第二讲流体力学
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体力学第二章
全微分。 由于
ddxdydz （2-5）
x y z
所以
fx
x
fy
y
fz z
（2-6）
即质量力的分量等于函数 (x, y,z) 的偏导数，因此，(x, y,z) 称为力势函数（若某一坐标函数对个坐标的偏导数分别等于力 场的力在对应坐标轴上的投影，则称该坐标函数为力的势函数）。 存在力势函数的质量力称为有势力，重力、电磁力、惯性力等是 有势力。
(2-1)
因为:
dAn
co s 1dydz
2
则上式变成
p x1 2 d y d z p n1 2 d y d z 1 6d x d y d zx f 0
或
px
pn
1 3
fxdx0
dx趋于0时，第三项为无穷小，可以略去，故得：
px pn
同理可得: py pn pz pn
所以
px py pz pn
因为n的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止
流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。但是，
静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而
流体又是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连
续函数，即
pp(x,y,z)
§2-2 静止流体微分方程
一、流体平衡微分方程式
在静止流体中任取一边长为 dx，dy和dz的六面体流体微团，作用
作用在单位面积上的表面力称为应力.有切应力和正应力两 种。 ☆ 质量力作用于流体体积内的每一质点，是远距离作用力， 是空间点和时间的函数。 ☆ 表面力作用于流体周界的表面上，源于分子间的相互作用， 是表面点和时间的函数。 重力、惯性力、电磁力属质量力，压力、粘性力属表面力。 问题：表面张力、浮力属什么类型？
流体力学第2章水静力学--用
流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科 学。 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有 相对运动，达到了相对的平衡。
因此流体处于静止状E态va包lu括at了ion两o种n形ly.式： eated wi一th种A是sp流os体e对.S地lid球es无f相or对.N运E动T，3叫.5绝C对lie静nt止P，ro也fil称e 5.2.0
面积Δω，极限值即为该点的点静水压强，以小写英
文字母p表示 。
P dP
p lim
0 d
静水压强的两种表示法：
eate平d均w压ith强A：spose.pSlEidveaPslufaotrio.NnEoTnl3y..5 Client Profile 5.2.0 点压强：Coppyriglhimt 20P04-2d0P11 Aspose Pty Ltd.
dx
yo
x
由静平衡关系 Fx 0 有：
p 1 p dxdydz p 1 p dxdydz Xdxdydz 0
2 x
2 x
eat同ed理w，i对thyC,zA方osp向py可可or得si得ge：h：.St 2lEYZXi0dv0ea114s1lu-f2ppyzpaxo0tri1o00.01NnEAoTsn流也pl3y体称o..s5静 欧eC平拉Pl衡平itey微衡nLt分微tPd方分r.程方of式程ile，。5.2.0
说明：（1）在连通Ev的a同lua种ti的on静o止nl液y.体中，水平面必定是 eate等d压w面ith。Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
C（o2p）yr静igh止t液20体0的4-自20由11液A面s是po一s个e P水t平y L面tdy. eat命ed题w：it当h A四s面po体sOeA.BSCl无ide限s地fo缩r 小.N到ETO 3.5 Client Profile 5.2.0
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
流体力学_lecture2_前言_流体性质(1次课)详解
E
1
p
lim (
V 0
p V
/V
) V
lim
V 0
p V
V
dp dV
20
§1-2 前言
1 流体的性质
• 压缩系数及弹性模量的密度表达方式
– 质量守恒
V C
– 微分
dV Vd 0
P
d dp
1
dV Vd
E dp d
dV d
V
E 的单位：bar或Pa，与压强的单位相同
物理意义：相对变化率；E大p小不易压缩；
l 原油的动力粘度 0.021Pa s
轻油的动力粘度 0.0021Pa s
18
§1-2 前言
1 流体的性质
• 粘性
– 流体粘性的应用 是一切动力装置中不可缺少的
