晶格振动的量子化-声子
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
固体物理考试重点(广工版、复习资料)
一、晶体宏观特征（必考其一）1.晶体的自限性（自范性）：自发形成封闭几何外形的能力。
2.晶面角守恒定律：同一种晶体在相同的温度和压力下，对应晶面之间的夹角不变。
3.晶体的解理性（Cleave property）：晶体受到外力作用时会沿着某一个或几个特定的晶面劈裂开的性质称为解理性。
4-晶体的各向异性（anisotropy）：沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性质。
5.晶体的均匀性（homogeneity ）：内部各部分的宏观性质相同。
6.晶体的对称性（symmetry）：由于内部质点有规则排列而形成的特殊性质。
7.晶体的稳定性：与同种物质的其他形态（气态、液态、非晶态、等离子态等）相比，晶体的内能最小、最稳定。
晶体具有固定的熔点，而非晶体则没有固定的熔点。
二、空间点阵（基元、原胞（primitive cell）> 晶胞（conventional cell）> B 格子、WS 原胞）1.基元：组成晶体的最小结构单元。
2.初基原胞（原胞）：一个晶格最小的周期性单元，称为原胞。
3.惯用原胞（晶胞）：能使原胞同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元,称为晶胞。
4.B格子：如果晶体只由一种原子构成，且基元是一个原子，则原子中心与阵点重合，这种晶格称为布拉菲格子，或称B格子。
5.WS原胞：WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。
三、第一布里渊区（二维）：从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
注：写出二维坐标系j> b P b2（ b为倒格子基矢）。
四、晶体的对称性、晶系、密堆积、配位数（一至二）；1.晶体的对称性：晶体经过某种对称操作后物体能自身重合的性质，2.晶系：根据晶体空间点阵中6个点阵参数之间相对关系的特点而将其分为7类，各自称一晶系。
声学声子和光学声子
声学声子和光学声子
声学声子和光学声子是凝聚态物理中的两个概念。
它们是晶格振动的量子化描述，也
是晶体材料中凝聚态物理性质的重要基础。
声学声子是指晶体中的一种纵向或横向弹性波，在纵向方向（沿着晶体轴方向）和横
向方向（垂直于晶体轴方向）传播。
在晶体中，原子之间存在一定的相互作用力，这种力
会随着原子振动而引起周围原子的振动，形成声波。
声学声子描述的是晶体中的弹性振动，其频率与声速、晶胞大小和原子质量有关。
相比之下，光学声子则是描述晶体中的电磁振动，也称为极化振动。
这种振动通常是
在复发率高和包含最大数量的原子的方向上产生的。
光学声子的频率通常比声学声子高得多，并且与材料的电子结构有关。
两种振动的存在对晶体中的凝聚态物理性质产生了巨大的影响。
例如，声学声子的存
在决定了晶体的热力学性质，如热导率和热膨胀系数。
另一方面，光学声子主要影响某些
电学性质，如材料的极化率和介电常数。
除了对材料性质的影响之外，声学声子和光学声子还在一些研究领域中得到广泛应用。
例如，在纳米科技中，它们被用于研究纳米结构的热力学和力学性质。
此外，它们还被用
于开发新型材料和器件。
声子热传导的原理
声子热传导的原理声子热传导声子热传导是指通过晶格中的声子（即晶格振动）来传导热能的现象。
在固体中，声子是晶体中存在的一种类似于粒子的元激发，通过声子的传递，热能可以在固体内部迅速传递，从而造成物质的热传导。
下面，我们将从浅入深地解释声子热传导的相关原理。
声子1.声子是晶格振动的量子化激发2.不同材料的晶格结构导致声子的能量频率不同声子的性质•声子具有动量和能量•声子遵循泡利不相容原理•不同材料的晶格结构导致声子在红外和可见光谱范围内的散布行为不同热传导与声子1.声子热传导是由声子的传递引起的2.热传导与声子的能量传递密切相关热传导的基本原理•热传导是热能通过物质内部的传递而导致的•物质的导热性能与热传导速率相关声子在热传导中的作用•声子是导致热传导的主要载体之一•声子在晶格中通过相互作用传递能量声子热传导的机制1.碟状散射-声子通过晶格缺陷、界面等碟状尺寸小于波长的散射中心进行散射2.弛豫散射-声子通过晶格中的非弹性相互作用散射3.反射-声子在晶格界面上被反射，反射率与界面的粗糙程度有关碟状散射•晶格缺陷、界面等碟状结构对高频率声子的散射效果较好•碟状散射是声子热传导中的主要散射机制之一弛豫散射•声子之间通过非弹性相互作用来散射能量•弛豫散射在低温下对声子热传导起主导作用减缓声子热传导的方法1.减少晶格缺陷和界面等碟状散射中心的存在2.降低晶格的弛豫时间3.利用界面的反射效应减少热能的传递控制晶格结构•增加材料的晶体纯度•减少晶体中的缺陷和杂质调控热导率•控制温度和压力来改变弛豫时间•采用纳米材料来增加界面反射效应结论声子热传导是固体中重要的能量传递方式之一。
通过理解声子的性质和声子热传导的机制，我们可以通过调控材料的晶体结构和热导率来减缓声子热传导的速率，从而提高材料的绝缘性能或减少热损耗。
这对于材料科学和热管理技术的发展具有重要的意义。
声子热传导的应用声子热传导的理解和控制对于实际应用具有重要意义。
声子的概念和特点
声子的概念和特点声子（Phonon）是固体物理学中描述晶体中晶格振动的量子发生器的概念。
声子是晶体中的一个虚拟粒子，它表示的是晶格振动的量子。
声子的概念是为了描述固体中的宏观振动现象及其与固体中其他粒子相互作用的研究提供一个有用的理论框架。
声子的特点有以下几个方面：1. 粒子性质：声子是晶格振动的量子化现象，其具有粒子性质。
