2006—2007学年第二学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)

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(完整word版)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-，则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)

由，得的特征值，
属于对应的特征向量为，单位化：，
属于对应的特征向量为，单位化：，
取，则有。
八、（本题8分）证明：由
得的特征值，
，
故的最大特征值是。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由，得：，
可逆，故；
由于，。
五、（本题14分）解：（1）令，，
则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量线性相关，
若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（）。
（A）（B）
（C）（D）无法比较与的大小
5、设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算阶行列式，的主对角线上的元素都为，其余位置元素都为，且。
四、（10分）设3阶矩阵、满足关系：，且，求矩阵。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r

线性代数2007答案

重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年第2学期一、填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8．已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性无关；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。

三、计算题（一）（8分/每小题，共24分）1．计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。

(完整)线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ，则排列12j j j n 的逆序数是（）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

06-07线性代数试题答案

2006 – 2007学年第二学期《线性代数B 》试卷参考答案及评分标准一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．481； 2．-1； 3．n -2； 4．0211-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 5．9； 6．t<二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．[B]； 2．[C]； 3．[A]； 4．[D]； 5．[C]； 6．[B]．三、解答题（共5小题，每小题9分，满分45分）1. 计算4阶行列式3222232222322223D=.解12221322912321223D = ……………(6分)122201009001001= =9. ……………(9分)2．设向量组α1=(1,0,2,1)T ，α2=(1,2,0,1)T ，α3=(2,1,3,0)T ，α4=(2,5,-1,4)T ，(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3) 把不在极大无关组中的向量用这个极大无关组线性表示.解由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0011005120221140111302512022114321),,,(αααα，则α1，α2，α3，α4线性相关，向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，且α1，α2，α3，（α1，α2，α4，；α2，α3，α4）为一个极大无关组故 α4=α1+3α2-α3.3.设向量α1=(1,2,1)T 和 α2=(1,1,2)T 都是方阵A 的属于特征值λ＝2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A 2β.解 A β=Aα1+2Aα2=2α1+4α2=2β， ……………(5分)2123442244145A A ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥===+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭βββ2.4．设3阶方阵A 、B 满足AB =2A +B ，其中 20204022B ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求A . 解由AB =2A +B 可得A (B -2E )=B ,而12341122100102150103(,,,).2031001111400αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B -2E =00202020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可逆，所以1101(2)02011A =B B E -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5. 已知线性空间R[x ]3={a 0+a 1x +a 2x 2| a 0,a 1,a 2∈R}， (1) 证明 1，1＋x ，(1＋x )2是R[x ]3的一个基； (2) 求由基1，x ，x 2到基1，1＋x ，(1＋x )2的过渡矩阵. 解 (1)向量组的坐标向量1231110,1,2001ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关,所以1，1＋x ，(1＋x )2线性无关,故是R[x ]3的一个基(2)又由于22111(1,112)(1,,)0121x,+x+x x x ⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 故由基1，x ，x 2到基1，1＋x ，(1＋x )2的过渡矩阵为1110121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.四、（本题满分9分）设线性方程组(Ⅰ)1231232123 0,30,90x x x x ax x x a x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与(Ⅱ) x 1+3x 2+3x 3=a -3有公共解，求a 的值和所有的公共解.解由于方程组(Ⅰ)的系数行列式2111132(1)(3),19D a a a a==--当 a ≠ 1且a ≠ 3 时，方程组(Ⅰ)仅有零解，此时方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ)不同解，因而没有公共解．当 a = 3时，解方程组 (Ⅱ) 是方程组 (Ⅰ) 的第2个方程，所以只需解方程组(Ⅰ)即可得它们的所有的公共解，解之11111110013302201119908800⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得公共解为12301,.1x x k k R x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当a =1时，解方程组(Ⅰ)1111111101130020011190800⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得方程组(Ⅰ)的通解为12311,.0x x c c R x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将方程组(Ⅰ)的通解代入方程组 (Ⅱ) 得 c = -1，此时解方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为11.⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x……(9分)10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=x T Ax 的秩为2，且α1=(1,0,0)T 是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T 是(A-6E)x=0的解.(1) 求矩阵A的特征值与特征向量；(2) 用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.解(1) 由α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0,-1,1)T 是(A-6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的两个特征值为λ1=2，λ2=6，其对应的特征向量依次为α1=(1,0,0)T，α2=(0,-1,1)T．又由于实二次型f(x1,x2,x3) 的秩为2，所以A的另一个特征值为λ3=0，设其对应的特征向量为α3=(x1,x2,x3)T，则有(α1，α3)=0，(α2，α3)=0,即1230, 0.xx x =⎧⎨-=⎩解得特征向量为12301,01x x k k x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k 为任意常数. ……(6分) (2)取 1231000,1,1,011c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦单位化得123100110,1,1,011p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦令 P = (p 1 , p 2 , p 3)10110110,⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎢⎢⎥⎢⎣则P 为正交矩阵，故x =Py 为正交变换，该变换将二次型化成标准形为f (x 1,x 2,x 3)=2y 12+6y 22. ……(8分)(3)由于⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==21210212100010000600022121021210001TPP A Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33330002故所求的二次型为f (x 1,x 2,x 3)=2x 12+3x 22+3x 32-6 x 2x 3. ……(10分)。

