第二章11计量经济学
计量经济学第二章主要公式
第二章主要公式资料地址：/jl1、回归模型概述（1）相关分析与回归分析经济变量之间的关系：函数关系、相关关系相关关系：单相关和复相关，完全相关、不完全相关和不相关，正相关与负相关，线性相关和负相关，线性相关和非线性相关。
相关分析：——总体相关系数XY ρ=——样本相关系数()()nii XY XX Y Y r --=∑——多个变量之间的相关程度可用复相关系数和偏相关系数度量 回归分析：相关关系 + 因果关系（2）随机误差项：含有随机误差项是计量经济学模型与数理经济学模型的一大区别。
（3）总体回归模型总体回归曲线：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹。
总体回归函数：(|)()i i E Y X f X =总体回归模型：(|)()i i i i i Y E Y X f X μμ=+=+ 线性总体回归模型：011,2,...,i i iY X i n ββμ=++=（4）样本回归模型样本回归曲线：根据样本回归函数得到的被解释变量的轨迹。
（线性）样本回归函数： 01ˆˆˆi i Y X ββ=+ （线性）样本回归模型：01ˆˆˆi i iY X e ββ=++ 2、一元线性回归模型的参数估计（1）基本假设① 解释变量：是确定性变量，不是随机变量var()0i X =② 随机误差项：零均值、同方差，在不同样本点之间独立，不存在序列相关等()01,2,...,i E i n μ==2var()1,2,...,i i n μσ==cov(,)0;,1,2,...,i j i j i j n μμ=≠=③ 随机误差项与解释变量：不相关cov(,)01,2,...,i i X i n μ==④ （针对最大似然法和假设检验）随机误差项：2~(0,)1,2,...,i N i n μσ=⑤ 回归模型正确设定。
【前四条为线性回归模型的古典假设，即高斯假设。
满足古典假设的线性回归模型称为古典线性回归模型。
】 （2）参数的普通最小二乘估计（OLS ） 目标：21minnii e=∑对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=正规方程组：011011ˆˆ2[()]0ˆˆ2[()]0ni i i ni i i i Y X X Y X ββββ==⎧--+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩∑∑ 解得：011112211ˆˆ()()ˆ()n n i i i i i i n ni i i i Y X X X Y Y x y X X x βββ====⎧=-⎪⎪⎪--⎨==⎪⎪-⎪⎩∑∑∑∑（3）最大似然估计（ML ）对于一元线性回归模型：011,2,...,i i i Y X i n ββμ=++=重要的基本假设：2~(0,)1,2,...,cov(,)0;,1,2,...,var()01,2,...,i i j i N i n i j i j n X i nμσμμ⎧=⎪=≠=⎨⎪==⎩ 得到：201~(,)1,2,...,i i Y N X i n ββσ+=【且cov(,)0;,1,2,...,i j Y Y i j i j n =≠=，这个对最大似然法的估计很重要】则目标：12,,...,n Y Y Y 的联合概率密度最大，即()2012112121ˆˆ()2max (,,...,)()()()1ni i i n n Y X nf Y Y Y f Y f Y f Y eββσ=---=⋅⋅⋅∑=最终结果与OLS 得到的结果相同。
计量经济学 第二章
二、典型例题分析
例 1、令 kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。生 育率对教育年数的简单回归模型为
kids = β0 + β1educ + μ
1
（1）随机扰动项 μ 包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
关于 βˆ1 求偏导得
∑ ∂RSS = 2
∂βˆ1
(Yt − βˆ1 X t )(− X t ) = 0
即
∑ X t (Yt − βˆ1 X t ) = 0
βˆ1
=
(∑ X iYi )
(∑
) X
2 i
4
可见 βˆ1 是 OLS 估计量。
例 5．假设模型为 Yt = α + βX t + μt 。给定 n 个观察值 ( X1,Y1 ) ， ( X 2 ,Y2 ) ，…，
5
例 6．对于人均存款与人均收入之间的关系式 St = α + βYt + μt 使用美国 36 年的年度数
据得如下估计模型，括号内为标准差：
Sˆt = 384.105 + 0.067Yt (151.105) (0.011)
计量经济学第二章经典线性回归模型
Yt = α + βXt + ut 中 α 和 β 的估计值 和
,
使得拟合的直线为“最佳”。
直观上看，也就是要求在X和Y的散点图上
Y
* * Yˆ ˆ ˆX
Yt
* **
Yˆt
et * *
*
*
**
*
**
**
*
Xt
X
图 2.2
残差
拟合的直线 Yˆ ˆ ˆX 称为拟合的回归线.
