解函数

（2）如果 1 , 2 ,..., n ,... m 0, 不全为零，并且对于正整数m， n 0, 而对于n<m， 那么我们说z0是f(z)的m阶零点。 按照m=1，或m>1，我们说z0是f(z)的单零点或m 阶零点。 如果 z0 是解析函数 f(z) 的一个 m 阶零点，那么显 然在它的一个邻域U内
e , sin z , cos z 例1、求函数
在z=0的泰勒展式。 z 解：由于 所以 因此
z
z
(e )' e
z (n)
z
(e )
|z 0 1
1 2 1 n e 1 z z ... z ... 2! n!
例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在 z=0的泰勒展式
定理4.1的证明：
所以
上式的级数当
1 1 z z0 ( z z0 ) n ( z z0 ) 1 1 n 1 z z z0 1 0 n 0 ( z0 ) z0
C
时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然 后利用一致收敛级数的性质，得
点处解析，如第3段例1及例2，由解析函数的唯
一性定理，都不存在另一个解析函数，在收敛
圆内与和函数恒等，而收敛圆上和函数为解析
的点的邻域内，与它不恒等。
例 2 、是否存在着在原点解析的函数 f(z) ，满足 下列条件： 1 1 1 ) 0, f ( ) ; （1）、f ( 2n 1 2n 2n 1 n （2）、 f ( ) . n n 1 其中n=1,2,3,…。
解析函数的唯一性
引理6.1 设 f(z) 是区域D 内的解析函数。如果 f(z) 在 D 内的一个圆盘内恒等于零，那么 f(z) 在 D 内 恒等于零。
证明：设在D内一个以为z0心的圆盘K0内， 我们只需证明在K0以外任一点 z' D, f ( z' ) 0. 用D内的折线L连接z0与z’ ，存在着一个正数 使得L上任一点与区域 D的边界上任一点的距离 大于 . 在L上依次取， z0 , z1 , z2 ,..., zn 1 , zn z ' , 使z1 K 0 而其他任意相邻两点的距离小于
引理6.1的证明：
定理6.1 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于 零，那么 f(z) 的每个零点 z0 有一个邻域，在 z0 其 中是f(z)唯一的零点。 定理6.2（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及 g(z) 在区域 D 内解析。设 zk 是 D 内彼此不同的点 (k=1,2,3,…)，并且点列{zk}在D内有极限点。如 果，
1 1 f( ) . n 1 1/ n 1 由解析函数的唯一性定理， f ( z ) 1 z
是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数。
(2)、我们有
例2、
例1 、在复平面解析、在实数轴上等于 sinx 的函 数只能是sinz. 解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于 sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于 零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解
例1、
析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。
例1、
注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些
ln(1 z ) ln | 1 z | i arg(1 z ) arg(1 z ) )
解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶 导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为
(1) (n 1)!
n
例2、
因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：
z z n 1 z ln(1 z ) z ... (1) ... 2 3 n
2 4
,
例4、
因此，
z z 1 c0 c1 z c2 z ... cn z ... 1 ... 2 ! 4 !

2
n

2
4
故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数 ，可以得到
z 5z sec z 1 ...(| z | ). 2! 4! 2
定理4.1的证明：
证明：在U内任取一点z。以z0为心，在U内作一 个圆C，使z属于其内区域。我们有
1 f ( ) f ( z) d , 2i C z
由于当
C
时，z z
2
又因为 1
z0
0
q 1
n
1
1 ... ...(| | 1)
解析函数的零点
其中
( z)
f ( z ) ( z z0 ) ( z ), ( z0 ) 0,
m
在U内解析。
因此存在一个正数 0 ，使得当0 | z z0 | ( z) 0 。于是 f ( z) 0. 时， 换而言之，存在着 z0 的一个邻域，其中 z0 是 f(z) 的唯一零点。 定理5.1 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个 零点，那么或者 f(z) 在 z0 的一个邻域内恒等于零 ，或者存在着 z0 的一个邻域，在其中 z0 是 f(z) 的 唯一零点。
解析函数的零点
注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。
我们知道，已知一般有导数或偏导数的单 实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分 的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部 分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知 某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同 一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定 。
定理4.2：
系4.1 幂级数
系4.1、
n

n 0

( z z0 ) 0 1 ( z z0 ) 2 ( z z0 )
n 2
... n ( z z0 ) ...
n
是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即
0 f ( z0 ), n
1 z ( ) z ... ( ) z ... 2 n
2 n


例3、
其中
( 1)...( n 1) n! n
பைடு நூலகம்
其收敛半径为1。 注解、这是二项式定理的推广，对 a 为整数的情 况也成立。
例4、
函数sec z 在
| z |

第四章 解析函数的幂级数表示法
第三节 泰勒展式(续)
定理4.1：
定理4.1设函数f(z)在圆盘在
U :| z z0 | R
内解析，那么在U内， f ' ( z0 ) f " ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) ( z z0 ) 2 1! 2! (n) f ( z0 ) n ... ( z z0 ) ... n!
2 4
解析函数的零点
设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且 f ( z0 ) 0 那么称 z0 为 f(z) 的零点。设 f(z) 在U 内的泰勒展式 是： f ( z ) 1 ( z z0 ) 2 ( z z0 ) 2 ... n ( z z0 ) n ... 现在可能有下列两种情形： n 0 （1）如果当n=1,2,3,…时， 那么f(z)在U内恒等于零。
定理4.1的证明：
f ( z ) 0 1 ( z z0 ) ... n ( z z0 ) ...
n
其中
1 f ( ) f ( z0 ) n d , n 1 2i C ( z ) n! (n 0,1,2,...; 0! 1)
(n)
引理6.1的证明：
f ( z) 0.
；
K j ( j 1,2,..., n) 作每一点zj的 邻域 显然，当j<n时，有 z j 1 K j D (n) 由于f(z)在K0内恒等于零， f ( z1 ) 0(n 1,2,...)
于是f(z)在K1内泰勒展式的系数都是零，从而f(z) 在K1内恒等于零。 一般地，已经证明了f(z)在 K j ( j n 1) 内恒等于零，就可推出它在Kj+1内恒等于零，而 最后就得到f(z’)=0，因此引理的结论成立。
f
(n)
( z0 ) (n 0,1,2,...). n!
因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性 定理： 系 4.2 在定理 4.1 中，幂级数的和函数 f(z) 在 U 内 不可能有另一种形式的幂级数。
系4.2、
注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以 用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果 一定相同。
2
内解析，求它在这个园盘内的泰勒展式。 解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰 勒展式，设
sec z c0 c1 z c2 z ... cn z ...(| z |
2 n

但是，我们有 sec z
2
),
1 cos z
1 z z 1 ... 2! 4!
其收敛半径1。
2
3
n
例3、 求 (1 z )

的下列解析分支在 z=0的泰勒展式（其中a不是整 数）， 解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶 导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为 a(a-1) …(a-n+1) 因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：
e
ln( z 1)
由于z是U内任意一点，定理的结论成立。
定理4.2、函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条 件是：它在的某个邻域内有定理 4.1中的幂级数 展式。 注解 1 、在定理 4.1 中， f(z) 在 U 内的幂级数展式 我们称为它在U内的泰勒展式。 注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画 。 注解3、泰勒展式中的系数与z0有关。