模式识别-一次准则函数及梯度下降法
梯度下降法的定义和基本思想
梯度下降法的定义和基本思想随着人工智能的兴起和深度学习的广泛应用，梯度下降法（Gradient Descent）成为了最常用的优化算法之一。
本文将从定义和基本思想两个方面介绍梯度下降法。
一、梯度下降法的定义梯度下降法是一种在机器学习和深度学习中常用的优化算法，其用于最小化损失函数（Loss Function）或最大化效用函数（Utility Function）。
在深度学习中，损失函数通常是一个高维多元函数，梯度下降法可以求出这个函数的最小值点。
具体来讲，梯度下降法是一种迭代的优化算法，每次迭代通过计算梯度来更新模型的参数，以使得损失函数不断减小，直到达到收敛条件为止。
在每个迭代步骤中，算法会沿着梯度负方向更新模型参数，使得下一步的预测结果更接近真实值，同时不断减小损失函数的值，以达到最优化的目标。
二、梯度下降法的基本思想梯度下降法的基本思想可以用一个简单的例子来描述。
假设有一个人想要从山上走到山下的村庄，但他不知道具体的路线，只能通过场地的坡度来判断行走的方向。
在初始位置时，他不知道应该向哪边走才能到达山下，但他可以判断出自己脚下的坡度高低。
假设他能根据现在所在的位置和坡度来确定下一步的走向，他可以通过下山的过程不断向着更低的点走去，最终到达山下村庄。
其实，梯度下降法的基本思想就是利用梯度信息确定优化方向，在目标函数上不断移动，以达到最优化的目的。
在机器学习中，我们通常会将损失函数视为目标函数，利用梯度下降法来求解最小化这个函数的模型参数。
对于一个函数f(x)，梯度下降法的基本思想是从一个初始点x0开始，计算函数在该点处的梯度g(x)，并将其乘以一个学习率α，得到一个新的点x1 = x0 - αg(x0)。
然后，重复这个过程，更新x2、x3...，一直迭代到目标函数的收敛点。
需要注意的是，梯度下降法的更新过程是一步一步进行的，每一步都只考虑梯度的负方向，并沿着这个方向更新模型参数。
此外，学习率α是一个非常重要的参数，它控制着更新步长的大小，过大会导致震荡，过小会导致收敛速度慢。
梯度下降法 工作原理
梯度下降法工作原理
梯度下降法是一种优化算法，用于寻找函数的最小值。
其工作原理如下：
1.初始化参数：选择一个起始点作为初始参数，这可以是任意值或随机选择的值。
2.计算损失函数的梯度：计算当前参数点处的损失函数的梯度。
梯度表示损失函数在每个参数维度上的变化率。
3.更新参数：使用梯度信息来更新参数，以使损失函数的值减小。
更新参数的方法是沿着梯度的反方向进行调整。
4.迭代更新：重复步骤2和3，直到满足停止准则（如达到预设的最大迭代次数或损失函数值减小到足够小的值）。
5.输出结果：最终的参数值即为使损失函数最小化的参数值。
梯度下降法通过不断地沿着梯度的反方向移动参数，逐渐找到使损失函数最小化的最优解。
在机器学习和深度学习中，梯度下降法被广泛用于训练模型和优化模型参数。
[数学]模式识别方法总结
![[数学]模式识别方法总结](https://img.taocdn.com/s3/m/9bfe35a6a0116c175f0e484a.png)
假定有m个类别ω1, ω2, …, ωm的模式识别问题,
每类有Ni(i=1, 2, …, m)个样本, 规定类ωi的判别函数
为
gi (x) min x xik
i
k 1, 2,
, Ni
其中, xki表示第i类的第k个元素。 判决准则: gi (x) ，则x∈ω 若 g j (x) i min j 1,2, , m
定义Fisher线性判决函数为
( 1 2 )2 J F (w ) S1 S2
分子反映了映射后两类中心的距离平方,
该值越大, 类间可
分性越好;
分母反映了两类的类内离散度,
从总体上来讲,
其值越小越好;
JF(w)的值越大越好。 使JF(w)达到最大值的w即为最
在这种可分性评价标准下,
如果P(ω1|x)<P(ω2|x), 则判决x属于ω2;
如果P(ω1|x)=P(ω2|x), 则判决x属于ω1或属于ω2。
这种决策称为最大后验概率判决准则, 也称为贝叶斯 (Bayes)判决准则。 假设已知P(ωi)和p(x|ωi)(i=1, 2, …, m), 最大后验概率判 决准则就是把样本x归入后验概率最大的类别中, 也就是,
0
Sigmoid (a) 取值在(0, 1)内; (b) 取值在(－1, 1)内
神经网络结构 神经网络是由大量的人工神经元广泛互连而成 的网络。 根据网络的拓扑结构不同, 神经网络可分
R( j | x) ( j , i ) P(i | x)
i 1 m
最小风险贝叶斯判决准则: 如果
R( k | x) min R( j | x)
j 1, 2 ,, m
模式识别习题及答案
模式识别习题及答案第⼀章绪论1.什么是模式具体事物所具有的信息。
模式所指的不是事物本⾝，⽽是我们从事物中获得的___信息__。
2.模式识别的定义让计算机来判断事物。
3.模式识别系统主要由哪些部分组成数据获取—预处理—特征提取与选择—分类器设计/ 分类决策。
第⼆章贝叶斯决策理论1.最⼩错误率贝叶斯决策过程答：已知先验概率，类条件概率。
利⽤贝叶斯公式得到后验概率。
根据后验概率⼤⼩进⾏决策分析。
2.最⼩错误率贝叶斯分类器设计过程答：根据训练数据求出先验概率类条件概率分布利⽤贝叶斯公式得到后验概率如果输⼊待测样本X ，计算X 的后验概率根据后验概率⼤⼩进⾏分类决策分析。
