2020挑战压轴题中考数学强化训练专题训练七(第13版)

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2020年中考数学压轴题训练-填空题(教案)

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将字母具体化，把一般形式变为特殊形式，当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其奏效。 3.数形结合法：就是把抽象的数字语言，数量关系与直观的几何图形，位置关系结合起来，通过以形助数或以数助形把复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的，这类问题的几何意义一般较为明显，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状，位置，性质，结合图像的特征，进行直观的分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案。 4.转化法：就是将待解决的问题，通过分析，联想，类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已经解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际就是转化的过程。 5.猜想法：是根据已有的数字理论和方法，通过观察题目中所给出的一些数或图形的特点，分析其规律，从而总结出一般结论，这种方法一般适用于规律探索题。 6.构造法：就是通过对题目中条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形，一个方程，一个函数等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的方法，充分的挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念，公式，定理，图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，进而谋求解决问题的途径。
∴OA=PE+PF= AC= ×
=．
2．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形 A B C D 2016 2016 2016 2016 的边长是
∴∠EAC＝∠AFB，
在△CAE 和△AFB 中， ∠ 㠳⸳ 〸 ∠㠳体 ∠㠳⸳ 〸 ∠体㠳，㠳〸㠳体

2020中考数学压轴题综合提升训练(解析版)

决战2020中考数学压轴题综合提升训练：（《二次函数》、《反比例函数》、《三角形》、《四边形》、《图形的相似》、《一次函数》、《圆的综合》）《二次函数》1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），∴，解得；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），∵点P到A，B两点的距离相等，∴点P在抛物线的对称轴x＝1上，∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，令x＝1，则y＝﹣1+3＝2，∴P（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，∵新抛物线经过点P，∴2＝﹣（1﹣h）2+4，解得h1＝1+，h2＝1﹣，∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣，4）．2．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式．（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形B C′AC的形状．并证明你的结论．（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝1，c＝2，故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）四边形BC′AC为矩形．抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为：（﹣1，0）由勾股定理求得：BC＝，AC＝2，又AB＝5，由勾股定理的逆定理可得：△ABC直角三角形，故∠BCA＝90°；已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC'所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°，∴四边形BC′AC为矩形；（3）存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D与点C关于函数对称轴对称，故：点D的坐标为（3，2）．3．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．4．如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），作EF⊥x轴于F，如图，∵OD∥EF，∴＝＝，∴OF＝OA＝4，∴E点的横坐标为4，当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，∴E点坐标为（4，﹣5），把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+；（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），在Rt△OAD中，AD＝＝3，∵∠MAH＝∠DAO，∴Rt△AMH∽Rt△ADO，∴＝，即＝，∴MH＝AM，∵MD＝MD′，∴MD+MA＝MD′+MH，当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小，∵∠D′DH＝∠ADO，∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，∴＝，即＝，解得D′H＝，∴MD+MA的最小值为．5．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO 时，求Q点的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD＝2；设点P（x，0），则点H（x，x+1）、点G（x，﹣x2﹣2x+3），则GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，解得：x＝﹣或，故点P（﹣，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ于点H′，设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝，则AM＝3x，故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得：x＝，则CH＝x＝，OH＝OC﹣CH＝，故点H（0，），同理点H′（﹣，3），由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y＝（x+3）…②，同理直线AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③，联立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或；联立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1；故点Q的坐标为：（，）或（﹣1，4）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）直接写出：b的值为﹣；c的值为﹣2 ；点A的坐标为（﹣1，0）；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D 的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 1 ．解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①，点A（﹣1，0）；故答案为：﹣，﹣2，（﹣1，0）；（2）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（m，m2﹣m﹣2），点H（m，m﹣2），则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα，则cos；MD＝DH cos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2）＝（﹣m2+4m），∵＜0，故DM有最大值；设点M、D的坐标分别为：（s，s﹣2），（m，n），n＝m2﹣m﹣2；②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图2左图，过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y轴于点E，则△MEC≌△DFM（AAS），∴ME＝FD，MF＝CE，即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，解得：s＝，故点M（，﹣）；（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，同理可得：s＝，故点M（，﹣）；（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝0或﹣1，故点D（﹣1，0），不在线段BC的下方，舍去；综上，点M坐标为：（，﹣）或（，﹣）．7．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0，x1＝1，x2＝3，则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∵△OCA∽△OBC，∴＝，即＝，解得，OC＝；（2）在Rt△BOD中，点C是BD的中点，∴BD＝2OC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∴点D的坐标为（0，﹣）设直线BD的解析式为：y＝kx+b，则，解得，，则直线BD的解析式为：y＝x﹣，∵点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，﹣），点C是BD的中点，∴点C的坐标为（，﹣），∴﹣＝a（﹣1）（﹣3），解得，a＝，∴抛物线的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣x+2；（3）作PG⊥OB交BD于G，tan∠OBD＝＝，∴∠OBD＝30°，∵PF∥AB，∴∠PFG＝∠OBD＝30°，∴PF＝PG，∵PE⊥BC，PF⊥PG，∴∠EPG＝∠PFG＝30°，∴PE＝PG，∴PE+PF＝PG+PG＝PG，设点P的坐标为（m，m2﹣m+2），点G的坐标为（m，m﹣），∴PG＝m﹣﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+3m﹣3∴PE+PF＝PG＝﹣3m2+m﹣＝﹣3（m﹣）2+，则PE+PF的最大值为．8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．解：（1）OC＝OB，则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），﹣6a＝﹣3，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）设：CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则CH＝HD＝m，tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝＝，解得：m＝3或﹣4（舍去﹣4），故点D（0，﹣6）；（3）过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；平移后抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3﹣h，当平移后的抛物线过点C时，抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3；当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即﹣3＝9﹣h，解得：h＝15，故3≤h≤15．9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的对称轴为直线l，将直线l绕着点P（0，2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若∠α＝45°，求直线AB的函数表达式；（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点A的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线l∥x轴，点M是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与△PAM相似时，求M的坐标．解：（1）∵∠α＝45°，则直线的表达式为：y＝x+b，将（0，2）代入上式并解得：b＝2，故直线AB的表达式为：y＝x+2；（2）①AP：PB＝2：3，设A（﹣2a，4a2）B（3a，9a2），，解得：，（舍去），∴；②AP：PB＝3：2，设A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2），，解得：，（舍去），∴，综上或；（3）∠MPA＝45°，∠QPB≠45°A（﹣1，1），B（2，4），①∠QBP＝45°时，此时B，Q关于y轴对称，△PBQ为等腰直角三角形，∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2），②∠BQP＝45°时，此时Q（﹣2，4）满足，左侧还有Q'也满足，∵BQP＝∠BQ'P，∴Q'，B，P，Q四点共圆，则圆心为BQ中点D（0，4）；设Q'（x，x2），（x＜0），Q'D＝BD，∴（x﹣0）2+（x2﹣4）2＝22（x2﹣4）（x2﹣3）＝0，∵x＜0且不与Q重合，∴，∴，Q'P＝2，∵Q'P＝DQ'＝DP＝2，∴△DPQ'为正三角形，则，过P作PE⊥BQ'，则，，∴，当△Q'BP～△PMA时，，，则，故点；当△Q'PB～△PMA时，，，则，故点；综上点M的坐标：（﹣1，2），（﹣2，2），，．10．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由．解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1＝a（x﹣1）2﹣4，将E（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）设G[a，0.6（a+1）]，代入函数关系式，得，（a﹣1）2﹣4＝0.6（a+1），解得a1＝3.6，a2＝﹣1（舍去），所以点G坐标为（3.6，2.76）．由x2﹣2x﹣3＝0知x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），则AH＝4.6，GH＝2.76，∴S△FHG＝×4.6×2.76＝6.348；（3）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴当x＝﹣1时，y＝0，∴直线y＝mx+m过点A，延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴．∵FH∥x轴，∴∠QPH＝∠QAR，∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°，∴△AQR∽△PHQ，∴＝＝0.6，设Q[n，0.6（n+1）]，代入y＝mx+m中，得mn+m＝0.6（n+1），整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1），∵n+1≠0，∴m＝0.6．四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD，并延长交x轴于点S，过点D作DK⊥x轴于点K，延长KD，过点C作CT垂直KD延长线，垂足为T，∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4，∴点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，∴＝＝0.6，∴tan∠KSD＝tan∠QAR，∴∠KSD＝∠QAR，∴AQ∥CS，即CD∥PQ．∵AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH，∴PQ＝CD，∴四边形CDPQ为平行四边形．11．如图，点P是二次函数y＝﹣+1图象上的任意一点，点B（1，0）在x轴上．（1）以点P为圆心，BP长为半径作⊙P．①直线l经过点C（0，2）且与x轴平行，判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由．②若⊙P与y轴相切，求出点P坐标；（2）P1、P2、P3是这条抛物线上的三点，若线段BP1、BP2、BP3的长满足，则称P2是P1、P3的和谐点，记做T（P1，P3）．已知P1、P3的横坐标分别是2，6，直接写出T（P1，P3）的坐标（1，﹣）．解：（1）①⊙P与直线相切．过P作PQ⊥直线，垂足为Q，设P（m，n）．则PB2＝（m﹣1）2+n2，PQ2＝（2﹣n）2∵，即：（m﹣1）2＝4﹣4n，∴PB2＝（m﹣1）2+n2＝4﹣4n+n2＝（2﹣n）2＝PQ2∴PB＝PQ，∴⊙P与直线相切；②当⊙P与y轴相切时PD＝PB＝PQ∴|m|＝2﹣n，即：n＝2±m代入（m﹣1）2＝4﹣4n得：m2﹣6m+5＝0或m2+2m+5＝0．解得：m1＝1，m2＝5．∴P（1，1）或P（5，﹣3）；（2）∵，则BP2＝（BP1+BP2），P1、P3的横坐标分别是2，6，则点P1、P2的坐标分别为：（2，）、（6，﹣），BP2＝（BP1+BP2）＝（+）＝，设点P2的坐标为：（m，n），n＝﹣（m﹣1）2+1，则（m﹣1）2+（n）2＝（）2，解得：m＝1±，故点P2的坐标，即T（P1，P3）的坐标为：或．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．（1）解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，可得，，∴；（2）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），①四边形CMNB是平行四边形时，，∴x＝﹣2，∴；②四边形CNBM时平行四边形时，，∴x＝2，∴M（2，2）；③四边形CNNB时平行四边形时，，∴x＝4，∴；综上所述：M（2，2）或或；（3）解法一：过点B作BH平行于y轴交PC的延长线与H点．∵BH∥OC∴∠OCB＝∠HBC又∠OCB＝∠BCP∴∠PCB＝∠HBC∴HC＝HB又OC⊥OB∴HB⊥OB故可设H（3，m），即HB＝HC＝m过点H作HN垂直y轴于N在Rt△HCN中，则m2＝32+（m﹣2）2解得∴由点C、P的坐标可得，设直线CP的解析式为；故解得x1＝0（舍去），即点P到y轴的距离是解法二、过点B作CP的垂线，垂足为M，过点M作x轴的平行线交y轴于点N，再过点B作DN的垂线，垂足为D，（以下简写）可得△BOC≌△BMC得BM＝BC＝3，OC＝CM＝2设点M（m，n）得BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m可证△BDM∽△MNC所以得解得，则同解法一直线CP的解析式故解得x1＝0（舍去），即点P到y轴的距离是13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．（1）求直线OA及抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM 的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，直线OA的解析式为y＝x；再设y2＝ax（x﹣4），把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，函数的解析式为y＝﹣x2+4x，∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，∴0＜m＜3．此时仅有OC＝PC，，∴，解得，∴；（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），设P（n，﹣n2+4n），则Q（4﹣n，﹣n2+4n），M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，要使△PQM的面积为，则，即，解得：或，∴或．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．①点A的坐标为（﹣5 ，0 ），点B的坐标为（﹣1 ，0 ）；②求抛物线的函数表达式；（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP 是等腰直角三角形，求点P的坐标．解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，∴点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，0），故答案为：﹣5；0﹣1；0；②∵抛物线经过（﹣5，0），（﹣1，0），∴，解得，，则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）如图2，作PD⊥OC于D，∵△OCP是等腰直角三角形，∴PD＝OC＝OD，设点P的坐标为（a，a），设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a，∵抛物线经过原点，∴﹣（0﹣a）2+a＝0，解得，a1＝0（不合题意），a2＝1，∴△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为（1，1）．15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P 的坐标．解：（1）∵二次函数过A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数过C点（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1），解得，a＝1，∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3即二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点P在第三象限，∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴＝＝＝，∴当时，，点P（﹣，﹣）．，即S的最大值是，此时点P的坐标是（﹣，﹣）．决战2020中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y ＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B （n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作?ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C 作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2?y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A （﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d，d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋。

中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由．（2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论．（3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值．（3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足．（1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。

2020年中考数学考前精练十三学生版

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A. =
B. = C.
=
D. =
5.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是 AC 上的两点，当 E、F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形( )
A.∠ADE=∠CBF B.∠ABE=∠CDF
C.DE=BF
D.OE=OF
6.如图是抛物线 y= ax 2 +bx+c (a ≠ 0) 的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与 x 轴的一个交点在
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14.如图,已知△ABC 中,AB=AC,把△ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接 BD,CE 交于点 F. (1)求证:△AEC≌△ADB; (2)若 AB=2,∠BAC=45°,当四边形 ADFC 是菱形时,求 BF 的长.
15.如图，在正方形 ABCD 中，AD=2，E 是 AB 的中点，将△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°后，点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处，点 C 落在点 A 处.再将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，连接 EF，CG. （1）求证：EF∥CG；（2）求点 C，点 A 在旋转过程中形成的，与线段 CG 所围成的阴影部分的面积.
2.已知 100x2+kx+49 是完全平方式，则常数k可以取（）
A.±70
B.±140
C.±14
D.±4900
3.某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下(单位：分)：9，7，8，7，9，7，6，
则各代表队得分的中位数是( )
A.9 分
B.8 分
C.7 分
D.6 分
4.甲、乙两人加工一批零件，甲完成 120 个与乙完成 100 个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成 4 个．设甲每天完成 x 个零件，依题意下面所列方程正确的是（）

2020年中考数学三轮冲刺提升卷(含答案)

