动手操作型问题
动手操作与运动变换型问题—知识讲解
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A .当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C ．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 （1）要证∠APB=∠BPH ，由内错角∠APB=∠PBC ，即证∠PBC=∠BPH ，折叠后∠EBP=∠EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3）1()2S BE CF BC =+，关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM ≌△BPA ，得EM AP ==x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由228x CF BE EM x =-=+-，很容易用x 表示出S ，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ．即∠PBC=∠BPH ．又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC ．∴∠APB=∠BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8．证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM BC AB ==.又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFM ABP ∠=∠．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM ≌△BPA ．∴EM AP ==x ．∴在Rt △APE 中，222(4)BE x BE -+=． 解得，228x BE =+． ∴228x CF BE EM x =-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，∴211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯． 即：21282S x x =-+． 配方得，21(2)62S x =-+， ∴当x =2时，S 有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6，∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4，∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30° ∴在Rt △FDC 中，DC ＝43∴AD ＝AC －DC ＝1243-即AD ＝(123)-cm 时，FC ∥AB ．问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得2226(12)16x x +=-+，316x =．(ii)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得22(12)16x x -+=，4986x =>(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得222(12)166x x +-+=，212620x x -+=， △＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC 不能为斜边．∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6．∴BC 不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当316x =cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．理由如下：假设∠FCD ＝15°．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°，∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°．∴PD ＝43PC ＝PF ＝2FD ＝8．∴PC+PD ＝8+4312>．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝12EF ＝22，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ， 且22(12)16FC x =-+．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角，∴△CHE ∽△CDF ．∴EC HE FC DF =． 又222212HE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 整理后，得到方程22(8)1(12)162x x -=-+． ∴14430x =-<(不符合题意，舍去)，24438x =+>(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【变式】如图，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB=6,CD=BC=4，BC ⊥OB 于B,以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴ 解之，得∴直线l 的表达式为类型三、平移旋转型操作题 4．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1)如图所示，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D 点移动到．AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时，点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求ABC S △，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】(1)过C点作CG⊥AB于G，如图．在Rt△AGC中，∵sin60CG AC =°，∴3 CG=．∵AB＝2，∴13322ABCCDBFS S==⨯⨯=△梯形．(2)菱形．∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形∵DF∥AC，∠ACB＝90°，∴CB⊥DF，∴四边形CDBF是菱形．(3)解法一：过D点作DH ⊥AE于H，如图，则1131322ADES AD EB==⨯=g g△又1322 ADES AE DH==g g△，332177DH==⎭或．∴在Rt△DHE中，321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴DH ADBE DE=，即37=，∴37 DH=，∴321 sin27DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换.类型四、动态数学问题5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？【思路点拨】（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．【答案与解析】解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO=∠ABE．∴Rt △CAO ∽Rt △ABE ． ∴． ∴．∴t=8．（2）由Rt △CAO ∽Rt △ABE 可知：BE=t ，AE=2．当0＜t ＜8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（4﹣）=． ∴t 1=t 2=3．当t ＞8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（﹣4）=． ∴，（为负数，舍去）． 当t=3或3+5时，． 【总结升华】考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）213S=3(03)2t t t •=≤≤； （2）193S=-33333-10)22t t t t +•=（）＜≤；（3）116-t )S=10222t -⨯••=1016-8t ⨯2（）2-16)8t =+-＜≤. 综上，S 关于t 的函数解析式为：22(03)2-(310)2-(1016)8t t S t t t ⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤。
苏教版小学数学“综合与实践”内容分析与教学建议
苏教版小学数学“综合与实践”内容分析与教学建议作者：丁大秋来源：《数学教学通讯·小学版》2019年第07期摘; 要：“综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的四大板块之一，笔者通过梳理与分析苏教版每一册小学数学教材内容的“综合与实践”，并围绕内容提出教学建议：从课型分类分为动手操作型、数学游戏型、调查探究型三大类，从课堂流程分为弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾反思，为大家开展“综合与实践”活动课提供教学建议和教学指南。
关键词：苏教版;综合与实践;内容分析小学新课标中的“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[1]。
在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。
“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以在课内外相结合。
在苏教版小学数学教材中，教材编委在每一册教材中都安排了2～3课时的内容，引导学生综合性地运用已经学过的数学知识解决生活中的数学问题，实现数学的应用价值。