润滑——机床导轨 空气轴承——牙钻（20万转） 水润滑——冰块在冰上滑行 油轴承 汽轮机滑动轴承
铁路车辆滑动轴承 汽车轮胎的沟纹
三种温度的换算
Air
28.96 287
摄氏温度 t ，C
CO2 CO
44.01 188.9 28.01 296.5 开氏温度 T=273+t ，K
H2
2.016 4124 华氏温度 F=t9/5+32 ，F
O2
32.00 259.8
22
§1-2 前言
1 流体的性质
气体的弹性模量或体积压缩系数
等温压缩过程:T=c
上盘下表面切应力为 r
B点微元摩擦面积为
dA 2rdr
流体对微元表面的摩擦力
dF dA 2
r2dr
流体对微元表面的摩擦力矩 dT dF r 2 r3dr
流体力学课件 第2章流 体 静 力 学
24
p （ [ g sin a）y g cos z] p0
整理
g sin a p [ y z ] p0 g cos
a
等压面方程：
z o
y a
dp 0
f
g
g sin a y z C1 g cos
25
例 水车以 a=0.98m/s2向右行驶，求车内自由表面与水平面间的夹
A
pndA pdV
V
i j k x y z
矢量微分算子 （哈密顿算子）
：将封闭曲面积分转化为体积分，反之亦然。
9
F Fm FA
fdV pndA 0
V A
（f P）dV 0
积分得车内液体中压强分布：
a
g
p （ax gz） C a g（ x z） C g
自由液面上的0点: x=z=0；p0=pa
26
即： C=paຫໍສະໝຸດ apabsa pa g ( x z） g
g
2）确定Ｂ点的相对压强：
xB 1.5; zB 1.0
a PB pabs ( B ) pa g ( x z ) g
N
单 位 质 量 的 能 量
gz：单位质量流体所具有的位能； p/ρ：单位质量流体所具有的静压能。 只有重力作用的静止均质流体中，处于不同位置的 流体的位能和静压能各不相同，但总势能保持不变。 18
几个主要结论： 1）仅在重力作用下，静止流体压强随深度按线性增加：
P p0 gh p0 h
V
A
pndA
第02讲绪论-作用在流体上的力
⎧ f x ρΔV ⎪ ⎨ f y ρΔV ⎪ ⎩ f z ρΔV
再考虑表面力，设与坐标面平行的三个 表面上的平均压力分别为pxx、 pyy、 pzz，倾 斜面上的平均压力为，则各微元面积上的压 力为：
⎧ p xx△ACD ⎪ p △ABD ⎪ yy ⎨ ⎪ p zz △ABC ⎪ p△BCD ⎩
1气液两相街面上的表面张力气液两相街面上的表面张力液体中的气泡空气中的水滴在没有外力场作用下总是呈圆球形这表明在热平衡时液滴表面好像有一张紧的薄膜包裹着如果将界面分割成两部分则分割线上必有某种张力使界面处于平衡这种张力称为表面张力surfacetension
第二讲 绪 论（2）
(Introduction)
x 对于理想流体，不存在剪切应力，界面上允许流体有切向滑移，但流 y b
体不能穿透界面，即流－固界面上，速度在法线方向上的投影相等：
v ⋅ n = vb ⋅ n
v n = vbn
该式称为理想流体在界面上的不可穿透条 件(Impenetrable Condition )。
u x
3 作用在流体上的力
作用在流体上的力，按物理成因可分为惯性力、重力、粘性力、压力 和电磁力等。 按力的作用方式可分为质量力、表面力和表面张力等。
⎧ du ⎪− dt ρΔV ⎪ ⎪ dv ⎨− ρΔV ⎪ dt ⎪ dw ⎪− dt ρΔV ⎩
最后考虑惯性力，设微元四面体的运动速度在坐标轴上的分量为 u 、 v 、 w，则惯性力的分量为：
微元四面体所受各种外力应该平衡，各坐标轴方向的合力应该为 零：
du ⎧ f x ρΔV + p xx△ACD − p△BCD cos(n, x) − ρΔV = 0 ⎪ dt ⎪ dv ⎪ f y ρΔV + p yy△ACD − p△BCD cos(n, y ) − ρΔV = 0 ⎨ dt ⎪ dw ⎪ ⎪ f z ρΔV + p zz △ACD − p△BCD cos(n, z ) − dt ρΔV = 0 ⎩
流体力学课件第二章
2.2.2 平衡微分方程的积分
将式（2-2） 各分式分别乘以dx、dy、dz后相加，得到
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
上式等号左边是压强 p（x，y，z)的全微分
dp ( Xdx Ydy Zdz ) (2 - 7)
由边界条件z=z0，p=p0，定出积分常数 c p0 gz0
代回原式，得
p p0 g ( z0 z) p p0 gh (2 - 9)
或以单位体积液体的重量除式（2-8）各项，得
p c z g g
p z c g (2 - 10)
式中 p——静止液体内某点的压强； p0——液体表面压强，自由液面压强用pa表示； h——该点到液面的距离，称淹没深度；
流体平衡微分方程的全微分式 将式（2-5）代入式（2-7），得到