2020年中考数学三轮冲刺提升卷(本试卷满分120分，考试时间120分钟)班级：________ 姓名：________ 得分：________第Ⅰ卷 (选择题共24分)一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1．－49的倒数是（ B ） A.17B ．－17C.149D ．－1492．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ A ）3．据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70 100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%.数据70 100亿用科学记数法表示为（ C ）A ．7.01×104B ．7.01×1011C ．7.01×1012D ．7.01×1013 4．下列计算正确的是（ D ） A ．2a ＋3a ＝6aB ．(－3a)2＝6a 2C ．(x －y)2＝x 2－y 2D ．32－2＝225．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ） A ．m<1B ．m ≥1C ．m ≤1D ．m>16．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数 0 1 2 3 4 人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（ A ）A ．中位数是2B ．众数是17C ．平均数是2D ．方差是27．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC 的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC 关于y 轴的对称图形OA ′B ′C ′，再作图形OA ′B ′C ′关于点O 的中心对称图形OA ″B ″C ″，则点C 的对应点C ″的坐标是（ A ）A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，1)D ．(－2，－1)8．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5 000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月份每辆车的销售价格为x 万元．根据题意，列方程正确的是（ A ）A.5 000x ＋1＝5 000（1－20%）xB.5 000x ＋1＝5 000（1＋20%）xC.5 000x －1＝5 000（1－20%）xD.5 000x －1＝5 000（1＋20%）x第Ⅱ卷 (非选择题共96分)二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)9．函数y ＝x －1x －3的自变量的取值范围是 x ≥1且x ≠3 .10．若a ＋2b ＝8，3a ＋4b ＝18，则a ＋b 的值为 5 .11．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为14.12．计算－3－2＝－19.13．将直线y＝－x＋8向下平移m个单位长度后，与直线y＝3x＋6的交点在第二象限，则m的取值范围是2<m<10 .14．将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°.第14题图第15题图15．如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3＋ 3 .16．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥－1），－1（a<－1）.解决问题：如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，则x的值为0或－3 .三、解答题(本大题共10小题，共72分)17．(6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x＋1）≤2，x＋22≥x＋33，并求出不等式组的整数解之和．解：解不等式12(x＋1)≤2，得x≤3，解不等式x＋22≥x＋33，得x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，∴不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.18．(6分)先化简再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －2－x 2－2x x 2－4x ＋4÷x －4x －2，其中x ＝4tan 45°＋2cos 30°. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2x －2－x （x －2）（x －2）2÷x －4x －2＝2x －2·x －2x －4＝2x －4. 当x ＝4tan 45°＋2cos 30°＝4×1＋2×32＝4＋3时，原式＝24＋3－4＝2 33.19．(6分)如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）解：设AM ＝x 米，在Rt △AFM 中，∠AFM ＝45°， ∴FM ＝AM ＝x ，在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝，则EM ＝＝x ，由题意得，FM ﹣EM ＝EF ，即x ﹣x ＝40，解得，x ＝60+20，∴AB ＝AM +MB ＝61+20，答：该建筑物的高度AB 为（61+20）米．20．(6分)某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间(单位：h )随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：①②(1)本次接受调查的初中学生人数为，图①中m 的值为；(2)求统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据的平均数、众数和中位数；(3)若该校共有800名初中学生，根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，估计该校每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数．解：(1)40，25；(2)∵x ＝0.9×4＋1.2×8＋1.5×15＋1.8×10＋2.1×34＋8＋15＋10＋3＝1.5，∴这组数据的平均数是1.5.∵在这组数据中，1.5出现的次数最多，∴众数为1.5.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有1.5＋1.52＝1.5，∴这组数据的中位数为1.5.(3)∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数占90%， ∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1 h 的人数约占90%，则800×90%＝720(人)． ∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1 h 的学生人数约为720人．21.(6分)如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．22．(6分)2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛．比赛过程分两个环节，参赛选手需在每个环节随机各选择一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用A1，A2，A3，A4表示)；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B1，B2，B3表示)．(1)请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率．解：(1)画树状图为：∴共有12种等可能的结果数；(2)∵小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果数为2， ∴小明参加总决赛抽取题目是成语题目的概率＝212＝16.23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴交于点B (0，7)，与反比例函数y ＝－8x在第二象限内的图象相交于点A (－1，a )．(1)求直线AB 的解析式；(2)将直线AB 向下平移9个单位长度后与反比例函数的图象交于点C 和点E ，与y 轴交于点D ，求△ACD 的面积；(3)设直线CD 的解析式为y ＝mx ＋n ，根据图象直接写出不等式mx ＋n ≤－8x的解集．解：(1)∵点A (－1，a )在反比例函数y ＝－8x的图象上，∴a ＝－8－1＝8，∴A (－1，8)．∵点B (0，7)，∴设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋7.∵直线AB 过点A (－1，8)，∴8＝－k ＋7，解得k ＝－1， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋7；(2)∵将直线AB 向下平移9个单位长度后得到直线CD 的解析式为y ＝－x －2, ∴D (0，－2)∴BD ＝7＋2＝9，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝－8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴C (－4，2)，E (2，－4)，连接BC ，则S △CBD ＝12×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得S △ACD ＝S △BCD ，∴△ACD 的面积为18.(3)－4≤x <0或x ≥2.24．(8分)某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌的月饼，其进价为18元/kg.设第x 天的销售价格为y 元/kg ，销售量为m kg.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x ≤30时，y ＝40.当31≤x ≤50时，y 与x 满足一次函数关系，且当x ＝36时，y ＝37；x ＝44时，y ＝33.②m 与x 之间的函数关系式为m ＝5x ＋50.(1)当31≤x ≤50时，y 与x 之间的函数关系式为； (2)当x 为多少时，当天的销售利润W (元)最大？最大利润为多少？(3)该超市希望第31天到第35天的日销售利润W 随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．解：(1)y ＝－12x ＋55.(2)依题意得W ＝(y －18)·m ，∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧（40－18）·（5x ＋50）（1≤x ≤30），⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋55－18（5x ＋50）（31≤x ≤50）. 整理得W ＝⎩⎪⎨⎪⎧110x ＋1 100（1≤x ≤30），－52x 2＋160x ＋1 850（31≤x ≤50）.当1≤x ≤30时，∵W 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，W 取最大值，最大值为30×110＋1 100＝4 400(元)．当31≤x ≤50时，W ＝－52x 2＋160x ＋1 850＝－52(x －32)2＋4 410. ∵－52＜0，∴抛物线开口向下，∴x ＝32时，W 取得最大值，此时W ＝4 410.综上所述，当x 为32时，当天的销售利润W 最大，最大利润为4 410元．(3)依题意，得W ＝(y ＋a －18)·m ＝－52x 2＋(160＋5a )x ＋1 850＋50a ，∴函数图象的对称轴为直线x ＝32＋a .∵第31天到第35天的日销售利润W 随x 的增大而增大， ∴32＋a ≥35，即a ≥3.故a 的最小值为3.25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋c 与直线y ＝kx ＋b 都经过A (0，－3)，B (3，0)两点，该抛物线的顶点为C .(1)求此抛物线和直线AB 的解析式；(2)★设直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，点M 为射线EB 上一点(不与点E 重合)，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，是否存在点M ，使点M ，N ，C ，E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，连接PA ，PB ，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标，并求△PAB 的面积的最大值．解：(1)直线AB 的解析式为y ＝x －3，此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，(2)存在 .点M 的坐标为(2，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋172，17－32.(解题过程见作业本后附参考答案详解详析) (3)过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点H . 设点P 的坐标为()p ，p 2－2p －3，则H (p ，p －3)， ∴PH ＝p －3－()p 2－2p －3＝－p 2＋3p .∵S △PAB ＝S △PAH ＋S △PHB ＝12PH ·OB ＝12()－p 2＋3p ×3＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫p －322＋278，∴当p ＝32时，S △PAB 取最大值，最大值为278，此时点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－154.26．(10分)在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图①，当点E在边DC上自点D向点C移动，同时点F在边CB上自点C向点B移动时，连接AE和DF 交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图②，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论是否成立？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时，CE∶CD的值；(3)★如图③，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF.∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC.∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°，∴∠ADP＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF；(2)是，CE∶CD＝2或2.(3)线段CP的最大值是5＋1.。

2020年中考数学三轮冲刺压轴题汇编应用题专项练习

2020中考数学三轮冲刺压轴题汇编应用题专项练习（含答案）1.某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大？(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30＜m＜100)元,且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．答:每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元；(2)①设购进B型手机n部,则购进A型手机(110－n)部,最大值为－50×37＋16500=14650(元),答:购进A型手机73部、B型手机37部时,才能使销售总利润最大；(3)根据题意,得:y=150(110－n)＋(100＋m)n①当30＜m＜50时,y随n的增大而减小,∴当n=37时,y取得最大值,即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；③当50＜m＜100时,y随n的增大而增大,∴当n=80时,y取得最大值,即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．2.某长途汽车站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,若超过该质量则需购买行李票,且行李票y(元)与行李质量x(千克)间的一次函数关系式为y=kx－5(k≠0),现知贝贝带了60千克的行李,交了行李费5元．(1)若京京带了84千克的行李,则该交行李费多少元？∴旅客最多可免费携带30千克行李．答:京京该交行李费9元,旅客最多可免费携带30千克行李．3.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获利润分别为30元和35 元,乙店铺获利润分别为26元和36元．某日,王老板进A款式服装36件,B款式服装24件,并将这批服装分配给两个店铺各30件．(1)怎样将这60件服装分配给两个店铺,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？（2）怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下,王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？解:(1)设A款式服装分配到甲店铺为x件,则分配到乙店铺为(36－x)件；B款式分配到甲店铺为(30－x)件,分配到乙店铺为(x－6)件,根据题意得:30x＋35×(30－x)=26×(36－x)＋36(x－6), 解得x=22．所以36－x=14(件),30－x=8(件),x－6=16(件),故A款式服装分配到甲店铺为22件,则分配到乙店铺为14件；B 款式分配到甲店铺为8件,分配到乙店铺为16件,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同；（2）设总利润为w 元,根据题意得: 30x ＋35×(30－x )≥950,解得x ≤20,解得6≤x ≤20． w =30x ＋35×(30－x )＋26×(36－x )＋36(x －6) =5x ＋1770, ∵k =5＞0,∴w 随x 的增大而增大, ∴当x =20时,w 有最大值1870．∴A 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件,B 款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件,最大的总利润是1870元．4. 某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y 甲,y 乙(单位:元),y 甲,y 乙与销售数量x (单位:件)的函数关系如图所示,请根据图象解决下列问题:(1)分别求出y 甲,y 乙与x 的函数关系式；（2）现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件,当甲、乙商场售完这批商品,厂家可获得总利润的1080元,问厂家如何分配这批商品？第3题图解:(1)设y 甲=kx (k ≠0),y 乙=mx ＋n ,将(600,480)代入y 甲=kx , 480=600k ,解得k =0.8, ∴y 甲与x 的函数关系式为y 甲=0.8x ；当0≤x ≤200时,将(0,0)、(200,400)代入y 乙=mx ＋n 中,得0200400n m n =⎧⎨+=⎩,解得20m n =⎧⎨=⎩,∴此时y 乙=2x ；当200≤x 时,将(200,400)、(600,480)代入y 乙=mx ＋n 中,200400600480m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得0.2360m n =⎧⎨=⎩, ∴此时y 乙=0.2x ＋360．∴y乙与x的函数关系式为2(0200)0.2360(200)x xyx x⎧=⎨+⎩乙≤≤≥;（2）设分配给乙商场x件,则分配给甲商场(1200－x)件,当0≤x≤200时,有0.8×(1200－x)＋2x=1080, 解得x=100, 此时1200－x=1100；当x≥200时,有0.8×(1200－x)＋0.2x＋360=1080, 解得x=400, 此时1200－x=800．答:厂家分配该商品给甲商场1100件乙商场100件或甲商场800件乙商场400件时,厂家可获得总利润的1080元．5.如图①,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地．两车同时出发,匀速行驶．图②是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．(1)求A,B两地的距离；(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；(3)客、货两车何时相遇？相遇处离C站的路程是多少千米？第4题图解:(1)由题意和图象可得,A,B两地的距离为360＋60=420(千米)；(2)设两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx＋b,由图象可得,货车的速度为:60÷2=30(千米/时),则点P的横坐标为:2＋360÷30=14,∴点P的坐标为(14,360),∴2014360k bk b++⎧⎨⎩＝＝,解得3060kb-⎧⎨⎩＝＝,即两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x－60；6. 如图①,长为120km 的某段线路AB 上有甲、乙两车,分别从南站A 和北站B 同时出发相向而行,到达B ,A 后立刻返回到出发站停止,速度均为40km/h,设甲车,乙车据南站A 的路程分别为y 甲,y 乙(km)行驶时间为t (h)． c =；(2)分别写出0≤t ≤3及3＜t ≤6时,y 乙与时间t 之间的函数关系式；(3)在图②中补画y 乙与t 之间的函数图象,并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．第5题图解:(1)120,3,6；【解法提示】由题意可和函数图象可得, a =120,b =120÷40=3,c =2×3=6.(2)当0≤t ≤3时,设y 乙与时间t 之间的函数关系式为: y 乙=kt ＋b ,12030b k b =⎧⎨+=⎩得40120k b =-⎧⎨=⎩,即当0≤t ≤3时,y 乙与时间t 之间的函数关系式为:y 乙=－40t ＋120；当3＜t ≤6时,设y 乙与时间t 之间的函数关系式为:y 乙=mt ＋n ,联立306120m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得40120m n =⎧⎨=-⎩,即当3＜t ≤6时,y 乙与时间t 之间的函数关系式为:y 乙=40t －120； (3)y 乙与t 之间的函数图象如解图所示,由图象可知,整个行驶过程中两车相遇次数为2．第5题解图7. 某企业是一家专门生产季节性产品的企业,经过调研预测,它一年中获得的利润y (万元)和月份n 之间满足函数关系式y =－n 2＋14n －24． (1)若利润为21万元,求n 的值；(2)哪一个月能够获得最大利润,最大利润是多少？(3)当产品无利润时,企业会自动停产,企业停产是哪几个月份？解:(1)由题意得:－n 2＋14n －24=21, 解得n =5或n =9；(2)y =－n 2＋14n －24=－(n －7)2＋25, ∵－1＜0,∴开口向下,y 有最大值, 即n =7时,y 取最大值25,故7月能够获得最大利润,最大利润是25万； (3))∵y =－n 2＋14n －24=－(n －2)(n －12), 当y =0时,n =2或者n =12．又∵图象开口向下, ∴当n =1时,y ＜0, 当n =2时,y =0, 当n =12时,y =0,则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．8. 我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售．当地政府对该特产元)．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？ ∴当x =60时,所获利润最大,最大值为41万元,∴若不进行开发,5年所获利润的最大值是:41×5=205(万元)； (2)前两年:0≤x ≤50,此时因为P 随x 的增大而增大,=－a 2＋60a ＋165=－(a －30)2＋1065, ∴当a =30时,y 最大且为1065,∴这三年的获利最大为1065×3=3195(万元),∴5年所获利润(扣除修路后)的最大值是:80＋3195－50×2=3175(万元)； (3)有很大的实施价值．规划后5年总利润为3175万元,不实施规划方案仅为205万元,故具有很大的实施价值．＋100,每件成本为20元,设此时的年销售利润为w 甲(元)(利润=销售额－成本)；设此时的年销售利润为w乙(元)(利润=销售额－成本－附加费)；(1)当a =16时且x =100时,w 乙= 元；(2)求w 甲与x 之间的函数关系式(不必写出x 的取值范围),并求x 为何值时,w甲最大以及最大值是多少？(3)为完成x 件的年销售任务,请你通过分析帮助公司决策,应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．=(26－a )x , 而15≤a ≤25,而x=400时,w甲最大值=16000(元),∴选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．10.某高新企业员工的工资由基础工资、绩效工资和工龄工资三部分组成,其中工龄工资的制定充分了考虑员工对企业发展的贡献,同时提高员工的积极性,控制员工的流动率,对具有中职以上学历员工制定如下的工龄工资方案．Ⅰ．工龄工资分为社会工龄工资和企业工龄工资；Ⅰ．社会工龄=参加本企业工作时年龄－18,企业工龄=现年年龄－参加本企业工作时年龄；Ⅰ．当年工作时间计入当年工龄；Ⅰ．社会工龄工资y1(元/月)与社会工龄x(年)之间的函数关系式如图①所示,企业工龄工资y2(元/月)与企业工龄x(年)之间的函数关系如图②所示．请解决以下问题(1)求出y1、y2与工龄x之间的函数关系式；(2)现年28岁的高级技工小张从18岁起一直实行同样工龄工资制度的外地某企业工作,为了方便照顾老人与小孩,今年小张回乡应聘到该企业,试计算第一年工龄工资每月下降多少元？(3)已经在该企业工作超过3年的李工程师今年48岁,试求出他的工资最高每月多少元？第9题图解:(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx,由题意,得100=10k,解得k=10,∴y 1=10x (x ≥0,x 为整数),当0≤x ≤3时,y 2与x 之间的函数关系式为y 2=k 2x , 由题意,得60=3k 2． ∴k 2=20, ∴y 2=20x ,当3＜x ≤32时,设y 2=a (x －23)2＋860, 由题意,得698=a (32－23)2＋860,解得a =－2, ∴y 2=－2(x －23)2＋860,当32＜x ≤42时,由图象,得y 2=698．∴y 2=()()220132238604()32)6983342(x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--+≤≤≤≤，为整数，为整≤数，为整数≤;(2)小张在原厂的社会工龄为:18－18=0年,企业工龄为:28－28=10年,y 1=0,y 2=522,∴在小张在原厂的工龄工资为:0＋522=522(元),当小张回家乡到后进该企业,小张的社会工龄为:28－18=10年,企业工龄为:28－28=0年∴小张的工龄工资为；y 1＋y 2=10×10＋20×0=100∴小张的第一年工龄工资每月下降了:522－100=422(元), 答:第一年每月工龄工资下降422元；(3)依题知要李程师的总工龄为:48－18=30,设李工程师的工龄工资为y ,在本企业工作x 年,由题意,得3＜x ≤30∴y =y 1＋y 2=10(30－x )＋[－2(x －23)2＋860] =－2(x －20.5)2＋942.5,∵a =－2＜0,∴抛物线开口向下,对称轴是x =20.5, ∵x 为整数,∴当x =20或21时,y 最大,且最大值为942, ∴李工程师的工龄工资最高为942元/月．11. 进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P (元)与已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函数关系y=2x＋16,每台空调的出售价格为1400元．请解答下列问题:(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式；(2)确定该厂哪一天获得最大利润,最大利润是多少？(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1．现计划从第13天开始,按每台成本P1元,每台生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值．解:(1)当0＜x≤5时,W=y(1400－P)=(2x＋16)(1400－400)=2000x＋16000；当5＜x≤12时,W=y(1400－P)=(2x＋16)[1400－(40x＋20)]=－80x2＋1760x＋19200；(2)当0＜x≤5时,W=2000x＋16000,∵2000＞0,W随x的增大而增大,∴当x=5时,W有最大值为26000元；当5＜x≤12时,W=－80x2＋1760x＋19200=－80(x－11)2＋28880,∴当x=11时,W有最大值28880元,综上,第11天的利润最大,最大利润是28880元；(3)y1=2×11＋16=38(件),P1=40×11＋200=640(元),由题意得:[1400－640(1＋a%)]×38×10=28880×8,解得a=23.75,∴a的值为23.75．12.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元？(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出．设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围；(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．经检验x=150是分式方程的解,答:一件B型商品的进价为150元,则一件A型商品的进价为160元；(2)因为客商购进A型商品m件,所以客商购进B型商品(250－m)件．由题意:v=80m＋70(250－m)=10m＋17500,∵80≤m≤250－m,∴80≤m≤125；(3)设利润为w元,则w=(80－a)m＋70(250－m)=(10－a)m＋17500,①当10－a＞0时,w随m的增大而增大,所以m=125时,最大利润为(18750－125a)元．②当10－a=0时,最大利润为17500元．③当10－a＜0时,w随m的增大而减小,所以m=80时,最大利润为(18300－80a)元．13.为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水,对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式,每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格,超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策,随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据,整理绘制出下面(1)为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求,那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？(2)若将(1)中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费,超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量(单位:m3),y表示每户每月应交水费(单位:元),求y与x的函数关系式；(3)某户家庭每月交水费是80.9元,请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？解:(1)200＋160＋180＋220＋240＋210＋190=1400(户),2000×70%=1400(户),∴基本用水量最低应确定为多38m3；答:为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求,那么每户每月的基本用水量最低应确定为38立方米．(2)设x表示每户每月用水量(单位:m3),y表示每户每月应交水费(单位:元),当0≤x≤38时,y=1.8x；当x＞38时,y=1.8×38＋2.5(x－38)=2.5x－26.6．综上所述:y与x的函数关系式为y=1.8(038)2.526.6(38)x xx x⎧⎨-⎩≤≤＞；(3)∵1.8×38=68.4(元),68.4＜80.9,∴该家庭当月用水量超出38立方米,当y=2.5x－26.6=80.9时,x=43,答:该家庭当月用水量是43立方米．14.为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类,促进经济发展．2017年春,预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数),青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍,经预算,种植西红柿的利润可达1万元/公顷,青椒1.5万元/公顷,马铃薯2万元/公顷,设种植西红柿x公顷,总利润为y万元．(1)求总利润y(万元)与种植西红柿的面积x(公顷)之间的关系式；(2)若预计总利润不低于180万元,西红柿的种植面积不低于8公顷,有多少种A、B两种类型的温室大棚,开辟新的经济增长点,经测算,投资A种类型的大棚5万元/个,B种类型的大棚8万元/个,请直接写出有哪几种建造方案？解:(1)由题意y=x＋1.5×2x＋2(100－3x)=－2x＋200；(2)由题意－2x＋200≥180,解得x≤10,∵x≥8,∴8≤x≤10,∵x为整数,∴x=8,9,10．∴有3种种植方案,方案一:种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷,方案二:种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷,方案三:种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷；(3)∵y=－2x＋200,－2＜0,∴x=8时,利润最大,最大利润为184万元,∴5a＋8b≤23,∴a=1,b=1或2,a=2,b=1,a=3,b=1,∴可以投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚1个,或投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚2个,或投资A种类型的大棚2个,B种类型的大棚1个,或投资A种类型的大棚3个,B种类型的大棚1个．15.嘉淇同学大学毕业后借助低息贷款创业,他向银行贷款30000元,分12个月还清贷款,月利率是0.2%,银行规定的还款方式为“等额本金法”,即每月除归还等额的本金为30000÷12=2500元外,还需要归还本月还款前的本金的利息,下面是还款的部分明细．第1个月,由于本月还款前的本金是30000元,则本月应归还的利息为30000×0.2%=60元,本月应归还的本息和为2500＋60=2560元；第2个月,由于本月还款前的本金是27500元,则本月应归还的利息为27500×0.2%=55元,本月应归还的本息和为2500＋55=2555元；…根据上述信息,则(2)设第x个月应归还的利息是y元,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围；(3)嘉淇将创业获利的2515元用于还款,则恰好可以用于还清第几个月的本息和？解:(1)20000,40；【解法提示】由题意可得,第5个月还款前的本金为:30000－2500×4=20000(元),第5个月应归还的利息为:20000×0.2%=40(元).(2)由题意可得,y=[3000－2500(x－1)]×0.2%=65－5x,即y关于x的函数关系式是y=65－5x(1≤x≤12,x取正整数)；(3)当本息和恰好为2515时,利息为2500－2515=15(元),则15=65－5x,解得x=10,即嘉淇将创业获利的2515元用于还款,则恰好可以用于还清第10个月的本息和．。