对于任何数据点 (Xt, Yt), 此直线将Yt 的总值 分成两部分。
β
K
βK
β1 β1
...
βK
βK
Var(β 0 )
Cov(β1 ,β
0
)
Cov(β 0 ,β1 )
Var(β1 )
...
Cov(β
0
,β
K
)
...
Cov(β1
,β
K
)
...
...
...
...
Cov(β
K
,β
0
)
Cov(β K ,β1 )
...
Var(β K )
不难看出，这是 β 的方差-协方差矩阵，它是一 个(K+1)×(K+1)矩阵，其主对角线上元素为各 系数估计量的方差，非主对角线上元素为各系 数估计量的协方差。
ut ～ N (0, 2 ) ，t=1,2,…n
二、最小二乘估计
1. 最小二乘原理
为了便于理解最小二乘法的原理，我们用双
变量线性回归模型作出说明。
对于双变量线性回归模型Y = α+βX + u， 我 们
的任务是，在给定X和Y的一组观测值 (X1 ,
计量经济学第二章(第一部分)
i= 1
同
上
该准则消除了正负误差抵消，其缺点是：
不能保证找到的直线具有无偏性。如：
+2 －1
－1
+3
0 0
3 Yi -Yˆ i = 4
3
2
Yi -Yˆ i =6
i=1
i=1
3
3
2
Yi -Yˆ i = 3
Yi -Yˆ i =9
i=1
i=1
33 计量经济学
（3）使得
13 计量经济学
Y i01X iui,i1,2n,..., 同
上
其中 0，1 称为回归参数；u为随机误差 项； X称为解释变量；Y称为被解释变量。 “一元”是指：只有一个解释变量；
14 计量经济学
Y i01X iui,i1,2n,..., 同
上
“线性”包含：
被解释变量与间 解为 释线 变性 量关系
量Y的影响；
16 计量经济学
同 上
（2）变量观测值的观测误差的影响； （3）模型数学形式的设定误差影响； （4）其它随机因素的影响。
17 计量经济学
同 上
2、随机误差项u的特性
（1）对被解释变量Y的影响方向，有正有负；
（2）由于代表次要因素，因此，对Y的总平
均影响可视为零；
（3）对被解释变量Y的影响是非趋势的，是
假定2、3统称为高斯－马尔可夫假定。
23 计量经济学
假定4 cov(Xi,ui)=Exiui＝0 ,
假
定
i=1,2,…,n且X为确定性变量，而非 4
随机变量。
如果解释变量X是确定性变量而非随机变 量该假定自动成立，即EXi＝Xi ，EXiui＝ XiEui= 0 。该假定表明X与u不相关。因 为在模型中u包含了除X对Y的影响外其它 因素对Y的影响，因此应与X对Y的影响分 开。
计量经济学第二章
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯 （Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也 称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
注意:
1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;
2、如果假设4满足，则假设2也满足;
1 yi 0 1 ui xi
就属于被解释变量y与解释变量x之间不为线性关 系的情形，如果我们令
1 x x
此时非线性模型就变成线性模型了
yi 0 1 xi ui
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三、一元线性回归模型中随机项的假定
在给定样本观测值(样本值) ( xi , yi ) ，i=1,2, 3,…,n 后， 为了估计（2. 5）式的参数 0 和 1 ， 必须 对随机项 u i 做出某些合理的假定。这些假定通常 称为古典假定。
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假定1 E(ui|xi)=0 i=1,2, …,n； 随机误差项u具有零均值. 假定2 Var (ui|xi)=E{[ui-E(ui)]2}=E(ui2)=u2 i=1,2, …,n 随机误差项u具有同方差. 假定3 Cov(ui, uj)= E{[ui-E(ui)] [uj-E(uj)]}= 0 i≠j, i, j= 1,2, …,n 随机误差项u具有不序列相关性. 假定4 Cov(ui, xi)=0 i=1,2, …,n 随机误差项u与解释变量x之间不相关. 假定5 ui~N(0, u2 ) i=1,2, …,n u服从零均值、同方差的正态分布.