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

线性代数试卷及答案(最新整理)

4．下列不是 n 维向量组1,2 ,...,s 线性无关的充分必要条件是（ A ） ( A) 存在一组不全为零的数 k1, k2 ,..., ks 使得 k11 k22 ... kss O ；
第1页共6页
(B) 不存在一组不全为零的数 k1, k2 ,..., ks 使得 k11 k22 ... kss O
解.――――（6 分）
(3) 当 p 2时, 此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
2 1
1 1
1 1
0 0
3 3
3 3
33
0 0
1 0
1 0
1 0
1 0 1 1
0 0
1 0
1 0
01 （8分）
故原方程组与下列方程组同解:
( A) 充分非必要条件；
(B) 必要非充分条件；
(C) 既非充分又非必要条件；
(D) 充分必要条件；
二．填空题（每小题 3 分，共 18 分）
0004
0043
1．计算行列式
。
0432
432 1
1 0 0 1 2 3 1 0 0
2.
0 1 0 4 5 6 0 0 1 _______________________。
5 5
4 5 15
2 3
T 1,2,3
25 5
2 5 15
1 3
0
5 3
2 3
3
则T
是一个正交矩阵，且 T
1 AT
3
。――――（14
分）
6
七．证明：(1) 因为 ( A AT )T AT ( AT )T A AT , 因此 A AT

06级旅游管理《线性代数》期末考试(A)卷答案及评分标准

1、互换行列式的两行（列），行列式的值不变。(×)
2、若A为n阶可逆方阵，为常数，则|A|=|A|。(×)
3．若r(A)<n时，则n元齐次方程组AX=0任意n-r(A)个线性无关解向量都是它的一个基础解系.。()
4．若v1,v2,…,vk是两两正交的非零向量组，则v1,v2,…,vk线性无关。()
5、n级对称方阵A为负定的充要条件是A的各阶顺序主子式都为负。(×)
海南师范大学地理系
旅游管理专业《线性代数》
2006—2007学年度第二学期期末考试（A）卷答案及评分标准
注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚
2. 所有答案请直接答在试卷上
3．考试形式：闭卷
4. 本试卷共6大题，满分100分，考试时间120分钟
Hale Waihona Puke 题号一二三
四
五
六
总分
统分人
复查人
得分
得分
评卷人
复查人
一、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分。分别判断下列命题是否正确,正确的在其后面括号内填上“”,不正确的在其后面括号内填上“×”，填错或未填均无分）
所以属于=1的全部特征向量是是任意常。（10分）
2.设实二次型，
⑴用非退化的线性替换，把二次型(x)化为标准型；
⑵指出二次型(x)的正惯性指数、负惯性指数和符号差；
解：⑴
（3分）
令 ,即 ,（5分）
则（7分）
⑵二次型(x)的正惯性指数为2,负惯性指数为2,
符号差为0。（10分）
得分
评卷人
复查人
3、解线性方程组：；
解：
（4分）
方程组可化为 ,（6分）
令 (c1,c2为任意常数),则方程组的解为：