[⇩] 一、苏教版小学数学“综合与实践”内容分析为了丰富学生的课外知识，教材根据各个年级学生的年龄特征和学习能力安排了不同内容的综合实践活动，引导学生在活动中积累数学活动经验，感受到数学的有趣和好玩 [2]。
因此，笔者梳理了苏教版小学数学教材中各个年级的“综合与实践”内容，并围绕内容分布、教学流程等角度进行具体阐述。
（见表1）笔者通过对苏教版小学数学“综合与实践”内容的梳理，发现课堂内容和展开形式多种多样，都直接关系着学生的数学核心素养教育。
因此，教师要在数学课上有效开展“综合与实践”活动课，让学生在活动中应用知识，快乐成长。
[⇩] 二、苏教版小学数学“综合与实践”教学建议笔者针对苏教版小学数学“综合与实践”的课型分类和课堂流程这两个角度具体阐述，为大家开展“综合与实践”活动课提供教学建议和教学指南。
1. 教材内容决定活动类型根据苏教版小学数学“综合与实践”的教材内容，笔者把教材中的内容分为动手操作型、数学游戏型、调查探究型三大类。
基于学科核心素养下的小学数学实践性作业设计
基于学科核心素养下的小学数学实践性作业设计数学实践性作业无论是在课内还是在课外都发挥着重要的作用。
在2021年发布的作业管理通知以及“双减”政策的要求下，在新课程改革和数学学科核心素养的背景下，数学作业的设计不再局限于对基础知识和公式的反复练习，还增添了许多具有实践意义的内容。
本文结合自身的数学教学实践，围绕实践性作业的设计谈谈自己的看法与实践策略。
1.小学数学实践性作业设计的意义1.1 培养学生的应用意识。
实践性作业将数学知识与生活实际相结合，让学生运用所学的数学知识在发现问题的基础上能够有效的解决问题，真正实现了学以致用。
实践性作业往往是一种综合性比较强的作业，可能会涉及到一些跨学科的知识，各个学科之间都是相互联系的，可以互相运用的。
通过完成此类作业，可以培养学生将数学知识运用到其他学科上的能力，同时还能促使学生有意识的去观察，去思考，让学生学会自主的运用知识，提高自主学习的能力。
一定程度上培养了学生的应用意识。
1.2 促进学生的合作交流。
实践性作业是比较开放性的，能给学生提供更多合作交流的空间。
部分实践性作业不是个人能够完成的，需要集体合作完成。
每位学生都可以针对作业自由的提出自己的看法与见解，然后在小组内进行交流讨论，最终得到大家都一致认可的结论。
在完成一次实践性作业的过程中，每位学生都可以尽情的表现自己，针对问题，大胆的说出自己的想法，与同伴分享，相互学习，达到共同进步的效果。
所以教师应该多鼓励学生进行讨论探究，来有效促进学生的合作交流能力。
1.3 增强学习数学的兴趣。
数学来源于生活，很多学生总是感觉数学很单调，学起来枯燥无味，其中很重要的一个原因就是脱离了生活实际。
只有让学生深入生活，他们才能产生思考的兴趣，找到思考的途径，进而深入到学习中去，对学习数学产生无与伦比的兴趣和热情。
一旦产生了兴趣以后，他们就会主动去发现问题，解决问题，获取新的知识，并在现实生活中体验学习和成功的乐趣。
在数学实践性作业中，很多作业都可以对学生的综合能力进行培养，可以帮助学生有效运用自己擅长的知识，进而提升学生学习数学的信心，增强学生学习的积极性。
初中教学方面存在的主要问题及对策
初中教学方面存在的主要问题及对策一、初中教学方面存在的主要问题1. 缺乏个性化教学：在现今的初中教育中，普遍存在着以应试教育为导向的问题。
由于批量型教学的需求，导致了对学生个体差异的忽视。
教师往往不能根据学生的兴趣、能力和特点进行精准的个性化教育，这阻碍了学生全面发展。
2. 缺乏实践与动手操作：目前初中课堂侧重于理论知识的传授，忽视了对实践能力和动手操作的培养。
许多科目如数理化等需要更多实践锻炼来加深理解和记忆，但由于实验设备有限或者时间紧张等原因，学生无法真正感受到科学知识的魅力。
3. 学科之间缺乏融合：传统上，不同学科被划分为独立领域，在课程设置上没有足够融合。
这导致了学生难以形成系统性思维和跨学科能力。
他们难以将所学知识整合运用，并不能真正解决现实问题。
4. 单一评价体系：现行的评价体系过于依赖笔试和考试，忽视了学生的多元智能和综合素质发展。
这种单一评价方式导致了教师仅关注知识的掌握情况，而对学生的思维能力、创新意识等其他方面发展缺乏重视。
二、解决初中教学问题的对策1. 实施个性化教育：教师应该充分认识到学生个体差异的存在，以人为本，从每个学生的兴趣、需求和能力出发，为他们提供不同程度和形式的教育资源。
采用多样化的教育手段和灵活的组织形式，满足学生自主选择爱好、培养创造力和独立思考等个性化需求。
2. 强化实践与动手操作：增加实验室设备和材料投入，扩大实践机会，让学生亲自动手进行实验操作，并深入理解科学原理。
同时，在其他科目中也要更加注重实践环节设计，鼓励学生参与小组合作、场景模拟等活动，培养他们解决问题和团队合作的能力。
3. 跨学科课程融合：推动学科之间的互相渗透和融合，开设跨学科课程或者采用综合型题目进行考核。
通过设计项目式学习和课程整合，让学生能够看到不同学科之间的关联性，并培养他们的综合思维、创新意识和解决问题的能力。
4. 多元化评价方式：改变以考试为主的评价体系，引入多种形式的评价方式。
中期报告案例小学低段数学实践性作业的设计研究
中期报告案例小学低段数学实践性作业的设计研究一、课题概述长期以来,传统的数学作业内容局限于课堂知识,多以书面练习题作为主要形式,机械、重复的作业使学生不感兴趣。
数学作业与学生生活实际联系不紧密,缺乏实践性作业,没有办法很好的培养低年级孩子解决实际问题的能力,降低了孩子们的学习积极性,影响了孩子们的身心健康,无法满足孩子们多方面发展的需求。
以河南省登封市北区小学为例，在低段数学实践性作业中，存在以下问题：1.学生对待作业缺乏兴趣、态度不积极、作业质量不高。
（1）学生做作业的主动性不高，不想做作业，需要老师和家长不断地督促。
（2）学生做作业时的专注度不高，边做边玩，磨蹭拖拉现象严重，不能按时完成作业。
（3）作业字迹潦草、出现应付的现象、正确率不高。
2.学生的数学作业缺乏实践性，动手操作能力、数学应用能力差。
（1）遇到实际生活相关的问题，不会用所学的数学知识来解决。
（2）学生对一些综合性、应用型的题目感到畏惧、无从下手。
（3）学生对一些操作型、表达型等实践性作业完成的质量不高。
在实际教学中通过课堂教学，日常教研，平时认真的观察，针对以上存在的问题进行了原因分析：1.作业形式单调、内容枯燥、作业评价方式单一，以传统作业为主，造成学生对作业缺乏兴趣。
(1)我们老师布置的作业，形式还停留在填空、选择、计算、判断等书面作业上。
(2)我们的作业设计没有针对性,没有区分度，不能很好的调动不同学生的主动性。
(3)我们的作业设计缺乏趣味性。
(4)我们的作业评价形式单一,主要以√、×或者优良中差等等级评价,缺乏鼓励性、缺乏有针对性的评价语,缺乏人文关怀。
评价主体单一,主要以教师评价为主,缺少学生自己评、学生之间互相评等多种方式的评价。
2.作业设计与生活联系不紧密，缺乏数学实践性作业。
（1）我们老师布置的作业内容过于注重数学学科基础知识的训练，缺乏动手操作、探索、调查、应用等联系生活的实践性作业，不能很好的培养学生的数学应用能力。
2020年中考数学专题复习教学案--动手操作题(附答案)
同步测试4
（2020最新模拟·南宁）已知 在平面直角坐标系中的位置如图16所示．画出 绕点 按顺时针方向旋转 ．
【答案】旋转后的图形如图17．
动手操作题
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，出现了一类新题型--动手操作题．这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力．解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
5．将任意三角形剪切可以拼成一个与此三角形面积相等的矩形．
方法如下（如图23—1）：
请你类似上面图示的方பைடு நூலகம்，解答下列的问题：
（1）对任意三角形（如图23—2），设计一种与上例不同的方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形（如图23—3），设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
【答案】1．
类型二：图形拼接型动手操作题
图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．
例2（2020最新模拟·安徽）如图5，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．请画出拼成的矩形的简图．
【分析与解答】我们观察图5中的4块图形各边之间的对应关系，找出能拼接在一起的边，如图6就是一种拼接方法．
中考数学试题中动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
动手操作小学数学教案
动手操作小学数学教案
年级：三年级
时间：40分钟
教学目标：
1. 让学生通过动手操作，理解和掌握加法运算的基本规则。
2. 提高学生合作能力和解决问题的能力。
教学准备：
1. 加法习题卡片
2. 小组合作分组表
3. 珠子或其他实物作为教具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师介绍当天的学习内容：加法运算。
让学生回顾之前学过的加法规则，引导学生思考什么是加法。
二、授课（10分钟）
1. 教师向学生展示加法习题卡片，让学生自愿参加。
2. 学生根据卡片上的数字，进行加法运算，用珠子或其他实物代替数字，进行实际操作。
三、小组合作讨论（15分钟）
1. 将学生分成小组，每组4-5人。
2. 小组讨论并解决教师提供的加法问题，每组选择一名代表将解答结果写在白板上。
四、总结（5分钟）
教师引导学生总结当天学习到的知识，强调加法的基本规则，鼓励学生多加练习，提高计算能力。
五、作业布置（5分钟）
布置加法练习题作业，并鼓励学生在家继续进行动手操作加法练习。
教学反思：
1. 动手操作对学生理解加法规则和概念的帮助很大，增强了学生的学习兴趣。
2. 小组合作讨论能够提高学生的合作能力和解决问题的能力，是教学中很重要的一环。
3. 可以在今后的教学中增加更多的实物材料，让学生通过实际操作加深对数学概念的理解。
操作探究型问题例析
求— — 正 五 角 星 形． 仅 考 查 了正 五 边 形 、 腰 三 角 形 的 相 关 概 不 等 念 和 性 质 ． 考 查 了 学 生 的 空 间 想 象 能 力． 纸 具 有 操 作 性 和 直 还 折
把剪 开的两部 分重 新拼接成不 重叠的图
