洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法概要

尽管洛伦兹曲线可根据收入分配的统计数据加以描绘,但至今却未能找到一种有效的方法,准确地拟合洛伦兹曲线方程并由此求出精确的基尼系数。目前常被使用的方法主要有三种:
(1几何计算法。即根据分组资料,按几何图形分块近似逼近计算的方法。(2间接拟合法。即先拟合求出收入分配的概率密度函数,再根据概率密度函数导出洛伦兹曲线。
0.0000
注:本表数据根据《中国统计年鉴1998年》整理计算
给定A、Α、Β值,查#函数表,就可估计出基尼系数的数值。
四、实例分析
利用国家统计局抽样调查的1997年城镇居民全部收入资料进行分析(见表1。
根据表1中所给出
的数据(因计算的要求,去掉最后一行数据,利用最小二乘法,对(9式进行估计,得到如下结果:
利用(14式和(11式,计算出基尼系数
G=2A∀(1+Α,1+Β=2×0.4608∀(1.9040,1.6562=0.9216×#(1.9040#(1.6562 #(3.5602
=0.2249
参考文献:
①厉以宁、秦宛顺:《现代西方经济学概论》,北京大学出版社1983年11月。
②刘建平:《新坐标系下的洛伦兹曲线下基尼系数》,《山西财经学院学报》1989年第2期。
Α
P
-
Β
1-P
(P -I =1-Α
P -I P +Β P -I
1-P
(7
d 2I
d P 2
=(P -I [
Α(1-Α
P
2
+
Β(1-Β(1-P 2+2ΑΒ
P (1-P ]=A P Α(1-P Β[Α(1-ΑP
2+Β(1-Β(1-P 2+2ΑΒP (1-P ](8容易证明,当A >0,0<Α<1,0<Β<1时,(6式满足了洛伦兹曲线的四个特性。因此,满
ln (P -I =-0.7748+0.9040(144.8763
ln P +0.6562(118.5231
ln (1-P
(13R 2
=0.9999D .W .=2.6020
表2
收入分组累计收入比重实际值I累计收入比重估计值I δ相对误差(◊收入比重实际值收入比重估计值相对误差(◊最低收入户
0.05350.05350.000.05350.05350.00低收入户0.12100.12090.080.06750.06740.15中等偏下户0.28210.28150.210.16110.16060.31中等收入户0.47200.4721-0.020.18990.1966-0.37中等偏上户0.69750.6984-0.130.22550.2263-0.35高收入户0.83070.83030.050.13320.13090.98最高收入户1.00001.00000.000.16930.16970.24平均值
由于上式A=0.4608>0,0<Α,Β<1,满足洛伦兹曲线的特性要求,故(14式作为洛伦兹曲线的估计式具有明确的含义,且拟合效果相当好。表2给出了误差分析情况,收入比重的估计值和累计收入比重的估计值的平均相对误差仅为0.07◊和0.34◊,估计精度相当高。我们利用(6式对不同的例子进行了多次试算,同样都达到了理想的拟合效果,说明本文所提出的洛伦兹曲线方程具有很高的实用价值。
(3曲线拟合法,即选择适当的曲线直接拟合洛伦兹曲线,常用的曲线有二次曲线、指数曲线和幂函数曲线。
利用第一种方法不能得到洛伦兹曲线的表达式,只能用来计算基尼系数,但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线,所估计的基尼系数要小于实际值,尤其在数据点较少时,误差较大。第二种方法由于计算收入分配的概率密度的复杂性,很难提出合适的概率函数。至于第三种方法,即直接用曲线方程去拟合洛伦兹曲线,应该不失为一种较好的方法,但目前主要的问题在于现有常用的曲线并不适用,曲线含义不明确,或拟合误差较大。
・
81・ 浙江经济高等专科学校学报 第11卷
比为
P =
P (Y =∫Y
0N f (Y d Y
N
=
∫
Y
f (Y d Y
(1
式中P (Y表示收入少于Y的人口分布函数。
收入少于Y的所有人的累积收入在总收入中的份额为
I =I (Y =∫Y
0YN f (Y d Y
∫∞
YN f (Y d Y =∫Y
Y f (Y d Y
洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法
谢 健
摘 要 文章根据洛伦兹曲线的特性,设计出一条非常简明的洛伦兹曲线方程,对洛伦兹曲线进行直接拟合,分析结果表明,该方程具有明确的经济学含义,拟合效果又很好,由此推出的基尼系数的计算公式也达到较高的准确性。
关键词 洛伦兹曲线 基尼系数 曲线 拟合一、引言
洛伦兹曲线是美国统计学家洛伦兹提出的用来描述社会收入分配状况的一种曲线,它由累积的一定人口数占总人口中的百分比与这部分人口所获得的收入占总收入中的百分比状况来表示(如图1。图1中的45°对角线称为绝对平等线,由横轴和纵轴组成的折线称为绝对不平等线。实际收入分配曲线,即洛伦兹曲线,则是介于两者之间的一条向下弯
--0.07
--0.34
(13式下面括号内的数字为t统计量,R
2
为拟合系数,D .