3.最⼩错误率贝叶斯决策规则有哪⼏种常⽤的表⽰形式答：4.贝叶斯决策为什么称为最⼩错误率贝叶斯决策答：最⼩错误率Bayes 决策使得每个观测值下的条件错误率最⼩因⽽保证了（平均）错误率最⼩。
Bayes 决策是最优决策：即，能使决策错误率最⼩。
5.贝叶斯决策是由先验概率和（类条件概率）概率，推导（后验概率）概率，然后利⽤这个概率进⾏决策。
6.利⽤乘法法则和全概率公式证明贝叶斯公式答：∑====m j Aj p Aj B p B p A p A B p B p B A p AB p 1)()|()()()|()()|()(所以推出贝叶斯公式7.朴素贝叶斯⽅法的条件独⽴假设是（P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi)= P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)）8.怎样利⽤朴素贝叶斯⽅法获得各个属性的类条件概率分布答：假设各属性独⽴，P(x| ωi) =P(x1, x2, …, xn | ωi) = P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)后验概率：P(ωi|x) = P(ωi) P(x1| ωi) P(x2| ωi)… P(xn| ωi)类别清晰的直接分类算，如果是数据连续的，假设属性服从正态分布，算出每个类的均值⽅差，最后得到类条件概率分布。
梯度下降法 最小误差-概述说明以及解释
梯度下降法最小误差-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:梯度下降法是一种优化算法，用于最小化目标函数或误差函数的方法。
通过不断沿着负梯度方向更新参数，使得目标函数值逐渐趋于最小值。
在机器学习领域，梯度下降法被广泛应用于训练模型，如线性回归、逻辑回归和神经网络等。
梯度下降法的核心思想是通过计算目标函数关于参数的梯度，找到目标函数下降最快的方向，并沿着该方向更新参数。
这种迭代更新的过程可以使得模型在训练集上逐渐逼近最优解，从而达到最小化误差的目的。
本文将深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的应用以及其优缺点，希望读者能对梯度下降法有一个更深入的理解，并在实践中灵活运用这一强大的优化算法。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍梯度下降法的基本原理，包括梯度的概念、损失函数、学习率等相关概念，以帮助读者了解梯度下降法的工作原理。
接着，将探讨梯度下降法在机器学习中的应用，包括线性回归、逻辑回归、神经网络等常见的机器学习算法中如何使用梯度下降法来优化模型参数，提高模型性能。
在讨论梯度下降法的优缺点时，将对其在优化过程中可能遇到的问题进行分析，如局部最优解、学习率调整等，以及与其他优化算法的比较，帮助读者更全面地了解梯度下降法的优势和局限性。
最后，通过总结梯度下降法的重要性、展望未来的发展以及得出结论，将帮助读者形成对梯度下降法的综合认识，促进其在实际应用中的运用和优化。
1.3 目的梯度下降法作为一种常用的优化算法，在机器学习和深度学习领域得到广泛的应用。
本文的目的是通过深入探讨梯度下降法的基本原理、在机器学习中的具体应用以及其优缺点，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的算法。
同时，通过总结梯度下降法的重要性，展望其在未来的发展趋势，我们希望读者可以更好地应用梯度下降法解决实际问题，并为未来的研究和发展提供一定的参考和启发。
最终，我们将在结论部分对本文所述内容进行总结和反思，为读者留下深刻印象。
2.正文2.1 梯度下降法的基本原理梯度下降法是一种常用的优化算法，主要用于求解损失函数的最小值。
模式识别第4章 线性判别函数
w1。
44
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
w1
先看一个简
单的情况。设一
维数据1，2属于
w0
1, -1，-2属
于2 求将1和
2区分开的w0 ，
w1。
45
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
53
第四章 线性判别方法
4.1 用判别域界面方程分类的概念
有 4.2 线性判别函数 监 4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 督 4.4 Fisher线性判别 分 4.5 一次准则函数及梯度下降法 类 4.6 二次准则函数及其解法
4.7 广义线性判别函数
54
4.4 Fisher线性判别
这一工作是由R.A.Fisher在1936年的论文中 所提出的，因此称为Fisher线性判别方法。
0123456789
x1
d23(x)为正
d32(x)为正 d12(x)为正 d21(x)为正
i j两分法例题图示
24
25
3、第三种情况（续）
d1(xr) d2(xr)
1
2
d1(xr ) d3(xr )
3
d2 (xr ) d3(xr )
多类问题图例（第三种情况）
26
27
上述三种方法小结:
8
4.2 线性判别函数
9
10
11
d3(xr) 0
不确定区域
r
xr xrxr xr xr
x2
?
