定稿平行线的有关证明单元试卷电子教案
第八章 平行线的有关证明(复习) 教案 2020-2021学年七年级数学 下册 鲁教版(五四制)
课题《平行线的判定定理和性质定理》复习一：教学目标知识目标：掌握平行线的判定定理和性质定理，初步感悟辅助线的添加方法，进一步发展学生的演绎推理能力。
能力目标：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决有关问题，体会转化、类比的数学思想。
进一步提高分析问题和解决问题的能力。
情感目标：感受数学来源于生活，通过一题多解，一题多变等初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
二．教学重点：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决问题。
三．教学难点：灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决问题，理解添加辅助线解决“折线”问题的方法。
四．教学过程一．创境引入：出示济宁市地图，抽象出几何图形。
①∵∠B=∠1 (已知)∴AB∥DE( )②∵DF∥AC (已知)∴∠2=∠F 完成以下内容：( )③∵∠A=∠3 (已知)∴AB∥DE ( )④∵AC∥DF (已知)∴∠3=∠D ( )⑤∵∠B+∠4=180°(已知)∴AB∥DE ( )⑥∵DF∥AC (已知)∴∠D+∠5=180° ( )通过知识的回顾，以表格的形式总结出平行线的判定定理与性质定理的区别与联系.总结出平行线的所有判定方法.二、“玩“出学问；1.小明是个爱动脑筋的学生，他将直尺和含60°的三角板按如图所示叠放，当∠1=40 °时，你能帮他求出∠2，∠3的度数吗？（学生进行抢答）三、探究无限：2.小明将含60°的三角板旋转到如图所示位置，他先测量出∠1=15 °. 你能求出∠2的度数吗？已知：如图，DE∥GF，∠1=15 °，∠B=60°问题1:求∠2的度数.学生独立思考解决，小组交流合作，展示不同的解题方法（添加辅助线），教师引导进行总结.问题2：∠B 与∠1,∠2有着怎样的数量关系？观察问题1 的结果，发现∠B=∠1+∠2.在上图中，如果只有DE∥GF的条件，∠B 与∠1,∠2还有这样的数量关系吗？总结：数学方法（辅助线）数学思想（转化）类比探索：3.小明继续旋转三角板到如图所示位置，他发现∠B ,∠1 ,∠2之间依然有着奇妙的数量关系.聪明的你能猜想出来吗？猜想：∠B +∠1 +∠2=_____学生思考回答，教师展示多种方法，及时点评。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第七章平行线的证明7.4平行线的性质教案
第七章平行线的证明4平行线的性质教学目标1.掌握平行线的三个性质；2.会用平行线的性质进行有关的简单推理和计算；3.通过对比，理解平行线的性质和判定的区别.教学重难点重点：理解并掌握平行线的性质公理和定理．难点：能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．教学过程导入新课问题1:我们以前探究过的平行线的判定,平行线有哪些判定方法?（同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行)问题2:在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?能运用上节课积累的方法进行证明吗?今天这节课我们一起再来试一试证明它们.探究新知活动一:平行线的性质定理1问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？问题3：你能说说证明的思路吗？如图：已知直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角，求证：∠1=∠2.【证明】假设∠1≠∠2，则过点O可作直线GH，使得∠EOH= ∠2.∵∠EOH = ∠2,∴直线GH∥CD.又∵直线AB∥CD,且AB、BH代表不同直线，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾.教学反思∴∠1≠∠2的假设不成立，∴ ∠1 =∠2. 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补. 定理2：两直线平行，内错角相等.如图：已知直线1l ∥2l ,∠1和∠2是直线1l 、2l 被直线l 截出的内错角，求证：∠1=∠2.【证明】∵ l 1∥l 2(已知)，∴ ∠1＝∠3(两条直线平行，同位角相等). ∵ ∠2＝∠3(对顶角相等)， ∴ ∠1=∠2(等量代换) .定理3：两直线平行，同旁内角互补.学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,全班交流,集体订正. 例1 如图所示，已知四边形ABCD 中， AB ∥CD ， AD ∥BC ,试问∠A 与∠C ，∠B 与∠D 的大小关系如何？