第二章 复变函数的导数

y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim x 0 z 0 z z 0 x iy z y 0
lim
当点沿平行于实轴的方 向 (y 0)而使z 0时,
当点沿平行于虚轴的方 向 lim f lim f ( z z ) f ( z ) lim y 1 , z 0 z z 0 y 0 x iy z i x 0 (x 0)而使z 0时,
0
z A) 那 末 称 A 为 f ( z ) 当 z 趋 向 于z0 时 的 极 限 . 记作 lim f ( z ) A. (或 f ( z ) z z z0
. 注意: 定义中z z0 的方式是任意的
y
(z)
w f (z)

v
(w)

A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
令 ( z )
则
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z
z 0
lim ( z ) 0, 因为 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z (z )z,
lim f ( z ) 不存在.
z 0
证 (二) 令 z r (cos i sin ),
则 f (z)
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时 ,
r cos cos , r f ( z )趋于不同的值 .
例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时 , f ( z ) 1, π f ( z ) 0, 沿 arg z 趋 于 零 时 , 2 故 lim f ( z ) 不存在.
故 由 极 限 的 定 力 知 lim|f(z)| |A|
例2.2 证明 f(z) e , 在 z 0 时极限不存在
1 z
z z0
2
2.1.2 极限计算的定理 定 理 : 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 , z0 x0 iy0 ,
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例6： 证
证明: 如果 f ( z) 在 z0 连续 , 那末 f ( z) 在 z0 也连续 .
设 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ), 则 f ( z ) u( x, y) iv( x, y),
由 f ( z ) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续 , 于是u( x, y) 和 v( x, y) 也在( x0 , y0 )处连续 ,
dw dz f ( z ) f ( z0 ) lim . z z0 z z0
那末就称f ( z ) 在z0可导（或可微） .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0 的导数 ,
记作 f ( z 0 )
z z0
. 在定义中应注意: z z0的方式是任意的
若 记 z z0 z , 则 得 到 f ( z0 ) 的 另 一 种 表 达 形 式 f ( z0 z ) f ( z0 ) z f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导 , 我们就称 f ( z ) 在区域内D 可导.
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例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解 : f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
x x0 y y0
lim v ( x , y ) v0 .
定 理： 设 li m f ( z ) A, li m g ( z ) B , 那 末
z z0 z z0
(1) li m[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) li m[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) li m ( B 0). z z0 g ( z ) B
lim
sinxchy sinx0chy0 ,
( x , y )( x 0 , y0 )
lim
cos xshy cos x0 shy0 ,
所以 lim sin z sin x0 chy 0 i cos x0 shy0 sin( x0 iy0 ) sin z0 .
z z0
1
例1 : 证明 若 lim f(z) A, 则 lim |f(z)| |A|
z z0 z z0
证 明: 因 为 lim f(z) A, 所 以
z z0
对任意给定的 ε 0， 存在正数 ( ) ,当 满 足0 |z-z0| δ(ε)时 不 等 式
| f ( z ) A | 成立 又因为 |f(z)|-|A| f(z)-A
Re (z ) 当 z 0 时的极限不存在 . 例3: 证明函数f ( z ) z x , 证 (一) 令 z x iy, 则 f ( z ) 2 2 x y
u( x , y )
x
x y
2
2
, v ( x , y ) 0, 当 z 沿直线y kx 趋于零时 ,
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x lim 2 limu( x , y ) lim lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x ( 1 k 4) x y x ( kx) y kx y kx
故 f ( z) 在 z0 连续.
复平面上有界闭区域R 上连续的函数w=f(z) ,它的模| f(z)|在R 上 一定有界
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2.3 导数
定义: 设函数w f ( z ) 在包含 z0 的某区域 D 内有定义 , 如果
极 限 lim