dp dU p U c 积分，得 不可压缩流体在有势的质量力作用下才能静止。
2.2.3 等 压 面
压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压 面，例如液体的自由表面。
等压面的一个重要性质是，等压面与质量力正交。
等压面上，p=常数
（2-11）
（3）平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的 变化，等值地传递到其它各点。 液体内任意点的压强
pB pA ghAB
在平衡状态下，当A点的压强增加△p，则B点的压强 变为 pB ( pA p) ghAB ( pA ghAB ) p
pB p (2 -12)
A点压强
pA pB ghAB ghAB 1000 9.8 1.5 14700 Pa
C点压强
pC pB ghBC ghBC 1000 9.8 2 19600 Pa
计算流体力学(中科院力学所)_第2讲-双曲型方程组
令：
R=u+
∫ ρ dρ
c
同理，沿特征线 ： 同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt = u c
2c R=u+ γ 1 2c S = u + γ 1
du c dρ + =0 沿特征线1： 沿特征线 ： dα ρ dα u 1 c S = + dρ 2 2 ρ 保持不变 dR / dα =
A sin x 0 ≤ x ≤ 2π u ( x,0) = 0 others ρ ( x,0) = 1; p( x,0) = 1
考虑一维无粘流动（ 方程）， 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下： ）流动状态如下：
xa ≤ x ≤ xb u ′( x), ρ ′( x) u, ρ = 0, ρ 0 (= const ) others
（3） ） C （2） ） （1） ）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小） 给定
x3 x1 = (u1 + c1 )(t3 t1 ) x3 x2 = (u 2 c2 )(t3 t 2 )
区域（ ），（ ），（4） 区域（2），（ ） 未扰动 区域（ ） 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
双曲型
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U +A =0 x t U = (u1 , u 2 ,......u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： 如果矩阵 可以被对角化： A = S 1 ΛS
U U + S 1 ΛS =0 t x S U U + ΛS =0 t x
流体力学课件：Chapter 2 基本方程
x
uxdydz
••
( 2）在y方向上流体质量差为：
u
y
y
)
dxdydz
3）在z方向上流体质量差为：
(u
z
z
)
dxdyd
z
y
4）六面体内流体质量减少量为
：
t
dxdydz
dx
O
微元体流动
dz
•
dy
u
x
(ux x
)
dx
dydz
x
根据质量守恒定律：质量减少量应等于流出流入六面体的流体质量差即：
t
dxdydz
若对上板施加力F，并使上板以速度U保持匀速直线运动， 则内摩擦力T = F。通过牛顿平板实验得出：
T AU h
其中h为两平板间的距离，A为平板面积。
因流体质点粘附于固体壁上，故下板上流体质点的速度为 零，紧贴上板的液体质点速度为U。当h及U不太大时，板 间沿法线方向的点流速可看成线性分布，即：
u y
根据牛顿第二定律 F = m a
有哪些力？ 如何推导？
随体导数
作用在流体上的力
一、质量力 质量力指作用在流体全部质点上并与受作用的流体质量
成比例的力。如重力、惯性力等。 在流体力学中，往往不直接用质量力，而用单位质量流体上 的质量力，简称单位质量力 。则：
f F m
二. 表面力 表面力是指作用于流体表面上并与作用表面积成比例的力。
擦力来抗拒此相对运动。
切应力τ的大小与流体的粘性以及沿运动垂直方向上的
速度梯度du/dy成正比——牛顿粘性定律
du
dy
3、牛顿流体与非牛顿流体 凡遵守牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，反之称为
流体力学 第2章 流体静力学
流体力学第二章流体静力学第二章流体静力学§2.1 流体静压强及其特征§2.2 欧拉平衡微分方程§2.3 重力场中流体静压强的分布§2.4 作用在平面上液体总压力§2.5 作用在曲面上液体总压力§2.6 液体的相对平衡一、本章学习要点:静止流体的压强特征。
流体平衡的微分方程—欧拉平衡微分方程。