2007年-2012年线性代数(经管类)总试题+答案

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵，且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A． 2．设矩阵A =（1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ） A ．ACBB ．ABC C ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(TTTTTTTA A A AA AA A --=-=-=-，所以A －A T为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a ，则A *=（ A ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c dC ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--50043200101，则A 中（ D ） A ．所有2阶子式都不为零 B ．所有2阶子式都为零 C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1(1,0,2)T+k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T+k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T+k (2,-1,5)TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T)1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1,0,2)T +k (0,1,-1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ B ） A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E)3(000111)3(2-=-=λλλλλ，非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ） A ．4B ．3C ．2D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000011100001000000000011110001000100011111A ，秩为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__．行成比例值为零． 12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A AA A TT ．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=，则矩阵B 的秩r(B )= __2__． E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100，r(B )=2． 15．向量空间V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2为实数}的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__． 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为__0__． 0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+．秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+． 20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ． 011>=∆，0121112>-=-=∆a a，0)1(33021113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算3阶行列式767367949249323123．解：0760300940200320100767367949249323123==． 22．设A =　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ．解：　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100010001523012101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---103012001220210101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012001200210101 →　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12701200220210202→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----127115125200010002→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/510010001， =-1A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α，T )2,4,2,2(2--α，T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α．（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103001．（1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11100011110011A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为TTk k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221，求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵．解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ．对于11-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ；对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ；单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ．四、证明题（本大题6分）27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ，其中000332312=-=a a A ，0002213=-=a A ，00121123=-=a a A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-333222312111100||1A A A A A A A A 是上三角矩阵．全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ A ）A ．-2B ．21-C ．21 D ．22．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T，则必有（ A ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B B T -=D ．B =0B AA A AA AA A BTTTT TTT T=+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(1021011222=-+=++=++t tt ttt ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3，则（ D ） A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A )= 秩(D )=1． 9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C ） A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ．10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A AA AATT．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __-2__．2421132-=-=A ．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__．521)2,1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A T．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001，秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β，则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__． 0|0|=-A E ，所以0||=A ，即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=2112112的值．解：4)26(2123211212302112112=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ．23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A )=1；（2）秩(A )=2．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--90000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00090003121a ．（1）9=a 时，秩(A )=1；（2）9≠a 时，秩(A )=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00014202611，秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1．解：2)1)(2(31104)1(163310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1．四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关．证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ） A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =（ D ） A ．2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ．5．设向量组s ααα,,,21 线性相关，则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++D ．)()(212121121ββC αC ββ+++-)(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系．8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2,2,3，则=-||1B （ A ） A ．121B ．71C ．7D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，1230020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为（ B ） A ．23-B ．32-C ．32D ．230|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-．10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ C ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023． 12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛002520310，则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250． →),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********200→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00113001020010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00113025020010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333022001，则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006． ==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ． 14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ，它们的秩相等． 15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31． 16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α，T )1,1,0(=β，则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ， ⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41．2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆，031322>-==∆aaa ，0)3(00010323>-==∆a a aaa ⇒30<<a ．20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：630102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求（1）矩阵βαT ；（2）向量α与β的内积),(βα．解：（1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；（2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01102P ，令21AP P B =，求1-B．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-011012P ， 111121----=P AP B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------070070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------000070041202311，秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2112113111aa a A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----a a a a a 11010103111，1=a 时，方程组有无穷多解；（2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000002111，⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量．解：10010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α，对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +（21,k k 是不全为零的任意常数）．四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．全国2008年1月自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答