形 ， 列 选项 中不 能 拼 出的 图 形 是 （ 下 ） Ａ． 四边 形 Ｂ矩 形 Ｃ等 腰梯 形 Ｄ直 角 梯形 平行 ． ． ．
到 平 行 四 边 形． 果 不 通 过 动 手 操 作 ． 凭 头 脑 想 象 ． 认 为 可 如 仅 误 以拼 出直 角梯 形 而错 选其 他 项．
（ 称为第一次操作 ）再把剩下 的矩形 如图４Ｊ样折一下 ， ； ］ ｌ ￣ 剪下一 个边长等于此 时矩形宽 度的正方形 （ 称为第二次 操作 ）如此反 ； 复操作下去． 若在第ｒ ／ ， 次操作后 ， 剩下 的矩形为 正方 形 ， 则操作终
（川）２ １四边形Ｅ ｜ １ ＿ ， Ｇ、 ７ ｗ和四边形
解 ： 一种 情况 ， 图５Ａ ： Ｆ 。￣ Ｃ ＝ Ｈ １ ｆＤ ： 一 第 如 ，Ｂ 曰 ＝， Ｆ Ｃ ： － ￣Ｈ 。 Ｚ ＿５ 脯 是正方形 ， Ｉ２ Ｈ： Ｎ）Ｄ ２
十。毒 ・初 版 ？ ｊ 中 Ｉ ： ？
手操 作 的 能力 和 图 形 变换 的 能 力 。 可通 过 旋 转 、 翻折 、 平移 这 三
三 、 多次操 作后 的边 长 求
例３ （０ １ 山东 德州卷 ） ２ ｌ年 长为 １ 宽为ｎ ， 的矩 形纸 片（２＜ ａ １ ， 图４ ＜ ）如 那样折一下 ， 剪下一个边长 等于矩形宽度 的正方形
止． ＝ 时 ，的值为 当ｎ ３ 。
图２
二 、 用 剪 、 求 度 数 利 拼
聚焦中考专题3 方案设计与动手操作型问题
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案 不适合作为这个同学演讲的最后得分． 因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响 ， 不能反 映这组数据的 “ 平均水平” ， 所以方案 1 不适合作 为最后得分的方案；又因为方案 4 中的众数有两个 ， 从而使众数失去了实际意义 ， 所以方案 4 不适合 作为最后得分的方案．
图形的平移、旋转与翻折 【例 5】 (2014· 江西 ) 如图① ， 边长为 4 的正方形 ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在 BC边上(不与点B，C重合)． 第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落
在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落
x－y＝2 x＝8 得 ，解得： ，答：A x＋2y＝20 y＝6
种树苗每株 8 元，B 种
树苗每株 6 元
(2)为扩大种植，某农户准备购买A，B两种树苗共360
株 ， 且 A 种树苗数量不少于 B 种数量的一半 ， 请求出
费用最省的购买方案．
设 A 种树苗购买 a 株，则 B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用 1 a≥ （360－a）① 2 为 W 元，由题意，得 ，由①，得 a≥120. W＝8a＋6（360－a）② 由②，得 W＝2a＋2160.∵k＝2＞0，∴W 随 a 的增大而增大， ∴a＝120 时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240 棵．
．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要
求，二是要具有代表性．
(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图
形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运
用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于
高中数学课堂教学中“问题链”的类型及结构模式
问题２将一张白纸对折，第２次再对 折，依次下去，请你依次写出对折后纸张的厚 度． 问题３在计算机病毒传播的例子中， 你能写出一个数列描述每一轮被感染的计算 机台数吗？ 问题４观察这些数列，分析它们的规 律，类比等差数列，说说它们有什么共同特 点？ 上述案例在引入新课时，设置了前３个 问题作为问题情境，问题４才是核心问题． １．２探究型问题链 数学探究活动强调学生从已有生活经验 出发、在动手操作的活动过程中学习，进而完 成对知识的主动建构．数学探究活动往往发 生在学生的头脑里，这就需要老师设计有效 的问题，让学生经历“直观感知一感性认识一 理性思考”的活动过程，在活动中“学会学 习”．此问题链主要是激发和引导学生如何发 现问题、思考问题、解决问题，进一步增强学 生探究意识，培养学生探究问题的能力． 案例２“同角三角函数的关系”探究型 问题链．
收稿日期：２０１４一１０—２０
基金项目：２０１４年宝鸡市基础教育教学研究课题——优化“问题链”设计对提高高中数学教学效率研究（编号：ＢＪＸＫＴ２０１４－７）．
作者简介：韩红军（１９７４一），男，教育硕士，中学数学二级教师，主要研究高中数学解题・课堂教学实％
Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｈｊ０４＠１２６．ＣＯＷｌ
万方数据
１．６实验型问题链
学生理解直线与平面垂直的条件：两条直线、 两条直线都在平面内、两条直线必须相交、直 线和这两条直线必须相交． １．７图表型问题链 图表型问题链是对相近或相似知识之间 进行横向或纵向比较而提出的一连串问题， 让问题处于学生思维的最近发展区，并通过 应用使学生对易混淆的知识逐渐明朗化．此 问题链主要用于相近或相似知识、易混淆知 识之间进行比较，通过比较知识异同，使概念 更加清晰． 案例８“抛物线的简单性质”图表型问 题链． 问题１类比椭圆、双曲线的几何性质， 抛物线又会有怎样的几何性质（表１）？ 问题２试画出抛物线ｙ＝８ｘ２的图形， 顶点坐标（
锁定中考题型 形成知识网络——渗透性讲解：操作设计问题
你 同意吗 ？请 说 明理 由． ｒ ＬFra bibliotekＴ ， Ｊ
等腰 三角形 ． （） ２ 画一 个 面积 为 １ 的等 腰直 角 ０
三 角形．
Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ
鬻
图６ 图７
形 ． 得 ６ 使 ５ （ ） ， 的值 可 以 是 １ｎ ｂ 出一 组 即可 ） ．
工具．
操作 设计 问题
应 用型 问题
质 点运 动型 问题 分类讨 论 问题 探 索 型 问题
专题 实战
希望通过 此次专题 数 学的讲解 ． 同学们 能更加 明确 自己 复 ，的侧重点以及 需要 改进的地方 ，让中考前的复 习更 高效 、 － － ｊ
有意义．
３ ６
操作设 计问题
四月． 处在通 往唯 一 目标— — 中考 的路 途 中 ． ＊ 成 了 复－ ２
学 习的主 角．为什 么学 习新知识 时 ． 节考试 总是没 问题 ， 章 但 是综合考试 时却总感觉力不从心？ 实这 一切 都源 于总结 、 其 归 纳的 欠缺 ．以及 大 家对知识 渗透性 的疏忽．本期的 专题数 学 便站在综合的 角度 ． 对知识进行渗透性讲 解．
知识 ． 需要我 们记 住 常 见的 一 些 勾股
数．对 于本 题 ．要 抓 住 面积 不 变 这 个 关 键 ． 确 定 小 正 方 形 的 边 长 ． 正 先 以 方形 的边 长 为斜 边 ． 造 出两个 直 角 构
Ｄ 处 ．折 痕 为
Ａ Ｅ Ｄ
题考 查在 方格 中的作 图问题 ． 常 见 是
的题型．利 用 方格 的 特殊 性 ．我们 可 以通过 计 算确 定边 长 ． 构 造 出三 角 再 形．第 （ ） １ 小题 计算 出等 腰 三 角形 的 高 即 可 画 出： （ ） 第 ２ 小题 计 算 出这 个 等腰 三 角形 的边 长 即 可画 出；第 （ ） ３
动手操作题(含答案)
OGFB DACE动手操作题操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．类型之一 折叠剪切问题折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”， 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．折叠问题不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．1.（山东省）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形． 将纸片展开，得到的图形是2.（·泰州市）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 3.（•济南市）如下左图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．4.（•重庆市）如上右图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .类型之二分割图形问题分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
6动手操作型问题
