问题，需要我们认真分析，探究解题的技巧一、旋转后求长度例1.如图1，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为 ．分析：弧长的计算关键在于求出圆心角的度数. 解：由题意得：,60,A C AC A '=∠=︒60ACA B CB ''∴∠=︒=∠，点B 转过的路径长为6062180ππ⨯=. 点评：本题以三角形旋转为背景，考查了同学们对弧长公式的理解和运用能力.二、旋转后求面积例2．当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图2是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB绕A 点转动90︒时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得80cm CD =，20DBA ∠=︒，端点C D ，与点A 的距离分别是115cm ，35cm ，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果．你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为 2cm ．（π取3.14）分析：察图形可知，AC D ACD ''△≌△，故所求面积为扇形ACC '的面积与扇形ADD '的面积之差．解：由题意，得AC AC AD AD C D CD ''''===，，，所以ACD AC D ''△≌△，所以ACD AC D S S ''△△≌，所以雨刷扫过的面积为扇形ACC '的面积与扇形ADD '的面积之差，即22222111 3.14(11535)9420(cm )444S AC AD =π-π=⨯⨯-= ． 点评：本题考查扇形的面积公式，同时也考察了同学们分析数据、观察图形、拼割图形的能力．三、旋转后求坐标例3．如图3，在直角坐标系中，已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．yxO A B ① ② ③ ④ 4 8 12 16 4 图3图1图2分析：先由题意结合图形确定三角形直角顶点的坐标，然后通过循环寻找规律．解：由图形可知：三角形①直角顶点的坐标是（0，0）；三角形②直角顶点的坐标是（7，0）；三角形③直角顶点的坐标是（12，0）；三角形④直角顶点的坐标是（12，0）；三角形⑤直角顶点的坐标是（19，0）；……，三次变换完成一个循环，三个循环后的坐标为（36，0），所以三角形⑩的直角顶点的坐标也是（36，0）．点评：本题是一道以图形变换循环为背景的坐标规律探究题，它考察了同学们的图形分析能力和探究问题的能力．这类题只要按题目的要求，读懂问题内容，寻找出规律，问题自然得到解决．四、旋转后求圈数例4．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()A．1圈B．1.5圈C．2圈D．2.5圈解析：因为滚动的硬币转一周，对于固定的硬币来说只有半圈，所以滚动的那个硬币自转两周才回到原来的位置，故选C．点评：本题考查了圆与圆的位置关系的理解与掌握情况，也可以实际动手操作解决．图1 图4。
巧用旋转解题例说
)))巧用旋转解题例说■ 韩敬摘要: 旋转是图形变换之一，它在解题中有着广泛的应用，本文是从等线段的视角下，利用旋转来思考，达到快速解题的目的．关键词: 等线段; 旋转; 速解题所谓旋转就是在平面内，把一个图形绕着一个定点沿顺时针或逆时针方向旋转一定的角度得到另一个 图形的变换． 旋转“前后的对应线段相等”这一特性在解题或分析问题中有着重要的作用． 当条件中或结论中出现或隐含着共顶点等线段，且不能直接解决时，我 们可用旋转法来解答，会有出奇制胜的效果．一、直接利用共顶点等线段旋转来解答 例 1 ( 2015 年江苏常州市)如图 1，在 ⊙O 的内接四边形接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判 定的应用． 速解本题的关键是将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转120° 得 △C B E ． 二、先寻找共顶点的等线段，再用旋转来解答 例2 ( 2014 年湖北武汉) 如图2，在四边形 A B C D 中，A D = 4，C D = 3，∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°， 则BD的长为 ．解析: 由 ∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°，得 A C = A B ，∠B A C = 90°，这里有共顶点等线段 A C = A B ，特殊角 ∠B A C = 90°，可考虑旋转，即把 △A B C 绕点 A 顺时针旋转90° 得△A C D '，由旋转性质得: C D ' = BD ， A D ' = A D ，∠D A D ' = ∠B A C = 90°，连接 DD '，从而得 ∠A DD ' = ∠A D 'D = 45°，所以 ∠C DD ' = ∠A DD ' + A B C D 中，A B = 3，A D = 5，∠B A D∠A D C = 90°，由勾股定理得 DD ' = 槡AD 2+ AD'2= = 60°，点 C 为BD 的中点，则 A C 4 槡2 ，C D ' = 槡CD 2+ DD'2= 槡41 ． 的长是．