【解】∠A = ∠ C , ∠B =∠D ， 理由：∵AB ∥CD （已知 ），∴∠B +∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又 ∵ AD ∥BC （已知），∴∠C +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ B =∠D （同角的补角相等）. 同理，∠A =∠C .例2 已知，如图，AB ∥CD ，∠B =∠D ，求证：AD ∥BC .【证明】∵ AB ∥DC （已知），∴ ∠B +∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵ ∠B =∠D （已知），教学反思∴ ∠D +∠C =180°（等量代换），∴ AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）.例3 如图，b ∥a ,c ∥a ，∠1，∠2，∠3是直线a ,b ,c 被直线d 截出的同位角.证明：b ∥c .【证明】∵b ∥a (已知)，∴ ∠2＝∠1 (两条直线平行，同位角相等). ∵ c ∥a (已知),∴ ∠3=∠1 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2 =∠3 (等量代换)．∴ b ∥c (同位角相等，两直线平行)．定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 议一议完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．课堂练习1.如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ，交CD 于点F ，若∠2＝80°，则∠1等于( )A ．120°B ．110°C ．100°D ．80°2.如图，已知∠1＝70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为( )教学反思A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°3.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，过点C 作CD ∥AB ，∠ACD ＝65°，则∠ACB 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°4.如图，AB ∥CD ，∠1＝58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于( )A ．122°B ．151°C ．116°D ．97°5．已知：如图，AB ∥DE ，BC ∥FE .求证：∠B ＋∠E ＝180°.6．如图， E ，G 分别是AB ,AC 上的点，F ，D 是BC 上的点，连接EF ，AD ，DG ，如果AB ∥DG ，∠1+∠2＝180°.(1)判断AD 与EF 的位置关系，并说明理由；(2)若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝140°，求∠B 的度数.参考答案1.C2.C3.D 4. B 5.证明：∵ AB ∥DE ，∴∠B ＝∠1. ∵ BC ∥EF ，∴ ∠1＋∠E ＝180°，教学反思∴∠B＋∠E＝180°.6.解：（1）AD∥EF.∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD.∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°.∵DG是∠ADC的平分线，∴∠1＝∠GDC＝40°.∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝40°.课堂小结（学生总结，老师点评）平行线的性质平行线的传递性布置作业习题7.5第2，3题板书设计第七章平行线的证明4 平行线的性质两直线平行，同位角相等平行线的性质两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补平行线的传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.。
2023八年级数学上册第七章平行线的证明2定义与命题第1课时定义与命题教案(新版)北师大版
9. 平行线的评价和反思：通过评价学生的学习成果和教学过程，进行教学反思，找出改进教学的方法和策略。
10. 平行线的拓展知识：了解平行线的相关拓展知识，如平行线的性质在更一般情况下的应用，以及其他与平行线相关的几何问题。
三、实践活动（写300字，用时10分钟）
1. Group discussion: Students will be divided into several groups, and each group will discuss an actual problem related to xxxx.
2. Experimental operation: To deepen your understanding, we will conduct a simple experimental operation. This operation will demonstrate the basic principles of xxxx.