动手操作型问题1如图1，将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O ，并能绕O 点自由旋转，若∠DOB =65°，则∠AOC+∠DOB = °. 2如图1-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图1-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ B ） A ．234cmB.236cmC.238cmD.240cm3把图①的纸片折成一个三棱柱，放在桌面上如图②所示，则从左侧看到的面为（ B ）． A 、Q B 、R C 、S D 、T4在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足b c d e +=+，例如 0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图：5如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A 沿着道路中央走到终点B ，他共走了 .6如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a +2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） 如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）8按如图的运算程序，能使输出结图1-1图1-2果为3的x ，y 的值是（ ）A ． x =5，y =﹣2B ． x =3，y =﹣3C ． x =﹣4，y =2D ． x =﹣3，y =﹣99如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（ ） A ．∠1+∠6＞180° B ．∠2+∠5＜180° C ． ∠3+∠4＜180°D ． ∠3+∠7＞180°10李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12，12变成1，等）．那么在线段AB 上（除A ，B ）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．11将如图①的矩形ABCD 纸片沿EF 折叠得到图②，折叠后DE 与BF 相交于点P ，如果∠BPE=130°，则∠PEF 的度数为( )A 、60° B 、65° C 、70° D 、75°12操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '. 点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B ''，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；13分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有 ( )A 、①②B 、②③C 、①③D 、①②③都可以是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？14如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合。
初中数学几何最值专题24：翻折理解型最值(最全修正版)
翻折理解型最值【例题精讲】例1、如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5．折叠纸片使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ．当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在边BC上可移动的最大距离为。
解析提示：总结：例2、如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕FG的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10．则AE的最大值是，最小值是。
解析提示：总结：例3、如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB ＝8cm，BC＝10cm，则折痕EF的最大值是。
解析提示：总结：例4、动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD 边上移动．求：（1）当点Q与点D重合时，A′C的长是多少？（2）点A′在BC边上可移动的最大距离是多少？解析提示：总结：针对训练1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为。
2、如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于。
3、动手操作：在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为。
中考数学专题考试——折叠剪切问题
图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生地动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示地方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 地度数为（ ）A ．600 B ．750 C ．900 D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′地位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等地足够长地纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示地正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 地面积为（ ）A ．4B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 地边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 地中点，若沿左图中地虚线剪开，拼成如下右图地一座“小别墅”，则图中阴影部分地面积是A ．2 B ．4 C ．8 D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm.操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c.则△GFC 地面积是（ ）E A A A B B C C C GD D D F F 图a 图b 图c 第6题图A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5地等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上地点D 地位置，且ED BC ⊥，则CE 地长是（ ）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中地虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到地平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形地是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形地纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中地虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后地形状应是( )第7题图第8题图第9题图第10题图答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中地虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后地平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得地图形是（ ）答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 地底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等地四边形地个数是（ ）A.1B.2A B CD 图3图1第12题图C.3D.4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱地同学们，在我们地生活中处处有数学地身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形地三个角拼在一起，就得到一个著名地几何定理，请你写出这一定理地结论：“三角形地三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 地正方形内去掉一个边长为b 地小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证地等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 =a 2+2ab+ b 2 Ｄ.a 2+ ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 地长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 地中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 地长与宽之比等于矩形ABCD 地长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1答案：A六、折叠和剪切地应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上地点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边地中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；第15题图（1）第17题图 （2）ABCDEF MG第19题图（2）如果M 为CD 边上地任意一点，设AB=2a ，问△CMG 地周长是否与点M 地位置有关？若有关，请把△CMG 地周长用含DM 地长x 地代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之. （2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 地周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上地位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国地报纸一般都有一个共同地特征:每次对折后,所得地长方形和原长方形相似,问这些报纸地长和宽地比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示地矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 地中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中地Rt △BCE 就是拼成地一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中地Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好地四边形分别画在图3、图4地虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成地Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中地边AB 和BC 地长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 地方程01)1(2=++--m x m x 地两个实数根,试求出原矩形纸片地面积.