晶体中的振动能量按量子化的方式传递，其中每个声子对应一个能量和动量，其传播速度与晶体中的声速有关。
2. 统计性质：声子是一种玻色子，遵循玻色-爱因斯坦分布。
根据玻色子性质，声子之间是可以相互叠加的。
这使得声子能够形成声子气体，从而影响固体的热导率、声学性质等。
3. 激发行为：声子在晶体中的产生可以通过热激发或外加能量的方式。
当系统受到外界扰动时，原子或分子之间的相互作用使得晶格发生振动，这些振动以声子的形式传播。
4. 能量谱：声子能量与动量之间存在一个关系，称为能谱。
能谱基本上是晶体中离子力学矩阵的函数，它描述了声子的能量与其频率和波矢之间的关系。
在一维晶格中，能谱是连续的，而在二维和三维晶格中，能谱是分散的。
5. 声子晶体学：声子是晶体中晶格振动的变分量子，声子晶体学是一种将振动波矢（声子）引入到晶体学中的方法。
在声子晶体学中，声子的离散能谱导致了晶体中声学和光学模式的出现。
6. 热传导：声子在固体中的传播是晶体的热传导的基础。
因为声子具有一定的动量，当声子在晶格中传播时，会导致晶格的振动，进而导致晶格的温度升高。
声子的能量传递机制是固体中热传导的重要机制之一。
总之，声子作为固体物理学中的基本概念，在研究固体中的振动性质、热传导机制、声学行为等方面起着重要作用。
通过对声子的理解和研究，可以更好地解释晶体的宏观性质和固体的热力学行为。
同时，声子也是新材料、热电材料等领域的重要研究方向，这些研究有望为材料设计和能源利用提供新的思路。
超导体中的声子热耦合nature
一、超导体的基本原理超导体是指在一定条件下电阻突然消失而导电性达到最大值的物质。
超导体的基本原理是由于其电子成对运动和库仑排斥力的屏蔽，使得电子对的结合能足够大，超越了材料晶格的振动能量而形成了超导态。
二、声子热耦合声子是晶格振动的量子，它是介质中能量最低的激发态。
在超导体中，声子热耦合指的是电子与声子之间的相互作用。
声子热耦合对超导体的超导性质有着重要影响，它不仅可以影响超导临界温度，还可以影响超导态的对称性和电子的配对机制。
三、超导体中的声子热耦合机制超导体中声子热耦合的机制是一个复杂的问题，主要包括以下几个方面：1. 电子-声子相互作用：超导体中的电子通过与晶格的振动相互作用，引起了声子的产生和吸收。
这种相互作用使得电子在晶体中的传导变得更加复杂，大大影响了超导电性的性质。
2. 能带结构和电子输运：超导体的能带结构对声子热耦合有重要影响。
它通过晶格振动的分布和密度，调节了声子热耦合的强度。
3. 声子场的量子统计效应：声子是玻色子，其统计行为对超导体的声子热耦合也有着很大的影响。
声子场的量子统计效应会导致声子的配对和集体激发现象，从而影响超导电性的行为。
四、超导体中的声子热耦合与超导态的对称性声子热耦合不仅对超导体的临界温度有着重要影响，还可以影响超导态的对称性。
在高温超导体中，声子热耦合常常导致超导态的对称性发生变化，从而影响电子对的配对机制和超导性质。
五、超导体中的声子热耦合实验研究近年来，通过高分辨率的声子谱实验和声子能谱的测量，科学家们对超导体中声子热耦合进行了深入的研究。
这些研究不仅揭示了声子热耦合对超导性质的重要影响，还为超导体的理论模型提供了重要的实验验证。
六、超导体中的声子热耦合的应用前景超导体中的声子热耦合机制的深入研究，不仅有助于理解超导体的超导机制，还可以为新型超导体材料的设计和合成提供重要参考。
通过对声子热耦合的深入理解，科学家们可以设计出更高临界温度的超导体材料，为超导应用技术提供更广阔的发展空间。
3-3 晶格振动量子化与声子
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
1 （ n ） 2
（3－58‘)
其中
1 n( , T )＝ exp K T B 1 －
（3－59)
意义：
频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。 当 ＝KBT时， n ≈0.6,定性地讲，此格波已激 发，以此为界，温度为T时，只有ω≤KBT的格波才 能被激发。
1 2 E＝T W＝ m U n U n1 U n 2 n 2 n
2
该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存 在，对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法
消去交叉项。
2．坐标变换（变量置换） 设
1 iqna U n t ＝ Qq t e Nm q
由于声子间相互作用很弱除了碰撞外可不考虑它们之间的相互作用故可把声子视为近独立子系这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的
§3 .3晶格振动量子化与声子
问题的提出：
在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立 的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动 状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么，
晶格振动的系统能量是否可表示 成3NS个独立谐振子能量之和？
＝
n
N nn N
（这里的N并不是晶体的格波总数）
的声子在同 ω 的格波间均可存在，某一 ω 的
晶格振动
该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程 的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
解的物理意义： 格波 nq Aeitnaq