广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90 学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分） 1. (,)(1,2) 22 lim 2 x y xy xy ® +- = - 14. 2.设 2sin z x y = ,则 2zx y¶ = ¶¶ 2cos x y .3.函数 3 x z y e = 的全微分dz = 32 3 x x y e dx y e dy + .4.若 243 (,)2 f x x x x x =++ , 22 1(,)221 f x x x x ¢ =-+ ,则 22 (,) f x x ¢ = 2 221 x x ++ .5.改换积分次序: ln 10 (,) exdx f x y dy =òò 1 0(,) y eedy f x y dx òò .6.平面 1 x y z ++= 在第一卦限部分的面积等于 32. 7.设L 为圆周 222 x y a += ,则 ò =+ Lds y x ) ( 2 2 32 ap .8.若级数 1n n u ¥= å 条件收敛，则级数 1|| n n u ¥= å 的敛散性为：发散 .9.函数 1 1() x n f x n ¥= = å 的定义域为x Î (1,) +¥ .10.若 2 ()2ln 0 y f x dx y xdy += 为全微分方程,则 () f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知 ) , ( y x f z = 是由方程 0 ze xyz -= 确定的隐函数, 求 x z ¶ ¶ 和 2 2 xz¶ ¶ .解: 0 zz ze yz xy x x¶¶ --= ¶¶ z z yz x e xy¶ = ¶- ………………………………………………………4分 2 22 ()()()z z x x z yz e xy yz e z y z x e xy --- ¶ = ¶- ………………………………6分 2322 322 ()z zz y ze xy z y z e e xy -- = - ……………………………………7分 2.求曲面 222 236 x y z ++= 在点(1,1,1) - 处的切平面及法线方程. 解: (2,4,6)n x y z = r(1,1,1)(2,4,6) n -=- r ……………………………………………3分所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0 x y z --++-= ……………………5分即 2360x y z -+-= 所求法线方程111246x y z -+- == - ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分 14分）1.计算 cos() Dx x y d s + òò ,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0) p 和(,) p p 的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos() Dx x y d s+ òò0cos() xdx x x y dy p =+ òò …………………………………………4分(sin 2sin ) x x x dx p=- ò …………………………………………5分0 1(cos cos 2) 2xd x x p =- ò 011 [(cos cos 2)(sin sin 2)] 24x x x x x p=--- 32p =- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周 22 1 x y += ,计算 ò + - Ldy xy dx yx x 2 2 2 ) (sin .解: 记 22 :1 D x y +£ ,由格林公式有ò + - Ldy xy dx yx x 22 2 ) (sin 22 () Dy x dxdy =+ òò ………………………………………………3分213 0d d p q r r = òò ………………………………………………5分2p=……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数 2ln n n xn ¥= å 的收敛域.解: 收敛半径 1 ln(1) lim ||lim 1 ln nn n n a n R a n®¥®¥ + + === ………………………3分当 1 x = 时,得级数 21ln n n ¥= å ,因 11ln n n > ,而 2 1 n n ¥ = å 发散,所以 2 1ln n n ¥ = å 发散……………………………5分当 1 x =- 时,得交错级数 2 (1)ln nn n¥= - å, 因 1lim 0 ln n n ®¥ = ,且 11 (2,,) ln ln(1) n n n >= + L ,所以 2(1) ln n n n ¥= - å 收敛 ……7分所求收敛域为[1,1) - ……………………………………………………8分五．(本题满分6分）求微分方程 dy y xdx x y=+ 的通解.解: 令y ux = ,则 dy duu x dx dx =+ ………………………………………2分原方程化为 1du u x u dx u +=+ ………………………………………3分分离变量得 1udu dx x = ……………………………………………4分两边积分得 21 ln || 2u x C =+ ………………………………………5分yu x= 回代得 22 2(ln ||) y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I和II，出售单价分别为 10元与9元，生产x单位的产品I与生产 y单位的产品II的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y+++++ （元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？解: 利润函数为(,)(109)L x y x y=+- 22[400230.01(33)]x y x xy y+++++22860.01(33)400x y x xy y=+-++- ………………3分由80.01(6)060.01(6)0 xyL x yL x y=-+=ìí =-+=î……………………………………………5分得驻点(120,80)…………………………………………………………7分因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为 120x= , 80y = …………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设W是由曲面 226z x y=-- 及 22z x y=+ 所围成的有界闭区域,求W 的体积.解:W在xOy面上的投影区域为 22:4D x y+£ ……………………2分W的体积为222600V dv d d dzp rrq r r-W==òòòòòò …………………5分22200(6)d dpq r r r r=--òò ………………………6分43222[3]43r rp r=--323p= ……………………8分八．(本题满分12分）（1）验证函数3693 ()1 3!6!9!(3)!nx x x xy x n =++++++ L L ，（ x -¥<<+¥）满足微分方程 x y y y e ¢¢¢ ++= ；（2）利用（1）的结果求幂级数 3 0(3)! nn xn ¥= å 的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n x x x x y n - ¢=+++++ - L L 47324!7!(32)!n x x xy x n - ¢¢=+++++ - L L0 ! n x n xy y y e n¥= ¢¢¢ ++== å ……………………………………4分(2) 0 y y y ¢¢¢ ++= 的通解为212 33 (cossin ) 22x Y e C x C x - =+ ………………………7分设 x y y y e ¢¢¢ ++= 的待定特解 * x y Ae = ,代入 x y y y e ¢¢¢ ++= ,求得1 3 A = , 1* 3x y e = ……………………………………………9分x y y y e ¢¢¢ ++= 的通解为212 331 (cossin ) 223xx y e C x C x e - =++ ……………………10分由 (0)1 y = , (0)0 y ¢ = ,求得 1 23C = , 2 0C = 幂级数 3 0 (3)! n n xn¥= å 的和函数为2 231cos 323 xx y e x e - =+ ……………………………12分。

2006-2007学年度第二学期线性代数期末考试试题A卷

北京科技大学2006--2007学年第二学期线性代数试卷（试卷（A A 卷）院(系) 班级学号姓名试卷卷面成绩占课程占课程考核成绩考核成绩 85 % 平时平时成绩占成绩占 15% 课程考核成绩题号一二三四五六七八小计得分评阅审核一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．四维向量()()1,1,1,1,2,0,3,6TT=--=--a b 的夹角是。

2．设A 是5阶方阵，且2=-A ，那么2A -= 。

3．设12304501A æöç÷=ç÷ç÷èø，则()1A -*= 。

4．与向量()()1,2,2,2,1,2-TT同时正交的单位向量是。

5．若二次型()()222123123121323,,1424f x x x x t x tx x x x x x x =++++--正定，那么参数t 应该满足的条件是。

得分装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、选择题（本题共15分，每小题3分）1．若12312,,,,a a a b b 均为四维列向量，且满足行列式1312,,,2=a a b a ，2231,,,3=a b a a ，那么行列式12312,,,+=a a a b b 。

（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1 2.具有零特征值是方阵不可逆的。

（A ）充分条件，但不是必要条件（B ）必要条件，但不是充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件，也非必要条件3．若向量组1234,,,a a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是。

（A ）1121231234,,,++++++a a a a a a a a a a（B ）12123434,,,-+-+a a a a a a a a （C ）12233441,,,++++a a a a a a a a（D ）1121231234,,,--+-+-a a a a a a a a a a 4．下列命题正确的是。

