高中数学几何体与外接球问题常见解法
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专题 几何体与外接球专题复习
1
夯实基础
球的体积公式 球的表面积公式
V 4 R3
3
S 4 R2
球的截面圆圆心与球心的位置特点
O
Rd
r O'
Pwk.baidu.com
2
正方体和长方体的外接球球心在体对角线线的中点
A
O C
P
B
设正方体的边长为a,则有（2R）2 3 a2
设长方体的长、宽、高分别为a b c
则a2 b2 c2 (2R)2 3
D
法一：补形法
法二：构造直角三角形法
法三：向量法
A
C
B
活学活用，开阔思维9
练习巩固
练习2 如图，在四面体ABCD中，
AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ，
求其外接球的表面积。
A 5D
A 5
10
10
13 13
C
D
10
10
13
13
C
B
5
5 B
R 14 , S 4 R2 14
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、构造直角三角形法 3、向量法
12
13
练习1
D
A
D
A
C
C
B
R= 6 , 4
B
S 4 R2 3
2
14
练习1 A
D D
R
1
6
C E
B
R
O
3
6 R
3
A
E
3
3
AO2 AE2 OE2
R 6 , S 4 R2 3
4
2
15
练习4
P Q
C A 2
D B
P
Q
R
2
O
R
A
2
D
R 5
活学活用，开阔思维16
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。 5
方法介绍
基本步骤：
法二： 构造直角三角形
A Q
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
2
P
1
C
1
D
B
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
6
方法介绍
法三： 向量法
2 z2 x1
x2 ,y
1
( ,
y z
1)2 1
z
2
22
uuur 所以 R=|OP|=
6
2
7
方法总结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法（关键在于放到长方体、正方体中） 2、构造直角三角形（关键在于找到底面 三角形的外心） 3、向量法（建立空间直角坐标系）
8
练习巩固
练习1 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
2
活学活用，开阔思维10
练习巩固
练习3 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维11
学习小结
设外uu接ur 球u的uur球心uuu坐r 标u为uur ：O(x,y,z)
由 | OP || OA || OB || OC |可得：
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x2 y2 z2 x2 y2 (z 2)2
x2
y2
z2
(x
1)2
y2
z2
C
y
x
2
y
（0,1,0）解得：
方法介绍
例1 已知在三棱锥P-ABC中，
PA PB, PB PC, PC PA,且PA 2PB 2PC 2
求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P
C
B
4
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
R= 6 , S 4 R2 6
2
A
2
2
P
1
C
1
P 1
1
夯实基础
球的体积公式 球的表面积公式
V 4 R3
3
S 4 R2
球的截面圆圆心与球心的位置特点
O
Rd
r O'
Pwk.baidu.com
2
正方体和长方体的外接球球心在体对角线线的中点
A
O C
P
B
设正方体的边长为a,则有（2R）2 3 a2
设长方体的长、宽、高分别为a b c
则a2 b2 c2 (2R)2 3
D
法一：补形法
法二：构造直角三角形法
法三：向量法
A
C
B
活学活用，开阔思维9
练习巩固
练习2 如图，在四面体ABCD中，
AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ，
求其外接球的表面积。
A 5D
A 5
10
10
13 13
C
D
10
10
13
13
C
B
5
5 B
R 14 , S 4 R2 14
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、构造直角三角形法 3、向量法
12
13
练习1
D
A
D
A
C
C
B
R= 6 , 4
B
S 4 R2 3
2
14
练习1 A
D D
R
1
6
C E
B
R
O
3
6 R
3
A
E
3
3
AO2 AE2 OE2
R 6 , S 4 R2 3
4
2
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练习4
P Q
C A 2
D B
P
Q
R
2
O
R
A
2
D
R 5
活学活用，开阔思维16
1
C
B
B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。 5
方法介绍
基本步骤：
法二： 构造直角三角形
A Q
1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
2
P
1
C
1
D
B
A
Q
R
2
O R= 6
R
2
P
D
2
2
6
方法介绍
法三： 向量法
2 z2 x1
x2 ,y
1
( ,
y z
1)2 1
z
2
22
uuur 所以 R=|OP|=
6
2
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方法总结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法（关键在于放到长方体、正方体中） 2、构造直角三角形（关键在于找到底面 三角形的外心） 3、向量法（建立空间直角坐标系）
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练习巩固
练习1 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
2
活学活用，开阔思维10
练习巩固
练习3 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底
面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外
接球的半径。
z P（0,0,2）
球心坐标（1, 3,1）
（A 0,0,0）
C（-1，3,0）
y
R 5
（B 2,0,0） x
轴截面法 活学活用，开阔思维11
学习小结
设外uu接ur 球u的uur球心uuu坐r 标u为uur ：O(x,y,z)
由 | OP || OA || OB || OC |可得：
z A（0,0,2）
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x2 y2 z2 x2 y2 (z 2)2
x2
y2
z2
(x
1)2
y2
z2
C
y
x
2
y
（0,1,0）解得：
方法介绍
例1 已知在三棱锥P-ABC中，
PA PB, PB PC, PC PA,且PA 2PB 2PC 2
求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P
C
B
4
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
R= 6 , S 4 R2 6
2
A
2
2
P
1
C
1
P 1