d1(x) 0
1
2
3
x1 d2(xr ) 0
模式识别导论
基于模式识别的个人认识班级自动化1002班姓名刘永福学号 1009101016摘要：本文主要介绍了模式识别的基本理论概念及算法，通过对模式识别的几种算法的概括、分析，推出算法的要求及步骤，实现样本的基本分类要求。
主要包括模式识别及模式识别系统的基本概念以及应用领域、线性判别函数的介绍及相关算法的推理证明、非线性判别函数的介绍及相关算法的推理证明。
一．模式识别及模式识别系统（1）模式识别的基本概念模式识别是以计算机为工具、各种传感器为信息来源，数据计算与处理为方法，对各种现象、事物、状态等进行准确地分析、判断识别与归类，包括人类在内的生物体的一项基本智能。
对于模式和模式识别有“广义”和“狭义”两种解释：广义地说，存在于时间和空间中可观察的事物，如果可以区别它们是否相同或相似，都可以称之为模式。
此时，模式识别是生物体(包括人)的基本活动，与感觉、记忆、学习、思维等心理过程紧密联系，是透视人类心理活动的重要窗口之一。
从这个角度讲，模式识别是研究生物体如何感知对象的学科，属于认识科学的范畴，是生理学家、心理学家、生物学家和神经生理学家的研究内容，常被称做认知模式识别。
具体来说，它是指人们把接收到的有关客观事物或人的刺激信息与他在大脑里已有的知识结构中有关单元的信息进行比较和匹配，从而辨认和确定该刺激信息意义的过程。
正是通过认知模式识别，我们才能认识世界，才能辨别出各个物体之间的差别，才能更好地学习和生活。
狭义地说，模式是为了能让计算机执行和完成分类识别任务，通过对具体的个别事物进行观测所得到的具有时间和空间分布的信息。
把模式所属的类别或同一类中模式的总体称为模式类(或简称为类)。
计算机模式识别就是指根据待识别对象的特征或属性，利用以计算机为中心的机器系统，运用一定的分析算法确定对象的类别的学科，是数学家、信息学专家和计算机专家的研究内容。
因此，模式识别的研究主要集中在认知模式识别和计算机模式识别这两个方面。
人工神经网络
学习训练算法
设有教师向量 T t1 t 2 t m 输入向量 则 初始加权阵 W0 偏差 B
T T
P p1 p 2 p n
t i 0 or 1
W ( k 1) W ( k ) E ( K ) X T B ( K 1) B ( K ) E ( K ) E(K ) T (K ) Y (K )
人工神经网络与神经网络优化算法
1 9 5 7 年 ， F.Rosenblatt 提 出 “ 感 知 器”(Perceptron)模型，第一次把神经网络的 研究从纯理论的探讨付诸工程实践，掀起了人工 神经网络研究的第一次高潮。 20世纪60年代以后，数字计算机的发展达到全 盛时期，人们误以为数字计算机可以解决人工智 能、专家系统、模式识别问题，而放松了对“感 知器”的研究。于是，从20世纪60年代末期起， 人工神经网络的研究进入了低潮。
人工神经元的基本构成 x w
1 1
x2 w2 … xn wn
∑
net=XW
人工神经元模拟生物神经元的一阶特性。
输入：X=（x1，x2，…，xn） 联接权：W=（w1，w2，…，wn）T 网络输入： net=∑xiwi 向量形式： net=XW
激活函数(Activation Function)
γ>0为一常数，被称为饱和值，为该神经元 的最大输出。
2、非线性斜面函数（Ramp Function）
o
γ -θ -γ θ net
3、阈值函数（Threshold Function）阶跃函数
f（net）=
β
if net>θ
if net≤ θ
-γ β、γ、θ均为非负实数，θ为阈值 二值形式： 1 f（net）= 0 双极形式： 1 f（net）= -1
模式识别第2章 模式识别的基本理论(2)
（步长系数 ）
33
算法
1）给定初始权向量a(k) ，k=0；
（ 如a(0)=[1,1,….,1]T）
2）利用a(k)对对样本集分类，设错分类样本集为yk 3）若yk是空集，则a=a(k)，迭代结束；否则，转4） 或 ||a(k)-a(k-1)||<=θ, θ是预先设定的一个小的阈值 （线性可分， θ =0） ( y) a(k 1) a(k) k J p 4）计算：ρ k, J p (a) y y 令k=k+1 5）转2）
1）g(x)>0, 决策：X∈ ω1 决策面的法向量指向ω1的决 策域R1，R1在H的正侧 2） g(x)<0, 决策：X∈ ω2， ω2的决策域R2在H的负侧
6
X g(X) / ||W|| R0=w0 / ||W|| Xp R2: g<0 H: g=0 r 正侧 R1: g>0 负侧
g(X)、 w0的意义 g(X)是d维空间任一点X到决策面H的距离的代数度量 w0体现该决策面在特征空间中的位置 1) w0=0时，该决策面过特征空间坐标系原点 2)否则，r0=w0/||W||表示坐标原点到决策面的距离
否则，按如下方法确定： 1、 2、 3、 m m ln[ P( ) / P( )]
~ ~