答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 地两根E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCE M图3图4E第21题答案图∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片地面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”地材料制成，未切割前地单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 地正方形小硅片若干.如果晶圆片地直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸地小硅片66张？请说明你地方法和理由.（不计切割损耗）答案：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形地矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 地圆内，如图中矩形ABCD.∵AB ＝1 BC ＝10∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜205.10（2）我们在矩形ABCD 地上方和下方可以分别放入9个小正方形.GFH E D C B A∵新加入地两排小正方形连同ABCD 地一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 地长为9，高为3，对角线9098139222=+=+=EG ＜205.10.但是新加入地这两排小正方形不能是每排10个，因为：109910031022=+=+＞205.10（3）同理：8925645822=+=+＜205.1010625815922=+=+＞205.10∴可以在矩形EFGH 地上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.（4）再在原来地基础上，上下再加一层，共7层，新矩形地高可以看成是7，那么新加入地这两排，每排都可以是7个但不能是8个.∵9849497722=+=+＜205.1011349647822=+=+＞205.10（5）在7层地基础上，上下再加入一层，新矩形地高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个.∵9781169422=+=+＜205.1010681259522=+=+＞205.10现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 地空间，因为矩形ABCD 地位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：学生也可能按下面地方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一. 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层.（2）在前面地基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层. 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）【21】在一张长12cm 、宽5cm 地矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点地方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形地对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 地方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学地折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4151254622AEHS S S=-=⨯-⨯⨯⨯矩形菱形230(cm )=（方案二）设BE=x ，则CE=12-xAE ∴由AECF 是菱形，则AE 2=CE 22225(12)x x ∴+=-11924x ∴=2ABES S S-矩形菱形=111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知，方案二张丰同学所折地菱形面积较大.【22】正方形提供剪切可以拼成三角形.方法如下：（方案一）ADEFBC （方案二）第23题图仿上面图示地方法，及韦达下列问题： 操作设计：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积地矩形.（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积地矩形.答案：（1）（2）略.【23】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到地扇形面中地一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁地作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到地7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形地总个数(S)填入下表第24题图（2） 第24题图（3） 方法一： 方法二：第24题答案图（1） 第24题答案图（2）第25题图 O(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来地圆形纸板剪成33个扇形？为什么？ 答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等地圆内接多边形是正多边形.【24】如图，若把边长为1地正方形ABCD 地四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下地图形仍为正方形，且剩下图形地面积为原正方形面积地95，请说明理由(写出证明及计算过程).答案：剪法是：当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且S=95.在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1， ∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1，∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ， 则AD 1=1－x.∵正方形A 1B 1C 1D 1地面积=95， ∴S △AA1D1=91 即21x(1－x)=91， 整理得9x 2－9x+2=0.解得x 1=31，x 2=32. 当AA 1=31时，AD 1=32，当AA 1=32时，AD 1=31.∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积地95.折叠问题专题研究上虞市滨江中学 潘建德一、教学目标：1、理解折叠问题地本质2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本地导向 二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题 三、教学难点：折叠型综合题地分析 四、教学过程：1、引入：出示08绍兴8题：将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1地形状，则CPD ∠地大小是（ ）A ．120 B ．90 C ．60 D ．45此题凸显地主题是图形地折叠，折叠问题在近几年地中考中越来越常见，据统计，在08年我省11个地区地中考卷中有7个地区都出现了折叠型考题，其中有5个地区中考卷地压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考地热门问题之一．点出课题．2、解题策略（一）——重过程“折”（1）如何迅速且准确地解决08绍兴卷第8题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力地实践操作题．解题策略：重过程——“折”．（2）学生进一步尝试．题2：（2008山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然A．B．C．D．AB CDFE 后将最后折叠地纸片沿虚线剪去上方地小三角形．将纸片展开，得到地图形是（）3、解题策略(二)——重本质“叠”（1）本质探究：题3：如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上地F点处，如果∠BAF=30°，AD=2，则∠DAE=___，EF=_______．学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠地本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．根据轴对称地性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角地相等）；（2）点地轴对称性：互相重合两点（对称点）之间地连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应用勾股定理得方程）．