2020年中考数学三轮冲刺培优练压轴题集训题七(15题含答案)

2020年中考数学三轮冲刺培优练压轴题集训题七1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，﹣2)，且过点C(2，﹣2)．(1)求二次函数表达式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA=4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．2.如图，直线y=kx+2与x轴交于点A(m，0)(m＞4)，与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a1＜0)经过A，B两点．P为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．(1)当m=5时，①求抛物线的关系式；②设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示PQ的长，并求当x为何值时，PQ=；(2)若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．4.如图1所示，已知：点A(﹣2，﹣1)在双曲线C：y=上，直线l1：y=﹣x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1(2，2)，F2(﹣2，﹣2)两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．(1)求双曲线C及直线l2的解析式；(2)求证：PF2﹣PF1=MN=4；(3)如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．(参考公式：在平面坐标系中，若有点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离公式为AB=．)5.如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ；当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．6.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A,B,C,已知点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(1,0),点C在y轴的正半轴上,且∠CAB=300 .(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线l:y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E.(ⅰ)当m>0时,在线段AC上是否存在点P,使得P,D,E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(ⅱ)以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A/C/与该二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．7.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．8.在平面直角坐际系x0y中，抛物线y=ax2﹣0.5x+4与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为（4，0），点E（m，0）为x轴上的一个动点，过点E作直线1⊥x轴，与抛物线y=ax2﹣0.5x+4交于点F，与直线AC交于点G．（1）分别求抛物线y=ax2﹣0.5x+4和直线AC的函数表达式；（2）当﹣8＜m＜0时，求出使线段FG的长度为最大值时m的值；（3）如图2，作射线0F与直线AC交于点P，请求出使FP：PO=1：2时m的值．9.已知抛物线C：y=(x-1)2-4和C2：y=x21(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？(2)如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ①若AP=AQ，求点P的横坐标②若PA=PQ，直接写出点P的横坐标(3)如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系10.如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q(2，1)时，求t的值；(3)在抛物线y=x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．11.如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．(1)请直接写出二次函数y=的表达式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．12.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0)经过点A（2，0)，点B（3，3)，BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0)，点F与原点重合。

挑战压轴题填空题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(广州卷)(解析版)

02挑战压轴题（填空题）<≤【答案】 1.23S【分析】根据三角形中位线定理可得形DEFG是平行四边形，结合【详解】解：∵点D，E分别是由题意得，DE AM ∥，且DE ∴1122DE AM x ==，又F 、G 分别是MN AN 、的中点，∴FG AM ∥，12FG AM =，【答案】120°/120度75°/75度【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中BA BEABP EBPBP BP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，51【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．【答案】15 4【分析】如图，连接PC交AB于直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出题．【详解】解：如图，连接PC交AB∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵BC＝23，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝43，AC＝3BC＝6，∵∠EPB＝∠EBP＝60°，（1）∠AEB 的度数为（2）若15EBA ∠=︒，【答案】 135° 【分析】（1）如图，连接∵E 是△ADC 的内心，∠∴∠ACE ＝12∠ACD ，∠EAC ∴∠AEC ＝180°−12(∠ACD 在△AEC 和△AEB 中，【详解】【答案】171++/117【分析】连接CE，AE'，可证AE'=的圆，当E F'经过圆心半径为1【详解】解：如图，连接CE四边形ABCD是正方形，=∴∠=︒，AD CDADC90ADE CDE∴∠+∠=︒，90将DE绕D顺时针旋转∠=DE DE'∴=，EDE'∴22AF AD DF =+224117=+=，FE AF AE ''∴=+171=+；【答案】17【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由V V，可得BE≅BDE BDF=，由勾股定理可求解．AE CF∠=BD DE，BDE2==∴∠=∠=︒，90BDE BDF()SAS∴≅V V，BDE BDF∠=∠BE BF∴=，BEA BFA【答案】8【分析】本题考查动点最值问题法求线段长等知识，在Rt PBE△中，求出在等腰ABCV中，∴在Rt△ABD中，ABsinAD ABDAB∴∠==在Rt PBE△中，sin313【答案】5【分析】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题．先画出点E 运动的路线EE '，过E 作EF AQ ⊥，交AQ 于点F ，根据EAF CAB △∽△，可得EF AF =，设cm EF x =，则()3cm BF x =-，()4.5cm QF x =-，再根据EQF DQA V V ∽，可求得EF E F '、，利用勾股定理可得EE '．【详解】解：当点P 在点A 处时，如图，，23cm BP BQ BP == ，，15cm BQ .∴=，当点P 运动到点B 时，如图，，所以点E 运动的路线EE '，如图，，过E 作EF AQ ⊥，交AQ 于点F ，即90AFE EFQ ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 为正方形，【答案】32【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，取连接DK ，EK ，由V AE 绕点A 顺时针旋转∵ABC V 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，3AD =∵线段AE 绕点A 顺时针旋转∴60PAE ∠=︒，AE =∴60PAE BAC ∠=∠=︒【答案】23【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，于G ，延长CG 交AB 于点F ，证明V 据3AC =，得21CD AD ==，，进而根据勾股定理求出【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长∵ 90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴ DE AB ∥，90CDG CAF ==∠∠又∵ DCG ACF ∠=∠，∴ DCG ACF V V ∽，∴ CD DG CG ==，【答案】26【分析】连接,,OA AC OC ,OF CF ，先求出AD =后利用勾股定理求出OE 则52OA OC OF ===，12AOD AOC ∴∠=∠，弦CD AB ⊥于点E ，CD ∴142CE CD ==，∴2225BC CE BE =+=设OC x =，则2=-OE x ，2C BAD ∠=∠ ，设BAD ∠=α，则2C α∠=，90ABD ∠=︒ ，90ADB ADE α∠=︒-=∠ ，180EDC ADB ADE ∴∠=︒-∠-∠=ED EC ∴=，【答案】AP的长为25或2或10【分析】分三种情况：PA'平行于行于x轴时，过点C作CN PA⊥于的坐标，从而求得CM AM，，再由折叠性质得PA '平行于x 轴时，如图，过点设AP a =，点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则则5512A m a m ⎛⎫++ ⎪⎝'⎭，，50,12M ⎛ ⎝当P 靠近A 且PA '平行于x 轴时，延长设AP a =，点5512P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则0m <，则5512A m a m ⎛⎫-+ ⎪⎝'⎭，，50,512M m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴555321212CM m m ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，PM =综上，AP 的长为25或2或10．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的性质角平分线的性质，勾股定理，等积法，利用等积法是解题的关键与难点．17．（2024上·山东济南·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点123B B B ⋯，，，在x 轴上，11122233OA B B A B B A B ⋯V V V ，，是等腰直角三角形．【答案】94，设22A C m =，33A C n =，点()111A ，，1111OC A C ∴==，【答案】8【分析】如图，记AB BC 、1122DP BC AB DQ ===，证明()SAS FDQ EDC V V ≌1124BM PM BP AB ===又∵D 是AC 的中点，∴DP DQ 、是ABC V 的中位线，∴1122DP BC AB DQ ===∴四边形BPDQ 是菱形，∴1122DP BQ BC AB ===∵等边DFE △，【答案】3212+2【分析】（1）连结AB，取AB的中点D，连结CD 以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点即得OC的最小值；（2）连结AB，取AB的中点D，连结DM，ODC为AP的中点，M 为AC 的中点，1122DM BC ∴==，所以点M 在以定点D 为圆心，90AOB ∠=︒Q ，2OA =，OB 2222AB OA OB ∴=+=，1。

押题卷01-赢在中考之2020中考数学押题卷(长沙卷)(解析版)