原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 2 的
整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
cV
E T
V
3N AkB
f (T ),(E
3N AkBT )
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
2.1 晶格振动的经典理论
一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围
参考：
黄昆书 3.2－3.4节（p82-103） 3.8节（p132-137)
《隧穿场效应晶体管中声子及缺陷Zener辅助隧穿效应的研究》范文
《隧穿场效应晶体管中声子及缺陷Zener辅助隧穿效应的研究》篇一一、引言随着半导体技术的飞速发展，场效应晶体管作为重要的电子器件，其性能的优化与改进一直是科研人员关注的焦点。
在隧穿场效应晶体管（TFET）中，声子与缺陷的影响及其在Zener辅助隧穿效应中的角色显得尤为重要。
本文旨在探讨隧穿场效应晶体管中声子及缺陷Zener辅助隧穿效应的相关问题，以提升其电子性能和应用范围。
二、隧穿场效应晶体管简介隧穿场效应晶体管（TFET）是一种新型的电子器件，其核心机制为载流子在特定电场下的量子隧穿效应。
相比传统的金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSFET），TFET具有更低的关断电流和更高的开关比，使其在低功耗、低噪声电路中具有巨大的应用潜力。
三、声子在隧穿场效应晶体管中的作用声子作为固体材料中的基本粒子，对晶体管的性能具有重要影响。
在隧穿场效应晶体管中，声子通过与载流子的相互作用影响电子的隧穿过程。
研究表明，适当调整声子态密度和传输速度可以优化载流子的隧穿过程，提高TFET的电子性能。
因此，通过研究声子在TFET中的作用机制，有助于进一步提升TFET的效率与性能。
四、缺陷Zener辅助隧穿效应概述缺陷Zener辅助隧穿效应是TFET中一种重要的物理现象。
由于材料中的缺陷和杂质，载流子在特定电场下可能发生Zener 隧穿现象。
这种隧穿过程与材料内部的能级结构、缺陷分布等因素密切相关。
通过研究缺陷Zener辅助隧穿效应的机制和影响因素，可以进一步优化TFET的电子性能和稳定性。
五、声子与缺陷Zener辅助隧穿效应的相互作用声子与缺陷Zener辅助隧穿效应在TFET中存在相互影响的关系。
一方面，声子可以改变材料的局部电场和能级结构，从而影响Zener隧穿过程；另一方面，Zener隧穿过程也可能产生额外的热能，影响声子的传输和分布。
因此，在研究TFET时，需要综合考虑声子和缺陷Zener辅助隧穿效应的相互作用机制。
3.4 三维晶格振动格波量子——声子 一、三维晶格振动
( ) d 2u
dt 2
= βa2 2m + M
∂2u ∂x 2
=
v
2
A
∂2u ∂x 2
上式即为宏观弹性波的波动方程，其中
β
vA = a 2(m + M )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
固体中的长声学波就是弹性波。对于长声学波，晶格可以看作是连续介 质。波长λ比晶格常数a大得多。
这里的 变换形式，称为动力学矩阵。
是力常数 矩阵的傅里叶
以下方程是 3n 个有限的关于未知系数
的线性齐次方程组。要使
得该方程组有非零解，则其系数行列式等于0。
由此可以解除 3n 个色散关系：
这里的 3n 就是一个元胞内的自由度数目。 3支声学支（元胞的质心自由度，代表了原子的整体振动），其中包含 2 支横波，1支纵波。 3n-3支光学支（代表了元胞内原子的相对振动），其中包含 2（n-1）支横 波，（n-1）支纵波。
光学波的频率随q变化很小，在实际计算中，将其视为与波矢q无关的常数。 在三支声学波中一支是纵波，两支是横波。 当q 很小时， ω 与q 成比例，这 时，声学波与弹性波一样，波速为常数，而且就是弹性波的速度。
频率ω 和波矢q的关系曲线。 沿[100]及[111]轴两支横波 简并。 (图中横坐标以2π/l为单位， 其中l代表有关轴向的格点 间距)
=
, ������������������������������������−������������������������������������������������
∑������������ ������������������������������������−������������������������������������������������
晶格振动对晶体的许多性质有影响
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即
2ks-m2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M2
得： 2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系， 即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于 一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格 波各有自己的色散关系：
四、 周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了 限定:一维不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之间;一维双原 子的复式格子，q介于(-/2a, /2a)之间.