七、板书设计
①平行线的定义与性质：
- 平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线。
- 同位角：两条直线被第三条直线所截，位于相同位置的角。
- 内错角：两条直线被第三条直线所截，位于相对位置的角。
- 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，位于同一侧的角。
- 平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
4. 平行线的证明：学习使用平行线的性质和判定方法来解决实际问题，如证明两条直线平行等。
5. 平行线的应用：学习平行线在实际问题中的应用，如计算距离、面积等。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元教学设计
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探索、发现、总结平行线性质的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用演绎推理方法，从特殊到一般，逐步掌握平行线的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
八年级学生在经过之前的学习，已经具备了一定的几何基础，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行线的概念及性质已有初步的了解，但在判定方法、性质应用等方面仍需加强。此外，学生在演绎推理、问题解决等方面的能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下学情：
1.学生对平行线性质的理解程度，注重引导学生从直观到抽象，逐步提高对平行线性质的认识。
c.解决实际问题，运用平行线性质求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，对学生的解答进行点评，及时纠正错误，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平行线的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.教师强调本节课的重点知识，提醒学生注意平行线性质及判定方法的灵活运用。
2.教师提出问题：我们已经学过直线、线段、射线等基本概念，那么如何判断两条直线是否平行？这节课我们就来探讨这个问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾同位角、内错角、同旁内角等概念，为后续学习平行线的判定方法打下基础。
2.教师通过几何画板演示，引导学生观察并总结出平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
通过生活中的实例，如铁轨、教室墙壁等，引出平行线的概念，激发学生对平行线性质探究的兴趣。
第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明1．为什么要证明一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维。
学生活动经验基础：学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．二、教学任务分析学生的直观能力是仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时的教学目标是：1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．三、教学过程：1、验证活动（1）某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．注意事项：学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．2、验证活动（2）如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 注意事项：要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生。
3、反馈练习1.如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 答案：a 与b 的长度相等.第1小题图 第2小题图2.如图中三条线段a 、b 、c ,哪一条线段与线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b 与线段d 在同一直线上.3.当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数. 4、课堂小结5、 巩固练习 课本第217页习题7.1 第2，3题．四、教学反思2．定义与命题（第1课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对此已经有比较多的经验和基础．活动经验基础：学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫．二、教学目标是：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．三、教学过程1、情景引入在这个小品中，你得到什么启示？（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）（很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣．）2、命题含义（情景引入）活动内容：①师：如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；②学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．归纳：在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.3、反馈练习.举出一些不是命题的语句.如：①画线段AB=3 cm.②两条直线相交，有几个交点？③等于同一个角的两个角相等吗？④在射线OA上，任取两点B、C.等等.4、课堂小结①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．5、课后练习搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多．6、教学反思2．定义与命题（第2课时）一、知识状况学生技能基础：学生已经学习过一些公理和定理。