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回归与回归分析的内容
计量经济学(第四版)习题参考答案
第一章 绪论1.1 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据（4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量，但它（它们）仅是影响因变量的主要因素，还有很多对因变量有影响的因素，它们相对而言不那么重要，因而未被包括在模型中。
为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。
如Y 就是一个估计量，1nii YY n==∑。
现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章 计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。
2.2N SS x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
2.3 原假设120:0=μH备择假设120:1≠μH检验统计量()10/25XX μσ-Z ====查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。
《计量经济学》各章主要知识点
第一章：绪论1.计量经济学的学科属性、计量经济学与经济学、数学、统计学的关系；2.计量经济研究的四个基本步骤（1）建立模型（依据经济理论建立模型,通过模型识别、格兰杰因果关系检验、协整关系检验建立模型）；（2）估计模型参数（满足基本假设采用最小二乘法，否则采用其他方法：加权最小二乘估计、模型变换、广义差分法等）；（3 ）模型检验:经济意义检验（普通模型、双对数模型、半对数模型中的经济意义解释，见例1、例2 ）,统计检验（T检验，拟合优度检验、F检验,联合检验等）；计量经济学检验（异方差、自相关、多重共线性、在时间序列模型中残差的白噪声检验等）；（4 ）模型应用。
例1:在模型中，y某类商品的消费支出，x收入，P商品价格，试对模型进行经济意义检验，并解释A"》的经济学含义。
In X = 0.213 +0.25 In 一0.31£其中参数卩'",都可以通过显著性检验。
经济意义检验可以通过（商品需求与收入正相关、与商品价格负相关\商品消费支出关于收入的弹性为0.25 （ 1心/畑）=0.251】心/仏））；价格增加一个单位，商品消费需求将减少31%。
例2 :硏究金融发展与贫富差距的关系，认为金融发展先使贫富差距加大（恶化）, 尔后会使贫富差距降＜氐（好转），成为倒U型。
贫富差距用GINI系数表示，金融发展用（贷款余额/存款总额）表示。
回归结果G/^VZ r =2.34 + 0.641；-1.29x；/模型参数都可以通过显著性检验。
在X的有意义的变化范围内,GINI系数的值总是大于1 ,细致分析后模型变的毫无意义；同样的模型还有：GINI系数的值总是为负= —13.34 + 7.12 兀一14.31#O3.计量经济学中的一些基本概念数据的三种类型：横截面数据、时间序列数据、面板数据；线性模型的概念；模型的解释变量与被解释变量，被解释变量为随机变量（如果—个变量为随机变量,并与随机扰动项相关，这个变量称为内生变量），被解释变量为内生变量,有些解释变量也为内生变量。
计量经济学第二章简单线性回归模型
例:100个家庭构成的总体 (单位:元)
1000 820 888 932
每 960 月 家 庭 消 费 支 出 Y
E (Y X i ) 900
1500 962 1024 1121 1210 1259 1324