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）：
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简 谐平面波的线性叠加。
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简 谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认 为它们的存在是相互独立振动的模式。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
•
•••
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
•
绿线： q´ =/2a，=4a
两相邻原子振动的位相
差是/2。
格波与一般连续介质波的比较
A：振幅； ：角频率； 0 1 2 3 4 n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。 此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
名词解释
名词解释物理性能本质：外界因素（作用物理量）作用于某一物体，如：外力、温度梯度、外加电场磁场、光照等，引起原子、分子或离子及电子的微观运动，在宏观上表现为感应物理量，感应物理量与作用物理量呈一定的关系，其中有一与材料本质有关的常数——材料的性能。
晶体结构：原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期性，或者称长程有序。
非晶体结构：不具有长程有序。
点阵：晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称为点阵。
晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形式。
格波：晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式。
色散关系：晶格振动谱，即频率和波矢的关系。
声子：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单元称作声子，声子具有能量ħ ，与光子的区别是不具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。
德布罗意假设:一切微观粒子都具有波粒二象性。
塑性：使固体产生变形的力，在超过该固体的屈服应力后，出现能使该固体长期保持其变形后的形状或尺寸，即非可逆性能。
屈服应力：当外力超过物体弹性极限，达到某一点后，在外力几乎不增加的情况下，变形骤然加快，此点为屈服点，达到屈服点的应力。
滑移：晶体的一部分相对另一部分平移滑动。
强度：材料的强度是抵抗外加负荷的能力。
脆性断裂：材料受力后，将在低于其本身结合强度的情况下作应力再分配；当外加应力的速度超过应力再分配的速率时，发生断裂。
格里菲斯微裂纹理论：格里菲斯认为实际材料中总存在许多细小的裂纹或缺陷，在外力作用下，这些裂纹和缺陷附近就产生应力集中现象，当应力达到一定程度时，裂纹就开始扩展而导致断裂。
蠕变断裂：多晶材料在高温和恒定应力作用下，由于形变不断增加而导致断裂。
蠕变断裂的理论：1. 黏性流动理论：高温下晶界发生粘性流动，在晶界交界处产生应力集中，并且使晶界交界处产生裂纹，导致断裂。
2. 空位聚积理论：在应力及热波动作用下，晶界上空位浓度增加，空位大量聚积，形成裂纹，导致断裂。
晶格振动与声子理论
晶格振动与声子理论晶体是由许多原子或分子组成的有序排列的固体结构，其中原子或分子通过键合力相互结合。
在晶体中，原子或分子之间不仅发生局部振动，还会引起整个晶格的振动。
而描述晶格振动的声子理论给出了详细的解释。
晶格振动是指晶体中原子或分子在其平衡位置周围发生的微小位移和相对位移。
晶格振动是晶体中物质传递能量、传递信息和改变物质性质的重要途径之一。
晶格振动的特性可以通过声学模（声子）来描述。
声子是描述晶格振动的一种粒子理论。
根据量子力学的原理，声子是一种能量量子化的激发态。
声子的存在使得晶格振动可以被描述为离散而有限数量的简正模式。
这些简正模式具有特定的振荡频率和波矢。
每个简正模式对应一个特定的声子，而每个声子有自己的能量和动量。
根据量子力学和固体物理学的原理，声子的能量和动量可以通过哈密顿量和动力学方程来计算。
声子能量与波矢之间的关系被称为声子色散关系。
声子色散关系对于理解声子的能量分布和传播特性非常重要。
声子理论的一个重要应用是描述晶体中的热传导性质。
晶格振动是热导体中的主要热传导机制之一。
声子理论可以通过计算声子的散射过程和传播路径，来解释和预测热导率以及其他与热传导相关的性质。
除了热传导性质之外，声子理论还可以用于描述晶体的机械性质、电子性质以及光学性质。
晶体中的声子对于解释和预测这些性质的变化和行为具有重要作用。
通过声子理论，可以更好地理解晶体的稳定性、相变、电子能带结构、光学吸收和散射等现象。
声子理论在材料科学和凝聚态物理学中有广泛的应用。
通过调控晶格振动和声子特性，可以改变材料的电子和光学性质，从而实现新材料的设计和开发。
声子理论也被应用于其他领域，如纳米技术、光子学、能源材料等。
总之，晶格振动与声子理论是描述晶体中原子或分子振动的重要理论框架。
通过声子的描述和计算，可以深入理解晶格振动的性质和行为，以及其在热传导、机械性质、电子性质和光学性质中的作用。
声子理论的应用促进了材料科学和凝聚态物理学的发展，并为新材料的设计和开发提供了理论指导。
《固体物理学》讲义(34章)