w0
1
2
2
1
2
N1 N 2 2
（P(W1)、P(W2) 已知时）
24
分类规则
25
5 感知准则函数
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一种 自学习判别函数生成方法，企图将其用于脑模型感 知器，因此被称为感知准则函数。 特点：随意确定判别函数的初始值，在对样本分类 训练过程中逐步修正直至最终确定。 感知准则函数：是设计线性分类器的重要方法 感知准则函数使用增广样本向量与增广权向量
机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法）
机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法） 不多说，直接上⼲货！回归与梯度下降 回归在数学上来说是给定⼀个点集，能够⽤⼀条曲线去拟合之，如果这个曲线是⼀条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是⼀条⼆次曲线，就被称为⼆次回归，回归还有很多的变种，如本地加权回归、逻辑回归，等等。
⽤⼀个很简单的例⼦来说明回归，这个例⼦来⾃很多的地⽅，也在很多的开源软件中看到，⽐如说weka。
⼤概就是，做⼀个房屋价值的评估系统，⼀个房屋的价值来⾃很多地⽅，⽐如说⾯积、房间的数量（⼏室⼏厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是⼀个很重要的概念，有很多的论⽂专门探讨这个东西。
在此处，为了简单，假设我们的房屋就是⼀个变量影响的，就是房屋的⾯积。
假设有⼀个房屋销售的数据如下： ⾯积(m^2) 销售价钱（万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 … … 这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出⼀个图，x轴是房屋的⾯积。
y轴是房屋的售价，如下： 如果来了⼀个新的⾯积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？ 我们可以⽤⼀条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输⼊过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。
如果⽤⼀条直线去拟合，可能是下⾯的样⼦： 绿⾊的点就是我们想要预测的点。
⾸先给出⼀些概念和常⽤的符号，在不同的机器学习书籍中可能有⼀定的差别。
房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输⼊数据，⼀般称为x 房屋销售价钱 - 输出数据，⼀般称为y 拟合的函数（或者称为假设或者模型），⼀般写做 y = h(x) 训练数据的条⽬数(#training set), ⼀条训练数据是由⼀对输⼊数据和输出数据组成的 输⼊数据的维度(特征的个数，#features)，n 下⾯是⼀个典型的机器学习的过程，⾸先给出⼀个输⼊数据，我们的算法会通过⼀系列的过程得到⼀个估计的函数，这个函数有能⼒对没有见过的新数据给出⼀个新的估计，也被称为构建⼀个模型。
模式识别(4-2)
有样本之和与 k 的乘积。
梯度下降算法求增广权向量
迭代修正过程： 由于所有被a(k)错分类的样 本必然都在以a(k)为法线的超 平面的负侧，因而它们的总和 也必然处于该侧。 a(k+1)修正时，就会使a(k+1) 向错分类向量和趋近，有可能 使这些错分类向量之和穿过超 平面，或至少朝有利方向变动。
§4.4 多类问题
因此一个比较合适的作法是将特征空间确实划分为C个决策 域，共有C个判别函数 T
gi ( x) wi x wi 0 ,
i 1,..., c
每个决策域 Ri 按以下规则划分 如果 gi ( x) max g j ( x),
j
j 1, 2, c ,则x i
因此落在Ri区域内的样本被划分成ω i类，如果发生gi(x)＝ gj(x)，即处于决策域的边界上，则作出拒绝决策。这种分 类器被称为线性机器。
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出的一种自学习 判别函数生成方法，由于Rosenblatt企图将其用于脑模型 感知器，因此被称为感知准则函数。其特点是随意确定的 判别函数初始值，在对样本分类训练过程中逐步修正直至 最终确定。
几个基本概念
1. 线性可分性
设样本d维特征空间中描述，则两类别问题中线性判别函数的一 T 般形式可表示成：
迭代次数1234直到在一个迭代过程中权向量相同，训练结束。
a=a6=(0,1,3,0)T
判别函数g(x)= aTy=-y2+3y3
感知器算法只对线性可分样本有收敛的解,对非 线性可分样本集会造成训练过程的振荡,这是它 的缺点.