1150
2000 1108 1201 1264 1310 1340 1400 1448 1489 1538 1600 1702
假定2：同方差假定 Var(Y Xi)2
假定3：无自相关假定 C ov(Y i,Yj)0 (ij)
假定5：正态性假定 Yi N(12Xi,2)
34
二、普通最小二乘法
法的选择
19
引入随机扰动项的原因
● 未知影响因素的代表 ● 无法取得数据的已知影响因素的代表 ● 众多细小影响因素的综合代表 ● 模型的设定误差 ● 变量的观测误差 ● 变量内在随机性
20
四、样本回归函数（SRF）
样本回归线：
对于 X 的一定值，取得Y 的样本观测值，可计算其条
件均值，样本观测值条件均值的轨迹称为样本回归线。 样本回归函数：
28
一、简单线性回归的基本假定
1. 为什么要作基本假定？
●模型中有随机扰动，估计的参数是随机变量， 只有对随机扰动的分布作出假定，才能确定 所估计参数的分布性质，也才可能进行假设 检验和区间估计
●只有具备一定的假定条件，所作出的估计才 具有较好的统计性质。
29
2、基本假定的内容
（1）对模型和变量的假定
计量经济学中: 线性回归模型主要指就参数而言是“线性”,因为
只要对参数而言是线性的,都可以用类似的方法估计1其8
三、随机扰动u 项
◆概念:
Y
各个 Y i 值与条件均值
计量经济学第二章
二、参数的普通最小二乘估计
Q
e
2 i
(Y
i
Yi )
2
[Y
i
( 0 1 X i )]
2
Q 对 0 ， 1 求 一 阶 偏 导 令 其 为 0， 得 到 :
0 1
LOGO
LOGO
微积分 求：当x,y为多少时，F=f(x,y)最小或最大？ 解：将F分别对x,y求一阶偏导，并令其等于0：
F x F y 0
例 如 ： F 1 0 x 8 y 6 xy
2 3
0
如 何 求 F的 极 值 ？
由此便可解出x,y
LOGO
称为总体回归函数（PRF). 总体回归函数表明被解释变量Yi的平均状态 （总体条件期望）随解释变量Xi的变化规律。
LOGO
我们可以把总体回归函数简化为线性的形式：
E (Y X i ) 0 1 * X i
（2.1.4)
其中： 0 , 1 是未知的参数，称为回归系数。 （2.1.4)也称为线性总体回归函数。
LOGO
总体回归函数表明被解释变量Yi的平均状态 E (Y X i )随解释变量Xi的变化规律。 那么，对于某一个具体的家庭来说，它的消费支 出Yi就恰好等于给定收入水平Xi下的消费支出的平均 值(Y (X i )X i ) 吗？ E E Y 所以，对于每一个具体的家庭，记
LOGO
在函数关系中，给定一个X，只有一个确定的Y与 之对应，因此X,Y都是确定性变量； 在相关关系中，给定一个X，有多个Y与之相对应， 因此当给定的X为确定性变量时，Y是一个不确定 的变量，称为随机变量。
2第二章计量经济学的统计学基础知识
if
1 1
,
2
2已知
理论： H 0 : 1 2 ; H1 : 1 2
X
~
N
(1
,
1
n1
),Y
~
(2
,
2
n2
)
X
Y
~
N
(1
2
,
1
n1
2
) n2
U X Y (1 2 ) ~ N (0,1) 1 2
n1 n2
if , H 0right
U
X Y ~ N (0,1)
1 2
n1 n2
P{U u } 查附表知u， 如果U u， 则接受H1
n
P( X xi ) 1
i 1
一、概率分布
连续性的随机变量概率函数
P（a X b）
b
f (x)dx
a
x
其中f (x)为概率密度函数。密度函数满足条件
f (x) 0；
b
f (x)dx 1
a
概率分布还可用分布函数表示。分布函数是概率的累积，即
随机变量X取小于某个x值的累积概率是x的函数，记为F（x）.