解析: 因为 A 、B 、C 、D 四点共圆，所以 ∠ABC + ∠D = 180°， ∠BCD = 180° － ∠BAD = 120°，图 1因为B C = C D ，所以B C = C D ，∠C A D = ∠C A B = 30°， 这里有共顶点等线段 BC = CD ，特殊角 ∠BCD = 120°，可考虑旋转，即将△A C D 绕点C 逆时针旋转120°得 △C B E ，则 ∠E = ∠C A D = 30°，∠D = ∠E B C ，B E = A D = 5，A C = C E ，从而得 ∠A B C + ∠E B C = 180°， 即 A 、B 、E 三点共线，过 C 作 CM ⊥ A E 于 M ，因为A C = C E ，所以 A M = E M = 1 × A E = 1× ( 5 + 3) = 4，在点评: 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形 的判定与性质，勾股定理，难度较大，利用旋转方法来解答，可很快得解．图2 图3 三、挖掘共顶点等线段，用以探索解题思路 例 3 ( 2014 重庆市) 如图 3，正方形 A B C D 的边 2 2 长为6，点 O 是对角线 A C 、BD 的交点，点 E 在 C D 上，且Ｒt △A MC 中，A C = A M= 4 = 8 槡3 ． 故填: 8 槡3．D E = 2C E ，连接 B E ． 过点 C 作 C F ⊥ B E ，垂足是 F ，连 cos30° cos30° 3 3点评: 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接 O F ，则O F 的长为 ．作者简介: 韩敬( 1977 － ) ，男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究·36·5解析: 在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ，由 C F ⊥ B E ，可得 ∠E B C = ∠E C F ，因为 ∠OB C = ∠O C D = 45°，所以 ∠OB G = ∠O C F ，又 OB = O C ，可证 △OB G ≌ △O C F ，所以 O G = O F ，∠BO G = ∠C O F ，在 Ｒt △B C E 中，B C = D C = 6，D E = 2E C ，可得 E C = 2， BE = 槡BC 2+ CE 2== 2 槡10 ，由 CF ⊥ 图 4 图5 ( 2) 在图6 中，D E 与 A C B E ，易证 △B C F ∽ △B E C ，所以 B C ∶ B E = B F ∶ B C ，即6 ∶ 2 槡10 = B F ∶ 6，解得 B F = 9槡10s ，所以E F = B E － BF = 槡10 ，类似地可得 CF = 3 槡10，所以 GF = BF延长线交于点P ，BD 与D P 是否相等? 请直接写出你的结论，无需证明．分析: ( 1) 要证5－ BG = BF － CF = 5，因为 ∠BOC = ∠BOG + 5 BD =D P ，直观观察 BD 所在的三 角形只有 △ABD ，且它是钝图6∠G O C = ∠C O F + ∠G O C = ∠G O F = 90°，所以O G ⊥O F ，即在等腰直角 △O G F 中，O F 2= 1 G F 2 = 1 · 角的邻边，而 DP 所在的三角形只有△A D P ，且它是钝角的对边，因此这两个三角形 2 ( 6 槡10 ) 2，解得O F = 6 槡5 ． 故填: 6 槡5． 5 5 52 不可能全等． 于是利用所证结论 BD = DP 逆向思考， 利用旋转方法，把 △A D P 绕点 D 顺时针旋转 90°，得 △F DB ，这样就找到解题思路，即可过点 D 作 D F ⊥ A D 点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角 三角形的判定以及相似三角形的判定与性质、勾股定理． 为什么要“在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ”呢?理由: 由正方形 A B C D 得OB = O C ，∠BO C = 90°，因此可以考虑用旋转来找思路，即将把 △OCF 绕点 O 顺时针旋转90° 得△OB G ，此时△O G F 为等腰直角三角形，要求 O F 的长，只要求 G F 的长，而 G F = B F － B G ，于是只要求BF 与BG 的长，这可利用相似三角形求得，于是问题得解．四、根据结论中的共顶点等线段，逆向分析来探索解题思路例4 ( 2014 年黑龙江齐齐哈尔市) 在等腰直角三角形 A B C 中，∠B A C = 90°，A B = A C ，直线 M N 过点 A 且 M N ∥ B C ． 以点 B 为一锐角顶点作Ｒt △BD E ，∠BD E = 90°，且点 D 在直线 M N 上( 不与点 A 重合) ． 如图 4， D E 与 A C 交于点 P ，易证: BD = D P ． ( 无需写证明过程)( 1) 在图 5 中，D E 与 C A 延长线交于点 P ，BD = DP 是否成立? 如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;交A B 于点 F ． 易证△A D P ≌ △F DB ，所以 BD = D P ; 可用同样的方法完成( 2) 、( 3) 问的解答． 解: ( 1) BD = DP 成立．证明: 过点 D 作 D F ⊥ M N ，交 A B 的延长线于点 F ，则△A D F 为等腰直角三角形，所以 D A = D F ． 因为∠1 + ∠A DB = 90°，∠A DB + ∠2 = 90°，所以 ∠1 = ∠2．因为∠D F B = ∠D A P = 45°，所以△BD F ≌ △P D A ，所以 BD = D P ．( 2) 答: BD = D P ．点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． 本例是从结论入手，用旋转法逆向推理找到解题的思路，这就是作辅助线构造全等三角形的巧妙之处．通过上面的例子，可以看出: 共顶点的等线段有时在条件中直接给出( 如例 1) ，有时需要我们去寻找( 如例2、3) ，共顶点的等线段可以是条件中的( 如例2、3) ， 也可以是结论中的( 如例 4) ，若在条件中，则可顺推; 若在结论中，则可逆推．［安徽省定远县第一初级中学 ( 233200) ］·37·槡62+ 226 槡10。