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案一. 教材分析北师大版2019年八上数学第7章主要讲解平行线的证明。
本章内容是学生进一步深化对直线、射线、线段概念的理解，提高运用几何知识解决实际问题的能力。
通过本章的学习，学生将掌握平行线的判定和性质，为后续学习几何的其他内容打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对几何图形的判断和分析能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导他们发现规律，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的判定和性质，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的判定和性质。
2.难点：如何运用平行线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、交流，发现平行线的判定和性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，分析平行线的应用。
3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、直尺、圆规。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如公路、铁路等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？如何判断两条直线是否平行？呈现（10分钟）1.教师引导学生观察多媒体展示的几何图形，提出问题：如何判断这两条直线是否平行？2.学生通过观察、讨论，发现判定平行线的方法。
操练（10分钟）1.教师提出一组练习题，要求学生运用所学知识判断直线是否平行。
2.学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
巩固（10分钟）1.教师引导学生总结平行线的性质。
七年级下册《5.2.2 平行线的判定》教案、导学案、同步练习
《5.2.2平行线的判定》教案一第一课时【教学目标】：经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件. 【重点】：探索两直线平行的条件【难点】：理解“同位角相等,两条直线平行” 【教学过程】 一、情景导入.装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。
二、直线平行的条件以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本P13图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。
简化图5.2-5，得图3.图3∠1与∠2是三角板经过点P 的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言：∵∠1=∠2∴AB ∥CD.如图（课本P145.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线D C BA平行.”，可知这样画出的就是平行线。
如图，（1）如果∠2=∠3，能得出a ∥b 吗？（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出a ∥b 吗？你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3∴a ∥b.（2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知） ∴∠2=∠1（同角的补角相等） ∴a ∥b.（同位角相等,两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言：∵∠4+∠2=180°∴a ∥b. 四、课堂练习1、课本P15练习1，补充（3）由∠A+∠ABC ＝1800可以判断哪两条直线平行？依据是什么？2、课本P162题。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
《平行线的有关证明》单元测试(解析版)
《平行线的有关证明》单元测试参考答案与试题解析一•选择题（共9小题，满分36分，每小题4分）1.（2019秋？孟津县期中）下列语句不是命题的是（）A .两点之间，线段最短B .不平行的两条直线有一个交点C. x与y的和等于0吗？D .两个锐角的和- -定是直角【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案.【解答】解：A、两点之间，线段最短，是命题；B、不平行的两条直线有一个交点，是命题；C、x与y的和等于0吗？不是命题；D、两个锐角的和- -定是 :直角，是命题；故选：C.【点评】本题考查了命题与定理.能够判断真假的陈述句叫做命题.2.（4分）（2018秋？江汉区期末）如图，直线a, b相交于点O,因为/ 1+ / 2= 180°,/ 3+ / 2 = 180 ° ,所以/ 1 = / 3,这是根据（）A .同角的余角相等B .等角的余角相等C.同角的补角相等 D .等角的补角相等【分析】根据题意知/ 1与/ 3都是/ 2的补角，根据同角的补角相等，得出/ 1 = / 3.【答案】解：T/ 1与/ 3都是/ 2的补角，.••/ 1 = / 3 （同角的补角相等）.故选：C.【点睛】本题考查了补角的知识，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”.3.（4分）（2018秋？