流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、相对压强、真空压强、测压管水头等。
静止液体总压力力计算。
液体的相对平衡。
二、本章重点掌握:流体静压强的计算。
静止液体总压力计算。
重要概念:流体静力学流体的静止状态绝对静止相对静止（平衡）特点：流体内部质点之间没有相对运动流体静压强和动压强§2.1 流体静压强及其特性一. 概念静压强：静止流体的压力强度称为流体的静压强， 用单位面积上的压力来表示。
Oxz yA∆M(x,y,z)P∆平均压强：AP p ∆∆=压强（点M ）：APp A ∆∆=→∆0lim 单位：N/m 2，Pa ；1N/m 2＝1Pa 气压：bar,mbar ； 1bar ＝1000mbar换算关系：1bar ＝105 N/m 2二. 流体静压强的特性特征1——方向性:流体静压强p垂直指向受压面。
p 证明要点：Sp p n(1)因静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面；(2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
证明：在静止流体中取如图所示四面体Oabc ，分析作用在四面体上的力： dx dydz 特征2——大小性：静止流体内任一点的压强大小与作用面的方位无关。
xyz ac o b斜面abc 的法线：nn各面的面积：dA x ,dA y ,dA z ,dA ndA xdA ydA zdA n法线n 与x,y,z 轴的方向余弦：cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)xyz a co bdxdydz 表面力： zy p P x x d d 21⋅=xP zx p P y y d d 21⋅=yP yx p P z z d d 21⋅=zP nn n A p P d ⋅=nP zy x 61ρX F x d d d ⋅=质量力： zy x 61ρY F y d d d ⋅=zy x 61ρZ F z d d d ⋅=xyz a cobdx dydz xP yP zP nP 因四面体在表面力和质量力作用下处于平衡，故由∑Fx ＝0 :),cos(=+-x n x F x n P P 0d d d 61),cos(d d d 21=⋅+⋅-⋅z y x X x n A p z y p n n x ρzy x n An d d 21),cos(d = 0,,→∴dz dy dx nx p p =同理，由∑Fy ＝0： 由∑Fz ＝0：nz p p =当dx ，dy ，dz→0，即四面体Oabc 收缩至O 点时，有nz y x p p p p ===证毕！ny p p =xyz a cobdx dydz xP yP zP nP注意：❑静止流体中同一点在各个方向的压强相等，与方向无关；一般情况p=p(x,y,z)，即静压强是空间坐标的连续函数。
流体力学考试复习资料
第二讲流体动力学基础【内容提要】流体运动的基本概念：恒定总流的连续性方程，恒定总流的能量方程【重点、难点】恒定总流的连续性方程和能量方程的运用。
【内容讲解】一、流体运动的基本概念(一)流线和迹线流线是在流场中画出的这样一条曲线：同一瞬时，线上各流体质点的速度矢量都与该曲线相切，这条曲线就称为该瞬时的一条流线。
由它确定该瞬时不同流体质点的流速方向。
流线的特征是在同一瞬时的不同流线一般情况下不能相交；流线也不能转折，只能是光滑的曲线。
迹线是某一流体质点在一段时间内运动的轨迹，迹线上各点的切线表示同一质点在不同时刻的速度方向。
(二)元流和总流在流场中任取一微小封闭曲线，通过曲线上的每一点均可作出一根流线，这些流线形成一管状封闭曲面称流管。
由于速度与流线相切，所以穿过流管侧表面的流体流动是不可能的。
这就是说位于流管中的流体有如被刚性的薄壁所限制。
流管中的液(气)流就是元流，元流的极限是一条流线。
总流是无限多元流的总和。
因此，在分析总流前，先分析元流流动，再将元流积分就可推广到总流。
与元流或总流的流线相垂直的截面称过流断面，用符号A表示其断面面积。
在流线平行时，过流断面为平面，流线不平行则过流断面为曲面。
(三)流量和断面平均流速(四)流动分类1．按流动是否随时间变化将流动分为恒定流和非恒定流。
若所有的运动要素(流速、压强等)均不随时间而改变称为恒定流。
反之，则为非恒定流。
恒定流中流线不随时间改变；流线与迹线相重合。
在本节中，我们只讨论恒定流。
2．按流动是否随空间变化将流动分为均匀流和非均匀流。
流线为平行直线的流动称为均匀流。
如等直径长管中的水流，其任一点的流速的大小和方向沿流线不变。
反之，流线不相平行或不是直线的流动称为非均匀流。
即任一点流速的大小或方向沿流线有变化。
在非均匀流中，当流线接近于平行直线，即各流线的曲率很小，而且流线间的夹角也很小的流动称为渐变流。
否则，就称为急变流。
渐变流和急变流没有明确的界限，往往由工程需要的精度来决定。