t0.001(9) 3.25
例3（卡方分布）：设已知维尼纶纤度在正常 生产条件下服从正态分布N（1.405, 0.002304)。 在生产某段时间，抽取了5根纤维，测得其纤 度为1.32, 1.55, 1.36, 1.4, 1.44.问该段时间母体方
差是否正常？（显著性水平是0.1）
解：H0 : 2 02 0.0482
注意：这里的分母是子样标准差除以自由度， 实际上是子样均值的标准差！只有这样才与 分子保持一致性。分子被平均了，分母当然 也要平均！ t分布在小样本（n<30）统计推断中占有重要的地位。
计量经济学第二章
第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
第二章主要介绍了计量经济学 的基本概念、原理和方法，包 括经济变量、经济模型、数据 收集与处理、参数估计与假设 检验等。
异方差性概念及产生原因
异方差性概念
异方差性是指误差项的方差随自变量的变化 而变化，即不满足同方差性的假设。
产生原因
异方差性的产生原因可能包括模型设定偏误、 遗漏重要变量、数据测量误差、异常值影响 等。
异方差性检验方法
图形检验法
通过绘制残差图或残差与解释变量的散点图，观察是否存在异方差性。
等级相关系数法
最小二乘法原理及应用
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化预测值与实际观测值之间的残差平方和来估计线性回归模型的参 数。这种方法可以使得模型的预测结果更加接近实际观测值。
最小二乘法应用
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会学等。它可以用于预测未来趋势、 评估政策效果、分析市场需求等。
03
多元线性回归模型
多元线性回归模型构建
02
01
03
模型设定
确定因变量和自变量，建立多元线性回归方程。
数据收集
收集样本数据，包括因变量和自变量的观测值。
参数估计
采用最小二乘法等方法，估计模型参数。
偏回归系数解释与检验
偏回归系数解释
偏回归系数表示在其他自变量不变的情 况下，某一自变量对因变量的影响程度 。
05
计量经济学第二章一元线性回归模型
回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型的预测 实例
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
2020/3/6
LOU YONG
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
2020/3/6
LOU YONG
20
• 该样本的散点图（scatter diagram)：
分i。
2020/3/6
LOU YONG
17
上式称为总体回归函数（PRF）的随机 设定形式。表明被解释变量除了受解释 变量的系统性影响外，还受其他因素的 随机性影响。
由于方程中引入了随机项，成为计量经 济学模型，因此也称为总体回归模型。
2020/3/6
LOU YONG
18
随机误差项主要包括下列因素 在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。
回归系数（regression coefficients）。
2020/3/6
LOU YONG
15
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。
称为观察值围绕它的期望值的离差 （deviation），是一个不可观测的随机变量， 又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或 随机误差项（stochastic error）。
计量经济学第二章
y ˆ0 ˆ1x
ˆ0 y ˆ1x
由cov(x,u)=E(xu)=0 得E[x(y – 0 – 1x)] = 0
对于给定的数据样本，有
n
n1 xi yi ˆ0ˆ1xi 0
i1
n
xi yi y ˆ1x ˆ1xi 0
i 1
n
n
xi yi y ˆ1 xi xi x
OLS的无偏性 OLS估计量的方差
计量
38
OLS的无偏性
我们首先在一组简单假定的基础上构建 OLS的无偏性。
假定SLR.1 线性于参数 在总体模型中，因变量y与自变量x的误差项u的
关系如下： y 0 1x u
其中， 0 和 1 分别表示总体的截距和斜率参数。
计量
39
OLS的无偏性
假定SLR.2 随机抽样 我们具有一个服从从整体模型方程
E(yxi)01xi
yi 01xi ui
yˆi ˆ 0 ˆ1 xi
yi ˆ0 ˆ1 xi ei
如果能够通过某种方式获得
ˆ
1 和ˆ
的数值，显然:
0
● ˆ 1 和 ˆ 0是对总体回归函数参数 1 和 0 的估计
●
yˆ
是对总体条件期望
i
E ( y x i ) 的估计
● e i 在概念上类似总体回归模型中的u i ，可视
yi y 2 yi yˆi yˆi y 2 uˆi yˆi y 2
uˆi2 2uˆi yˆi y yˆi y 2 SSR 2uˆi yˆi y SSE 又因为uˆi yˆi y 0，所以得证
计量
31
拟合优度
拟合优度（又称判定系数）
我们定义R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST为拟合 优度，又称判定系数，总是介于0到1之间
计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解
2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间 与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551