押题卷01-赢在中考之2020中考数学押题卷(长沙卷)(解析版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN押题卷01-赢在中考之2020中考数学押题卷（长沙）考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）1.﹣的倒数是（）A. 3B. ﹣3C.D. ﹣【答案】B【解析】解：﹣的倒数是﹣=﹣3．故选C．2.中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题解析：A.是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.B.是轴对称图形，也是中心对称图形.正确.C.不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误.D. 是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选B.【点评】根据轴对称图形的性质：有一条直线是对称轴，图形沿轴折叠，折叠后互相重合.根据中心对称图形的性质：有一个对称中心，图形绕中心旋转180°，旋转后互相重合.3.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为X甲=82分，X乙=82分，S甲2=245，S乙2=190，那么成绩较为整齐的是( )A. 甲班B. 乙班C. 两班一样整齐D. 无法确定【答案】B【解析】【详解】∵S 甲2=245，S 乙2=190，∴S 甲2 >S 乙2 ∴成绩较为整齐的是乙班．故选B ．4.不等式组1{1x x >-≤的解集在数轴上可表示为（） A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式组11x x >-⎧⎨≤⎩可求得不等式组的解集是11x -<≤,再根据在数轴上表示不等式解集的方法进行表示. 【详解】解不等式组11x x >-⎧⎨≤⎩可求得: 不等式组的解集是11x -<≤,故选D.【点评】本题主要考查不等组的解集数轴表示,解决本题的关键是要熟练掌握正确表示不等式组解集的方法.5.若函数m 2y x +=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是A. m ＜﹣2B. m ＜0C. m ＞﹣2D. m ＞0 【答案】A【解析】 ∵函数m 2y x+=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大， ∴m+2＜0，解得：m ＜﹣2．故选A ．6.x 的取值范围为（）A. x ≥12B. x ≤-12C. x ≥-12D. x ≤12【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可列出不等式，即可解出.【详解】依题意120x +≥，解得x ≥-12，故选C. 【点评】此题主要考查二次根式的定义，熟知被开方数为非负数是解题的关键.7. 若点A 的坐标为（6，3）O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ′，则点A ′的坐标是（）A. （3，﹣6）B. （﹣3，6）C. （﹣3，﹣6）D. （3，6）【答案】A【解析】【详解】由图知A 点的坐标为（6，3），根据旋转中心O ，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，点A ′的坐标是（3，﹣6）．故选A ．8.已知3x =是关于x 的方程21x a -=的解，则a 的值是（）A. 5-B. 5C. 7D. 2【解析】【分析】首先根据一元一次方程的解的定义，将x＝3代入关于x的方程2x−a＝1，然后解关于a的一元一次方程即可．【详解】解：∵3是关于x的方程2x−a＝1的解，∴3满足关于x的方程2x−a＝1，∴6−a＝1，解得，a＝5．故选B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．9.五边形的外角和等于（）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【解析】根据多边形的外角和等于360°解答．解：五边形的外角和是360°．故选B．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．10.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）A. ∠HGF=∠GHEB. ∠GHE=∠HEFC. ∠HEF=∠EFGD. ∠HGF=∠HEF【答案】D【解析】利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形，进而可以得到结论．【详解】解：连接BD，AC∵E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HE=GF=12BD，HE∥GF，同理可证明HG=EF=12 AC.∵四边形ABCD为梯形，AD=BC∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD,∴HG=EF= AD=BC∴四边形HEFG是菱形，∵菱形的对角相等，邻角互补，∴∠HGF=∠HEF，故选D．11.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（－2,4），B（4，2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k的值不可能是（）A. -5B. -2C. 3D. 5【答案】B【解析】将线段AB端点坐标代入直线y=kx-2，分别算出K=1，K=-3，，由简要画图看出，K要么大于等于1，要么小于等于-3 ，故选B12.如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分（）A. 22-B. 16+πC. 18D. 19【答案】D【解析】分析：根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面高度为10cm 得出AD=10，进而得出A ′C=16，从而得出A ′A ″=3，得出答案即可．详解：连接A ″A ′， ∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10cm ． ∴AD=10，∵钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16cm ， ∴A ′C=16，∴AO=A ″O=6，则钟面显示3点50分时，∠A ″OA ′=30°， ∴A ′A ″=3，∴A 点距桌面的高度为16+3=19cm ．【点评】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，难度不是很大．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）13.x 的取值范围为_____．【答案】12x ≥【解析】的【分析】根据二次根式有意义的条件得出210x -≥即可求解.则210x -≥，解得：12x ≥，即实数x 的取值范围为12x ≥. 故填：12x ≥ 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键.14.有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．【答案】34【解析】【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34. 故其概率为：34．【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，计划在2019年投入资金2880万元．设年平均增长率为x ，根据题意可列出方程为_______________．【答案】()2128012880x +=【解析】【分析】根据：2017年投入的资金×(1+增长率)2=2019年投入的资金，列出方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，则根据题意可得：()2128012880x +=，故答案为：()2128012880x +=．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据已知条件，找出等量关系，列出方程．16.已知圆锥的底面半径为10，母线长为30，则圆锥侧面积是________．【答案】300π【解析】【分析】直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】依题意知母线长=30，底面半径r =10，则由圆锥的侧面积公式得S =πrl =π×10×30=300π．故答案为300π．【点评】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．17.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC= ．【答案】2：3【解析】试题分析：由四边形ABCD 为平行四边形，得到对边平行且相等，利用两直线平行得到两对内错角相等，进而得到三角形DEF 与三角形ABF 相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方求出相似比，即可求出所求之比．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，DC=AB ，∴∠EDF=∠FBA ，∠DEF=∠FAB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴S △DEF ：S △ABF =（DE ）2：（AB ）2=4：25，即DE ：AB=2：5，∴DE：DC=2：5，则DE：EC=2：3，故答案为2：3【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．18.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为________【答案】2π-4【解析】【分析】连结OC,根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠COD=45°,从而证出△ODC为等腰直角三角形，，即可求出OC的长，然后根据阴影部分的面积=扇形BOC的面积-△ODC的面积,即可求出阴影部分的面积．【详解】解：连结OC,∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是AB的中点,∴∠COD=45°,∴△ODC为等腰直角三角形，∴∵阴影部分的面积=扇形BOC的面积-△ODC的面积,即S 阴影=45360 ×π×42- 12 ×)2=2π-4．故答案：2π-4．【点评】此题考查是求不规则图形的面积，掌握在同圆中，等弧所对的圆心角相等、勾股定理、扇形的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.计算： 201()2sin 60(32--+-︒【答案】5【解析】【分析】根据负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式和零次幂的性质计算即可.【详解】解：原式=41+= 5【点评】本题考查负指数幂、特殊角三角函数值、二次根式和零次幂的运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键.20.先化简，后求值：22111x x x x --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中x =2018. 【答案】12019 【解析】【分析】根据分式运算法则将原式化简，然后带入求值即可. 【详解】解：原式=21(1)(1)x x x x x x --⋅+- =11(1)(1)1x x x x x x -⋅=+-+ 当2018x =时，原式=12019. 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题关键.四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）的21.今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是；把图2条形统计图补充完整．（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．【答案】（1）60；图见解析；（2）750户；（3）列表见解析，2 5【解析】【分析】（1）从两个统计图可得，“B级”的有21户，占调查总户数的35%，可求出调查总户数；求出“C级”户数，即可补全条形统计图：（2）样本估计总体，样本中“严重”和“非常严重”占92160+，估计总体1500户的92160+是“严重”和“非常严重”的户数；（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．【详解】解：（1）21÷35%＝60户，60﹣9﹣21﹣9＝21户，故答案为：60；补全条形统计图如图所示：（2）1500×92160+＝750户，答：若该地区建档的养殖户有1500户中非常严重与严重的养殖户一共有750户；（3）用表格表示所有可能出现的情况如下：共有20种不同的情况，其中选中e 的有8种，∴P （选中e ）＝820＝25. 【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．22.如图，在ABCD 中，点E 是BC 上的一点，连接DE ，在DE 上取一点F 使得AFE ADC ∠=∠．若DE AD =，求证：DF CE =．【答案】证明详见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC ，根据题意得到∠AFD=∠C ，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可．【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，ADF DEC ∴∠=∠，AFE FAD ADF ∠=∠+∠，ADC ADF CDE ∠∠∠＝＋，AFE ADC ∠∠＝，FAD CDE ∴∠∠＝，在AFD 和DCE 中，ADF DEC AD DEFAD CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， AFD DCE ∴△≌△，DF CE ∴＝．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．23.人们常常在室内摆放一些绿色植物，这样做不仅增加了温馨舒适度，还有助于提高室内空气的质量．前年某小区为更好地提高住户的居住感受，为已入住的住户购置A 、B 两个品种的绿色植物共900盆．其中，A 品种每盆20元，B 品种每盆30元（1）已知该小区前年购置这900盆绿色植物共花费23000元，请分别求出已购置的A 、B 品种的数量；（2）今年该小区决定再次为已入住的住户购置绿色植物C 、D 两个新品种．已知C 品种今年每盆的价格比A 品种前年的价格优惠a%，D 品种今年每盆的价格比B 品种前年的价格优惠2%5a ．由于小区入住率的提高，今年需要购置C 品种的数量比A 品种前年购置的数量增加了1%2a ，购置D 品种的数量比B 品种前年购置的数量增加了a%，于是今年的总花费比前年增加了223a%．求a 的值．【答案】（1）前年已购置的A 品种400盆，B 品种500盆；（2）30【解析】【分析】（1）设前年已购置的A 、B 品种的数量分别为x 盆和y 盆，根据“购置A 、B 两个品种的绿色植物共900盆，购置这900盆绿色植物共花费23000元”，列出二元一次方程组，即可求解；（2）根据等量关系，列出关于a%的一元二次方程，即可求解．【详解】（1）设前年已购置的A、B品种的数量分别为x盆和y盆，由题意得：900203023000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：400500xy=⎧⎨=⎩，答：前年已购置的A品种400盆，B品种500盆；（2）由题意得：12220(1%)4001%301%500(1%)230001%2523a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设a%＝t，则2220(1)4001301500(1)2300012523tt t t t⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：﹣10t2+3t＝0，∴t（﹣10t+3）＝0，∴t1＝0（舍），23 10t=，∴3%10a=，∴a＝30，答：a的值为30．【点评】本题主要考查二元一次方程组以及一元二次方程的实际应用，掌握等量关系，列出二元一次方程组或一元二次方程，是解题的关键．24.如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【解析】【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段ED EAEG ED=，则结论得证；（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段OF EFOA DE=，则EF可求出．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAD，∵ AD ＝ AD ，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴ DE BE=，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴ED EA EG ED=， ∴ED 2＝EG •EA ；（3）解：连接OE ，∵点E 是劣弧BD 的中点，∴∠DAE ＝∠EAB ，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠AEO ，∴∠AEO ＝∠DAE ，∴OE ∥AD ， ∴OF EF OA DE=， ∵BO ＝BF ＝OA ，DE ＝2， ∴212EF =， ∴EF ＝4．【点评】本题考查了圆的综合应用题，涉及了圆周角定理、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟悉上述知识点．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数(0)n y n x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 坐标为(,1)m -，AD x ⊥轴，且3AD =,3tan 2AOD ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）点E 是x 轴上一点，且AOE △是等腰三角形，求E 点的坐标．【答案】（1）反比例函数：6y x =-；一次函数：122y x =-+；（2）1E ，2(E ，3(4,0)E -，413,04E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式．（2）分类讨论，当AO 为等腰三角形的腰与底时，求出点E 的坐标即可．【详解】（1）在Rt △OAD 中，90ADO ∠=︒ ∵3tan ,32AD AOD AD OD ===∠ ∴2OD =∴()2,3A -把()2,3A -代入n y x=中 32n =- 解得6n =- ∴反比例函数的解析式为6y x -=把(),1B m -代入6y x-= 61m--= 解得6m =把()2,3A -和()6,1B -分别代入y kx b =+中，得2361k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴一次函数的解析式为122y x =-+．（2）如图，①当OE OA =)()12,E E ，②当OA AE ==时，有24OE OD ==，可得()34,0E -③当AE OE =时，设E 点的坐标为(),0x 得()()22232x x +--=- 解得134x =- ∴41304E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故点E的坐标为：)()12,E E ，()34,0E -，41304E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的几何问题，掌握锐角三角函数的定义、待定系数法、反比例函数和一次函数的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．26.已知：抛物线21222m y x x m -=-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中点B 在点A 的右侧，且AB ＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D 在第一象限内抛物线上，连接CD ，AD ，AD 交y 轴于点E ．设点D 的横坐标为d ，△CDE 的面积为S ，求S 与d 之间的函数关系式（不要求写出自变量d 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，点P 在DH 上，连接CP ，若∠OCP ＝2∠DAB ，且HE ：CP ＝3：5，求点D 的坐标及相应S 的值．【答案】（1）213522y x x =-++；（2）212S d =；（3）D(4，3)，8 【解析】【分析】（1）先求出点A ，B 的坐标，结合AB 的长，即可得到答案；（2）过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设∠DAB ＝α，易得1tan (5)2d α=-，进而求出CE 的长，即可求解；（3）过点E 作CE 的垂线，过C 作∠OCP 的平分线交DE 于点J ，交CE 的垂线于点F ，过点F 作ED 的平行线交HD 的延长线于点N ，连接CN ．易得∠ECF ＝∠DAB=∠HDE ＝∠PCF=α，设HE ＝3k ，CP ＝5k ，先证△CFN 为等腰三角形，再证PC ＝PN ＝5k ，由勾股定理得（d ﹣3k ）2+（d ﹣2k ）2＝（5k ）2，可得1tan 2α=，结合1tan (5)2d α=-，即可求解．【详解】（1）∵21222m y x x m -=-++，令y ＝0，则（x+2）（x ﹣m ）＝0，解得：122x x m =-=，，∴A(﹣2，0)，B(m ，0)，∵AB ＝7，∴m ﹣（﹣2）＝7，m ＝5， ∴213522y x x =-++；（2）过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设∠DAB ＝α，∵点D 在第一象限内抛物线上，点D 的横坐标为d ， ∴213,522D d d d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴1(2)(5)12tan (5)(2)2d d DK d AK d α-+-===---，∵C(0，5)，∴EO ＝AO •tan α＝5﹣d ，CE ＝5﹣（5﹣d ）＝d ， ∴21122S CE DH d =⋅=；（3）过点E 作CE 的垂线，过C 作∠OCP 的平分线交DE 于点J ，交CE 的垂线于点F ，过点F 作ED 的平行线交HD 的延长线于点N ，连接CN ．∵EF ⊥CE ，DH ⊥CE ，∴EF ∥DH ∥AB ，∵设∠DAB ＝α，∠OCP ＝2∠DAB ，CF 平分∠OCP ，∴∠ECF ＝∠DAB=∠HDE ＝∠PCF=α，∵HE ：CP ＝3：5，∴设HE ＝3k ，CP ＝5k ，由（2）可知：CE ＝HD ＝d ，又∵∠CEF ＝∠CHD ＝90°，∴△CEF ≌△DHE （ASA ），∴EF ＝HE ，CF ＝DE ，∵EF ∥DN ，NF ∥DE ，∴四边形EDNF 为平行四边形，∴EF ＝HE ＝DN ＝3k ，CF ＝DE ＝FN ，∠DNF=∠DEF=α，∴△CFN 为等腰三角形，∴∠FCN ＝∠FNC ，∴∠PCN ＝∠FCN-α=∠FNC-α=∠PNC ，∴PC ＝PN ＝5k ，∴PD ＝2k ，∴CH ＝d ﹣3k ，PH ＝d ﹣2k ，∴（d ﹣3k ）2+（d ﹣2k ）2＝（5k ）2，∴(d ﹣6k)(d+k)＝0，∴d ＝6k ，∴在Rt △DHE 中，31tan 62HE k DH k α===，由（2）知1tan (5)2d α=-， ∴11(5)22d =-． ∴d ＝4，∴D(4，3)，21116822S d ==⨯=．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质与平面几何的综合，涉及正切函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握二次函数的图象和性质，添加合适的辅助线，构造直角三角形和平行四边形，是解题的关键．。

2020全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(七)平移旋转对称三大变换(解析版)