（2）初步应用：题4：08丽水8：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上地点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A'．若四边形ADA E'是菱形，则下列说法正确地是（）A．DE是△ABC地中位线B．AA'是BC边上地中线C．AA'是BC边上地高D．AA'是△ABC地角平分线分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠地全等性得到，也可根据折叠地点轴对称性得到．（3）题5：09绍兴市属期末23．（本题满分12分）课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕地长．(1) 如图1, 折痕为AE;(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD地中点，折痕为AE;(3) 如图3, 折痕为EF．ACDEA'（第8题）分析：题（1）题（2）主要应用折叠地全等性，题（3）连结对称点地连线BD ，根据折叠中点地轴对称性得EF 是BD 地中垂线，BO=4125，同时根据矩形地中心对 称性知，EF=2E0，在Rt △CDE 中，根据勾股定理可解得DE=241,根据折叠全等性得BE=DE=241,在Rt △BOE 中根据勾股定理得EO=412,故EF=414．由此题得心得：在解决折叠类计算题时，根据Rt △地勾股定理应用方程思想是常用方法． 题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都根据课本原题改变而成．根据课本原题改变成中考题，是中考卷出题地一个新地方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课本习题进行探索和挖掘．（4）题6：08绍兴24题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+． （1）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上地点D 处，求点D地坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PE 与AC 能否垂直？此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨．题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题地着眼点．4、反思小结:折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力地实践操作题，到直接运用折叠相关性质地说理计算题，发展到基于折叠操作地综合题，甚至是压轴题．其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决有关地折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁．图1 （第24题图）初中几何综合复习（讲稿）—矩形折叠问题同学们好，今天我和大家一起研究平面图形地折叠问题.首先，在最近几年地中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形地能力、空间思维能力和综合解决问题地能力都提出了比以往更高地要求.希望通过今天地讨论，使同学们对折叠问题中有关地几何图形之间地位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决地过程中巩固头脑中已有地有关几何图形地性质以及解决有关问题地方法；并在观察图形和探索解决问题地方法地过程中提高分析问题和解决问题地能力.那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关地问题.下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠地意义1．折叠，就是将图形地一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线地同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.如图（1）是线段AB沿直线l折叠后地图形，其中OB'是OB在折叠前地位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后地图形，△ABC是△AB'C在折叠前地位置，它们地重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分地形状、大小不变，是全等形如图（1）中OB'=OB；如图（2），△AB'C≌△ABC；(3) 图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称如图（1）OB'和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△AB'C和△ABC关于直线AC成轴对称.二．和折叠有关地问题图形经过折叠，其翻折地部分折叠前地图形组合成新地图形，新地图形中有关地线段和角地位置、数量都有哪些具体地关系呢？这就是我们今天要重点讨论地问题.下面，我们以矩形地折叠为例，一同来探讨这个问题.问题1:将宽度为a地长方形纸片折叠成如图所示地形状，观察图中被覆盖地部分△A'EF.（a）△A'EF是什么三角形？结论：三角形AE'F是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等地,∴∠1= ∠2,又∵矩形地对边是平行地∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形方法二：∵图形在折叠前和折叠后地形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度地线段EP和FQ相等，即∆A'EF地边A'E和A'F上地高相等，∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形(b)改变折叠地角度α地大小，三角形A'EF地面积是否会改变？为什么?答：不会改变.分析：α地改变影响了A'E地长度，但却不能改变边A'E上地高，三角形A'EF地面积会随着α地确定而确定.例一：在上面地图中，标出点A'在折叠前对应地位置A,四边形A'EAF是什么四边形？分析：（1）由前面地分析可知A'与A'在折叠前地位置A关于折痕EF成轴对称,所以作A'关于EF地对称点即可找到点A（过点A'作A'A⊥ EF交矩形地边于点A）. 同学们还可以动手折叠一下，用作记号地方法找到点A.（2）四边形AEA'F是菱形证法一：∵ A是A'在折叠前对应地位置,∴A和A'关于直线EF轴对称,∴AA'⊥EF,且AO=A'O,又∵AE∥A'F,∴EO∶OF=AO∶OA',∴EO=OF∴四边形AEA'F是菱形证法二：A是A'在折叠前对应地位置,∴∆AEF≌∆A'EF,A'E=A'E,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,A'E=A'F,∴A E=AF=A'E=A'F,∴四边形AEA'F是菱形.例2.在上题地图中,若翻折地角度α=30°,a=2,求图中被覆盖地部分△A'EF.地面积..分析：图中被覆盖地部分△A'EF是等腰三角形，其腰上地高就是原矩形地宽度2,所以，本题地解题关键就是要求出腰A'F 或A'E地长.答：S四边形AEA'F＝2S△A'EF=(8/3)√3（解答过程略）练一练：当α地大小分别45°、60°时，图中被覆盖地部分△A'EF.地面积是多少？例题3. 如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN 上，（如图中1地点P）,若AB=√3,则折痕AE地长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE地斜边，故解决本题地关键是求PE(或BE)地长.解法一：由折叠地意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD ∥BC且AN是AP地一半∴ MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1地结论)∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.由BC∥MN∥DA且M、N分别为CD和AB地中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又PO=AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60°（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB地三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕AE地长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来地二等分线变为三等分线，其他条件不变.所以本题地解题关键还是求出EB(或EP)地长解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地三等分点∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP²+PF²=AF²∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1, ∴AE²=1+5=6,∴AE=√6例4 如图3,有一张边长为3地正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点地位置,折痕为AE.(1)求MP地长;(2)求以PE为边长地正方形地面积.分析：将本题与例题2比较，不难看出它们地共同之处，显然，解决本题地关键是求PE和PN地长解法一：延长EP交AD地延长线于F, 则FE=FA(已证)M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴ MN∥AD ∥B C且AN是AP地一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴PN=(3/2)√3，(1)∴MP=1-PN=3-(3/2)√3,又AP=3,∴EP=√3，(2)∴以EP为边长地正方形地面积为3.