本节总结
这一节对感知准则函数的讨论，只是很初步的，并且只 讨论了线性可分的情况。
模式识别-线性拟合实验报告-黄志强
线性拟合-实验报告内蒙古大学计算机学院31209003 黄志强一．实验方法：1最小二乘法2梯度下降法二．公式推导1 最小二乘用线性函数h a（x）=a0+a1*x来拟合y=f（x）；构造代价函数J（a）：代价函数分别对a0和a1求偏导，连个偏导数都等于0成为两个方程，两个方程联合求解得到a0和a1；2 梯度下降构造代价函数J（a），J（a）对a0，a1分别求偏导得到梯度，〆J(a)/〆a0=n*a0+a1*sumx-sumy;〆J(a)/〆a1=a1*sumx*sumx+a0*sumx-sumx*sumy;tidu_a0=n*a0+a1*sumx-sumy;tidu_a1=a1*sumxx+a0*sumx-sumxy;设置步长为l，迭代m次delta_r=sqrt(tidu_a0*tidu_a0+tidu_a1*tidu_a1);a0=a0-l*(tidu_a0/tidu_r);a1=a1-l*(tidu_a1/tidu_r);每次迭代显示得到的直线和mse，并修订学习率x2=[-0.1,1.1];y2=x2.*a1+a0;plot(x2,y2,'color',[1-i/m,1-i/m,1-i/m]);%显示错误error=0;for j=1:nerror=error+(y(j)-(a1*x(j)+a0))*(y(j)-(a1*x(j)+a0));endmse=error/n;l=mse;mse三．matlab代码1 最小二乘法代码：%in是一个100行2列的矩阵，两列分别为x和y。
用一条直线y=x*a+b拟合x和y的关系；%用最小二乘法计算a和b。
x=in(1:100,1);y=in(1:100,2);sumx=0;sumy=0;sumxx=0;sumyy=0;sumxy=0;for i=1:1:100sumx=sumx+x(i);sumy=sumy+y(i);sumxx=sumxx+x(i)*x(i);sumyy=sumyy+y(i)*y(i);sumxy=sumxy+x(i)*y(i);endplot(in(:,1),in(:,2),'r.'); %用红色的点画出100个样本点hold on; %保留当前绘图，不被下次绘图遮盖n=100;[b,a]=solve('n*a0+a1*sumx=sumy','a0*sumx+a1*sumxx=sumxy','a0','a1'); %解二元一次方程组，未知数为a0，a1，结果返回给b和a。
模式识别复习重点总结85199
１．什么是模式及模式识别？模式识别的应用领域主要有哪些？模式:存在于时间,空间中可观察的事物，具有时间或空间分布的信息; 模式识别：用计算机实现人对各种事物或现象的分析,描述,判断，识别。
模式识别的应用领域:（１)字符识别;(2) 医疗诊断；(3）遥感; （４)指纹识别 脸形识别；（5)检测污染分析,大气,水源，环境监测；(6)自动检测；(7 )语声识别,机器翻译，电话号码自动查询,侦听，机器故障判断； （８)军事应用。
2.模式识别系统的基本组成是什么?(1) 信息的获取:是通过传感器,将光或声音等信息转化为电信息；（2） 预处理:包括A ＼Ｄ,二值化，图象的平滑,变换，增强,恢复，滤波等， 主要指图象处理;(3） 特征抽取和选择:在测量空间的原始数据通过变换获得在特征空间最能反映分类本质的特征；（4） 分类器设计：分类器设计的主要功能是通过训练确定判决规则,使按此类判决规则分类时，错误率最低。
把这些判决规则建成标准库； （5） 分类决策：在特征空间中对被识别对象进行分类。
3．模式识别的基本问题有哪些？（１）模式（样本）表示方法：(ａ)向量表示;(ｂ)矩阵表示;（c)几何表示;(4)基元（链码)表示;（2)模式类的紧致性:模式识别的要求:满足紧致集,才能很好地分类;如果不满足紧致集,就要采取变换的方法,满足紧致集（3)相似与分类;(a)两个样本x i ，x j 之间的相似度量满足以下要求: ① 应为非负值② 样本本身相似性度量应最大 ③ 度量应满足对称性④ 在满足紧致性的条件下,相似性应该是点间距离的 单调函数(ｂ)用各种距离表示相似性 （4）特征的生成:特征包括：（a)低层特征;(b)中层特征;(ｃ)高层特征 （5） 数据的标准化:(a)极差标准化;(b)方差标准化4.线性判别方法（1）两类：二维及多维判别函数,判别边界，判别规则 二维情况：(a)判别函数: ( )（b)判别边界:g(x ）=0; (c)判别规则:n 维情况：（ａ）判别函数:也可表示为：32211)(w x w x w x g ++=为坐标向量为参数，21,x x w 12211......)