第二章习题及答案计量经济学
第二章 简单线性回归模型一、单项选择题（每题2分）： 1、回归分析中定义的（ ）。
A 、解释变量和被解释变量都是随机变量B 、解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量C 、解释变量和被解释变量都为非随机变量D 、解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量2、最小二乘准则是指使（ ）达到最小值的原则确定样本回归方程。
A 、1ˆ()nt tt Y Y=-∑B 、1ˆn t tt Y Y =-∑ C 、ˆmax t tY Y - D 、21ˆ()n t t t Y Y =-∑3、下图中“{”所指的距离是（ ）。
A 、随机误差项B 、残差C 、i Y 的离差D 、ˆiY的离差 4、参数估计量ˆβ是iY 的线性函数称为参数估计量具有( )的性质。
A 、线性 B 、无偏性 C 、有效性 D 、一致性5、参数β的估计量βˆ具备最佳性是指（ ）。
A 、0)ˆ(=βVarB 、)ˆ(βVar 为最小C 、0ˆ=-ββD 、)ˆ(ββ-为最小 6、反映由模型中解释变量所解释的那部分离差大小的是( )。
A 、总体平方和 B 、回归平方和 C 、残差平方和 D 、样本平方和7、总体平方和TSS 、残差平方和RSS 与回归平方和ESS 三者的关系是（ ）。
A 、RSS=TSS+ESS B 、TSS=RSS+ESS C 、ESS=RSS-TSS D 、ESS=TSS+RSS 8、下面哪一个必定是错误的（ ）。
A 、 i i X Y 2.030ˆ+= ，8.0=XY rB 、 i i X Y 5.175ˆ+-= ，91.0=XY rC 、 i i X Y 1.25ˆ-=，78.0=XY rD 、 i i X Y 5.312ˆ--=，96.0-=XY r9、产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为ˆ356 1.5YX =-，这说明（ ）。
A 、产量每增加一台，单位产品成本增加356元B 、产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C 、产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元D 、产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元10、回归模型i i i X Y μββ++=10，i = 1，…，n 中，总体方差未知，检验010=β：H 时，所用的检验统计量1ˆ11ˆβββS -服从（ ）。
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
计量经济学 第2章练习题参考解答
第二章练习题参考解答练习题资料来源:《深圳统计年鉴2002》，中国统计出版社(1)建立深圳地方预算内财政收入对GDP的回归模型；(2)估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；（3）对回归结果进行检验；(4)若是2005年年的国内生产总值为3600亿元，确定2005年财政收入的预测值和预测区间(0.05α=)。
2.2某企业研究与发展经费与利润的数据(单位:万元)列于下表:1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004研究与发展经费 10 10 8 8 8 12 12 12 11 11利润额 100 150 200 180 250 300 280 310 320 300 分析企业”研究与发展经费与利润额的相关关系，并作回归分析。
2.3为研究中国的货币供应量(以货币与准货币M2表示)与国内生产总值(GDP)的相互依存关系，分析表中1990年—2001年中国货币供应量（M2）和国内生产总值（GDP）的有关数据:年份货币供应量(亿元)M2国内生产总值(亿元)GDP1990 1529.31 8598.41991 19349.92 1662.51992 25402.2 26651.91993 34879.8 34560.51994 46923.5 46670.01995 60750.5 57494.91996 76094.9 66850.51997 90995.3 73142.71998 104498.5 76967.21999 119897.9 80579.42000 134610.3 88228.12001158301.994346.4资料来源:《中国统计年鉴2002》，第51页、第662页，中国统计出版社对货币供应量与国内生产总值作相关分析，并说明分析结果的经济意义。
2.4表中是16支公益股票某年的每股帐面价值和当年红利：根据上表资料：（1）建立每股帐面价值和当年红利的回归方程； （2）解释回归系数的经济意义；（3）若序号为6的公司的股票每股帐面价值增加1元，估计当年红利可能为多少？2.5美国各航空公司业绩的统计数据公布在《华尔街日报1999年年鉴》（The Wall Street Journal 1。
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i=1,2, …,n
一元线性回归模型的基本假设
假设4、随机误差项 ? 服从零均值、同方差、零
协方差的正态分布
? i ~ N(0,? 2 )
i=1,2, …,n
假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量 X
的样本方差趋于一有限常数。即
? (Xi ? X)2 / n ? Q,
n? ?