第三章晶体振动和晶体的热学性质（12学时）晶体内的原子并非在各自的平衡位置上固定不动，而是围绕其平衡位置作振动，并且由于原子之间存在着相互作用力，因而各个原子的振动是相互联系着的，这样在晶体中就形成了各种模式的机械波。
晶格振动对固体的比热、热膨胀、热导等性质有重要的影响。
本章将向大家介绍晶格振动的一般性质。
基本要求：掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。
爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。
了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。
基本内容：1、一维原子链的振动，色散关系、格波2、晶格振动的量子化、声子，长波近似3、固体比热，爱因斯坦模型和德拜模型4、非简谐效应5、确定振动谱的实验方法，晶格的自由能重点：一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念，爱因斯坦模型和德拜模型。
难点：晶格振动的量子化、声子的概念。
§3.1 一维原子链的振动晶格振动最简单的情形就是一维晶格的振动，本节将介绍一维原子链的振动情况及其色散关系。
通过简单情形的讨论，把所得的一些主要结论和主要方法加以推广，应用到复杂的三维晶格的振动。
一、一维简单格子的情形1、一维简单格子的振动晶体内的原子围绕其平衡位置在不停地振动，由于原子间存在着相互作用力，各个原子之间的振动相互关联，从而在晶体中形成了各种模式的机械波。
（1）、简谐近似和最近邻近似一维简单格子是最简单的情形，考虑一个一维原子链，每个原子具有相同的质量m，平衡时原子间距为a。
由于热运动各原子离开了平衡位置，用x n代表第n个原子离开平衡位置的位移，第n个和第n+1个原子间的相对位移就为x n+1-x n，和第n-1个原子间的相对位移就为x n-x n-1。
只考虑最近邻原子间的简谐相互作用，其恢复力常数为 。
（2）、运动方程对第n 个原子进行受力分析，列牛顿定律方程可得运动方程为:)()(1122-+---=n n n n nx x x x dtx d m ββ )2(1122n n n nx x x dtx d m -+=-+β（n=1、2、…、N ） 式中β为原子间简谐相互作用的恢复力常数。
热载流子 声子-概述说明以及解释
热载流子声子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述热载流子和声子是热学和凝聚态物理领域中常见的研究对象。
热载流子指的是在材料中传递热能的带电粒子，如电子和空穴，它们在导体、半导体和绝缘体等材料中起着重要的热传输作用。
而声子是固体中传播声波的粒子，它们是由晶格振动引起的，对材料的热导性质有着重要影响。
热载流子是导致材料热传导的主要因素之一。
在导体中，热载流子主要指的是自由电子和正电子，它们通过与晶格振动相互作用来传递热能。
在半导体和绝缘体中，热载流子还包括空穴，它们的传输机制与电子类似。
热载流子的传输受到多种因素的影响，包括材料的电子结构、晶格结构、温度等。
因此，深入研究热载流子的特性和传输规律对于理解材料的热导性质具有重要意义。
声子是固体中晶格振动的量子化现象，对于材料的热传导和声学性质有着重要影响。
声子的传播与晶格结构的周期性有关，晶体的振动模式和声子的特性密切相关。
在材料中，声子的频率和波矢决定了其传播性质和相互作用方式。
通过研究声子的概念和性质，可以深入理解声子与材料中其他粒子（如电子、光子等）之间的相互作用，进而揭示材料的微观物理性质。
本文将分析热载流子和声子的定义、特点以及它们在材料中的传播和热导性质。
通过对热载流子和声子的深入理解，我们可以为热学和凝聚态物理领域的研究提供重要的理论基础。
此外，我们还将展望可能的研究方向和应用前景，为相关领域的科研人员提供参考。
1.2文章结构文章结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将概述文章所要讨论的内容，提出文章的目的，并介绍本文的结构安排。
正文部分将具体展开对热载流子和声子的介绍和分析。
其中，2.1节将从定义和特点出发，介绍热载流子的相关知识，包括其基本的物理性质和特点。
2.1.1小节将具体定义热载流子，并探讨其一些重要的特性。
2.1.2小节将进一步探讨热载流子的影响因素和应用领域，包括其在材料热导性质方面的应用。
接下来，2.2节将引入声子，并介绍声子的概念和性质。
晶格振动、声子
2 n 1 n n n
2 n 1
x 2 xn 1 xn
2 n
• 代入势能后可得
V
e eiqna eiq'( n1) a eiqna eiq'na eiq( n1) a eiq'na i ( q q ') a iqa iq'a i ( q q ') na 1 e e e QqQq' e 2 Nm q ,q' n i ( q q ') a iqa iq'a Q Q e 1 e e N q , q' q q' 2 Nm q ,q' 2 2 iqa iqa 1 cos( qa ) q QqQq 2 e e m 2m q 1 2 QqQq 1 cos(qa) q QqQq m q 2 q
2 q
2 1 2 2 H Qq q Qq 2 q
•
根据量子力学，可解得能量本征值
1 E q nq q 2
• • 值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐振动的频率 可以推广到三维的情况
三维情况
• 定义简正坐标Qn
a jn Mj
A sin( n t )
量子化
• 将经典哈密顿中的动量写成算符形式
pn i Qn
• 即可得到波动方程
3N 1 2 2 2 2 n Qn Q1 , Q2 ,...,Q3 N E Q1 , Q2 ,...,Q3 N 2 Q n 1 2 n