(+++++=n n n w x w x w x w x g X W x g T =)(为增值权向量，T T n n w w w w W ),,...,,(121=+（b)判别边界:ｇ1(x ) =W ＴX =０ （c)判别规则:(2）多类：3种判别方法（函数、边界、规则)（A ）第一种情况:(ａ)判别函数：M 类可有M 个判别函数(b) 判别边界：ωi (ｉ=1，2,…,n ）类与其它类之间的边界由 g ｉ(x ）＝0确定(ｃ）（B)第二种情况：(a)判别函数：有 M （M _１)/2个判别平面(ｂ) 判别边界: (c ）判别规则：(C)第三种情况：(a)判别函数: (b) 判别边界:g i (x ) ＝ｇj （x ） 或g i (x ) -ｇj (x ） =0(ｃ)判别规则:５．什么是模式空间及加权空间,解向量及解区？ （1)模式空间：由 构成的n 维欧氏空间;（2)加权空间:以为变量构成的欧氏空间； (3）解向量:分界面为H,W 与H 正交，Ｗ称为解向量; (４）解区：解向量的变动范围称为解区。
神经网络算法优化与预测准确度比较
神经网络算法优化与预测准确度比较神经网络算法是一种模拟人类神经网络的数学模型，它通过输入和输出的相关性学习，可以自动调整自身的权重和偏差，从而实现复杂的模式识别和预测任务。
然而，在实际应用中，神经网络算法的准确度往往受到多个因素的影响，如网络结构、参数设置、训练数据数量和质量等。
为了提高神经网络算法的准确度，研究者提出了一系列优化方法，下面将对几种常用的优化方法进行比较和分析。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种通过逐步迭代优化网络参数的方法，它通过计算损失函数对参数的导数，沿着导数下降的方向调整参数值，从而实现最小化损失的目标。
梯度下降法简单易实现，但容易陷入局部最优解，并且收敛速度较慢。
2. 改进的梯度下降法为了克服梯度下降法的局限性，研究者提出了一系列改进的梯度下降法。
例如，随机梯度下降法（SGD）通过随机选择部分训练样本进行参数更新，加快了收敛速度。
批量梯度下降法（BGD）通过计算所有训练样本的平均梯度进行参数更新，提高了算法的稳定性。
动量梯度下降法通过加入动量项，提高了算法的收敛速度和稳定性。
自适应学习率方法（如Adagrad、RMSprop和Adam）通过自适应地调整学习率，进一步提高了算法的准确度和收敛速度。
3. 正则化方法神经网络算法容易出现过拟合问题，即在训练数据上表现良好但在测试数据上表现较差。
为了解决过拟合问题，研究者提出了一系列正则化方法。
常见的正则化方法包括L1正则化、L2正则化和Dropout。
L1正则化通过在损失函数中添加参数的绝对值作为惩罚项，促使部分参数为零，起到特征选择的作用。
L2正则化通过在损失函数中添加参数的平方和作为惩罚项，限制参数的大小，降低模型复杂度。
Dropout通过随机丢弃一部分神经元的输出，强制网络去学习冗余特征，提高了网络的泛化能力。
4. 网络结构优化神经网络的结构对算法的准确度和性能有着重要影响。
研究者通过尝试不同的激活函数、隐藏层节点数、层数和连接方式等来优化网络结构。
简述梯度下降法的原理和过程
简述梯度下降法的原理和过程梯度下降法是机器学习和优化问题中常用的一种迭代算法，它被广泛应用于各种模型的训练和参数优化。
本文将简述梯度下降法的原理和过程，以便更好地理解其工作原理和应用。
梯度下降法的原理基于求解函数的极值问题，特别是最小化目标函数的值。
在机器学习中，我们常常需要通过调整模型的参数来最小化损失函数，以便提高模型的性能。
梯度下降法通过迭代的方式，沿着负梯度的方向，逐步调整参数的值，以达到最小化损失函数的目标。
梯度下降法的过程可以概括为以下几个步骤：1. 初始化参数：首先，需要对模型的参数进行初始化，可以选择随机的初始值或者一些启发式的方法。
这些参数将在梯度下降的过程中不断调整，以找到最优的取值。
2. 计算损失函数的梯度：在每一次迭代中，我们需要计算损失函数相对于每个参数的梯度。
梯度表示函数在某一点的变化率，它的方向指示了函数增长最快的方向。
计算梯度可以通过使用微积分的方法来实现，可以使用解析方法或者数值方法来近似计算。
3. 更新参数值：一旦计算得到损失函数的梯度，我们就可以按照梯度下降的原则来更新参数的值。
具体地，我们将参数值沿着梯度的反方向移动一个小的步长，这个步长通常称为学习率。
学习率的选择对梯度下降法的收敛速度和稳定性有着重要的影响。
4. 迭代更新：重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件。
停止条件可以是达到最大迭代次数，或者损失函数的变化小于某个预定的阈值。
在迭代的过程中，参数值会逐步向最优解靠近，直到收敛到一个局部最小值或者全局最小值。
总结起来，梯度下降法的原理和过程可以简述为：通过计算损失函数的梯度，沿着负梯度的方向，不断调整模型的参数值，直到达到最小化损失函数的目标。
