近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解

第一章基本概念

§1. 1

1.

4.

5.

近世代数题解§1. 2

2.

3.

近世代数题解§1. 3

1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．

2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n．

3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B．

4.

5.

近世代数题解§1. 4 1.

2.

3.解 1）略 2）例如规定

4．

近世代数题解§1. 5

1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．

2.略

3.

4.

5.

§1. 6

1.

2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；

3)是等价关系；4)是等价关系．

3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．

4.

则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.

6.证 1）略2）

7.

8.

9.

10.

11.

12.

第二章群

§2. 1 群的定义和初步性质

一、主要内容

1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．

2．群的初步性质

1)群中左单位元也是右单位元且惟一；

2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：

3)半群G是群⇔方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．

4)有限半群作成群⇔两个消去律成立．

二、释疑解难

有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：

1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；

2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；

3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；

4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．

“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元

以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．

定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素1-

a，对G中任意元素b都有

1-

a(ab)=(ba)1-a=b．

这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．

2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．

4．关于结合律

若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．

5．关于消去律．

根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．

6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？

答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．

7．群与对称的关系．

1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．

由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．

2)几何对称．

设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．

显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式

例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．

很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．

三、习题2．1解答

1.略

2.

3.

4.

5.

6.

§2. 2 群中元素的阶

一、主要内容

1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．

2．在群中若a＝n，则

4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子．

二、释疑解难

在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说

明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：