nl (q ) 1 e l ( q ) / k BT 1
晶格振动与声子
晶格振动与声子2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理 | 标签： |字号大中小订阅（什么是声学波什么是光学波什么是声子）作者：Xie M. X. (UESTC，成都市)（1）格波：晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。
由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。
一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。
格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。
声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。
光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。
光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。
（2）声子：格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量： E = ( n + 1/2 ) ω, n = 0,1,2,2,…。
则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是ω的整数倍; 该晶格振动能量ω的量子即称为声子（Phonon ）。
当格波能量减少ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射 (碰撞)。
由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。
一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。
第25、26讲 声子 晶格振动的热容理论
第 二 三 讲
晶 格 每一独立模式对应一个振动态(q) 。 振 可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立动 的 模式。 热 声子——晶格振动中的独立简谐振子的能量量容 子。 理 论
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
3.2.2 格波能量量子化 1. 三维晶格振动能量
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
CV 3 25J /(k mol)
CV
第 二 三 讲 声 子 长 波 近 似 晶 格 振 动 的 热 容 理 论
杜隆—珀替定律的困难
杜隆—珀替定律在高 温时与实验结果很吻合。 但在低温时，CV 的实验 值并不是一个恒量，在 T0时，CvT3。
3R
T
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
i 2 i 1 i 2 晶 ( ) [1 ( ) ] k BT k BT 2! k BT kB 格 i 2 i 1 i 2 振 ( ) [1 ( ) ] 动 k BT k BT 4 k BT
的 热 容 理 论
所以具有N个原子的热容为3NkB，与经典理论 值一致，说明在高温时杜隆-珀替定律成立。
第 三 章 晶 格 振 动 和 晶 体 的 热 学 性 质
3. 声子的性质 光子 对于电磁波，爱因斯坦引入了“光子” 的 概念。光子是传递电磁相互作用的媒介粒子， 带电粒子通过发射或吸收光子而相互作用。 一个光子的能量为 =hv。 光子能量的多少与波长相关, 波长越短, 能 量越高。当一个光子被原子吸收时,就有一个电 子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道, 具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量， E=mc2，由于光子无法静止，所以其静止质量 为0 。
晶格振动与声子
2.4 晶格振动与声子绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。
前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。
如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场()()()N LL n V V E =+R R R，原子实间的库伦相互作用()LL V R + 依赖于核构型的电子能()n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为：()()()()()2212I n LL S I IX E V X E X M ⎡⎤-∇++=⎣⎦∑R R R R R（2.4-1）2.4.1 简谐近似和正则振动模上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。
需要一个好的近似作为讨论的出发点。
我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。
设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。