2020全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：七、平移旋转对称三大变换1.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ；再将△PCQ ，△ADQ 分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．请完成下列探究：（1）∠P AQ 的大小为 30 °；（2）当四边形APCD 是平行四边形时，AB QR 的值为 √3 ．【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B ＝∠AQP ，∠DAQ ＝∠QAP ＝∠P AB ，∠DQA ＝∠AQR ，∠CQP ＝∠PQR ，∠D ＝∠ARQ ，∠C ＝∠QRP ，∵∠QRA +∠QRP ＝180°，∴∠D +∠C ＝180°，∴AD ∥BC ，∴∠B +∠DAB ＝180°，∵∠DQR +∠CQR ＝180°，∴∠DQA +∠CQP ＝90°，∴∠AQP ＝90°，∴∠B ＝∠AQP ＝90°，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAQ ＝∠QAP ＝∠P AB ＝30°，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD ＝AR ，CP ＝PR ，∵四边形APCD 是平行四边形，∴AD ＝PC ，∴AR ＝PR ，又∵∠AQP ＝90°，∴QR =12AP ，∵∠P AB ＝30°，∠B ＝90°，∴AP ＝2PB ，AB =√3PB ，∴PB ＝QR ，∴AB QR =√3，故答案为：√3．2.（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF ＝3，则BE 的长为 2 ．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠DAB ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠DAF +∠EAB ＝45°，∴∠BAG +∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{AG =AF ∠EAG =∠EAF AE =AE，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝FE ，设BE ＝x ，则GE ＝BG +BE ＝3+x ，CE ＝6﹣x ，∴EF ＝3+x ，∵CD ＝6，DF ＝3，∴CF ＝3，∵∠C ＝90°，∴（6﹣x ）2+32＝（3+x ）2，解得，x ＝2，即BE ＝2，法二：设BE ＝x ，连接GF ，如下图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠GCF ＝90°，∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴∠CAF ＝90°，GA ＝F A ，∴△GAF 为等腰直角三角形，∵∠EAF ＝45°，∴AE 垂直平分GF ，∴∠AEB +∠CGF ＝90°，∵在Rt △AEB 中，∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CGF ，∴△BAE ～△CGF ，∴BE CF =AB GC ，∵CF ＝CD ﹣DF ＝6﹣3＝3，GC ＝BC +BG ＝BC +DF ＝6+3＝9，∴x 3=69， ∴x ＝2，即BE ＝2，故答案为：2．3.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF ⊥BG ；②GE ＝GF ；③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F 与点C 重合时，∠DEF ＝75°，其中正确的结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如图，连接BE ，设EF 与BG 交于点O ，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC，∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA），∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB=ABBE=612=12，∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，由题意无法证明△GDK 和△GKH 的面积相等，故③错误；故选：C ．4.（2020•随州）如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH ⊥BC 于点H ，连接BF ，给出下列判断：①△MHN ∽△BCF ；②折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若DF =13DC ，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确判断的序号）【解答】解：①如图1，由折叠可知BF ⊥MN ，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB ＝OD =52，∵tan ∠DBC =ON OB =CD BC ，即ON 52=34， ∴ON =158，∵AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠OBN ，在△MOD 和△NOB 中， ∵{∠MDO =∠OBNOD =OB ∠DOM =∠BON，∴△DOM ≌△BON （ASA ），∴OM ＝ON ，∴MN ＝2ON =154， ∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合），∴折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；故②正确；③如图3，连接BM ，FM ，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM=√32+12=√10，∴FM=√10，∴DF=√FM2−DM2=√(√10)2−32=1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x=3 2，∴HN=3 2，∵CH＝3，∴CN＝HN=3 2，∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF=13DC，CD＝3，∴DF＝1，CF＝2，∴BF=√22+42=2√5，∴OF=√5，设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，∴a2＝（4﹣a）2+22，∴a=5 2，∴BN＝FN=52，CN=32，∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，∴∠DFQ ＝∠CNF ，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△QDF ∽△FCN ，∴QD FC =DF CN ，即QD 2=132，∴QD =43，∴FQ =√12+(43)2=53，∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF =HN HM =CF BC ， ∴HN 3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52， ∵CH ＝MD ＝HN +CN =32+32=3，∴MQ ＝3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF =12⋅MN ⋅OF +12⋅MQ ⋅DF =12×3√52×√5+12×53×1=5512；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．5.（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是14t2−14t+1．【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，∵AE2+AM2＝EM2，∴（2﹣x）2+t2＝x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF＝90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG＝90°，∴∠ADM＝∠FEG，∴tan ∠ADM =AM AD =t 2=FG 1， ∴FG =t 2，∵CG ＝DE =t 24+1，∴CF =t 24−t 2+1， ∴S 四边形CDEF =12（CF +DE ）×1=14t 2−14t +1．故答案为：14t 2−14t +1．6.（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（）A ．23B ．√104C ．√53D ．2√55【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∵E 是BC 的中点，BC ＝2√5，∴BE ＝CE =12BC =√5，∴AE =√AB 2+BE 2=√22+(√5)2=3，由翻折变换的性质得：△AFE ≌△ABE ，∴∠AEF ＝∠AEB ，EF ＝BE =√5，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB＝∠ECF，∴cos∠ECF＝cos∠AEB=BEAE=√53．故选：C．7.（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=√52，则矩形ABCD的面积为15√5．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF=√5 2，设BF=√5x，BE＝2x，∴EF=√BF2+BE2=3x，∴AB ＝5x ，∴AB =√5BF ．∴S 矩形ABCD ＝AB •AD =√5BF •AD =√5×15＝15√5．故答案为：15√5．8.（2020•孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．92 【解答】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154，故选：B ．9.（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2【解答】解：过B 作BM ⊥AD 于点M ，分别过B ，D 作直线y ＝x 的平行线，交AD 于E ，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM=√2，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×√2=3√2．故选：B．10.（2020•江西）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．【解答】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°=4√33；②当∠AEB＝30°时，AE=ABtan30°=4√33=4√3；③∠ABE ＝15°时，∠ABA ′＝30°，延长BA ′交AD 于F ，如下图所示，设AE ＝x ，则EA ′＝x ，EF =x sin60°=2√3x 3， ∵AF ＝AE +EF ＝AB tan30°=4√33，∴x +2√3x 3=4√33， ∴x ＝8﹣4√3，∴AE ＝8﹣4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8﹣4√3厘米．11.（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（）A ．12√3B ．13√3C ．14√3D ．15√3【解答】解：∵EN ＝1，∴由中位线定理得AM ＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG=√22−12=√3，∴BE＝OF＝MG=√3，∴OF：BE＝2：3，解得OF=2√3 3，∴OD=√3−2√33=√33．故选：B．12.（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ①②④ ．【解答】解：∵把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，∴∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，∴四边形ADED '是矩形，又∵AD ＝AD '=√3，∴四边形ADED '是正方形，∴AD ＝AD '＝D 'E ＝DE =√3，AE =√2AD =√6，∠EAD '＝∠AED '＝45°，∴D 'B ＝AB ﹣AD '＝2，∵点F 是BD '中点，∴D 'F ＝1，∴EF =2+D′F 2=√3+1=2，∵将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，∴AE ＝A 'E =√6，∠D 'ED ''＝α，∠EA 'D ''＝∠EAD '＝45°，∴A 'F =√6−2，故①正确；∵tan∠FED'=D′FD′E=1√3=√33，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．13.（2020•聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A ．2（√33+1）B ．√33+1C ．√3−1D ．√3+1【解答】解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，∴BC ＝2√3，AC ＝4，∵将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，∴AB ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝2√3，∴B ′C ＝2，延长C ′B ′交BC 于F ，∴∠CB ′F ＝∠AB ′C ′＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠CFB ′＝60°，B ′F =√33B ′C =2√33， ∵B ′D ＝2，∴DF ＝2+2√33，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴DE =√32DF =√32×（2+2√33）=√3+1，故选：D ．14.（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝2，BE＝√5−1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴AE EF=DE AE ， ∴2EF =2+EF 2，∴EF =√5−1（负值舍去），∴BE ＝EF =√5−1，故答案为：2，√5−1．15.（2020•嘉兴）如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 √5 cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为（√5−32） cm ．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=√B′C′2+NC′2=√22+12=√5（cm），∴BM＝NB′=√5（cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x=5 2，∴DE＝4−52=32（cm），如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1−√5=（4−√5）（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2−32+2﹣（4−√5）＝（√5−32）（cm）．故答案为√5，（√5−32）．16.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43 【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE=12∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=√2AD=√2，故选：A．。

专题07 利用锐角三角函数解实际问题(教师版含解析) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型训练

备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题07 利用锐角三角函数解实际问题【专题训练】一、解答题1．(2020·江西中考真题)如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB =120mm ，支撑板长CD =80mm ，底座长DE =90mm ，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且CB =40mm ，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．(结果保留小数点后一位)(1)若∠DCB =80°，∠CDE =60°，求点A 到直线DE 的距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10°后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．(参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈，sin 26.60.448≈，cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈)【答案】(1)如图所示，过点A 作AMDE ⊥，CN DE ⊥，CP AM ⊥，则90CPM CMD CND ∠=∠=∠=︒,∵120mm AB =，40mm CB =，∵80mm =AC ，又∵80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，∵100ACD ∠=︒，120CDM∠=︒， ∵360909012060PCD∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∵1006040ACP∠=︒-︒=︒, ∵sin 40800.64351.44mm AP AC =︒=⨯=，又∵60CDN =︒,80mm CD =，∵sin 608069.28CN CD =︒=⨯=≈mm ， ∵69.2851.44120.72120.7AM mm =+=≈．∵点A 到直线DE 的距离是120.7mm ．(2)如图所示，根据题意可得90DCE ∠=︒，40mm CB =，80mm CD =， ∵401tan 802BC CDB DC ∠===， ∵26.6CDB ∠=︒，根据(1)可得60CDE ︒∠=，∵CD 旋转的角度=60-26.6=33.4︒︒︒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．2．(2020·浙江宁波市·中考真题)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB ＝AC ＝50cm ，∵ABC ＝47°．(1)求车位锁的底盒长BC ．(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?(参考数据：sin 47°≈0.73，cos 47°≈0.68，tan 47°≈1.07)【答案】解：(1)过点A作AH∵BC于点H，∵AB＝AC，∵BH＝HC，在Rt∵ABH中，∵B＝47°，AB＝50，∵BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，∵BC＝2BH＝68cm．(2)在Rt∵ABH中，∵AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∵36.5＞30，∵当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．3．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．(1)若移动滑块使AE＝EF，求∵AFE的度数和棚宽BC的长．(2)当∵AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？(结果精确到0.1m≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】解：(1)∵AE＝EF＝AF＝1,∵∵AEF是等边三角形,∵∵AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK,∵∵AEF是等边三角形,∵AK＝1 2,∵FK==,∵FM＝2FK∵BC＝4FM＝6.92≈6.9(m); (2)∵∵AFE＝74°,∵∵AFK＝37°,∵KF＝AF•cos37°≈0.80,∵FM＝2FK＝1.60,∵BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,答：当∵AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.4．(2020·浙江中考真题)有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h(cm)表示熨烫台的高度．(1)如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∵AOC=120°，求h的值；(2)爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∵AOC是74°(如图2﹣2)．求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到lcm)．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．)【答案】(1)过点B作BE∵AC于E，∵OA=OC，∵AOC=120°，∵∵OAC=∵OCA=1801202︒︒-=30°，∵h=BE=AB•sin30°=110×12=55；(2)过点B作BE∵AC于E，∵OA=OC，∵AOC=74°，∵∵OAC=∵OCA=180742︒︒-=53°，∵AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150(cm)，即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，弄清题中的数据是解本题的关键．5．(2020·四川广安市·中考真题)如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD 所在直线相交于水箱横断面∵O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∵A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∵E=60°．(1)求CD的长度．(结果保留根号)(2)求OD 的长度．(≈1.414≈1.732)【答案】解：(1)在Rt CDE △中，6078cm CED DE ∠=︒=，，·60CD DE sin ∴=︒=答：CD 的长度为；(2)设水箱半径OD 的长度为x 厘米，则CO =(x )厘米，AO =(154+x )厘米， ∵∵A =30°，∵CO =12AO ，x =12(154+x )，解得：x =154-154-135.096≈18.9cm ．答：OD 的长度为18.9cm ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和圆的基本性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和圆的半径相等是解题关键． 6．(2020·湖南衡阳市·中考真题)小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．(1)求OC 的长；(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB 与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．(结果保留根号)【答案】解：(1)∵24cm OA =，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒ ∵1122OC OA cm ==．即OC 的长度为12cm ．(2)如图，过点O 作OM ∵AC ，过点B ′作B ′E ∵AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B ′E 即为点B '到AC 的距离，∵OM ∵AC ，B ′E ∵AC ， ∵B ′E ∵OD ，∵MN ∵AC ，∵∵NOA =∵OAC =30°，∵∵AOB =120°，∵∵NOB =90°，∵∵NOB ′=120°，∵∵BOB ′=120°-90°=30°，∵BC ∵AC ，B ′E ∵AE ，MN ∵AE ，∵BC ∵B ′E ，四边形OCED 为矩形，∵∵OB ′D =∵BOB ′=30°，DE =OC =12cm ，在Rt ∵B ′OD 中，∵∵OB ′D =30°，B ′O =BO =24cm ，∵B'D cos OB'D==B'O 2∠B ′D = ，B ′E =B ′D +DE = ()12cm ，答：点B '到AC 的距离为()12cm ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．(2020·湖南益阳市·中考真题)沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD ，高DH =12米，斜坡CD 的坡度1:1i =，此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P 、D 、H 在同一直线上)，在点C 处测得26DCP ∠=︒．(1)求斜坡CD 的坡角α(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 260.44≈，tan 260.49≈，sin 710.95≈，tan 71 2.90≈)【答案】解(1)∵tan 1:11i α===，∵=45α︒；(2)延长AD 交PC 于点E ，过点E 作EF ∵BC 于F ，如图，则四边形DEFH 是矩形，∵EF =DH =12m ，DE =HF ，∵HDE =∵EFH =∵DHF =90°，∵α=45°，∵∵HDC =45°，∵HC =DH =12m ，又∵PCD =26°，∵∵ECF =45°+26°=71°，∵tan 71EF FC ︒=，即12 4.14tan 71 2.90EF FC ==≈︒m ， ∵HF =HC -CF =12-4.14=7.86m ，∵DE =7.86m ，∵AE //BC ，∵∵PED =∵PCH =71°，在Rt ∵PDE 中，tan PD PED DE ∠=，即 tan 717.86PD ︒=， ∵7.86 2.9022.8018PD =⨯≈＞m ，∵此次改造符合电力部门的安全要求．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．(2020·辽宁葫芦岛市·中考真题)如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB ，在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米，且AB 垂直于桥面．(点A ,B ,C ,M 在同一平面内)(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM ；(结果保留根号)(2)求大桥主架在水面以上的高度AB ．(结果精确到1米)(参考数据sin140.24,cos140.97,tan14 1.73︒︒︒≈≈≈≈)【答案】解：(1)AB 垂直于桥面90︒∴∠=∠=AMC BMC在Rt AMC △中，60,30︒=∠=CM ACMtan ∠=AM ACM CMtan 3060︒∴=⋅==AM CM (米)答：大桥主架在桥面以上的高度AM 为(2)在Rt BMC △中，60,14︒=∠=CM BCMtan ∠=MBBCM CMtan14600.2515︒∴=⋅=⨯≈MB CM=+AB AM MB1550∴≈+≈AB (米)答：大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．9．(2020·四川内江市·中考真题)为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30方向上．(1)求B处到灯塔P的距离；(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】(1)过点P作PD∵AB于点D，由题意得，AB=60(海里)，∵P AB=30°，∵PBD=60°，∵∵APB=∵PBD-∵P AB=60°-30°=30°=∵P AB，∵PB=AB=60(海里)，答：B处到灯塔P的距离为60海里；(2)由(1)可知∵APB=∵P AB=30°，∵PB=AB=60(海里)在Rt∵PBD中，PD=BPsin60°=60=海里)，∵50>，∵海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．10．(2020·湖北随州市·中考真题)如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得CD =5米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45°，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，AB =25米．(1)求A 与C 之间的距离；(2)求天线BE 的高度．( 1.73≈，结果保留整数)【答案】(1)依题意可得，在Rt ABD △中，45ADB ∠=︒ ，25AD AB ∴==米，5CD =米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．(2)在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，30AC =米，30tan 60AE ∴=⋅︒=米)，25AB =米，25)(BE AE AB ∴=-=-米．173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米．即天线BE 的高度约为27米．【点睛】(1)本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．(2)本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．11．(2020·湖北鄂州市·中考真题)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的左岸C 处的俯角为α，无人机沿水平线AF 方向继续飞行50米至B 处，测得正前方河流右岸D 处的俯角为30°．线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一条直线上．其中tan 2,MC α==米． (1)求无人机的飞行高度AM ；(结果保留根号)(2)求河流的宽度CD ．(结果精确到1 1.73≈≈)【答案】(1)由题意可得AF∵MD∵∵ACM=∵F AC=αα==米);在Rt∵ACM中，AM=CMtan∵ACM=CM tan2(2)如图，过点B作BH∵MD，在Rt∵BDH中，∵BDH=∵FBD=30°，BH=∵DH=BH÷tan30°=300米，∵AM∵DM，AM∵AF∵四边形ABHM是矩形∵MH=AB=50米∵CH=CM-MH=50(米)∵CD=DH-CH=300-(50)=350-263(米)故河流的宽度CD为263米．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．12．(2020·山东临沂市·中考真题)如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足6075α︒︒，现有一架长5.5m 的梯子．(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)？(2)当梯子底端距离墙面2.2m 时，α等于多少度(结果保留小数点后一位)？此时人是否能够安全使用这架梯子？(参考数据：sin 750.97︒=，cos750.26︒=，tan 75 3.73︒=，sin 23.60.40︒=，cos56.40.40︒=，tan 21.80.40︒=)【答案】解：(1)当∵ABC =75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；在Rt ∵ABC 中，有sin ∵ABC =AC AB∵AC =AB •sin ∵ABC =5.5×sin 75°≈5.3；答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度AC 约为5.3m(2)在Rt ∵ABC 中，有cos ∵ABC =BC AB =2.25.5=0.4 由题目给的参考数据cos56.40.40︒=，可知∵ABC =56.4° ∵56.4°＜60°，不在安全角度内；∵这时人不能安全使用这个梯子，答：人不能够安全使用这个梯子．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键．13．(2020·贵州贵阳市·中考真题)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF =12m ，EF ∥CB ，AB 交EF 于点G (点C ，D ，B 在同一水平线上)．(参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈ 1.7≈)(1)求屋顶到横梁的距离AG ；(2)求房屋的高AB (结果精确到1m )．【答案】解：(1)∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，AB 所在直线是对称轴，EF ∥CB ，∵AG EF ⊥，162EG EF ==，35AEG ACB ∠=∠=︒．在Rt AGE ∆中，90AGE ∠=︒，35AEG ∠=°，∵tan AEG AG EG∠=，6EG =，tan350.7︒≈． ∵6tan3542AG =≈°(米)答：屋顶到横梁的距离AG 约是4.2米．(2)过点E 作EH CB ⊥于点H ，设EH x =，在Rt EDH ∆中，90EHD ∠=︒，60EDH∠=°， ∵tan EHEDH DH ∠=，∵tan 60x DH =°，在Rt ECH ∆中，90EHC ∠=︒，35ECH ∠=°， ∵tan EHECH CH ∠=，∵tan 35x CH =°． ∵8CH DH CD -==， ∵8tan 35tan 60x x -=°°，∵tan350.7︒≈， 1.7≈，解得9.52x ≈．∵ 4.29.5213.7214AB AG BG =+=+=≈(米)答：房屋的高AB 约是14米．【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．14．(2020·河南中考真题)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m，(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m．参考数据：︒≈︒≈︒≈≈)；220.37,220.93,22 1.41sin cos tan(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】解：(1)如图，过点A作AE∵MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，∵AE∵ME，BC∵MN，∵AD∵BD，∵ADC=90°，∵∵ACD=45°，∵CD=AD=xm，BD=BC+CD=(16+x)m，由题易得，四边形BMNC为矩形，∵四边形CNED 为矩形，∵DE =CN =BM =1.6m ，在Rt ∵ABD 中，tan ABD=0.4016AD x BD x==+∠，解得：10.7x ≈，即AD =10.7m ，AE =AD +DE =10.7+1.6=12.3m ，答：观星台最高点A 距离地面的高度为12.3m ．(2)本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m ，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．(2020·四川攀枝花市·中考真题)实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：(1)若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？(2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？解：(1)设王诗嬑的影长为xcm ，由题意可得：9015072x=，解得：x =120，经检验：x =120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm ；(2)正确，因为高圆柱在地面的影子与MN 垂直，所以太阳光的光线与MN 垂直，则在斜坡上的影子也与MN 垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN 垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∵高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；(3)如图，AB 为高圆柱，AF 为太阳光，∵CDE 为斜坡，CF 为圆柱在斜坡上的影子，过点F 作FG ∵CE 于点G ，由题意可得：BC =100，CF =100，∵斜坡坡度1:0.75i =， ∵140.753DE FG CE CG ===， ∵设FG =4m ，CG =3m ，在∵CFG 中，()()22243100m m +=，解得：m =20， ∵CG =60，FG =80，∵BG=BC+CG=160，过点F作FH∵AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG∵BE，AB∵BE，FH∵AB，可知四边形HBGF为矩形，∵9072AH AHHF BG==，∵AH=9090160 7272BG⨯=⨯=200，∵AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．。