W .为德宾-沃森检验值。由估计结果可知,(13式回归系数均通过统计检验(取
显著性水平Α=0.01,D .W .值也表明
不存在序列相关。
(13式可写成(6式的洛伦兹曲线形式:
I δ=P -0.4608P
0.9040(1-P 0.6562(14
为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数,我们通过分析洛伦兹曲线的特性,设计出一条洛伦兹曲线方程,对洛伦兹曲线直接进行拟合。经过实例分析,拟合效果好,由洛伦兹曲线可推导出基尼系数的计算公式,计算结果精确度也很高。
二、洛伦兹曲线方程
设收入变量的概率为f (Y ,总人口数为N ,则收入等级在Y到Y +d Y内人口数的概率为f (Y d Y ,在该收入级内的人口数为N f (Y d Y ,这样收入少于Y的累积人口数占总人口数的百分
③单艺斌:《基尼系数计算方法的比较和选择》,《辽宁商专学报》1991年第1期。
④欧阳植等:《分组数据的收入分布拟合及洛伦兹曲线与基尼系数》,《数量经济技术经济研究》1994年6月。
(作者单位:温州大学副教授(责任编辑 钱方明
税、费归位若干问题的探讨
倪成伟
摘 要 文章针对我国现实“费多税少”或“乱收费”现状,先从理论上阐述税和费的依据及其范围,再从政府收入机制和政府行为两个角度分析“费多税少”的深层次矛盾,并分析了税费归位的难点,进而提出税费归位必须从规范各级政府的收入机制入手,从宏观上规范政府行为,并提出了相应的思路。
∫
∞
Y f (Y d Y =1
Λ
∫Y
Y f (Y d Y
(2式中I (Y表示收入少于Y的所有人的收入的分布函数;Λ=∫
∞
Y f (Y d Y为收入的期望值或社会
总平均收入。
因此,I (Y和P (Y的函数关系即洛伦兹曲线方程可表示成
I =I (P (3
从图2中可以看到,洛伦兹曲线oca可以看成是45°对角线od a和弓形曲线oeb的合成曲线。
Β
(6
式中:A、Α、Β为系数;P为按收入等级分组的累计人口数占总人口比例,0≤P ≤100◊;I为累计人口数比例为P的所有人的累积收入在总收入中的份额,0≤I ≤100◊。
作为洛伦兹曲线,要求满足如下四个特性:1洛伦兹曲线满足特殊点的数值,即当P =0时,I =0,表示0◊的人口其收入为0◊;P =I时,I =1,表示100◊的人口其收入为100◊;2洛伦兹曲线处于绝对平等线od a下方,绝对不平等线oba上方;3洛伦兹曲线是递增的;4洛伦兹曲线是下凸的。
第一个、第二个特性要求(6式中的A >0,以及Α>0,Β>0;第三个特性要求
d I
d P
>0,第四个特性要求d 2
I
d P
2>0。
现在对(6式求I关于P的一阶导数和二阶导数:d I d P
=1-A [ΑP Α-1
(1-P Β-ΒP Α(1-P Β-1]=1-(
Α
P
-
Β1-P
A P Α(1-P
Β
=1-(
关键词 税费 依据 现状 问题 规范
改革开放以来,尤其是建立社会主义市场经济体制以来,在我国政府收入中,各项收费逐年增多,大大超过各项税收收入,按最保守的估计,目前各种游离于预算之外的非规范性政府收入与预算内的规范性财政收入之比,大约为3∶2。①名目繁多的收费,一方面使企业和老百姓不堪重负,严重危害企业的改革和发展,引起“民怨沸腾”(朱总理语;另一方面严重影响了各项税收的正常征收,削弱了政府的宏观调控能力。经过近一年的讨论,社会各界对“乱收费”现象已基本形成共识,理论研究也正在逐步深入,但就税费归位的深层次问题还有待进一步澄清。