第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+，n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。
原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n is t α （1,2,3i =）。
将有效势场()N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开：()()201......2NN N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα'''''''''∂=++∂∂∑R R（2.4-2）取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。
考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的简谐近似。
可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成的体系的运动，可通过适当的坐标变换，变为3Nυ个正则坐标的独立的一维简谐运动。
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3.2 晶格振动的量子化－声子
参考黄昆书3.1节（p79-82）
p8892
一. 简谐近似和简正坐标及p88-92Kittel 书 4.3和4.4 两节
二. 晶格振动的量子化三. 声子
引入简正坐标，用分析力学的方法重新处理晶格振动问题
–将分析力学中的哈密顿量过渡到量子力学中谐振子方程
晶格振动的能量量子化–声子
分析力学的回顾
牛顿定律–质点组运动–大量的微分方程组–质点组受到约束因而变得非常复杂拉格朗日–分析力学–数学分析方法解决力学问题–二阶微分方程组/拉格朗日方程哈密顿将坐标和动量作为独立变量微分方程降为阶哈密顿正则方程–-微分方程降为一阶–
运用变分法提出哈密顿原理–与牛顿定律等价
哈密顿-雅科比方程(Hamilton –Jacobi equation)
简谐近似和简正坐标
一.简谐近似和简正坐标：从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用正则方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。
本节采用简正坐标重新处理（见黄昆书p7982采用简正坐标重新处理。
（见黄昆书p79-82）N 个原子组成的晶体，平衡位置为，偏离平衡位置的
位移矢量为n
R 位移矢量为：'(=()n u t ()()
n n n R t R u t +所以原子的位置表示为：
一维单原子链
动能：N 动能1
晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以用3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。
由于简正3N个简正坐标下的谐振子运动来描述由于简正是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简坐标Q
i
正振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所正振动并不是表示个原子的振动而是整个晶体所有原子都参与的运动。
由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动常被称作晶体的一个振动模。
共同振动常被称作晶体的个振动模
个原胞，每个原胞n个原子的晶体总共有3nN种N个原胞每个原胞3N 振动模。
或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。
引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的。
学的观点来理解晶格振动问题这才是最为重要的
谐振子解的三个特征:
1、能量量子化（量子力学束缚态的共同特征）
2、等间距能级
3、基态能量不为0 –零点能ω
331
N N
∑∑
显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论。
每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的，所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶格振动的最基本的特征。
从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位被称为声子（Phonon ）。
这是晶格振动量子理论最重要的结论。
i 在经典理论中，能量函数是连续的，量子理论修正了这个错误而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论只是对各模式振幅的取值做了量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。
声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体－－晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。
这种高度抽象化出概念是固体物理的一大特征，他们被称作元激发（Elementary excitation）
元激发（准粒子）
低能激发态, 可以看成是有相互作用的多粒子体系的可以看成是一些独立的基本激发单元的集合, 它们具有确定的能量,有时还有确定的动量.