假设6：回归模型是正确设定的
该样本的散点图（scatter diagram) ：
由于样本取自总体，可用该线近似地代表总 体回归线。该线称为 样本回归线。
样本回归函数
记样本回归线的函数形式为：
Y?i ? f ( Xi ) ? ??0 ? ??1 Xi
注意：与总体回归函数进行比较。
样本回归函数
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
1
1
最小。
参数的最小二乘估计
根据微分运算，可推得用于估计 ??0 、??1 的下列 方程组：
方程组（ *）称为正规方程组 （normal equations ）。
参数的最小二乘估计
上述参数估计量可以写成： ?
? ?
??1
?
? xi yi ? xi2
?? ??0 ? Y ? ??1 X
称为OLS估计量的 离差形式（deviation form ）。
最小二乘估计量的性质
1、线性性 即估计量 ??0 、??1 是 Yi 的线性组合。
最小二乘估计量的性质
2、无偏性 即估计量 ??0 、??1 的均值（期望）等于
总体回归参数真值 ? 0与 ? 1 。
? ? E(??1 ) ? E(? 1 ? ki ? i ) ? ? 1 ? ki E(? i ) ? ? 1
回归分析概念
变量间的相关形式，有 线性相关和非线性相关 。
变量间线性相关程度 可用相关系数来测度：
? XY ?
Cov( X , Y) Var (X)Var (Y)
如果给出 X与Y的一组样本，则样本相关系数为：
n
? ( Xi ? X)(Yi ? Y)
rXY ?
i?1 n
n
? ? ( Xi ? X)2
? ? E(??0 ) ? E(? 0 ? wi ? i ) ? E(? 0 ) ? wi E(? i ) ? ? 0
3、有效性 （最小方差性）即在所有线性无偏估计 量中，最小二乘估计量 ??0、??1 具有最小方差。
参数估计量的概普通最小二乘估计量 ??0 、??1 分别是
将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函
数时:
E(Y | Xi ) ? ? 0 ? ? 1 Xi
称为线性总体回归函数。 其中，?0，?1是未知参
数，称为 回归系数。
随机干扰项
随机干扰项
总体回归函数说明在给定的收入水平 Xi下，该社 区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，
其消费支出可能与该平均水平有偏差。
从该样本估计总体回归函数 PRF？
表2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
样本回归函数
差ei出发，对总体方差进行估计。
可以证明， ? 2的最小二乘估计量 为
? ??2 ?
