高考数列专题总结(全是精华)

数列专题复习（0929）

一、证明等差等比数列

1． 等差数列的证明方法：

（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）定义法：

1

n n

a q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥

例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75， T n 为数列｛

n

S n

｝的前n 项和，求T n ． 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则

S n =na 1＋21

n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+,

57,1311d a d a

解得a 1＝－2，d ＝1．∴

n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋2

1

（n －1）． ∵

2111=-++n S n S n n ，∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为2

1

， ∴T n ＝

41n 2－4

9

n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列；

解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=t

t

a a t t 323,32312+=

+ 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ①

3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴

t

t a a n n 33

21+=

-，（n =2，3，…） 所以{a n }是一个首项为1，公比为t

t 33

2+的等比数列.

练习：已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；

答案 .(2) 21

3

n n T -=,21

3

1n n a -=-;

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

(2)累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(1121+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n

分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 1

11-=-

211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴

（3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+

例4．已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈

求数列{}n a 的通项公式；

解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=

即

*21().n n a n N =-∈

例5．已知数列{}n a 中，11a =,1111

()22

n n n a a ++=+，求n a . 解：在1111

()22

n n n a a ++=

+两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++⋅=⋅+ 令2n

n n b a =⋅，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=-,所以1

22

n n n n b n a -=

=.

练习:已知数列}a {n 满足）（2n 12a 2a n

1n n ≥-+=-，且81a 4=。

（1）求321a a a ，，； （2）求数列}a {n 的通项公式。

解： （1）33a 13a 5a 321===，，

（2）n 1n n n 1n n 2)1a (21a 12a 2a +-=-⇒-+=--

1n 21a 121a 21a n

n 1

n 1n n

n +=-⇒

+-=

-⇒

--

∴12)1n (a n

n ++=

（4）利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例6．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解：

22(1)

4

2

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当

1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通

项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

2．设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333

n n n S a +=-⨯+，1,2,3,

n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：

1

32

n

i i T =<

∑ 解：（I ）

2111412

2333a S a ==-⨯+

，解得：12a = ()21111441

22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+

所以数列

{}

2n

n a +是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+⨯

得：42n n

n a =- （其中n 为正整数）

（II ）()()()1114124122

242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪

----⎝⎭

所以：

11

1

3113

22

1212n

i n i T +=⎛⎫=⨯-<

⎪--⎝⎭∑

（5）累积法 n n a n f a )(1=+ 转化为)(1

n f a a n

n =+，逐商相乘. 例7．已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n

a 1

1+=+，求n a 。 解：由条件知

1

1+=+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n

n 1

433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=

a ，n

a n 32

=∴ 练习：1.已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ，求n a 。 解：13(1)13(2)132131

3(1)23(2)232232

n n n a a n n ----⨯--=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+-+⨯++

3437

52633134

8531n n n n n --=

⋅⋅⋅⋅=---。

2．已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)， 则{a n }的通项1

___n a ⎧=⎨

⎩ 12

n n =≥