第02章流体静力学(2013)详解
力学上，若存在某一个坐标函数f(x,y,z)，它对各坐标 的偏导数分别等于力场中的力在对应坐标轴上的分量 ，则该函数称为势函数或力函数，而这样的力称为有 势力。
流体力学
对不可压缩、均质流体，其密度为常数，由式(2-8) 得 d p d(W) 积分得 p W C
积分常数C由边界条件确定。设：p0和W0为边界点 上的静压强和势函数，即：
W p p 0 W 0
则得： 因此
C p 0 W0
p p 0 (W W 0 )
(2-9)
上式即为：不可压缩、均质流体平衡微分方程积分后
的普遍关系式。表明：不可压缩、均质流体要维持平
衡(或相对平衡)，只有在有势的质量力作用下，才有
可能。任一点上的压强等于外压强p0 ，与有势的质 量力所产生的压强之和。
应用上式就可求出静止重力液体中任一点的静压强。
流体力学
二．等压面
静止(绝对静止)、均质流体的水平面是等压面。
位于同一淹没深度的各点静压强值相等，故为一等压 面。 对于静止流体，若表面为自由表面(大气压强)，则这 一自由表面为一水平面(等压面与质量力垂直)，所以 ，静止重力液体中的等压面也一定是水平面；反之， 静止重力液体中，任一水平面都是等压面。
流体力学
由力的平衡分析，得欧拉平衡微分方程
fx
1 ρ
p x
fy
1 ρ
p y
fz
1 ρ
p z
写成矢量形式：
0
0
0
(2-3)
f 1 p 0
(2-4)
式中为哈密 顿算 子i (为矢j量 ， k符合矢量的计算法则)，
x y z
流体力学
欧拉平衡微分方程表明：处于平衡状态的流体，压强 的变化率与单位质量力间的关系。或：对于单位质量 的流体来说，质量力分量(fx，fy，fz)和表面力分量 ( 1 p , 1 p , 1 p )对应相等。
第二节 流体力学
2 gh 2 2 S1 S 2
质量流量
应用举例3
h
比多管
测量流速的仪器
密度为的液体在管中流动 A：
A
B
v A , PA
B：
vB 0, PB
PB PA gh
p A v A pB
1 2 2
v A 2 gh
应用举例4 虹吸
P
h1
h2
v2
P2
QV
v1
P1
1 2 1 2 P v1 P2 v2 1 2 2
§1.2 黏性流体的流动
一、流体的黏滞性
实际流体 存在内摩擦力 能量损耗 流体的黏滞性 任意截面上各点的速度不同
黏滞性的机理 黏性定律
dv f S dz
f 为层与层之间内摩擦力
S为层与层之间接触面积
dv dz 速度梯度
s或 s/m2 为比例常数，黏滞系数 单位为Pa· N· 或泊（poise）。
＝（ ）gr 2 / 9vT 2
测量
4 r 3 g 3
、 、r、vT
庐山三叠泉
贵州黄果树瀑布
四川九寨沟
张家界金鞭溪
四、层流和湍流
当流速缓慢时，流体流动可视为分层流动，不同 流层流速不同，与固体接触的流层，流速为零。
当流速增加到一定程度，层流消失，流动紊乱， 出现横向速度，甚至还有逆流称为湍流
一、理想流体
无粘滞性 不可压缩性
二、定常流动、流线和流管
不定常流动： 稳定流动:
v v x, y, z, t v v x, y, z
二、定常流动、流线和流管
定常流动 流线
u1 A2 A1 u2
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流体所受力只有重力时：
X lim dFx dM dm
Y lim dFy dM dm
Z lim dFz dM dm
X Gx m 0 Y Gy m 0 Z Gz m g
2、表面力
作用在流体体积表面上，大小与面积成正比；需要有物 理接触。如：流体间的摩擦力、压力及固体表面对流体 的压力
py pyxnx pyyny pzznz
pz pzxnx pzyny pzz nz
二、表面力
应力矢量pn
pn n P
外侧法向 单位矢量
应力张量 P
P
pxx pyx
pxy pyy
pxz pyz
pzx pzy pzz
应力张量P具有对称性 ，即 pij p ji
张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是 零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二 阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的 张量用图形无法表达。
• 5 水的动力粘度µ随温度的升高：a增大；b减小； c不变；d不定
• 6 流体运动粘度的国际单位是：a m2/s; b N/m2; c kg/m; d N.s/m2
• 7 理想流体的特征是：a 粘度是常数；b 不可压缩；c 无 黏性； d 符合 p RT
• 8 当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：a 1/2000000; b 1/10000; c 1/4000; d 1/2000.