其他解法请同学们思考.例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中地M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD地面积分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形地边AB上，由折叠地意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等地，所以，求四边形CNMD地面积地关键就是求ΔDCN或ΔDMN地面积，所以本题地解题关键还是求出NC(或BN)地长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=10/3S四边形CNMD =2S△DCN=(10/3)*10=100/3例6.将长为8，宽为6地矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF地长.（2）求三角形DEF地面积分析：由矩形折叠地意义可知，EF垂直平分BD（O为BD地中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF地中点，所以可设法先求出EO地长，或直接求EF地长,进而求三角形DEF面积.解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10又AB∥DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=15/4∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4(2)S△DEF解（法二）：(1)过C作CP∥EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴CP=10*6/28=15/2∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=(2)S△DEF75/4同学们，图形折叠问题中题型地变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中地规律，从今天我们对矩形折叠情况地讨论中可以得到以下几点经验：1．图形地翻折部分在折叠前和折叠后地形状、大小不变，是全等形；2图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示地形状，图中重叠地部分△AE'F是等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质地位置关系，从而进一步发现其中地数量关系；5．充分挖掘图形地几何性质，将其中地基本地数量关系，用方程地形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用地方法之一.今天地讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好地成绩.中考专题复习——折叠问题动手折一折，并思考：（1）用一张矩形地纸，通过折叠，使较短地边AB 落在较长地边AD 上，分析重叠部分展开后地形状.（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成地图形.题组一：（1）如图（1），点E 是矩形ABCD 地边CD 上地点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上地F 点处，如果∠BAF ＝60o ，则∠DEA ＝____________.（2）如图（2），已知：点E 是正方形ABCD 地BC 边上地点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________.（3）如图（3），AD 是△ABC 地中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´地位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________. 图（1）图（2）题组二： 图（3）（4）如图（4），已知矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4.沿着对角线BD 将矩形ABCD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于E .求出未知地线段. A BCDEABCDA BCD（5）如图（5），矩形ABCD 地长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB 上地C ´点（DE 为折痕），那么阴影部分地面积是________.图（4） 图（5）题组三：（6）如图（6），P 是以AB 为直径地半圆上地一点，PA ＝4，AB ＝10，将半圆折叠使弦PA 正好落在AB上，则折痕AC 地长为___________.图（6）（7）如图（7），把正三角形ABC 地外接圆对折，使点A 落在弧BC 地中点A ´，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内地部分DE 地长为_____.提高题：(1)一张宽为3、长为4地矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ´地位置，BC ´交AD 于G （如图8）.再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （如图9），则ME 地长为__________.C ´GABCDA BCDABCPP ´B A DA DC ´图（9）图（8）(2)如图（10），在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，如图将矩形折叠使B 点落在AD 上，设为B ’，顶点C 到C ’点，B ’C ’交DF 于G ．（1） 求证：△AB ’E ∽△C ’GF ；（2）若AB ’＝x ，S B ’EFC ’＝y ，求y 关于x 之间地函数解析式； （3）当B ’在何处时，y 地值最小，y 地最小值是多少？图（10）折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质.轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上. 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠地选择题填空题，很有必要.1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △地AC ，BC 边地中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上地点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°C ´A BC D EFB ´G图（7）（第18题图）AC B2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）A ．40° B ．30°C ．20°D ．10°3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示地方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点地三角形与△ABC 相似，那么BF 地长度是．4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上地高.将△ABC 按如图所示地方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 地周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.55、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 地中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 地值为．6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上地点，联结AM（如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 地中点处，那么点M 到AC 地距离是．第2题图 A 'BD AC7、(2009宁夏)如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上地中线，将ADC △沿AC 边所在地直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边地长为8，BC 边上地高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 地长为x ，MN 上地高为h ．（1）请你用含x 地代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面地点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分地面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？A图3BM C BC NM AE C B A D。
动点最值问题
两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动（将军饮马）此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。
当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。
如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。