线性代数2007-2008第二学期试卷A答案

n 4, 有唯一解 III)a 2且a 1时，r r
综上，a 2且b 1时，方程组无解。
1 0 (2)a 2, b 1时，A 0 0
1 0 a 1时，A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0
3、设 A, B 均为 3 阶方阵，且满足 A 2, B 3 ，则 ( AB ) 6 ； ( AB ) ＝ 36 。

1 1 1 1 1 1 2 3 的秩为 4、矩阵 3 1 5 1 1 3 4 2
4
1 0 ，它的行最简形是 0 0
1
1 3 6 0 0 1 和 2 。 3 6 1 1 3 6
6,3,2
8、设三阶方阵 A 、B 相似，A 的特征值为 1、 2、 3，则 B* 的特征值为
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）得分
1 3 0
2 3 2 ( 1) 3
3 1 2 1 0 1 1 0 1 A E 5 2 3 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 0 0 1 ( A E ) x 0的基础解系为 1 ， 1 A只有一个线性无关的特征向量，因此A不能对角化。
3310分分设为一向量组12341131151?21893??????317?????????????????????????????????????????????????????????????????1
浙江工业大学
《线性代数》试卷 (A)

线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

06072线性代数试题A答案

2006-2007学年第二学期线性代数试题A 卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、1；2、3-；3、112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪⎪⎪-⎪⎝⎭；4、2 二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．C ；2．C ；3．A ；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解11100001100001100001111111n D --=--100000100000100000101231n n=- 3分n = 3分解21100001100001100001111111n D --=--11n D -=+ 3分 n = 3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式AB B A =+，得E E AB B A =+-+，即()()E E B E A =-- 3分因此矩阵E A -可逆，而且()E B E A -=--1． 2分⑵ 由⑴知，()1--=-E B E A ，即()E E B A +-=-1()E E B A +-=-1或1()A B B E -=- 2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011000031021010001000110000203013分 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211 2分五．（本题满分14分）解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01000101001221001111112323101221001111a b a a b a A 4分所以，⑴ 当1≠a 时，()()4==A A r r ，此时线性方程组有唯一解．2分 ⑵ 当1=a ，1-≠b 时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．2分 ⑶ 当1=a ，1-=b 时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为12342340221x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+--=-+=44334324311221x x x x x x x x x x 或者写为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001110210121213321k k x x x x 4分六．（本题满分12分）解 ()()232300121103λλλλλλ--=----=-E A ， 2分所以得特征值32321===λλλ, 2分对 21=λ，解方程组()02=-x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001011012E A ，得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101ξ所以对应 21=λ的全部特征向量为001011≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c , 3分对 332==λλ，解方程组()03=-x E A ，由0011103111001000000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得特征向量 211,0ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭全部特征向量为2211,00c c ⎛⎫⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ 3分A 没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化. 2分七．（本题满分12分）解： f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4212411λλA ．…………2分因此，二次型f 为正定二次型．⇔矩阵A 为正定矩阵．⇔矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A 的各阶顺序主子式分别为011>=D ，22441λλλ-==D ，…………2分()()21442124113+--=--==λλλλA D ．…………2分所以，二次型f 为正定二次型．⇔0422>-=λD ，且()()02143>+--=λλD由 0422>-=λD ，得 22<<-λ ．由 ()()02143>+--=λλD ，得 12<<-λ ．因此，得 12<<-λ ．即，二次型f 为正定二次型．⇔ 12<<-λ…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基下的坐标．解：设向量β在基()321ααα，，下的坐标为()321x x x ，，，则有112233x x x β++=ααα ， 2分写成线性方程组的形式，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002110101011321x x x 2分即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+002323121x x x x x x ，得唯一解111321-===x x x ，，， 3分因此所求坐标为()111-，，． 1分九．（本题满分12分）证法1：记1212(,,,),(,,,,)m m A B ααααααβ==，显然()()r A r B ≤.1°因为12,,,m ααα线性无关，知()r A m = 1分 2°因为12,,,,m αααβ线性相关，知()1r B m <+ 1分因此()r B m =， 1分12(,,,)m Ax x b ααα==有解且唯一。

2007—2008学年第一学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)