元激发使一个复杂的多体系统简化成接近于理想气体的准粒子系统. 元激发不是简单的数学简化, 可以在实验上被观测,理论上进行推导.
实验: 中子非弹性散射, Brillouin散射, Raman散射
理论: 量子场论方法(Green函数, Feynman图和Dyson方法)元激发：①元激发能谱；②满足的统计规律；③散射机理
声子是固体中重要的元激发。
元激发分类
集体激发(多为Bose型):
(1)离子-离子相互作用引起的晶格振动--声子(phonon);
(phonon); (2)磁性材料中的自旋-自旋相互作用引起的自旋波--磁振子(magnon);
(3)金属中电子气相互作用引起的等离子体集体振荡--等离子激元(plasmaron);
光子和光学模声子耦合极化激元(l it)
(4)光子和光学模声子耦合－极化激元(polariton)
个别激发(多为Fermi型):
(1)正常金属中相互作用的电子, 变换成屏蔽电子或准电子, 其有效质量增大(quasi-electron);
(2)离子晶体中的电子或空穴在运动时带着周围极化场一起运动而形成的极化子(polaron);
(3)半导体中的电子和空穴对，激子(electron-hole pair)
三. 声子：
声子是对晶格振动的量子化描述，在经典力学的语言中对应
于振动模式个声子对应于种振动模式即晶格在某个固于振动模式，一个声子对应于一种振动模式，即晶格在某个固定频率下振动。
对于有N 个原胞（每个原胞中n 个原子）组成的晶体，有3nN 种振动模式，对应于3nN 个声子。
声子的能量, 晶格振动的能量是声子能量的整数倍，即：对于同一种振动模式晶格振动的频率是固定不变的但是振i ω 对于同种振动模式，晶格振动的频率是固定不变的，但是振动的能量却是的整数倍，振动能量的大小实际对应于振动振幅，也即振幅的取值是量子化的。
i ω 声子是固体物理中典型的准粒子，具有能量、也具有准动量i q 可以用统计力学的方式来处理，声子的本质描述的是晶格振动的集体行为，本身是无法脱离固体而存在的，这与光子等真实粒子是不同的。
晶格振动与外界相互作用（光子电子）能量变化是以晶格振动与外界相互作用（光子、电子），能量变化是以
声子能量为单位的，例如晶格振动能量升高，称为吸收一个声子，反之为发射一个声子i ω 个声子，反之为发射个声子
简谐近似下，声子为典型的玻色子，粒子数不守恒，可以产生或湮灭可以用二次量子化中的产生湮灭算符来描述声生或湮灭，可以用二次量子化中的产生湮灭算符来描述。
声子之间无相互作用，非简谐近似下可以引入声子之间的相互碰撞
引入声子概念后，在处理有关晶格振动的问题上将会更加
方便。
例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。
声子的能量是，动量是i ω i
q 又例如：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是声子被散射等等。
使许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。
电子-声子耦合典型例子：cooper对的产生
The theory describes superconductivity as a microscopic effect caused by a condensation of pairs of electrons into a boson-like state.
b d ti f i f l t i t b lik t t
晶体中原子的热运动
使用牛顿力学处理使用哈密顿方程处理量子力学处理
在简谐近似下，任何运动都可以在简谐近似下，原
子间的耦合运动也
3N
在简谐近似下，
可以当作是3nN
看成是3nN种简谐平面波的线性可以用3nN 个简正
坐标下的独立谐振
子运动来描述
种无相互作用的
声子的运动。
叠加。
子运动来描述。
给出原子集体运动的方式，确定色散关系和态密度
揭示了原子热运
动的本质表现：
能量量子化
关系和态密度。
能量量子化。