北碚区期末）如图，P是直线I外一点，A，B，C三点在直线I上，且PB丄I于点B，/ APC = 90°,则下列结论：① 线段AP 是点A 到直线PC 的距离；② 线段BP 的长是点P 到直线I 的距 离；③PA, PB ，PC 三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长是点P 到直线I 的距离，其中，正确的是（ ）A .②③B .①②③C .③④D .①②③④【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直 线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答.【答案】解：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离，错误；② 线段BP 的长是点P 到直线I 的距离，正确；③ PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短，正确；④ 线段PC 的长是点P 到直线I 的距离，错误，故选：A .①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短.4. （ 4分）（2019春？淮北期末）如图，直线 AB ，CD ，MN 两两相交.则图中同旁内角的组数有（【分析】截线 AB 、CD 与被截线MN 所截，可以得到两对同旁内角，同理 AB 、MN 被CD 所截，CD 、 MN 被AB 所截，又可以分别得到两对.【答案】解：根据同旁内角的定义，直线 AB 、CD 被直线MN 所截可以得到两对同旁内角,同理：直线 AB 、MN 被直线CD 所截，可以得到两对，直线CD 、MN 被直线AB 所截，可以得到两对.因此共6对同旁内角.故选：B .【点睛】本题考查同旁内角的定义，同旁内角就是在截线的同一侧，在两条被截线的内部的两个角，是【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质:需要熟记的内容.5.（4分）（2019春？孝义市期末）如图，在一张半透明的纸上画一条直线I,在直线I外任取一点A、折出过点A且与直线I垂直的直线•这样的直线只能折出一条，理由是（）A .连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B .两点之间线段最短C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D •经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案.【答案】解：这样的直线只能折出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直, 故选：C.【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.6. （4分）（2019春？肥城市期末）如图，下列条件：①/ 1 = 7 2;②/ 4=7 5;③/ 1 = 7 3;④/ 6=7A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可.【答案】解：①T7 1 = 7 2不能得到11 // 12,故本条件不合题意；②4=7 5,「.l1//l2，故本条件符合题意；③•••/ 1 = 7 3 ,二11//|2，故本条件符合题意；④•••/ 6=7 2+ 7 3=7 1 + 7 2,二7 1 = 7 3,二11// 12,故本条件符合题意. 故选：C.【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键.7. （4分）（2018秋？汾阳市期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB , CD相交于点O与点G,OP平分/ EOB，若/ EOP = 65°，则/ DGF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°【分析】依据OP平分/ EOB，即可得到/ BOG = 2/EOP = 2X 65°= 130°,再根据平行线的性质，即可得出/ DGF+/ BOE = 180°，进而得到/ DGF = 180°- 130°= 50°.【答案】解：•••OP平分/ EOB ,•••/ BOG = 2/EOP = 2X 65 ° = 130°,又•••AB // CD ,•••/ DGF +Z BOE = 180°,•••/ DGF = 180°- 130°= 50°,故选：A.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.8. （4分）（2019春？相城区期末）如图，/ ABC = Z ACB , AD、BD、CD分别平分/ EAC、/ ABC和/ACF .以下结论：① AD // BC;②/ ACB = 2/ADB ;③/ BDC =Z BAC;④/ ADC = 90°-/ ABD .其中正确的结论是（）A .①②③B .②③④C .①③④D .①②④【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可.【答案】解：•••/ EAC = / ABC + / ACB,•// ABC = / ACB, / EAD = / DAC ,•••/ EAD = / ABC,••• AD // BC,故①正确，•••/ ADB = Z DBC ,•••/ ABD = Z DBC ,•••/ ACB = Z ABC= 2/ DBC = 2 / ADB，故② 正确，•••/ADC = 180°-(Z DAC+ / DCA)=180°-二(/ EAC + / FCA)2=180°--- (/ABC + Z ACB+ / ABC+Z BAC)2=90°-- -ABC2=90°-Z ABD，故④正确，无法判定③正确，故选：D.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.10. (4 分)(2019 春？嘉兴期中)如图，已知DC// FP,Z 1 = Z 2,Z FED = 32°,Z AGF = 76°, FH 平分Z EFG，则Z PFH的度数是( )A. 54°B. 44° C . 