装订线2007—2008学年第一学期闽江学院考试试卷（A ）适用年级专业：06电子商务本、07通信考试形式：闭卷笔试考试课程：《线性代数》班级姓名学号一、（18 %）选择题：1、若31323432022,30221121x x y z yz+---==--则（）；(A) 6 (B) -6 (C) 0 (D) 无法确定 2、设n 阶方阵A B ，等价，则下列正确的是（）；（A ） A B = (B) A B =- (C) A B ≠ (D) 00A B ≠≠若，则必有；3、设256A A E O -+=，则A 的特征值只能是（）；(A) 2或3 (B) 1或－1 (C) 0或1 (D) －2或－3 4、n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（）；（A ）若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +也为Ax b =的解；（B ）若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解；（C ）若0Ax =有非零解，则Ax b =有唯一解；（D ）若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.5、设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列选项中错误的是（）；(A)||E A E B λλ-=-； (C) ()()R A R B =；(B)A B =； (D) A 与B 有相同的特征值和特征向量. 6、设有向量组（I ）m ααα,,,21 和向量组（II ）s m βββααα,,,,,,,2121 ，则下列正确的是（）；(A ) 若（I ）线性无关，则（II ）线性无关; (B ) 若（II ）线性相关，则（I ）线性相关; (C ) 若（I ）线性相关，则（II ）线性相关； (D ) 即使（II ）线性无关，（I ）也未必线性无关.二、（12 %）填空题：1、若10122311A k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且()2R A =，则=k ；2、设A 为5阶方阵，且()2R A =，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组*0A x =的基础解系所含解向量个数为______________；3、已知向量(2,1,4)T α=-与向量(1,2,)T x β=-正交，则x ＝；4、设12,,,s ααα 是n (n ≥s)元齐次线性方程组0=X A 的基础解系，则()R A = ；5、设A 为3阶方阵，且4A =-，则12A -=______________； 6、设21=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵()122()T A -必有一个特征值等于______.三、（50%）计算题：1、（8%）计算4阶行列式1211011211022031D---=-；2、（10%）设122012131A⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭，试求（1）1A-；（2）TAA.3、（12%）设有向量组()()121,2,1,0,2,1,1,3,T Tαα==--()31,0,3,1Tα=--，()40,2,0,3Tα=. 则（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组;（3）且用该极大无关组表示其余向量.装订线4、(8%) 已知三阶矩阵A 的特征值为1-，2，2-，试求行列式*223A A A E +-+.5、(12%) 设实对称矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则求一个正交的相似变换矩阵T 使A 化为对角矩阵.四、（10 %）讨论题：设线性方程组1231231232124551x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩，则问（1）k 取何值时，该方程组无解、有唯一解、无穷多解？（2）并在有无穷多解时，求出其所有解.装订线五、（10%）证明题：1、（6%）设向量组123,,ααα线性无关，且令向量组：1122232,23,βααβαα=+=+3313βαα=+. 则试证明向量组123,,βββ线性无关.2、（4%）如果矩阵A 满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则试证明A E -可逆，并求()1A E --.装订线2007——2008学年第一学期闽江学院期末考试试卷参考答案纸（A ）（教师专用）系别：任课教师：_______________ 考试科目：《线性代数》（06电子商务、07通信）考试班级：一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．(B) 2．(D) 3．(A) 4．(B) 5．(D) 6．(C)二、填空题（每空2分，共12分）1. 12k =2．5 3．1- 4. n s - 5. 126. 2 三、计算题（共50分）1．解：121111021102011201120112110212*********120310233D -------==-=------ （4分） 1121120111301557233057--=--=-=-=--- （8分）2．解：(1)122100122100100746( )012010012010010212131001001111001111A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1746212111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭；（5分）（2）1221019290122132511312219111T AA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）3．解：（1）1234121012101210210203220322(,,,)113003400011031303130000αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12011005/30104/30104/3001100110000000-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（6分）所以，12341234{,,,}(,,,)3R R αααααααα==；（8分）（2）易得：123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大线性无关组；（10分）（3）且得：41235433αααα=-+。