可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。
本质：两点之间，线段最短。
【牛刀小试】1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点， P 是直径MN 上一动点，则 PA ＋ PB 的最小值为_________．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。
从动脑思考转为动手思考的代数变形——以巧用拼图因式分解教学设计为例
从动脑思考转为动手思考的代数变形以巧用拼图因式分解教学设计为例赵建平１㊀方秀娟２(１.浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心ꎬ浙江湖州３１３０００ꎻ２.浙江省湖州市吴兴实验中学ꎬ浙江湖州３１３０００)摘㊀要:文章以巧用拼图因式分解为例ꎬ思考如何将初中数学课堂教学中的动脑思考一步步转向动手思考ꎬ再从动手操作里逆向抽象出简约的数学模型ꎬ从不同纸片的拼接或者叠放的探究来解决代数变形问题ꎬ对基本图形的拼接㊁叠加和优化ꎬ将初中数学中的十字相乘法分解因式巧妙转化为拼图游戏课.通过抓住面积不变的关键点ꎬ让学生进行动手操作并深度思考ꎬ从而在图形的变化探寻中感受代数式变形的奥秘ꎬ激发学生的数学兴趣ꎬ培养其核心素养.关键词:动脑思考ꎻ动手思考ꎻ代数变形ꎻ拼图建构ꎻ语言转化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００５３－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:赵建平(１９７０ )ꎬ男ꎬ浙江省湖州人ꎬ本科ꎬ中小学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ方秀娟(１９９６ )ꎬ女ꎬ浙江省湖州人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀浙教版初中数学七年级教材中的因式分解ꎬ针对十字相乘法的教学篇幅很少而且内容很浅ꎬ但高中及后续数学学习对这方面的要求却比较高.为更好掌握十字相乘法分解因式ꎬ尝试用拼图游戏的思路来设计本课ꎬ让学生在抽象的代数变形中将动脑思考转变为可操作的动手思考[１].１设计动脑思考解决不了的劣构问题七年级学生对于二次项系数不是１的二次三项式还不能因式分解ꎬ教材中只对二次项系数为１的整式采用十字相乘法分解ꎬ课前设计一个学生不能解决的问题ꎬ利用 挖坑 的学习法激发学生的认知冲突ꎬ引发其动手思考.例１㊀把多项式３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２因式分解.在学生一筹莫展时ꎬ直接给出图片信息作为辅助.已有面积分别为ａˑａꎬｂˑｂꎬａˑｂ的Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片若干ꎬ拼成图形如右图所示ꎬ根据图片信息ꎬ思考能否帮助完成刚才的因式分解问题.图１㊀Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片及其拼成的长方形观察图１可以得出ꎬ长方形恰由３个Ａ型㊁２个Ｂ型的正方形纸片以及７个Ｃ型的长方形纸片构成ꎬ面积即为３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２ꎬ同时长方形的面积也可以表示为(３ａ＋ｂ)(ａ＋２ｂ)ꎬ即为长与宽的乘积ꎬ所以３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２＝(３ａ＋ｂ)(ａ＋２ｂ).根据因式分解时定义ꎬ此即为因式分解的结果.设计意图:引导学生在回忆已有的因式分解方法(提取公因式法㊁公式法等)的基础上ꎬ思考当遇到已有的知识不能解决的问题时如何更进一步地探究.图形信息的转换之间ꎬ可以直接读出代数语言作为结论ꎬ图形的语言信息究竟还可以有哪些规律性３５的结论帮助我们进行代数上的分解ꎬ触发了对以上拼图问题的进一步的思考.２搭建可操作性强的动手思考平台通过有启发的尝试与探究ꎬ巧用拼图解决了较为简单的二次三项式因式分解后ꎬ通过层层推进有梯度的三个学生活动在拼图中进行技巧探寻ꎬ从而搭建了许多动手思考的平台ꎬ让学生利用提供的 支架 进行深度思考.例２㊀按要求完成下列活动:活动１:回忆完全平方公式(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２对应的几何图形.分析㊀学习过程中其实已经涉及图形语言与代数信息的关联探讨.图２是边长为(ａ＋ｂ)的正方形ꎬ可以拆解成１个ａˑａꎬ１个ｂˑｂ的正方形以及２个ａˑｂ的纸片.该公式从左往右看为整式乘法ꎬ从右往左看即为因式分解ꎬ所以若能倒推先得到图形的面积构成及拼法ꎬ就能通过从外围边长反推因式分解结果.图２㊀(ａ＋ｂ)的正方形活动２:如图３ꎬ思考１个ａˑａ㊁４个ｂˑｂ的正方形以及４个ａˑｂ的纸片还可以拼成怎样的规则图形ꎬ得到怎样的等式.图３㊀不同拼图方法示意图活动３:想要拼得再大一点的正方形ꎬ至少还需要不同类型的纸片多少张ꎬ对于不同小正方形的纸片数量各有什么要求?(各类正方形纸片数量都是平方数１ꎬ４ꎬ９ꎬ )活动４:有３张Ａ型(ａˑａ)ꎬ４张Ｂ型(ｂˑｂ)ꎬ５张Ｃ型(ａˑｂ)纸片.从中取出若干张纸片ꎬ每种纸片至少取一张ꎬ把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙㊁无重叠地拼接)ꎬ求拼成的正方形边长的最大值.分析㊀在得到了拼成正方形所需的小正方形数量上的规律后ꎬ范围内只有１张Ａ型㊁４张Ｃ型纸片的数量是满足要求的ꎬ深化学生对于拼图过程中数量规律的理解.活动５:分别选取适当数量的Ａ型(ａˑａ)㊁Ｂ型(ｂˑｂ)㊁Ｃ型(ａˑｂ)纸片ꎬ拼出一个长㊁宽分别为(ａ＋２ｂ)和(ａ＋ｂ)的长方形ꎬ求需要Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片各自的张数ꎬ并思考如何摆放.图４㊀活动５拼图示意图设计意图:从拼成正方形推广到更为普遍的长方形ꎬ一步步探究拼图过程中的数量规律(正方形数量各为平方数)和位置规律(相等边贴着放ꎬ正方形对角放ꎬ定边长再平移).基本拼图规律的总结ꎬ让之后深入运用与问题思考有迹可循.３拓展多维开放的动手思考空间通过不同的动手尝试与思考ꎬ解决拼图过程的思维阻焊点.本课例中设计三个有深度问题ꎬ引发学生多角度去思考ꎬ拓展了更加开放的动手思考的空间ꎬ让学生进行从图形变化到代数变形的自我建构[２]ꎬ从而利用 支架 进行深度思考.例３㊀完成下列问题:问题１:思考ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２的因式分解结果.分析㊀１张ａˑａꎬ６张ｂˑｂ的正方形纸片摆放位置需要先确定ꎬ后者就有１ˑ６ꎬ６ˑ１ꎬ２ˑ３ꎬ３ˑ２几种不同位置情况ꎬ引导学生深度思考ꎬ当填补部分需要ａˑｂ的长方形个数刚好为５个时可以判断该种摆放方式符合要求.利用分类讨论的思想进行具体分析.显然ꎬ第三㊁四两种情况刚好满足拼图要求.此时因式分解的结果为ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２＝(ａ＋３ｂ)(ａ４５＋２ｂ)或ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２＝(ａ＋２ｂ)(ａ＋３ｂ).图５㊀问题１的不同拼图设计意图:图５通过分类讨论面积为ａ２与ｂ２的正方形的摆放位置去凑剩余部分满足中间项５ａｂ的做法ꎬ类比于用十字相乘法因式分解中的 拆两头ꎬ凑中间 来验证的思想.问题２:能否用适当数量的Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型卡片ꎬ拼成一个面积为２ａ２＋３ａｂ＋３ｂ２的长方形.图６㊀问题２拼图分析㊀图６不论两类正方形的位置怎么摆放ꎬ所需要面积为ａˑｂ的长方形个数都不能刚好为三个ꎬ因此无法用拼图所得.设计意图:若二次三项式无法进行因式分解ꎬ进而对应面积的长方形不可能通过拼图所得.发现了这一因式分解的验证依据ꎬ进一步引申对长方形面积的思考:即用来拼图的正方形与长方形纸片张数有一定的数量要求.通过问题循序渐进地抛出与解决ꎬ慢慢引导学生发现并探究拼图过程中的规律.问题３:若取Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型卡纸片若干张(三种纸片都要取到)ꎬ拼成一个长方形ꎬ使其面积为４ａ２＋ｍａｂ＋ｂ２ꎬ求ｍ的值.设计意图:小组合作的形式ꎬ让学生发散性地对得到的知识进行验证与思考ꎬ在组内合作讨论㊁组间交流学习过程中ꎬ进一步深化对应用性知识的理解.４反思与建构动手思考后的活动经验对小组合作及动手操作中积累的活动经验进行反思ꎬ提炼拼图与解决问题中的爬坑经验.本课例中的问题思考ꎬ正是反思与建构动手思考后的理论感悟ꎬ让学生在已有经验上迁移应用[３].例４㊀问题思考:对下列多项式ａ２－ａｂ－２ｂ２进行因式分解.分析㊀回忆平方差公式(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２对应图形的由来ꎬ如图７ꎬ若长方形的面积表达式中出现负号ꎬ巧用割补法把不规则图形通过先切割㊁再找等边进行拼接组成规则图形即可得到ａ２－ａｂ－２ｂ２＝(ａ＋ｂ)(ａ－２ｂ).图７㊀例４拼图设计意图:负号的引入ꎬ引发学生联想平方差公式推导过程中割补法的运用.从不规则图形转化成规则图形的化归思想ꎬ以及从遇到问题到方法找寻的思考探究过程ꎬ让学生进一步感受数学学习中数形结合㊁层层递进的美妙感.５结束语通过先给学生设计用动脑思考无法直接解决的实际问题ꎬ激发学生认知冲突后创新ꎬ再搭建让学生操作的动手思考平台ꎬ进而逐步启发与拓展多维的动手思考空间ꎬ最后进行理论提炼后积累活动经验ꎬ从而解决生活中的实际问题.本课例通过拼图ꎬ利用给定面积的长方形的长与宽ꎬ引导学生在数形结合的思想中用拼图进行因式分解ꎬ通过 外拼 与 内割 总结不同类图形的拼接规律ꎬ巧借拼图将数学符号语言与数学图形语言进行了结合ꎬ让多维的图形变化归一成简约的代数变形表达ꎬ从而在数学动手操作中培养学生核心素养.参考文献:[１]章建跃.核心素养导向的初中数学教学变革[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２３(１):２－５. [２]陶明.ＰＩＳＡ数学测评与我国数学教育测评比较探究[Ｊ].中小学数学ꎬ２０２１(７):９０－９２. [３]陆卓涛ꎬ安桂清.学科实践的内涵㊁价值与实现路径[Ｊ].课程 教材 教法ꎬ２０２２(９):７３－７７.[责任编辑:李㊀璟]５５。