32° D . 22°【分析】由DC // FP知Z 3=Z 2 =Z 1，可得DC // AB,利用平行线的判定得到AB // PF // CD，根据平行线的性质得到Z AGF = Z GFP , Z DEF = Z EFP，然后利用已知条件即可求出Z PFH的度数.【答案】解：•••DC // FP,•Z 3=Z 2,又T Z 1 = Z 2,•Z 3=Z 1,•DC // AB;•/ DC // FP , DC // AB,Z FED = 32°,• Z EFP = Z FED = 32°, AB // FP ,又•••/ AGF = 76•••/ GFP = Z AGF = 76°•••/GFE = Z GFP+ / EFP = 76° +32 ° = 108又••• FH 平分/ GFE ,•••/ PFH =Z GFP -Z GFH = 76°- 54°= 22°【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利 用平行线的性质得到角的关系解决问题..填空题（共 6小题，满分24分，每小题4 分）11. （4分）（2019春？包河区期末）如图，已知， AB 、CD 、EF 相交于0点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°【答案】解：••• AB 、CD 、EF 相交于 O 点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°,• Z BOC = 180°-Z 1 -Z 2= 110°,又•••/ 3与Z BOC 是对顶角，• Z 3=Z BOC= 110 故答案为：110°.【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键.O 点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°，即可得到Z BOC= 180°-Z1 -Z 2=110°,再根据对顶角相等，即可得出Z 3 =Z BOC = 110°•••/ GFE = 54故选：D .O12. （4分）（2019春？上杭县期末）已知直线 AB , CB , l 在同一平面内，若 AB 丄I ，垂足为B , CB 丄I ,垂 点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂直；故答案为：乙；在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.13. （4分）（2019春？闵行区校级期末）如图，与/ 1构成内错角的角是 / DEF 或/ DEC【分析】根据内错角的定义即可判断，注意有两解.【答案】解：/ 1与/ DEF 可以看成直线 AB 与直线EF 被直线DE 所截的内错角,/ 1与/ DEC 可以看成直线 AB 与直线AC 被直线DE 所截的内错角，故答案为/ DEF 或/ DEC .【点睛】本题看成内错角、同位角、同旁内角等知识，解题的关键是理解内错角的定义，属于基础题. 14. （3分）（2018秋？襄汾县期末）如图，直线 a // b ，直角角板的直角顶点 C 在直线b 上，若/ 1 = 32 则/ 2= 58足也为B ,则符合题意的图形可以是如图中的图乙 （填甲或乙），你选择的依据是 在平面内，过一 【分析】 （写出你学过的一条公根据题意画出图形即可.条直线与已知直线解：根据题意可得图形【分析】由平行线a // b，其性质得/ 1 = 7 3,/ 2 =Z 4，再由平角的定义得3+ / ABC+ / 4= 180。
第七章平行线的证明(教案)
-难点三：在作图过程中，教师应详细讲解如何使用三角板和直尺，以及如何避免作图误差。通过实际操作演示，让学生掌握作图技巧，提高作图的准确性。
四、教学流程
第七章平行线的证明（教案）
一、教学内容
本节选自七年级数学教材第七章《平行线的证明》。教学内容主要包括以下两部分：
1.掌握平行线的判定方法：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
2.学会使用三角板、直尺等工具进行平行线的作图。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.培养学生逻辑推理与证明能力，使其能够理解和运用平行线的判定方法，形成严谨的数学思维。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现得相当积极，但我也注意到有些小组在操作过程中存在一些作图不准确的问题。这提醒我在今后的教学中，要加强对学生实际操作能力的培养，让他们在动手实践中不断提高。
此外，学生在小组讨论中分享的成果让我感到欣慰。他们能够将所学知识应用到实际问题中，并提出自己的观点。但在讨论过程中，我也发现部分学生表达不够清晰，逻辑思维能力有待提高。因此，在接下来的教学中，我会着重培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行线的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线看起来永远不会相交的情况？”（比如公路上的车道线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
完整版鲁教版平行线的有关证明整章备课
第八章平行线的有关证明单元备课一、单元教学目标1. 理解证明的必要性和设置公里的必要性。
2.关注现实，并通过具体的例子了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，知道反例的意义和作用。
3.初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理，两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论。
4.体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证的能力，同时要善于表达自己的想法，并能与同伴交流。
5.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受功利化方法对数学发展和人类文明的价值。