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妙用旋转巧解题
旋转只改变图形的位置,而不改变图形的大小和形状,通过这样的变换可以将题目中的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,有利于问题的解决。
旋转一般用于等腰三角形、正三角形、正方形和正多边形的图形中,选好旋转中心和旋转角是关键。
现举例说明妙用旋转来巧解问题。
例1 如图(1)所示,p为正三角形abc内的一点,∠apb=109°,∠apc=137°,试说明以ap、bp、cp为边是否能构成一个三角形?若能请说明理由,并求出所构成三角形各个内角的度数。
图(1)
分析:以点b为中心将△apb围绕点
b顺时针旋转60°,那么问题就可以迎刃而解。
解:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,得到如图(1)所示的图形,p点的对应点是d点,a点的对应点是c点,并连接pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°
∴△bpd是等边三角形
∴dp=bp
∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp为三边构成的三角形.
即以ap、bp、cp为边能构成一个三角形.
∵△bpd是等边三角形
∴∠bdp=∠bpd=60°
∵∠bdc=∠apb=109°
∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°
又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°
∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°
∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°
评析:本题是利用旋转构造一个以三边为长度的三角形,而不是利用三边的关系来说明三角形的构成的常用方法。
例2 如图(2)所示,p为正方形内任一点,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度数.
图(2)
分析:将△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,把已知条件集中到△pce中,促使问题方便解决。
解:把△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,则△cbe≌△abp.
∴ce=ap,be=bp,∠bec=∠apb, ∠pbe=90°∴∠bep=45°
∵pa:pb:pc=1:2:3
∴设pa=a pb=2a pc=3a
∴ce=a be=2a
∴在rt△pbe中,由勾股定理可以得到
pe2=pb2+be2=(2a)2+(2a)2=8a2
∵pc2=(3a)2=9a2 ce2=a2 ∴pc2=pe2+ce2=(2a)2+(2a)2=8a2 ∵pc2=(3a)2=9a2 ce2=a2 ∴pc=pe2+ce2 ∴∠pec=90°
∴∠bec=∠pec+∠bep=90°+45°=135°
∴∠apb=∠bec=135°,即∠apb的度数是135°。
评析:旋转变换多用在正三角形、正方形等比较规则的图形上,解题时旋转的角度一般以60°、90°等较为常见,将分散的条件利用旋转集中到一起,便于解决问题.
例3 如图(3)所示,四边形abcd中,已知∠bad=∠c=90°,ah⊥bc 于h,且ab=ad,ah=8,求四边形abcd的面积.
图(3)
分析:利用旋转变换,把不规则的图形转化为规则的图形求解.根据已知条件将△abh绕点a逆时针旋转90°,从而得到△ade,且e、d、c三点共线,则原图形的面积等于正方形ahce的面积,问题的解决变得很简单。
解:将△abh绕点a逆时针旋转90°,从而得到△ade,由旋转的性质可知:
△abh≌△ade,ae=ah,∠aed=90°,∠eah=90°,∠ade=∠b.
∵在四边形abcd中,∠bad=∠c=90°∴∠bad+∠c=180°∴∠adc+∠b=180°∴∠adc+∠ade=180°∴e、d、c三点共线∵ah⊥bc 于h,∴∠ahc=90°,则在四边形ahce中,∠ahc=∠c=∠
aed=90°,ah=ae.
∴四边形ahce是正方形.∴正方形abcd的面积=ah2=82=64,即为四边形ahce的面积等于64.
评析:运用旋转变换把不规则的图形转化为规则的图形求解,使
问题变得简单化。
同时求解本题时,应特别注意e、d、c三点共线
的说明,不可忽略。
通过上文我们不难发现巧妙的运用旋转可以给我们解题带来很多方便。
作者单位:江苏省连云港市宁海中学。