中考数学压轴题分类试题(2020江苏版)专题07 几何动点综合性问题

中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）专题07 几何动点综合性问题【真题再现】1．（2019年南通中考第27题）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DPCP 的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长．2．（2019年苏州中考第27题）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝2√5cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为 cm /s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．3．（2019年扬州中考第27题）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．4．（2019年无锡中考第28题）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2√3．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．5．（2019年淮安中考第27题）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．6．（2018年苏州中考第28题）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．【专项突破】【题组一】1．（2019•东台市模拟）如图1，在△ABC中，BA＝BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE ＝DC．（1）问题发现：若∠ACB＝∠ECD＝45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB＝∠ECD＝30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD 的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB＝∠ECD＝β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）2．（2019•六合区二模）【初步认识】（1）如图①，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△MNO，连接AM、BM，求证△AOM∽△BON．【知识应用】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=√2，AC＝3√2，将△ABC绕着点A旋转得到△ADE，连接DB、EC，直线DB、EC相交于点F，线段AF的最大值为．【拓展延伸】（3）如图③，在等边△ABC中，点E在△ABC内部，且满足AE2＝BE2+CE2，用直尺和圆规作出所有的点E（保留作图的痕迹，不写作法）．3．（2019•建邺区校级二模）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一点，且P A＝CD，求∠P AB的度数．（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE．如图2，求证：DE2＝DO•DB；②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD′（A与A'，D与D′时对应点），若DD′＝CD，则cosα的值为．4．（2020•常熟市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C折叠到C'，连接BC'与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE．（1）求证：△ABE∽△DEC；（2）当AD＝13时，AE＜DE，求CE的长；（3）连接C'Q，直接写出四边形C'QCP的形状：．当CP＝4时，并求CE•EQ的值．【题组二】5．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6m，点P从A点出发，沿A →B→C→D路线运动，到D点停止：点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm），如图②是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系：图③是△AQD的面积S2（cm2）与Q点出发时间x（秒）之间的关系，根据图象回答下列问题：（1）则a＝；b＝；c＝．（2）设点P出发x（秒）后离开点A的路程为y（cm），请写出y与x的关系式，并求出点P与Q相遇时x的值．6．（2019•常熟市二模）如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cos B=3 5．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ 的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．（1）点Q的运动速度为cm/s，点B的坐标为；（2）求曲线FG段的函数解析式；（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的110？7．（2017秋•苏州期末）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝2CD．动点P从点A出发，在四边形ABCD的边上沿A→B→C的方向以1cm/s的速度匀速移动，到达点C时停移动．已知△APD 的面积S（cm2）与点P运动的时间t（s）之间的函数图象如图②所示，根据题意解答下列问题（1）在图①中，AB＝cm，BC＝cm（2）如图③，设动点P用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处，分别过P1、P2作AD的垂线，垂足为H1、H2．当P1H1＝P2H2＝4时，求t2﹣t1的值8．（2019秋•海州区校级期末）如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，PH⊥AC，垂足为H．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：（1）①AP＝，PH＝．（用含t的代数式表示）②设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）当t为何值时，△APQ是直角三角形？（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值．【题组三】9．（2020春•泰兴市校级月考）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝2CD．动点P从点A出发，在四边形ABCD的边上沿A→B→C的方向以1cm/s的速度匀速移动，到达点C时停止移动．已知△APD的面积S（cm2）与点P运动的时间t（s）之间的函数图象如图②所示，根据题意解答下列问题．（1）在图①中，AB＝cm，BC＝cm．（2）求图2中线段MN的函数关系式（并写出t的取值范围）．（3）如图③，设动点P用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处，分别过P1、P2作AD的垂线，垂足为H1、H2．当P1H1＝P2H2＝4时，连P1P2，求△BP1P2的面积．10．（2019•宜兴市一模）如图1，B、D分别是x轴和y轴的正半轴上的点，AD∥x轴，AB∥y轴（AD＞AB），点P从C点出发，以3cm/s的速度沿C﹣D﹣A﹣B匀速运动，运动到B点时终止；点Q从B点出发，以2cm/s的速度，沿B﹣C﹣D匀速运动，运动到D点时终止．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（s），△PCQ的面积为S（cm2），S与t之间的函数关系由图2中的曲线段OE，线段EF、FG表示．（1）求A、D点的坐标；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）是否存在这样的时间t，使得△PCQ为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．11．（2019•太仓市模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）当t＝2.5时，PQ＝；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．12．（2019•徐州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：；（2）当t＝时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【题组四】13．（2019•玄武区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．（1）当AD＝4时，求EF的长度；（2）求△DEF的面积的最大值；（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为．14．（2020春•玄武区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤5．（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形（E、F相遇时除外）．（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．（3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，若四边形EGFH 为菱形，求t的值．15．（2020•张家港市模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒：（1）填空：当点M在AC上时，BN＝（用含t的代数式表示）；（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S的最大值．16．（2020•海门市一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；（3）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长．【题组五】17．（2020•稷山县校级一模）如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，①求证：AF＝FC；②求AF长．（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．18．（2019秋•张家港市期末）如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜＜4），连结PQ，MQ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？19．（2019秋•江都区期末）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=√2，BC=√6，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿AE折叠，得到多边形AB'C'E，点B、C的对应点分别为点B'，C'．（1）连接AC．则AC＝，∠DAC＝°；（2）当B'C'恰好经过点D时，求线段CE的长；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C'移动的路径长．20．（2019秋•滨海县期末）已知：矩形ABCD，AB＝2，BC＝5，动点P从点B开始向点C运动，动点P 速度为每秒1个单位，以AP为对称轴，把△ABP折叠，所得△AB'P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t 秒．（1）当运动到第几秒时点B '恰好落在AD 上；（2）求y 关于t 的关系式，以及t 的取值范围；（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD 面积的14；（4）连接PD ，以PD 为对称轴，将△PCD 作轴对称变换，得到△PC 'D ，当t 为何值时，点P 、B '、C '在同一直线上？【题组六】21．（2019秋•金湖县期末）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，点P 从点A 出发，以每秒一个单位的速度沿A →B →C 的方向运动；同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿B →C →D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t 秒．（1）当t ＝时，两点停止运动；（2）设△BPQ 的面积面积为S （平方单位） ①求S 与t 之间的函数关系式；②求t 为何值时，△BPQ 面积最大，最大面积是多少？22．（2019秋•清江浦区期末）已知：如图，长方形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝CD ＝4米，AD ＝BC ＝8米，点M 是BC 边的中点，点P 从点A 出发，以1米/秒的速度沿AB 方向运动再过点B 沿BM 方向运动，到点M 停止运动，点O 以同样的速度同时从点D 出发沿着DA 方向运动，到点A 停止运动，设点P 运动的时间为x 秒．（1）当x ＝2秒时，线段AQ 的长是米；（2）当点P 在线段AB 上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP=13DQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．23．（2019秋•淮阴区期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D 运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜13）．（1）点D的坐标是；（2）当点P在AB上运动时，点P的坐标是（用t表示）；（3）求△POD的面积S与t之间的函数表达式，并写出对应自变量t的取值范围．24．（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F ＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4√3cm．（1）求DG的长；（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM与CN之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为．。

2020届中考数学选择题压轴专练(含答案)

2020届中考数学选择题压轴专练数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。

题型有选择题压轴题、填空题压轴题和解答题压轴题。

压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。

压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有较好的心理素质。

选择题中的压轴题和一般选择题相比，具有综合性较强、数形兼备、解题方法多样化、充满思辨性等特点，要求学生综合运用多种知识解题，思维要有一定的广度和深度，并会运用多种不同的方法灵活解题.这类题目重点考察学生综合分析问题、解决问题的能力.解题方法：解答这类题目的方法除常用的直选法、观察法外，重点要掌握排除法和代入法.根据题目条件从四个选项中逐次排除选项的方法，包括分析排除法和反例排除法两种.若用一般方法不能求解时，可采用代入法，就是根据题目的有关条件，采用某些特殊情况分析问题，或采用某些特殊值代入计算分析，或将题目中不易求解的字母用符合条件的某些具体的数字代入，化一般为特殊来分析问题，通常包括已知代入法、选项代入法和特殊值代入法等.特别注意：这些方法在通常都是要综合灵活运用，不能生搬硬套. 01.化简√√5−12−(√5−12)23得（A ） A.√5−12 B. √5+12C. √5D. √53 解：√5−12−(√5−1)22=√5−12(1−√5−12)=√5−12×2−(√5−1)2=√5−12×3−√52=√5−12×6−2√54=√5−12×5−2√5+14=√5−12×(√5−1)24=(√5−1)38=(√5−12)3∴ √√5−12−(√5−12)23=√5−1202. 关于x 、y 的二元一次方程组{x −2y ＝k ①2x −3y ＝−4k ②的解满足x y ，则直线y =kx −k −1与双曲线y =kx 在同一平面直角坐标系中大致图象是（B ）A ．B ．C ．D ．解：②−①得，x −y ＝−5k ，又∵x <y ，∴x −y <0 ∴ −5k <0，∴ k >0 03. 函数y =x 2+2x|x |的图象为（ C ）解：当 x>0时，y=x 2+2x|x|=y=x2+2xx=x+2当 x<0时，y=x 2+2x|x|=y=x2+2x−x=−x−204. 利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20。

2020年中考数学三轮冲刺能力提升卷(中考真题汇编)(含答案)