ei2
n? 2
它是关于 ? 2的无偏估计量。
居民人均消费支出与人均GDP回归
§2.3 一元线性回归模型统计检验
? 一、拟合优度检验 ? 二、变量的显著性检验 ? 三、参数的置信区间
拟合优度检验
拟合优度检验：检验模型对样本观测值的 拟合程度。
度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系 数） R2
1、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（ Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Y?i ? ??0 ? ??1 Xi
而Y的第i个观测值与样本均值的离差 yi ? Yi ? Y 可分解为两部分之和。
拟合优度检验
yi ? Yi ? Y ? (Yi ? Y?i ) ? (Y?i ? Y) ? ei ? y?i
拟合优度检验
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的 总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线 (ESS)，另一部分则来自随机 势力(RSS)。在给定样本中， TSS不变，如果实际观 测点离样本回归线越近，则 ESS在TSS中占的比重 越大，因此
可决系数 R2 ? ESS ? 1 ? RSS
TSS
最小二乘估计量的性质
最小二乘估计量的性质
（1）线性性， 即它是否是另一随机变量的线性 函数；
（2）无偏性， 即它的均值或期望值是否等于总 体的真实值；
（3）有效性， 即它是否在所有线性无偏估计量中具 有最小方差。
这三个准则也称作估计量的 小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为 最佳线性无偏估计量 （best liner unbiased estimator, BLUE ）。
? ? ? yi2 ? ei2 ? y?i2
拟合优度检验
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离 差的平方和 ,可以证明：
? ? ? yi2 ? ei2 ? y?i2
记
? 总体平方和 TSS ? y?i2 ? 回归平方和 ESS ? y?i2 TSS=ESS+RSS
? 残差平方和 RSS ? ei2
记
? i ? Yi ? E(Y | Xi )
称? i为观察值Yi围绕它的期望值 E(Y|Xi)的离差,是一
个不可观测的随机变量 ，又称为随机干扰项 或随机
误差项 。
随机干扰项
例2.1：个别家庭的消费支出为：
(*)
即，给定收入水平 Xi ,个别家庭的支出可表示为两 部分之和 :
（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出 E(Y|Xi)，称为系统性或确定性部分 ，
第二章 一元线性回归模型
?§ 2.1 回归分析概述 ?§ 2.2 一元线性回归模型的参数估计 ?§ 2.3 一元线性回归模型检验 ?§ 2.4 一元线性回归模型预测 ?§ 2.5 实例
§2.1 回归分析概述
一、回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数（ SRF）
回归分析概念
1078 1254 1496 1683 1925 1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013 1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200
样本回归函数
注意：这里PRF可能永远无法知道。
§2.2 一元线性回归模型的参数估计
一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（ OLS） 三、参数估计的最大似然法 (ML) 四、最小二乘估计量的性质 五、参数估计量的概率分布及随机干
扰项方差的估计
一元线性回归模型的基本假设
一元线性回归模型： 只有一个解释变量
Y （元）
500
0
500
1000
1500 2000 2500 3000 3500 每月可支配收入 X（元）
4000
总体回归函数
在给定解释变量 Xi条件下被解释变量 Yi的期望 轨迹称为 总体回归线 ,或更一般地称为 总体回归曲 线,相应的总体回归函数为： E(Y | Xi ) ? f (Xi )
函数形式： 可以是线性或非线性的。
假设 2、随机误差项 ? 具有零均值、同方差和不序列 相关性：
E( ? i)=0 Var ( ? i)=? ?2 Cov( ? i, ? j)=0
i=1,2, …,n i=1,2, …,n i ≠j i,j= 1,2, …,n
假设3、随机误差项 ? 与解释变量 X之间不相关：
Cov( Xi , ? i ) ? 0
3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871
15510
总体回归函数
描出散点图发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且 Y的条件均值均落在 一根正斜率的直线上。这条直线称为 总体回归线 。
3500
3000 每 月 2500
消 2000 费 支 1500
出 1000
合，因此，??0 和 ??1 的概率分布取决于
Yi 的线性组
Y的分布特征
。
在 ?是正态分布的假设下， Y是正态分布，则
??0、 ??1 也服从正态分布，因此：
? ??1 ~ N(? 1,
?2
xi2 )
?? ??0 ~ N(? 0 , n
X
2 i
?
2)
xi2
随机扰动项方差估计
由于随机项 ? i不可观测，只能从 ? i的估计——残
Yi ? ? 0 ? ? 1 Xi ? ? i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量， X为解释变量， ?0与? 1为待估
参数， ? 为随机干扰项
估计方法有多种，其种最广泛使用的是普 通 最小二乘法 （ordinary least squares, OLS ）。
一元线性回归模型的基本假设
假设 1、解释变量 X是确定性变量，不是随机变量；
（2）其他随机或非确定性部分 ? i。
随机干扰项
随机误差项主要包括下列因素的影响：
1）代表未知的影响因素； 2）代表残缺数据； 3）代表众多细小影响因素； 4）代表数据观测误差； 5）代表模型设定误差； 6）变量的内在随机性
样本回归函数
样本回归函数
总体回归函数实际上是未知的。 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否