二、单元重难点【单元重点】：平行线的判定定理、性质定理及三角形内角和定理。
证明意识的建立。
【单元难点】：证明的过程与格式。
三、单元知识结构本章的定位是让学生初步体会证明的必要性，初步掌握综合法证明的步骤和格式，因此本章所配备的例题和习题大都不难，但是，其中涉及的实际问题和世界命题不少。
这样的设计意图是，既可以强化基础，引发学生的兴趣，又为引导学生关注现实、进行思考留下了时间和空间。
第一节指出定义、命题的含义，为后面的定理、公理奠定基础。
第二节说明“要判断一个数学命题是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据的进行推理”，强调证明的必要性。
第三节指出公理定理的含义，考虑到学生的年龄特点，这里沿用了以往扩大公理体系的做法，为后面的证明奠定基础，同时，介绍了欧几里得的《原本》第四节给出了平行线的判定公理和定理。
第五节给出了平行线的性质公理和定理，对于“判定”和“性质”，只要求学生遇到具体情况会用就可以了。
四、学生情况分析学生在六年级已经学习了平行线的判定与性质，具备了相应的合情推理的能力初步和进一步发展研究演绎推理的能力，在教学时，还应该尽可能的提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生自主探究、合作交流的发现式学习方法，努力改变学生的学习方式，改变学生不良的学习习惯五、教学设想1.由于学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示，所以教学可能会有相当难度，应主要尊重差异，发挥学生潜能，对学生出现的多种思路，应该予以可定，使其个性得以张扬。
平行线的有关证明复习教案
平行线的有关证明复习教案【课题】平行线的有关证明复习【课型】复习【教学目标】知识：掌握定义、命题、公理和定理等概念,知道命题的结构，会判断命题的真假，进一步理解平行线的判定和性质，三角形内角和外角的性质以及证明的基本步骤.能力：1.经历归纳《平行线的有关证明》知识体系的过程，培养学生的观察、分析和进行较复杂的综合应用的能力.2、能灵活运用进行计算和证明.情感：通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.【教学重难点】教学重点：知识体系的熟练掌握。
教学难点：能灵活运用进行计算和证明.【教学方法】尝试指导、引导发现与讨论相结合.【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入（2010山东烟台）1、将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2= .（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习设计意图（让学生亲身经历问题的发生、发展过程，培养了学生自主探究的学习习惯和能力。
）知识点归纳（A）关于命题、定理及公理1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的。
2. 判断一件事情的句子，叫做。
3. 每个命题都由和两部分组成。
4. 正确的命题称为，不正确的命题称为。
想要判定一个命题是假命题只需要,而要说明一个命题是真命题则需.5. 公认的真命题称为公理（书P82 6条公理）（等量代换）6. 推理的过程称为。
7. 经过证明的真命题称为。
8．由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的（B）平行线的性质及判定判定：（1）同位角相等，两直线平行。
平行线的证明---复习题 教学设计
把长方形AB 'CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，求∠AOC和∠BAC的度数
展示问题，引导学生完成推理过程，严格要求学生的推理过程
学生独立思考，小组合作讨论，完成计算过程，集体交流，纠正完善证明过程
多媒体课件
小微课
通过这到题目让学生进一步综合运用平行线的判定于性质，三角形的内角和与外角和定理，学会如何在复杂的图形中提炼需要的图形，并且能够运用几何推理过程来完成，规范证明的格式。通过小组讨论的形式提高学生的逻辑思维能力，加强学生之间互相学习的能力。利用微视频补充学生解题方法的不足，训练学生一题多解的能力
板书设计
平行线的证明---复习
例1例2
例3
教学反思
知识与技能：了解命题的概念与命题的构成；
过程与方法：使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念
情感态度与价值观：进一步体会证明的必要性
教学重点和难点
项目
内容
教学重难点
掌握证明的步骤与格式．
培养学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力
课前对学生的要求
复习八个基本事实以及本章的定理
教学设计
课题（章节）名称
平行线的证明------复习题
学科
数学
授课教师
授课地点
依据课程标准
义务教育教科书数学八年级上册
本节（课）教学内容分析
本节课的内容是平行线的判定与性质以及三角形的内角、外角性质的应用及证明，是七年级平行线的性质与判定的延续与补充，也是八年级下册平行四边形及后面几何证明的基础。
本节（课）教学目标
第五环节：
课堂小结
教师引导学生总结、纠正、补充
2024八年级数学上册第七章平行线的证明单元整体设计课件新版北师大版
教学目标 1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性，体会演绎推理的严谨性
和结论的确定性，初步树立步步有依据的推理意识，发展推理能力． 2．通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义，会区分命题的
条件和结论，能对命题进行真假判断，并会对真命题进行证明，假命 题举出反例． 3．初步感受公理化思想，以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进 步的价值． 4．经历对两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三 角形内角和定理及其推论的证明过程，初步掌握综合法证明的格式， 能利用这些定理解决简单的问题.