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2006—2007学年第二学期闽江学院考试试卷（A ）适用年级专业：06级物理学专业考试形式：闭卷笔试考试课程：线性代数班级姓名学号一、填空题. 10%1．123123120(1)00x kx x kx x k x x kx ⎧⎪⎨⎪⎩++=+++=+= 有非零解，则k 取何值___________,2.设矩阵100220345A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，则*1()A -=___________________,3.设T 1(2,1,2)α=-，T 2(4,2,3)α=-, T 3(8,8,5)α=-，数k 使得12320k ααα+-=，则k ＝_____________,4.设A 为n 阶矩阵，且2A =E (E 为n 阶单位矩阵)，则A 的特征值为________,5．如果矩阵A a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=为正交矩阵，则a ＝_____________.二、选择题. 20 % 1．若四阶行列式D 中第四行的元素自左向右依次为1，41M =2,42M =3, 则四阶行列式D ＝__________,A) －8 B) 8 C) -4 D) 42.若三阶行列式123112233123222a a a b a b a b a c c c ---＝6，则D=123123123a a ab b bc c c =__________, A) -6 B) 6 C) -3 D) 33.已知B 为可逆矩阵，则T1T -1B -⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=___________ , A) B B) -1B C) T B D) ()T-1B4.若矩阵111121231A λ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=+的秩为2，则λ＝__________, A) 0 B) 2 C) 1 D) -15.已知线性方程组AX=B,其中系数矩阵A ＝1021⎛⎫ ⎪⎝⎭－，若012X ⎛⎫⎪⎝⎭=为它的解，则常数项矩阵B=___________,A) 12⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B) 01⎛⎫ ⎪⎝⎭ C) 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D)10⎛⎫ ⎪⎝⎭6.线性方程组12233441231x x ax x a x x a x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-=-=-=-= 有解的充分必要条件是a ＝________, A) 16- B) -1 C) 16D) 17.已知向量组1α,2α,3α,4α线性无关，则下列向量组中线性无关的是________,A)12233441,,,αααααααα++++ B) 12233441,,,αααααααα----装订线C) 12233441,,,αααααααα+++- D) 12233441,,,αααααααα++-- 8.下列结论中，不正确的是__________ A) A 与T A 有相同的特征多项式B) 若λ是A 的特征值，则方程组（λI-A ）X=0的非零解向量，必是A的对应于λ 的特征向量C) 若λ＝0是A 的一个特征值，则齐次线性方程组AX=0必有非零解 D) A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量9．设A ，B 为n 阶矩阵，且A 可逆，A ～B （A 与B 相似），则下列结论中正确的是______A) A 与B 有相同的特征向量 B) A,B 都相似于一个对角矩阵 C) AB ～BA D) AB=BA 10.二次型123(,,)f x x x ＝2211222x x x x -+的矩阵为__________A) 2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B) 21/21/21-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C)210110000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ D) 21/201/210000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 三、计算下列行列式 . 12%1．11111234136101410202.1231031201230n nn - -----…………………… （n 阶行列式）四、计算题. 8%设A 为三阶矩阵，且18A =，求11*83A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭--.五、计算题.8%设101020101A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，135221B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，矩阵X 满足AX X B +=，求X .六、判断题.8 %已知向量组T1(1,3,1,4)α= ，T2(2,12,2,12)α= - ,T 3(2,3,8,2)α= - ，判断向量组的线性相关性，并说明理由.七、讨论题.10%设线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩++=-++=-++=- 讨论λ取何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？八、计算题.12%设400031013A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵,并写出此对角矩阵.九、证明题：12%设1α为A 对应于特征值1λ的特征向量，2α为A 对应于特征值2λ的特征向量，且12λλ≠，证明：（1）1α和2α线性无关；（2）12αα+不是A 的特征向量.2006—2007学年第二学期闽江学院考试试卷答案（A ）适用年级专业：06级物理学专业考试形式：闭卷笔试考试课程：线性代数班级姓名学号一、填空题. 10%1．123123120(1)00x kx x kx x k x x kx ++=⎧⎪+++=⎨⎪+=⎩ 有非零解，则k 取何值_____1或－1______2.设矩阵100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=____1/10001/51/503/102/51/2⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭______3.设T 1(2,1,2)α=-，T 2(4,2,3)α=-, T 3(8,8,5)α=-，数k 使得12320k ααα+-=，则k ＝____3______4.设A 为n 阶矩阵，且2A =E (E 为n 阶单位矩阵)，则A 的特征值为 _1±_5．如果矩阵A aa aa -⎛⎫=⎪⎝⎭为正交矩阵，则a ＝_______2±______二、选择题. 20 % 1．若四阶行列式D 中第四行的元素自左向右依次为1，41M =2,42M =3, 则四阶行列式D ＝__________A) –8 B) 8 C) -4 D) 42.若三阶行列式123112233123222a a a b a b a b a c c c ---＝6，则D=123123123a a ab b bc c c =__________ A) -6 B) 6 C) -3 D) 33.已知B 为可逆矩阵，则()T1T -1B -⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭=___________A) B B) -1B C) T B D) ()T-1B4.若矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ＝__________ A) 0 B) 2 C) 1 D) -15.已知线性方程组AX=B,其中系数矩阵A ＝1021⎛⎫ ⎪⎝⎭－，若012X ⎛⎫= ⎪⎝⎭为它的解，则常数项矩阵B=___________A) 12⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B) 01⎛⎫ ⎪⎝⎭ C) 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D)10⎛⎫ ⎪⎝⎭6.线性方程组12233441231x x ax x a x x a x x -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 有解的充分必要条件是a ＝________A) 16- B) -1 C) 16D) 17.已知向量组1α,2α,3α,4α线性无关，则下列向量组中线性无关的是________A) 12233441,,,αααααααα++++ B) 12233441,,,αααααααα---- C) 12233441,,,αααααααα+++- D) 12233441,,,αααααααα++--装订线8.