1990考研数一真题解析
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因此，原方程的通解为
四、(本题满分6分.)
求幂级数 的收敛域,并求其和函数.
解：因为 所以
显然幂级数 在 时发散，故此幂级数的收敛域为
又
五、(本题满分8分)
求曲面积分 其中 是球面 外侧在 的部分.
解：令 其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有
而
所以
六、(本题满分7分)
程组 的基础解系, 为任意常数,则方程组 的通解(一般解)必是( B )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求 .
解：
(2) 设 ,其中 具有连续的二阶偏导数,求 .
解：
(3) 求微分方程 的通解(一般解).
解：特征方程为 的跟为 .对应齐次方程的通解为 ，其 中为任意常数.设原方程的特解为 代入原方程得 .
1990
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 过点 且与直线 垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.
(2) 设 为非零常数,则 =____ _________.
(3) 设函数 则 =________1_____.
(4) 积分 的值等于____ _________.
(3) 已知离散型随机变量 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即
,则随机变量 的数学期望 ___4____.
十一、(本题满分6分.)
设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 的方差 .
解： 的联合概率密度函数是 因此X的边缘概率密度函数是
设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且
.证明在 内至少存在一点 ,使得 .
证：因 且 不恒为常数，故至少存在一点 ，使得 于是 或Байду номын сангаас
现设 ，则在 上因 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点 ，使得 对于 情形，类似地可证得此结果.
七、(本题满分6分)
设四阶矩阵
, ,
且矩阵 满足关系式 ,其中 为四阶单位矩阵, 表示 的逆矩阵, 表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .
(3) 设 为常数,则级数 ( C )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 收敛性与 的取值有关
(4) 已知 在 的某个领域内连续,且 , ,则在点 处
( D )
(A) 不可导 (B) 可导,且
(C) 取得极大值 (D) 取得极小值
(5) 已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解, 、 是对应齐次线性方
解：由题意，变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是
变力F所作的功
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1) 已知随机变量 的概率密度函数 ,则 的概率分布函数
__ _____.
(2) 设随机事件 、 及其和事件 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若 表示 的对立事件,那么积事件 的概率 _0.3______.
解：因 故
因此
八、(本题满分8分)
求一个正交变换,化二次型 为标准形.
解：二次型的矩阵A= ，
由 A的特征值为
对于 从而可取特征向量 及与P1正交的另一特征向量
对于 取特征向量
将上述相互正交的特征向量单位化，得
故在正交变换 下，二次型 .
九、(本题满分8分)
质点 沿着以 为直径的半圆周,从点 运动到点 的过程中受变力 作用(见图). 的大小等于点 与原点 之间的距离,其方向垂直于线段 且与 轴正向的夹角小于 ,求变力 对质点 所作的功.
(5) 已知向量组 ,则该向量的秩是_____2________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设 是连续函数,且 ,则 等于 ( A )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 已知函数 具有任意阶导数,且 ,则当 为大于2的正整数时, 的 阶导数 是 ( A )
(A) (B) (C) (D)
四、(本题满分6分.)
求幂级数 的收敛域,并求其和函数.
解：因为 所以
显然幂级数 在 时发散，故此幂级数的收敛域为
又
五、(本题满分8分)
求曲面积分 其中 是球面 外侧在 的部分.
解：令 其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为Ω，则由奥--高公式有
而
所以
六、(本题满分7分)
程组 的基础解系, 为任意常数,则方程组 的通解(一般解)必是( B )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求 .
解：
(2) 设 ,其中 具有连续的二阶偏导数,求 .
解：
(3) 求微分方程 的通解(一般解).
解：特征方程为 的跟为 .对应齐次方程的通解为 ，其 中为任意常数.设原方程的特解为 代入原方程得 .
1990
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 过点 且与直线 垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.
(2) 设 为非零常数,则 =____ _________.
(3) 设函数 则 =________1_____.
(4) 积分 的值等于____ _________.
(3) 已知离散型随机变量 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即
,则随机变量 的数学期望 ___4____.
十一、(本题满分6分.)
设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 的方差 .
解： 的联合概率密度函数是 因此X的边缘概率密度函数是
设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且
.证明在 内至少存在一点 ,使得 .
证：因 且 不恒为常数，故至少存在一点 ，使得 于是 或Байду номын сангаас
现设 ，则在 上因 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点 ，使得 对于 情形，类似地可证得此结果.
七、(本题满分6分)
设四阶矩阵
, ,
且矩阵 满足关系式 ,其中 为四阶单位矩阵, 表示 的逆矩阵, 表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .
(3) 设 为常数,则级数 ( C )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 收敛性与 的取值有关
(4) 已知 在 的某个领域内连续,且 , ,则在点 处
( D )
(A) 不可导 (B) 可导,且
(C) 取得极大值 (D) 取得极小值
(5) 已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解, 、 是对应齐次线性方
解：由题意，变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是
变力F所作的功
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1) 已知随机变量 的概率密度函数 ,则 的概率分布函数
__ _____.
(2) 设随机事件 、 及其和事件 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若 表示 的对立事件,那么积事件 的概率 _0.3______.
解：因 故
因此
八、(本题满分8分)
求一个正交变换,化二次型 为标准形.
解：二次型的矩阵A= ，
由 A的特征值为
对于 从而可取特征向量 及与P1正交的另一特征向量
对于 取特征向量
将上述相互正交的特征向量单位化，得
故在正交变换 下，二次型 .
九、(本题满分8分)
质点 沿着以 为直径的半圆周,从点 运动到点 的过程中受变力 作用(见图). 的大小等于点 与原点 之间的距离,其方向垂直于线段 且与 轴正向的夹角小于 ,求变力 对质点 所作的功.
(5) 已知向量组 ,则该向量的秩是_____2________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设 是连续函数,且 ,则 等于 ( A )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 已知函数 具有任意阶导数,且 ,则当 为大于2的正整数时, 的 阶导数 是 ( A )
(A) (B) (C) (D)