现设计弓形曲线oeb的方程为
I =-A P Α(1-P Β
(4这条方程能根据系数Α和Β的调整反映不同偏向的弓形曲线。当Α
>Β时,弓形曲线偏向右边;当Α<Β时,弓形曲线偏向左边。
45°对角线od a的方程为
I =P
(5将这两条方程合成,即得到合成曲线的方程即洛伦兹曲线的方程
I =P -A P Α(1-P
・
91・第4期 洛伦兹曲线与基尼系数的估计方法
足洛伦兹曲线所有特性的充分条件是
A >0,0<Α<1,0<Β<1
将(6式转换成如下形式
ln (P -I =ln A +Αln P +Βln (1-P
(9
这样,根据I和P的统计数据,利用最小二乘法便可估计出参数A、Α、Β值。
三、基尼系数的估计
根据基尼系数的定义,基尼系数
G =
A
A +
B =1-
B
A +B
(10
式中G为基尼系数,A、B含义见图1。
则G =1-∫
10
I (P d P
1
2
×1×1=1-2∫
1
[P -A P Α(1-P Β]d P
=2A
∫
10
P Α
(1-
P Β
d P =2A ∀(1+Α
,1+Β(11
式中∀(1+Α,1+Β是参数为1+Α,1+Β的∀函数。∀函数可表示成#函数形式:∀(1+Α,1+Β=
一、税与费的理论依据及其范围界定
在市场经济体制条件下,社会各界消费的产品,从理论上可划分为两大类:一是消费者用自己的货币收入去购买的消费品,即私人产品;二是消费者可免费消费的消费品,即公共产品。私人产品由私人部门提供,公共产品由公共部门提供。由于提供公共产品不以盈利为目的,而是追求社会效益和社会福利的最大化,而私人产品的提供则是追求利润的最大化,同时,公共产品是向整个社会共同提供的,而不能象私人产品那样可将其分割成若干部分,分别归个人或集团消费。因此,公共产品具有消费或受益的非排他性和取得方式的非竞争性的特点,这就必然会存在不想付出任
#(1+Α
#(1+Β#(2+Α+Β
(12
表1
收入分组人口比重
收入比重
累计人口比重(P
1-P累计收入比重(I
P -I最低收入户0.11290.05350.11290.88710.05350.
0594低收入户0.10780.06750.22070.77930.12100.0997中等偏下户0.20940.16110.43010.56990.28210.1480中等收入户0.20000.18990.63010.36990.47200.1581中等偏上户0.19250.22550.82260.17740.69750.1251高收入户0.09220.13320.91480.08520.83070.0841最高收入户0.08530.16931.00000.00001.0000
曲的曲线,该曲线向下弯曲的程度越大,表示社会收入分配不均的程度就越严重;反之,则表示社会收入分配就越接近于平均。后来,意大利统计学家基尼根据洛伦兹曲线提出了判断收入分配平均程度的指标,被称为基尼系数。所谓基尼系数是由图1中的45°对角线与基尼系数之间的面积A和对角线与折线之间的面积A +B之比来测度的。系Fra Baidu bibliotek越大,收入分配越不平均;反之,收入分配越接近平均。