2020年中考数学三轮冲刺能力提升卷（中考真题汇编）(满分120分，考试时间120分钟)班级：________ 姓名：________ 得分：________一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．－64的倒数是( B ) A.18B ．－18C.164D ．－1642．(2019·三市一企)据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70 100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70 100亿用科学记数法表示为( C )A ．7.01×104B ．7.01×1011C ．7.01×1012D ．7.01×10133．(2019·乐山)如图，直线a ∥b ，点B 在a 上，且AB ⊥BC .若∠1＝35°，那么∠2等于( C ) A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°4．(2019·河南)下列计算正确的是( D ) A ．2a ＋3a ＝6aB ．(－3a )2＝6a 2C ．(x －y )2＝x 2－y 2D ．32－2＝225．(2019·潍坊)小莹同学10个周的综合素质评价成绩统计如下：成绩(分) 94 95 97 98 100 周数(个)12241这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是( B )A ．97.5，2.8B ．97.5，3C ．97，2.8D ．97，36．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D ) A ．4πB ．3πC ．2π＋4D ．3π＋47．(2016·安徽)一段笔直的公路AC 长20千米，途中有一处休息点B ，AB 长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B ，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C ；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C ，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y (km)与时间x (h)之间的函数关系的图象是( A )8．(2018·徐州)如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为( C )A.34B.13C.12D.149．(2019·柳州)定义：形如a ＋bi 的数称为复数(其中a 和b 为实数；i 为虚数单位，规定i 2＝－1)，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i )2＝12＋2×1×3i ＋(3i )2＝1＋6i ＋9i 2＝1＋6i －9＝－8＋6i ，因此，(1＋3i )2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi )2的虚部是12，则实部是( C )A ．－6B ．6C ．5D ．－510．(2019·凉山州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a －b ＝0；②b 2－4ac ＞0；③5a －2b ＋c ＞0；④4b ＋3c ＞0，其中错误结论的个数是( A )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．(2019·金华)计算：|－3|－2tan60°＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝__6__．12．(2019·青岛)如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是 54 °.第12题图第13题图13．(2018·威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为44－166．14．(2019·眉山)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为 32．第14题图第15题图第16题图15．(2019·潍坊)如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x ＞0)与y ＝－5x (x ＜0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为5．16．(2019·新疆改编)如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N 且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S △ABM ＝4S △FDM ；②PN ＝26515；③tan ∠EAF ＝34；④△PMN ∽△DPE.正确的是 ①②③ (写出所有正确判断的序号)．三、解答题(本大题共8小题，共72分)17．(本小题满分5分)解方程xx －2－1＝8x 2－4.解：方程两边同时乘以(x ＋2)(x －2)，得x 2＋2x －x 2＋4＝8.解得x ＝2. 检验：当x ＝2时，(x ＋2)(x －2)＝0， ∴原分式方程无解．18．(本小题满分7分)关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程两个实数根x 1，x 2满足|x 1|＋|x 2|＝x 1·x 2，求k 的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0. 解得k ＞34.(2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0.又∵x 1·x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0. ∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1. ∵|x 1|＋|x 2|＝x 1·x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1. ∴k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2.19．(本小题满分10分)(2019·张家界)为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我行”活动周，活动周设置了“A.文明礼仪，B.生态环境，C.交通安全，D.卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行检查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．(1)本次随机调查的学生人数是________人； (2)请你补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“B ”所在扇形的圆心角等于________度；(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好参加同一个主题活动的概率．解：(1)60.(2)60－15－18－9＝18，∴C 的人数为18人．图略． (3)108.(4)∴P ＝416＝14.20．(本小题满分8分)(2019·海南)如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．(1)填空：∠BAC ＝________°，∠C ＝________°； (2)求观测站B 到AC 的距离BP(结果保留根号)．解：(1)30；45.(2)设BP＝x海里．由题意得BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BPA＝90°.∵∠C＝45°，∴∠CBP＝∠C＝45°.∴CP＝BP＝x.在Rt△ABP中，∠BAC＝30°，∴∠ABP＝60°.∴AP＝tan∠ABP·BP＝tan60°·BP＝3x.∴3x＋x＝10.解得x＝53－5.∴BP＝53－5.答：观测站B到AC的距离BP为(53－5)海里．21．(本小题满分9分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．22．(本小题满分11分)(2018·黔南州)某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)．(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克．解：(1)当x ＝6时，y 1＝3，y 2＝1，∵y 1－y 2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元． (2)设y 1＝mx ＋n ，y 2＝a (x －6)2＋1.易求得y 1＝－23x ＋7，y 2＝13(x －6)2＋1＝13x 2－4x ＋13.∴y 1－y 2＝－23x ＋7－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－4x ＋13＝－13x 2＋103x －6＝－13(x －5)2＋73.∵－13＜0，∴当x ＝5时，y 1－y 2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．(3)当x ＝4时，y 1－y 2＝－13x 2＋103x －6＝2. 设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为(t ＋2)万千克，根据题意得2t ＋73(t ＋2)＝22，解得t ＝4，∴t ＋2＝6.∴4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．23．(本小题满分10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如：自然数12 321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12 321是一个“和谐数”．再如22，545，3 883，345 543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由； (2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x ≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．解：(1)四位“和谐数”：1 111，2 222，3 443，1 221等．任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意一个四位“和谐数”是abcd ，则满足：个位到最高位排列：d ，c ，b ，a ；最高位到个位排列：a ，b ，c ，d. 由题意，得a ＝d ，b ＝c.则abcd 11＝1 000a ＋100b ＋10c ＋d 11＝1 000a ＋100b ＋10b ＋a 11＝1 001a ＋110b11＝91a ＋10b 为正整数．所以四位“和谐数”abcd 能被11整除．又由于a ，b ，c ，d 的任意性，故任意四位“和谐数”都可能被11整除． (2)设能被11整除的三位“和谐数”为zyx ，则满足：个位到最高位排列：x ，y ，z ；最高位到个位排列：z ，y ，x. 由题意，得x ＝z.故zyx ＝xyx ＝101x ＋10y.zyx 11＝101x ＋10y 11＝99x ＋11y ＋2x －y 11＝9x ＋y ＋2x －y11为正整数．又∵1≤x ≤4，x 为自然数，0≤y ≤9，∴2x －y ＝0. 故y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．24．(本小题满分12分)(2019·眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A(－5，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点P 是抛物线上A ，D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF ⊥x 轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；(3)如图2，连接AD ，BD ，点M 在线段AB 上(不与A ，B 重合)，作∠DMN ＝∠DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)∵A (－5，0)，B (1，0)，∴设抛物线的解析式为y ＝－49(x ＋5)(x －1)＝－49x 2－169x ＋209，配方得y ＝－49(x ＋2)2＋4.∴顶点D 的坐标为(－2，4)．(2)设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，－49a 2－169a ＋209，则PE ＝－49a 2－169a ＋209，PG ＝2(－2－a )＝－4－2a ， ∴矩形PEFG 的周长＝2(PE ＋PG )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－49a 2－169a ＋209－4－2a ＝－89a 2－689a －329＝－89⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1742＋22518. ∵－89＜0， ∴当a ＝－174时，矩形PEFG 的周长最大，此时，点P 的横坐标为－174.(3)存在．∵DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠DBA.∵∠AMN ＋∠DMN ＝∠MDB ＋∠DBA ，且∠DMN ＝∠DBA ， ∴∠AMN ＝∠MDB ，∴△AMN ∽△BDM ，∴AN MB ＝AM DB .易求得AB ＝6，AD ＝DB ＝5，△DMN 为等腰三角形有三种可能：①当MN ＝DM 时，则△AMN ≌△BDM ，∴AM ＝DB ＝5，∴AN ＝MB ＝1；②当DN ＝MN 时，则∠ADM ＝∠DMN ＝∠DBA.又∵∠DAM ＝∠BAD ，∴△DAM ∽△BAD ，∴AD 2＝AM ·AB ， ∴AM ＝256，∴MB ＝6－256＝116，∵AN MB ＝AM DB ，∴AN116＝2565 ，∴AN ＝5536；③当DN ＝DM 时不成立．∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ，∴∠DNM ＞∠DMN ，∴DN ≠DM ，矛盾．综上所述，存在点M 满足要求，AN 的长为1或5536.。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题(含解析)

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。

专题7二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(原卷版)

专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．【例2】（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【例4】（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组一】1．（2020•师宗县一模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C 两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•葫芦岛三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；（3）点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•碑林区校级一模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），顶点为M，抛物线L关于原点O对称的抛物线为L′，点M的对应点为点N．（1）求抛物线L的表达式及点M的坐标；（2）点P在抛物线L′上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标．4．（2021•渝中区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【题组二】5．（2021•淮安区一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE ⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝20﹣8或．6．（2020•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x 轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．7．（2020•郫都区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，点C 为抛物线的顶点．点M （0，m ）为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180°，得到新的抛物线，其中B 、C 旋转后的对应点分别记为B '、C ′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB 'C ′的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形BCB 'C ′为菱形？请说明理由．8．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于点A （﹣1，0）、B （4，0），交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PBC 的面积的最大值以及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线BC 向右平移74个单位得到直线l ，直线l 交对称轴右侧的抛物线于点Q ，连接PQ ，点R 为直线BC 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T ，使得四边形PQTR 为菱形，若存在，请直接写出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组三】9．（2020•洛阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+52过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．（2021•两江新区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A，B两点，交y 轴于点C．其中点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P（点P不与B、C两点重合），过点P 作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2020•中山区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣5，﹣4），与x轴交于点B（﹣2，0），（1）二次函数的表达式；（2）原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到新的抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，求新抛物线的表达式．12．（2021•渝中区校级自主招生）如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线上一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE 面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求PN+NM+MG的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC向右平移得△A′O′C′，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O'C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面内是否存在一点Q，使得以点C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2021•齐齐哈尔三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x 轴交于点A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解（OA＜OB），点D（2，m）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式及m的值；（2）y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝2；（3）将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了9个单位；（4）点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．14．（2020•吉安模拟）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？15．（2020•连山区三模）如图①，直线AB：y=√3x+2√3与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）求线段PE长度的最大值；（3）如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．16．（2021•交城县二模）实践与探究如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若△ADP与△ADC的面积相等，求出所有符合条件的点P的坐标．（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．【题组五】17．（2021•山西模拟）综合与探究．如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；（2）当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021•宜宾二模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．19．（2021•万柏林区模拟）如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求二次函数的表达式；（2）点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•越秀区校级一模）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y=−12x−12交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．【题组六】21．（2021•鞍山一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m 个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．22．（2021•诸城市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．23．（2021秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G 四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．24．（2021•罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．。

2020挑战压轴题中考数学强化训练(第13版)

2020挑战压轴题中考数学强化训练(第13版)第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题针对训练1、如图在平面直角坐标系x（）中，已知点D的坐标为（3,4），点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P的坐标2、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t3、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标4、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，DE=4.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接写出线段BE、EF的长（用含t的代数式表示）（2）在整个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由5、如图，已知四边形ABCD 是矩形，AB=16，BC=12.点E 在射线BC 上，点F 在线段BD 上且∠DEF=∠ADB.设EE=x ，当△DEF 为等腰三角形时，求x 的值6、如图，在等腰直角三角形BCE 中，斜边BC=4②.P 是BE 延长线上一点，连结PC ，以FC 为直角边向下方作等腰直角三角形PCD ，（D 交线段BE 于点F.若PE=x ，当△BDF 为等腰三角形时，求x 的值真题演练7、（19攀枝花24）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0,2），动点P 在y=32x 的图象上运动（不与O 重合），连结AP.过点P 作RQ⊥AP，交x 轴于点Q ，连结AQ（1）求线段AP 长度的取值范围（2）试问：点P 运动的过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当△OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标作图区爾区8、（18重庆卷2）抛物线y=2623663y x x =--+与x 轴交于点A 、B 点A 在点B 的左边与y 轴交于点C ，点D 是该拋物线的顶点（1）如图1，连结CD 求线段CD 的长（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点F,PF 与线段AC 交于点E 将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当PE+12EC 的值最大时，求四边形POB 1C 的周长的最小值，并求出对应的点O 的坐标（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连结CH ，将△OBC 沿直线CH 翻折至△OB 2C 的位置，再将△OBC 绕点B 2旋转一周，在旋转的过程中，点O 、C 的对应点分别是点O 、C ，直线C 1分别与直线AC 、x 轴交于点M、N.那么，在△OB2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直按写出所有符合条件的线段OM的长；若不存在，请说明理由9、（19湖州23）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点A（-3,0）B(0,3)（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长（2）如图2，已知直线l1：y=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的个动点，以Q为圆心，2为半径画圆①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M、N两点，连结QM、QN.问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10、（17广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（3），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD.作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF （1）填空：点B的坐标为（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由（3）①求证：3DE DB =②设AD=x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求的最小值模拟训练11、（2018年陕西省中考模拟第24题）如图所示，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过原点，与x 轴的另一个交点为（2,0），将抛物线C 1向右平移m （m>0）个单位得到抛物线C 2,C 2交x 轴于A B 两点（点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C（1）求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；（2）以AC 为斜边向上作等腰直角三角形ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时。

中考数学专题训练第13讲轴对称与旋转1(解析版)