z z0
2.3.1 导数的概念
f ( z ) f ( z0 ) 存 在, z z0
那末称A 为 z 时f ( z )的广义极限 .
1 时, 就 有 不 等 式 δ(ε)
lim f(z) 的定义为
如果对任意给定的 M 0， 总存在正数 ,当满足 |z z0| 时, 就有不等式
z z0
| f ( z ) | M 成立
那末称 f(z) 在 z z0 时趋于 .
1 例如：设 f ( z ) ，则由定义可以证明 z
lim f ( z ) , lim f ( z ) 0,
z 0 z
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2.2 函数的连续性
定义： 如 果 lim f ( z ) f ( z0 ), 那 末 我 们 就 说f ( z ) 在 z0 处 连 续 .如果
z z0
例1： 由上节我们知道z z0
所以 cosz 在z0处连续
例2： 证明函数 sinz 在整个复平面连续
证明：设 z=x+yi, z0=x0+y0i为复平面上的任一定点
因为 sin z sin(x yi) sinxchy i cos xshy
( x , y ) ( x 0 , y0 )
2.1 复变函数的极限
2.1.1 复变函数极限的概念
定 义 : 设 函 数w f ( z ) 定 义 在z0 的 去 心 邻 域 0 z z0 内, 如 果 有 一 确 定 的 数 A 存 在, 对 于 任 意 给 定 的 0, 相 应 地 必 有 一 正 数 ( )使 得 当 0 z z0 (0 )时, 有 f (z) A
lim
u( x, y ) cos x0chy0 , lim
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
vu( x , y ) sinx0 shy0 ,
所以
( x , y ) ( x 0 , y0 )
cos z cos x0chy0 i sinx0 shy0 cos z0 .
( z 2 ) 2 z
例2: 讨论函数 f(z)=Im(z)的可导性 解:
f f ( z z ) f ( z ) Im(z z ) Im z Im z Im z Im z z z z z y Im z Im(x iy ) , x i y x iy z
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)对复平面内的所有点z 都是连续的 ;
P( z) , 其 中P ( z ) 和 Q( z ) 都 是多 项 式 , (2) 有理分式函数 w Q( z )
在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 例3： 讨论初等函数：secz, cscz, tanz, cotz, shz, chz的连续性。 例4： 讨论函数argz 的连续性。 例5： 讨论函数Lnz 的连续性。
由于z0是复平面上的任一定点，故 sinz在整个复平面上连续
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2.2.2. 复变函数 连续的定理 定理： 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商
(分母在z0 不为零 ) 在 z0 处仍连续 .
定理： 如果函数h g( z )在 z0 连续, 函数 w f (h)在h0 g( z0 ) 连续, 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 z0 处 连续.
z0
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在扩充复平面上，可以定义以下广义极限
lim f(z) A,
z
lim f(z) ,
z z0
lim f(z) ,
z
f(z) A 的定义为 例如 lim z
如果对任意给定的 ε 0， 总存在正数 ( ) ,当 满 足 |z|
| f ( z ) A | 成立
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
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例3: 证明 函数 f (z)在z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. , 证：根据在z0 可导的定义 使得当0 | z | 时, 0, 0,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 有 f ( z0 ) , z
x
x
lim u( x , y ) lim
x0 y kx
x 0
x 1 , 2 2 2 x (1 k ) 1 k
lim v ( x , y ) 0,
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u( x , y ) 不存在,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知,
与实变函数的极限运算法则类似.
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例2 : 求极限 lim cos z
解： 因为 cos z cos(x yi) cos xchy i sinxshy
z z0
若取 u(x,y) cos xchy, v(x,y) sinxshy, z0 x0 iy0 , 则有
( x , y ) ( x 0 , y0 )
那 末 lim f ( z ) A 的 充 要 条 件 是 lim u( x , y ) u0 ,
z z0 x x0 y y0
该定理将求复变函数 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x, y ) 和 v( x, y ) 的极限问题 .
2.2.1. 复变函数 连续的概念
f ( z ) 在 区 域D 内 处 处 连 续 , 我 们 说 f (z) 在 D 内 连 续 .
函数 f ( z ) 在曲线 C 上 z0 处连续的意义是 lim f ( z ) f ( z0 ), z C . z z0 lim cos z cos z0 .