大单元整体设计
第七章 平行线的证明
学生已经具备了一定的几何基础，了解一些几何性质，大部 分学生具有一定的分析、理解、思考的能力，同时也具备了一 定的自主探究和合作的能力，因此学生在学习如何进行几何证 明时已经有了一定的基础．但是结合具体内容进行说理和简单 的推理对八年级学生来说是个难点，因此，教师在设计情境问 题时，尽量设计学生感兴趣的问题，吸引学，了解定义、命题、定理、推论的意义． 2．知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可
以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式． 3．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． 4．掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线
平行． 5．掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相
等，那么这两条直线平行．
6．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内 错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行．
7．掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角 相等．
8．探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等(或同旁内角互补)．
平行线证明专题教案
教学主题：相交线与平行线证明专题教学重难点：使学生形成知识结构，并运用所学的知识进行简单的推理证明。
教学过程：1.导入复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和性质进行简单的推理或计算；能用直尺、三角板、量角器画垂线和平行线；提示两条易错概念,平行注意是过直线外一点,垂直注意是在同一平面内.2.呈现例1．已知：如图5，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。
分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。
如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。
例2.已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。
我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
例3.已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
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定稿平行线的有关证明单元试卷
第八章平行线的有关证明 单元测试
、选择题（每题3分，共30 分） 1. 下列语句不是命题的是（ ） A.两直线平行，同位角相等 B. 2 2
C.若|a|=|b| 贝U a=b
D. 2. 下列命题是真命题的是（
）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
B. 四边相等的四边形是菱形。
C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3. 下列命题是假命题的有（ ①若a 2
=4，则a=2
③若 a > b,b >c 贝U a > c A. 1 B. 2 C. 3
)个。
②若a >b 则a 2
>b 2
2 2
④若 |a|=|b| 贝U a =b
D. 4
4.如图，直线a 、b 都与直线c 相交，给出条件：①/ 仁/ 2 ②/ 3= / 6 ③/ 4 +Z
7=180。
④Z5+Z
8=180。
，其中能判别a//b 的条件是（ ） A •①③ B. 5. 已知△ ABC 的三个内角满足/ A. 一定有一个内角为45° C. 一定有一个内角为60°
6. 如图，AB//CD ，贝U 、 （ ）。
A. + + =360° B. - C. + - =180° D. - ②④ C. ①③④ D. B +Z
C=3/ A ,则此三角形（
B. 一定是直角三角形
D. 一定是纯角三角形 之间的关系是 + =180°
+ =180° ①②③④ ）。
7.如图，Z
A=32O ，Z B=45，Z C=38° 则Z
DFE=( )。
A. 120 ° B.115 ° C. 110
D. 105 8.如图，DH//EG//BC ,且DC//EF ，那么图中与Z 1相等的角（不包括Z 1）的个数是
( )
直线AB 垂直于CD 同角的补角相等
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯
形。
9. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测自己的数学成绩,
甲说：“如果我得优，那么乙也得优”。
乙说：“如果我得优，那么
丙也得优”。
丙说：“如果我得优，那么丁也得优”，大家都没有说错，但只有三
个人得优，请问甲、乙、
丙、丁中谁没有得优（）。
A.甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
10. 如图，AB//CD,/ =142 °，
zC=80°，那么ZM=（
A. 52 °
B. 42 °
C. 10 °
D. 40 °
二、填空题（每题4分共20分）
11. _____________________________________________ 命题
“全等三角形的面积相等”的题设是____________________ ，结论
是__________________________________________________
把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是。
12. __________________________________________________________ 如图，直线a b被直线c所截，且a//b，如果/ 1=60，那么卍
____________________________________________________________
度。
13. 如图，已知zCDE=132，贝UZBCD _ 度。
D
14.
（第12题
如图，△ ABC是直角三角形，/
C=90°
（第13题
，zA，Z B的平分线交于
点
E,则/ AEB=
度。
14题
D
15题
)0
B
D
/ A=50°,则ZD ________ 度。
三、解答下列各题(16、17每题6分，18、19、每题7
分，20、21、22每题8分，共50 分)。
18.如图，四边形 ABC 冲，① AD//BC ②AB=CD ③/ ABD M CDB ④OA=OC (1)以其中两个作为题设，另两个作为结论组成一个正确的命题，题设是
19•求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
___________________ 结论是 ____________________ (2)证明上述命题的正确性。
D
(提示：先依图，写出已知，求证，然后进行证明)
20. 如图，P是A ABC内一点，（1）求证：/ BPO Z A （2）若/ A=1O0 ,/ABP=25，/
ACP=20 求zBPC的度数。
21. 如图，直线I1//I2，直线13与直线l i, 12分别交于C, D两点，有一点P在C, D之间运动（不与C，D两点重合），在它运动过程中，试分析/ 1、/ 2、/ 3三者之间的关系？你能选用两种方法说明得到的关系吗？
22. 把矩形ABCD&对角线AC折叠，得到如图所示的图形。
（1）求证：△ AFC是等腰三角形；（2）若/ EAF=30，求ZEAC的度数；（3）若AB=8c m，BC=6^m，求△ AFC的面积。
11
12。