下列结论中，不正确的是__________ A) A 与T A 有相同的特征多项式B) 若λ是A 的特征值，则方程组（λI-A ）X=0的非零解向量，必是A的对应于λ 的特征向量C) 若λ＝0是A 的一个特征值，则齐次线性方程组AX=0必有非零解 D) A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量9．设A ，B 为n 阶矩阵，且A 可逆，A ～B （A 与B 相似），则下列结论中正确的是______A) A 与B 有相同的特征向量 B) A,B 都相似于一个对角矩阵 C) AB ～BA D) AB=BA 10.二次型123(,,)f x x x ＝2211222x x x x -+的矩阵为__________A) 2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B) 21/21/21-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C)210110000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ D) 21/201/210000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、计算下列行列式 . 12%解： 1.213231424111111111(1)(2)12340123(1)136100259(3)(1)14102003919r r r r r r r r r r +⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- （3分） 431111111101230123(3)100130013003100001r r +⨯-= （6分） 2.2131112323110302621!120003211230000n n nn n r r nnr r n n n r r n +⨯-+⨯=--+⨯---……………………………………… （6分）四、计算题. 8%设A 为三阶矩阵，且18A =，求1*183A A -⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：*1118A A A A --==, （2分） 1*11118332A A A A A ----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ = （5分） 3128864A A- =1=8=⨯= (8分) 五、计算题.8%设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122531B ，矩阵X 满足B X AX =+，求X .解：由B X AX =+，得B X A =+)I ( （1分）)|I (B A +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122531*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→312512102030201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→132512300030201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→313235112100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→3132353510100010001 （7分）所以,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132353510X （8分）六、判断题.8 %已知向量组T1(1,3,1,4)α=，T 2(2,12,2,12)α=-, T 3(2,3,8,2)α=-，判断向量组的线性相关性，并说明理由.解：设有数123,,x x x ，使得1122330x x x ααα++=，因此可得齐次线性方程组1231231231232203123028041220x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪++=⎩ (*) 系数矩阵为12231231284122A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（3分）对系数矩阵进行初等行变换，即2132314241122122122(3)2/33123069069(1)128046000(2/3)(4)4122046000r r r r A r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⨯--- ⎪ ⎪ ⎪=+⨯- ⎪ ⎪ ⎪--+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（6分）由于()2r A =，所以（*）方程组必有非零解，即存在不全为零的数123,,x x x ，使得1122330x x x ααα++=，所以向量组123,,ααα线性相关. （8分）七、讨论题.10%设线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ⎧++=-⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 讨论λ取何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？解：线性方程组化为AXB =,其中12311311,,2112x X x B x A λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，（1分）对方程组的增广矩阵施以初等行变换，即211331322113112(1)()112(,)112()11211311211011010110113300(2)(1)r r A B r r r r r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪= - - ⎪ ⎪+⨯- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪-- +⨯-- ⎪ ⎪----+-⎝⎭ 1203(1)B λ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（4分）由矩阵1B 可得，1)21()()3,2)2()2()33)()()13,r A r A B r A r A B r A r A B λλλλ≠≠======< 当－，且时，方程组有唯一解；当－时，＝，，方程组无解；当＝1时，方程组有无穷多个解.（10分）八、计算题.12%设400031013A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵,并写出此对角矩阵.解：1）矩阵A 的特征多项式为40031013A E λλλλ--=--()()224,λλ=-- 12302, 4.A Eλλλλ=⇒===-，即为矩阵A 的特征值; （2分）2）求特征向量对于12λ=，解方程组()20A E X -=,得其基础解系为1011ξ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，（4分）对于234λλ==，解方程组()40A E X -=，得其基础解系为23100,1.01ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6分）23,ξξ与恰好正交123,,.ξξξ所以两两正交（8分）3）单位化 ()123,,,1,2,3ii ii ξξξξηξ==再将单位化令得123001,0,.0ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎝ （10分） 4)于是得正交矩阵()123010,,0,0P ηηη⎛⎫ == -⎝则 1200040.004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（12分）九、证明：12%设1α为A 对应于特征值1λ的特征向量，2α为A 对应于特征值2λ的特征向量，且12λλ≠，证明：（1）1α和2α线性无关；（2）12αα+不是A 的特征向量. 证明：1）由已知可知，111222,A Aαλααλα==, 设有数12,k k ，使11220k k αα+=，（1）（1分）（1）式中左乘A ，有112211122200k A k A k k ααλαλα+=⇒+= （2）（2分）（1）式中左乘1λ，有1112120k k λαλα+= （3）（3分）（2）－（3），有2212()0k λλα-= （4分）由于21λλ≠，2α为非零向量，所以20k =，（5分）同理可得，10k =，所以1α和2α线性无关; （6分） 2)(反正法) 假设12αα+是A 的特征向量，设12αα+是A 对应于λ的特征向量，即1212()()A ααλαα+=+ （7分）12121122121122()()0A A ααλαλαλαλαλαλαλλαλλα⇒+=+⇒+=+⇒-+-= （9分）由1）可得1α和2α线性无关，（10分）所以12,λλλλ==，得12λλλ==，（11分）这与题意12λλ≠相矛盾，所以假设不成立，所以12αα+不是A 的特征向量. （12分）。