C
6
P 2B 4 A
例题4 应力张量由：
pn
9 , 7
5, 7
10 7
3xy 5y2 0 P 5y2 0 2z
0 2z 0
给出，求作用于平面上M点
在M点与圆柱面
2相,1,切3
的应力矢量，该平面
y2 z2 4
pn
5 2
,
3,
3
例题5
应力张量由：
认为流体在质量力及表面力作用下
• 计算题： • 1 水的密度为1000kg/m3,2L水的质量和重量是多少？ • 2 体积为0.5m3的油料，重量4410N， 试求该油料的密度。 • 3 某液体的动力粘度为0.005Pa.s，其密度为850kg/m3，
试求其运动粘度.
（1）法向力与法向应力
p P A
p lim P AA A
（2）切向力与切向应力
T
A
lim T
A A A
二、表面力
pn pnn
pn pxzpxy
-px pxx px
应力矢量pn在法向上的分量pnn
pnn pn n
pn pxnx pyny pznz
px pxxnx pxyny pxznz
F
P
处于平衡状态 F P 即：
3xy 5y2 0 P 5y2 0 2z
0 2z 0
试求质量力的表达式pxx xpxy ypxz zFx
0
p y x x
p y y y
p y z z
Fy
0
pzx
x
pzy y
pzz z
Fz
0
F 1 13 y,2,0
• 练习题
• 1 按连续介质的概念，流体质点是指： • a 流体分子；b 流体内的固体颗粒； • C 几何特点；d几何尺寸同流动空间相比是极小量，
又含有大量分子的微元体
• 2 作用于流体的质量力包括：a压力；b摩擦阻力； c重力；d表面张力
• 3 单位质量力的国际单位是：a N;b Pa; c N/kg; d m/s2
• 4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素：a 切应力 和压强；
• b 切应力和剪切变形速度； c切应力和剪切变形； d切应力和流速
7 0 2
单位法向矢量
3 3 3
P
0
5
0
垂直的平面上的应力矢量pn
2 0 4
(2)垂直于该平面的应力矢量分量；
(3)n与pn间的夹角
pn
4,
- 10 , 3
0 ,
44
pnn
, 9
20
例题3
7 5 0
已知P点的应力张量为： P 5 3 1
0 1 2
求图示P点平行于ABC 平面上的应力矢量
主要内容
第二讲
重点
1、流体的应力特性
1、第一章 绪论：4、作用 在流体上的力
难点
1、流体的应力特性
第一章 绪论
四、 作用在流体上的力
1、质量力
作用在每个流体质点上与质量成正比的力；没有物理
接触，如：重力、离心力、惯性力。 均质流体中质量力又称为体积力，为什么？
dF f lim
dM dm
单位质量力的轴向分力
例题1
流体内某处的应力张量P为：
P
0 1
1 2
2 0
2 0 1
x3y z 1
试问作用于平面
外侧（离开原点的一侧）上
的应力矢量是什么？这个平面上应力向量的法向和切向分量
是什么？ 例题2
pn
1 5 7
11
3
29 pnn 11
62 pn 11
已知P 点的应力张量为： 求（1）P点与 n 2 , 2 , 1