梯度下降法是一种迭代的优化算法，可以应用于各种机器学习模型的训练和参数优化中。
需要注意的是，梯度下降法存在一些问题，例如可能陷入局部最优解、可能收敛速度较慢等。
为了解决这些问题，人们提出了一些改进的梯度下降法，例如随机梯度下降法、批量梯度下降法、动量法等。
模式识别感知器算法求判别函数
模式识别感知器算法求判别函数
y = sign(w · x + b)
其中，y表示分类结果（1代表一个类别，-1代表另一个类别），x 表示输入特征向量，w表示权重向量，b表示偏置项，sign表示取符号函数。
判别函数的求解过程主要包括以下几个步骤：
1.初始化权重向量和偏置项。
一般可以将它们设置为0向量或者随机向量。
2.遍历训练集中的所有样本。
对于每个样本，计算判别函数的值。
4.如果分类错误，需要调整权重和偏置项。
具体做法是使用梯度下降法，通过最小化误分类样本到超平面的距离来更新权重和偏置项。
对于权重向量的更新，可以使用如下公式：
w(t+1)=w(t)+η*y*x
对于偏置项的更新，可以使用如下公式：
b(t+1)=b(t)+η*y
5.重复步骤2和步骤4，直到所有样本都分类正确或达到停止条件。
需要注意的是，如果训练集中的样本不是线性可分的，则判别函数可能无法达到100%的分类准确率。
此时，可以通过增加特征维度、使用非线性变换等方法来提高分类效果。
总结起来，模式识别感知器算法通过判别函数将输入数据分类为两个类别。
判别函数的求解过程是通过调整权重向量和偏置项，使用梯度下降法最小化误分类样本到超平面的距离。
这个过程是一个迭代的过程，直到所有样本都分类正确或达到停止条件。
神经网络中的损失函数权重调整技巧
神经网络中的损失函数权重调整技巧神经网络是一种模拟人类大脑运作方式的计算模型，它通过多层神经元之间的连接和权重调整来实现模式识别和学习能力。
而损失函数则是神经网络中用于评估预测结果与真实结果之间差距的指标。
为了提高神经网络的性能，我们需要对损失函数的权重进行调整，以达到更好的学习效果。
本文将介绍一些常见的损失函数权重调整技巧。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过计算损失函数对权重的梯度来更新权重值。
具体来说，对于每个权重，我们根据其对损失函数的贡献大小来调整权重的更新步长。
如果某个权重对损失函数的贡献较大，我们可以选择较大的学习率来加快其更新速度；反之，如果某个权重对损失函数的贡献较小，我们可以选择较小的学习率来减小其更新步长，以避免过拟合。
二、正则化技术正则化技术是一种常用的防止过拟合的方法，它通过在损失函数中引入正则化项来限制权重的大小。
常见的正则化技术包括L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过在损失函数中添加权重的绝对值之和来限制权重的大小，从而使得部分权重趋向于零，达到特征选择的效果。
而L2正则化则通过在损失函数中添加权重的平方和来限制权重的大小，从而使得权重分布更加平滑，减小模型的复杂度。
三、学习率调度学习率是梯度下降法中一个重要的超参数，它决定了权重更新的步长。
然而，如果学习率过大，可能导致权重更新过快，无法收敛；而如果学习率过小，可能导致权重更新过慢，收敛速度很慢。
为了解决这个问题，我们可以使用学习率调度技巧来动态地调整学习率。
常见的学习率调度技巧包括学习率衰减、学习率预热和学习率自适应。
学习率衰减通过在训练过程中逐渐减小学习率来提高模型的稳定性和收敛速度；学习率预热通过在训练开始时使用较小的学习率，然后逐渐增大学习率，以避免陷入局部最优解；学习率自适应则是根据模型的表现来自动调整学习率，例如AdaGrad、RMSProp和Adam等算法。
四、损失函数加权在神经网络中，不同的样本可能具有不同的重要性。
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( 0,0) o
x1
1 3
(1,0)
x1
7
x1
x3
(0,0,1)
(1,0,1)
x 2
x4
(0,1,1)
w(1)
(1,1,1) 1
(1,1,1)
k 1
k2 k 3 k4 k 5
,
, , , ,
xk
xk xk xk xk
2
(3)调整增广权矢量，规则是
-- 如果 -- 如果
xk
xk
1 和
2 和
w (k
)
xk
w (k
)
xk
0
0
，则
w(k
1)
w(k
)
，则
w(k 1) w(k)
xk
xk
-- 如果
xk
1
和
w (k
)
xk
0
，
或
xk
1 2
1
,
1 S2 12
1 2
1
m1 (2,0)T , m2 (2,2)T
试用Fisher准则求其决策面方程。
2. 用感知器算法求解向量,训练样本为:
1:{(0,0,0)T,(1,0,0)T,(1,0,1)T,(1,1,0)T} 2:{(0,0,1)T,(0,1,1)T,(0,1,0)T,(1,1,1)T}
2
和
w (k
)
xk
0
，则 w(k 1) w(k)
(4)如果k < N，令k = k+1，返至⑵。如果k = N，检验
判别函数 wx 对
x1 ,
x2
,,
xN
是否都能正确分类。若是，
结束；若不是,令 k=1，返至⑵。
3
xk(i)
w(k1) xk(i)
, ,
d(xk ) d ( xk)
ww((kk))xxkk
1 0
,
0
,
w(9) w(8)
w(10)
w(9)
x1
(2,1,1)
k k k
10 11 12
, , ,
xk xk xk
x2 x3 x4
, , ,
d(xk ) d(xk ) d(xk )
www(((kkk)))xxxkkk
20 1 0 0 ,
, ,
w(11) w(10) w(12) w(11) w(13) w(12) x4
(3,0,0)
k
13
,
xk
x1
,
w w(k) 2 w w(k 1) 2 0
5
x2
、、
(0,1)
(1,1)
(0,0) o
x1
1 3
(1,0)
x1
6
x2
(1) 训练样本分量增
广化及符号规范化。 (0,1)
(1,1)
x1 x2 x3 x4
(0,0,1) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1)
w(3) w(2)
w(4)
w(3)
x3
w(5)
w(4)
x4
w(6) w(5) x1
(0,1,0) (1,0,1) (1,0,0)
k 6
,
xk
x2
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
0
,
w(7)
w(6)
x1
x2 x3 x4 x1
,
, , , ,
ddddd(((((xxxxxkkkkk)))))wwwww((((k(kkkk))))x)xxxxkkkkk1221100000,
, , , ,
w(2) w(1)
x2
(1,1,1)
k 7
,
xk
x3
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
0
,
w(8)
w(7)
x3
(2,1,0)
k 8
,
xk
x4
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
1 0
,
w(9) w(8)
8
k 8 k 9
, ,
xk x4 xk x1
J (w)
J
1
x sgn(w 'x) x
w 2
其中符号函数
sgn(w '
x)
1
1
w 'x 0 w 'x 0
增广权矢量的修正迭代公式为：
w(k 1) w(k) kJ (w(k))
3.5 一次准则函数及梯度下降法
3.5.1 感知器算法(Perceptron Approach)
流程:
任选一初始增广权矢量
用训练样本检验分类是否正确 Yes No
对权值进行校正
No 对所有训练样本都正确分类？ Yes END
感知器算法流程图 1
3.5 一次准则函数及梯度下降法
3.5.1 感知器算法(Perceptron Approach)
k 16 , xk x4
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
20
,
w(17) w(16)
k 17
,
xk
x1
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
1 0
,
w(18) w(17)
9
10
作业
1.设两类样本的类内离差矩阵分别为:
1 S1 12
d
(
xk
)
w(k
)xk
0
,
Байду номын сангаас
w(14)
w(13)
x1
(3,0,1)
k 14 , xk x2
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
1 0
,
w(15)
w(14)
k 15 ,
xk x3
,
d
(
xk
)
w(k
)xk
20
,
w(16) w(15)
11
第三章 判别域代数界面方程法
3.5.2 一次准则函数及梯度下降法
一、梯度下降法
f ( y) df ( y) ( f , f , , f )
dy
y1 y2
yn
采用梯度下降法沿负梯度方向，选择适当的步
w 长进行搜索，求解函数的极小值点 * 。
12
13
令k = 1/2，求得准则函数的梯度
w(k)
w(k 1) xk( j) w(k)
xk( j)
权空间中感知器算法权矢量校正过程示意图
4
二、收敛定理：
如果训练模式是线性可分的，感知器训
练解矢算量法在w有 限次。迭代后便可以收敛到正确的
证明思路：
。
如果第k+1次迭代生成的权矢量比第k次迭 代生成的权矢量更接近解矢量，则收敛，即：