轴对称与旋转（压轴题组）1．综合与实践问题情境：数学活动课上.老师出示了一个问题：如图①.在平行四边形ABCD中.BE⊥AD.垂足为E.F为CD的中点.连接EF.BF.试猜想EF与BF的数量关系.并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题.实践探究：（2）希望小组受此问题的启发.将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠.如图②.点C的对应点为C′.连接DC′并延长交AB于点G.请判断AG与BG的数量关系.并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想.将▱ABCD沿过点B的直线折叠.如图③.点A的对应点为A′.使A′B⊥CD于点H.折痕交AD于点M.连接A′M.交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20.边长AB＝5.BC＝25.求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）EF=BF.理由见解析. （2）AG=BG.理由见解析. （3）223．【详解】解：（1）结论：EF=BF.理由如下：如图.过点F作FH∥AD交BE于点H.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.∵FH∥AD.∴DE∥FH∥CB.∵F为CD的中点.即DF=CF.∴1EH DF HB FC== ∴EH =HB .∵BE ⊥AD .FH ∥AD .∴FH ⊥EB .∴EF =BF .（2）结论：AG =BG .理由如下：连接CC ' .由折叠知识得：BF CC '⊥ .FC FC '= .∵DF =FC .∴DF FC FC '==.∴,CC F C CF C DF DC F ''''∠=∠∠=∠ .∴CC D CC F DC F C CF C DF '''''∠=∠+∠=∠+∠.∴90CC D '∠=︒，∴CC GD '⊥ .∴DG ∥BF .∵DF ∥BG .∴四边形DFBG 是平行四边形.∴DF =BG .∵12AB CD DF CD ==， . ∴12BG AB = . ∴AG =GB .（3）如图.过点D 作DJ ⊥AB 于点J .过点M 作MT ⊥AB 于点T .∵S 平行四边形ABCD =AB ×DJ .∴DJ =20=45. ∵BC ＝5∴()222225-4=2AJ AD DJ =-= . 在平行四边形ABCD 中.AB ∥CD .∵A B CD '⊥ .∴A B AB '⊥ .∵DJ ⊥AB .∴∠DJB =∠JBH =∠DHB =90°.∴四边形DJBH 是矩形.∴BH =DJ =4.∴541A H A B BH ''=-=-= .∵MT ⊥AB .DJ ⊥AB .∴MT ∥DJ .∴ △ATM ∽△ADJ .∴MT AT DJ AJ = . ∴4=22MT DJ AT AJ ==. 设AT =x .则MT =2x .根据折叠得：45ABM MBA '∠=∠=︒ .∴MT =TB =2x .∴3x =5.解得：53x = . ∴103MT = . ∵,90A A AJD NHA ''∠=∠∠=∠=︒ .∴ △ADJ ∽△A ＇NH .∴DJ AJ NH A H='.∴422NH DJA H AJ==='.∴NH=2.∴110255233 ABM A BMS S'==⨯⨯=.∴2512212323A BM NHABHNMS S S''=-=-⨯⨯=四边形．2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标.及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标.（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图.在平面直角坐标系中.点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点.点B的横坐标为1.过点B作x轴的垂线.交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C.分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'.连接BC、CC'、B C''、BB'．①当四边形BB C C''为正方形时.求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时.直接写出a的取值范围．【答案】（1）(1.﹣2).(1.2).（2）y＝2（x﹣1）2﹣5.（3）①a＝23.②34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣15【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1.﹣2）. 由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1.2）.故答案为：（1.﹣2）.（1.2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5.∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时.y＝1﹣3a.∴B （1.1﹣3a ）.∴C （1.3a ﹣1）.∴BC ＝|1﹣3a ﹣（3a ﹣1）|＝|2﹣6a |.∵抛物线L 的对称轴为直线x ＝42a a--＝2. ∴点B '（3.1﹣3a ）.∴BB '＝3﹣1＝2.∵四边形BB 'C 'C 是正方形.∴BC ＝BB '.即|2﹣6a |＝2.解得：a ＝0（舍）或a ＝23． ②抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.顶点坐标为（2.1﹣4a ）.∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称.∴整点数也是关于x 轴对称出现的.∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个.L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个.（i ）当a ＞0时.∵L 开口向上.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点.两个区域内各有4个整点.∴当x ＝1时.﹣2≤1﹣3a ＜﹣1.当x ＝2时.﹣3≤1﹣4a ＜﹣2. 解得：34≤a ≤1. （ii ）当a ＜0时.∵L 开口向下.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点.两个区域内各有3个整点.∴当x ＝2时.1＜1﹣4a ≤2.当x ＝﹣1时.5a +1＜0. 解得：1145a -≤<-. 综上所述：34≤a ≤1或﹣14≤a ＜﹣15． 3．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图1.在Rt ABC △中.90C ∠=︒.边6,8AC BC ==.点M N 、分别在线段AC BC 、上.将ABC 沿直线MN 翻折.点C 的对应点是点C '.（1）当M N 、分别是边AC BC 、的中点时.求出CC '的长度.（2）若2CN =.点C '到线段AB 的最短距离是________.（3）如图2.当点C '在落在边AB 上时.①点C '运动的路程长度是______.②当3611AM =时.求出CN 的长度．【答案】（1）245.（2）85.（3）①4.② 6011. 【详解】解：（1）设MN 交CC '于O∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点∴AM =CM .CN =BN∴MN ∥AB （中位线定理）.12MN AB =∵MC MC '=.NC NC '=∴MN 垂直平分CC '∴OC OC '=.12OC CC '= ∴CC AB '⊥且点C '落在AB 上∵∠C =90°∴2210AB AC BC =+=∵1122AC BC AB CC '= ∴245AC BC CC =AB '=（2）如图2中.过点N 作NH ⊥AB 与H∵2NC NC ='=.BC =8∴6BN BC CN =-= ∵sin NH AC B BN AB ==∠ ∴185AC BN NH AB == ∵点C '是在以N 为圆心.C N ' 长为半径的圆上.∴当点C '落在线段NH 上时.点C '到线段AB 的距离最短∴最短距离85NH NC '=-=.（3）①如图3-1所示.当点N 与B 重合时.BC '的值最大.最大值=BC =8. 如图3-2中.当M 与A 重合时.BC '的值最小.最小值=AB -AC '=AB -AC =4 观察图形可知.当点C '落在AB 上时.点C '的运动的路程长度为4②如图3-3中.过点M 作ME ⊥AB 于E .过点N 作NF ⊥AB 于F .设CN =x .则BN =8-x . ∵sin NF AC B BN AB ==∠.cos BF BC B BN AB ==∠ ∴()385AC BN NF x AB ==-.()485BC BN BF x AB ==- ∵A A ∠=∠.90AEM ACB ==∠∠∴MEA BCA △∽△∴AM AE EM AB AC BC== ∴10855AE =.1445ME =∵363061111MC MC AC AM '==-=-= ∴22223014442115555EC MC ME ⎛⎫⎛⎫''=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()108424804108855555115C F AB AE EC BF x x ''=---=----=-- 由翻折的性质得：90ACB MC N '==∠∠∴90EC M FC N ''+=∠∠∵90EC M EMC ''+=∠∠∴EMC FC N ''=∠∠∴MEC C FN ''△∽△∴EM EC FC FN'=' ∴()()144425558043881155x x =--- 解得6011x = 经检验6011x =是分式方程的解 ∴6011CN =4．（2021·湖北当阳·一模）如图.在矩形ABCD 中.11AB =.6AD =.点E 是边AB 上的点（不与点A .B 重合）.将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.点F 是边BC 上的点.将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.且点1B 在直线1EA 上．（1）若DE EF =.求CF 的长.（2）若点F 是BC 的中点.求tan ADE ∠的值.（3）当点1B 恰好落在边DC 上时.求四边形1DEBB 的面积．【答案】（1）1.（2）13或32.（3）44213+或44213- 【详解】解：（1）将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.∴△AED ≌△.∴1EDA DEA ∠=∠.∵将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.∴EFB △≌1EFB △.∴1BEF B EF ∠=∠.∴90DEF ∠=︒.∵90EDA DEA DEA FEB ∠+∠=∠+∠=°.∴DEA FEB ∠=∠.∵DE EF =.∴DAE △≌EBF △（AAS ）.∴BF AE =.DA BE =.∵11AB =.6AD =.∴6EB =.5AE BF ==.∴1CF =.（2）由（1）知.DAE △∽EBF △.∴AE AD BF BE=. ∵点F 是BC 的中点.∴3BF =.∴6311AE AE=-. ∴2AE =或9AE =.在Rt ADE △中.1tan 3ADE ∠=或3tan 2ADE ∠=. （3）连接BB '.交EF 于M 点.∵点1B 恰好落在边DC 上.∴EF 是BB '的垂直平分线.∴BM EF ⊥.∴FEB FBB '∠=∠.∵ADE FEB ∠=∠.∴ADE CBB '∠=∠.∵AD BC =.90A C ∠=∠=︒.∴△AED ≌CBB '△（AAS ）.∴AE B C '=.∴BE DB '=.∵//BE DB '.∴四边形DEBB '是平行四边形.设AE y =.BF x =.则B F x '=.6CF x =-.B C y '=.在Rt B CF '△中.()2226x y x =+-.∴21236x y =+.∵DAE △∽EBF △. ∴611y x y =-. ∴2611x y y =-.∴2236222y y y +=-. 解得11133y ±=. ∴四边形1DEBB 的面积44213=±,综上：四边形1DEBB 的面积为44+213或44213-．5．（2021·河北竞秀·一模）如图.平行四边形ABCD 中.AB ＝9.AD ＝13.tan A ＝125.点P 在射线AD 上运动.连接PB .沿PB 将△APB 折叠.得△A 'PB ．（1）如图1.点P 在线段AD 上.当∠DP A'＝20°时.∠APB ＝度.（2）如图2.当P A '⊥BC 时.求线段P A 的长度.（3）当点A'落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上时.求线段P A 的长度.（4）直接写出：在点P 沿射线AD 运动过程中.DA ′的最小值是多少？【答案】（1）80或100.（2）线段P A 的长度为15313.（3）线段P A 的长度为4513或9或1175.（4）DA ′的最小值是4109-．【详解】解：（1）当PA '在直线AD 的右侧时.△APB 折叠得到△A 'PB . 1=(18020)802APB A PB '∴∠=∠︒-︒=︒ 当PA '在直线AD 的左侧时.1=(18020)1002APB A PB '∴∠=∠︒+︒=︒. 故答案为：80或100.（2）如图.作BH AD ⊥于H .平行四边形ABCD 中.//,AD BC PA BC '⊥PA AD '∴⊥90APA '∴∠=︒45APB A PB '∴∠=∠=︒PH BH ∴=12tan 5A = 设12,5BH x AH x ==.22139AB AH BH x ∴=+==913x ∴=1081213BH x ∴== 45513AH x == 10813PH BH ∴== 10845153131313PA PH AH ∴=+=+=. （3）①当点A '在AD 上时.,AB A B PA PA ''==BP AD ∴⊥12tan 5A = 5451313AP AB ∴==. ②当点A '在BC 上时.由折叠可知.,AB A B AP A P ''==//AD BCAPB PBA ABP '∴∠=∠=∠AB PA ∴=∴四边形ABA P '是菱形.9AP ∴=.③当点A '在AB 的延长线上时.1902ABP ABA '∠=∠=︒1311755AP AB ∴== 综上所述.线段P A 的长度为4513或9或1175. （4）如图.作DH AB ⊥于H .连接,BD DA '.1213,tan 5DH AD A AH=== 12,5,954DH AH BH ∴===-=22410BD DH BH ∴+=DA BD BA ''≤-DA BD A B ''∴≤-9A B AB '==DA '∴的最小值是4109．6．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在平面直角坐标系中.二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的图象与x 轴交于 A 、B 两点.与y 轴交于点C .过点D （53,24-）且顶点P 的坐标为（﹣1.3）．（1）求二次函数的解析式.（2）如图1.若点M 是二次函数图象上的点.且在直线CD 的上方.连接MC .MD ．求△MCD 面积的最大值及此时点M 的坐标.（3）如图2.设点Q 是抛物线对称轴上的一点.连接QC .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F .连接PF 交抛物线于点E .求点E 的坐标．【答案】（1）222y x x -=-+.（2）△MCD 面积的最大值为12564.M 的坐标：547(,)416-（3）(2,2)E - 【详解】解：（1）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点P 的坐标为（﹣1.3）.∴设二次函数的解析式为2(1)3y a x =++ 将点53(,)24D -代入.得 2351342a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭解得1a =-∴二次函数的解析式为()213y x =-++222x x =--+∴222y x x -=-+ （2）如图.过点M 作MN y ∥轴.交直线DC 于点N .222y x x-=-+.令0x=.则2y=()0,2C∴53(,)24D-设直线CD的解析式为y kx b=+则53242k bb⎧-+=⎪⎨⎪=⎩解得122kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线CD的解析式为122y x=+点M是二次函数222y x x-=-+图象上的点.N是122y x=+上的点. 设()2,22M m m m--+.1(,2)2N m m+则12MCD C DS x x MN=⨯-⨯△2151(222)222m m m=⨯⨯--+--25542m m⎛⎫=-+⎪⎝⎭255125()4464m=-++当54m=-时.222m m--+=()213m-++25147(1)3341616=--++=-=547(,)416M∴-此时.△MCD 面积的最大值为12564 （3）设点(1,)Q n -.如图.当2n <时.过点Q 作HG x ∥轴.交y 轴于点G .过点F 作FH HG ⊥于点H .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F . 90CQF ∴∠=︒.QC QF =.90CGQ FHQ FQC ∠=∠=∠=︒CQG FQH CQG QCG ∴∠+∠=∠+∠QCG FQH ∴∠=∠∴HQF GCQ △≌△,HQ CG FH QG ∴==(0,2)C ,(1,)Q n -1,2QG CG n ∴==-213,1HG n n FH ∴=-+=-=(3,1)F n n ∴-+(1,3)P -设直线PF 的解析式为y ax b =+.则31(3)a b n a n b =-+⎧⎨+=-+⎩解得14a b =⎧⎨=⎩∴直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-②如图.当2n >时.过点C 作CK PQ ⊥于点K .过点F 作FL PQ ⊥于点L .同理可得.LQF KCQ △≌△2,211QK LF n LK n n ∴==-=-+=-(1,1),(3,1)L n F n n ∴-+--同理可得.直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-③当2n =时.旋转后的C 点与F 点重合.此时过P 的点的直线由无数条.不能确定点E 的坐标.根据题意舍去.E ．综上所述.(2,2)7．（2021·湖北新洲·九年级期中）问题背景：（1）如图1.等边△ABC.点P在△ABC左侧且∠APC＝30°.将△APC绕点A顺时针旋转60°.画出图形．探究思考：（2）在（1）的条件下.求证：PB＝AC.拓展创新：（3）如图2.等边△ABC.∠AMC＝60°.AM＝6.CM＝4.直接写出BM的长．【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）192．【详解】（1）解：如图所示.（2）证明：如图2.连接PP'.由旋转得.AP'＝AP.∠P AP'＝60°.∠AP'B＝∠APC＝30°.∴△APP'是等边三角形.∴∠AP'P＝60°.AP＝AP'＝PP'.∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°.∵AP'＝PP'.∠PP'B＝∠AP'B.BP'＝BP'.∴△AP'B≌△PP'B（SAS）.∴PB＝AB.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝BC.∴PB＝AC．（3）解：当点M在AC的右侧时.如图3.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接CG.过点B作MH⊥BG.交BG的延长线于点H.设AG交BC于点T.由旋转得.AG＝AM.∠MAG＝60°.∠AGB＝∠AMC＝60°.BG＝CM＝4.∠ABG＝∠ACM. ∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠AGB＝∠ACB＝60°.∵∠BTG＝∠ATC.∴△BTG∽△ATC.∴BT GT AT CT=.∵∠ATB＝∠CTG.∴△ATB∽△CTG.∴∠BAT＝∠BCG.∠AGC＝∠ABC＝60°.∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°.∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°.∴点G、C、M三点共线.∵AG＝AM.∠MAG＝60°.∴△AGM是等边三角形.∴GM＝AM＝6.∵∠AGM＝∠AGB＝60°.∴∠MGH＝60°.∵MH⊥BG.∴GH＝12GM＝3.MH3＝3∴BH＝BG+GH＝4+3＝7.∴BM22227(33)BH MH+=+19当点M在AC的左侧时.如图4.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接BM.同图3理可证.点G、B、M三点共线.GM＝AM＝6.BG＝CM＝4.∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2.综上所述.BM的长为219或2．故答案为：219或2．8．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中.CA＝CB.CA⊥CB.点D是射线AC上一动点.连接BD.将BD绕点D逆时针旋转90°得ED.连接CE．（1）如图1.当点D在线段AC上时.若DE＝10.BC＝3.求△ABD的周长.（2）如图2.点D在AC延长线上.作点C关于AB边的对称点F.连接FE.FD.将FD绕点D 顺时针旋转90°得GD.连接AG.求证：AG＝CE.（3）如图3.点D在AC延长线上运动过程中.延长EC交AG于H.当BH最大时.直接写出CD AB的值．【答案】（1）32102.（2）见解析.（3102+【详解】（1）解：如图1.在Rt△BCD中.BC＝3.BD＝DE＝10.∴CD＝1.∴AD＝AC﹣CD＝BC﹣AD＝3﹣1＝2.∵CA＝CB.CA⊥CB.∴AB＝22+＝32.CA CB∴△ABD的周长是：3210++2.（2）证明：如图2.连接BG交EF于N.连接CF交AB于M.AB与EF交于点P.DF与BG交于O. ∵∠BDE＝∠GDF＝90°.∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF.即：∠BDG＝∠FDE.∵DE＝BD.DG＝DF.∴△BDG≌△EDF（SAS）.∴BG＝EF.∴∠BGD＝∠DFE.∵∠DOG＝∠FOB.∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°.∵∠BPN＝∠MPF.∴∠CFE＝∠ABG.∵CF＝2CM＝2AM＝AB.∴△GAB≌△ECF（SAS）.∴AG＝CE.（3）如图3.由（2）得.△GAD≌△ECF.∴∠GAB＝∠ECF.∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM. ∴∠CAB＝∠BCM＝45°.∴∠GAC＝∠ECB.∵∠ACB＝90°.∴∠ACH+∠ECB＝90°.∴∠ACH+∠GAC＝90°.∴∠AHC＝90°.∴点H在以AC为直径的⊙I运动.如图4.当BH 过I 时.BH 最大.不妨设半径AI ＝CI ＝HI ＝1.∴BC ＝AC ＝2.∴IB 22IC BC +5作HT ⊥AC 于T .作EK ⊥AD 于K .∴∠HTI ＝∠ACB ＝90°.∴HT ∥BC .∴△HTI ∽△BCI . ∴HT BC ＝TI IC ＝HI IB . ∴2HT ＝1TI 5∴HT 25.TI 5∵∠BCD ＝∠BDE ＝∠K ＝90°.BD ＝DE .由“一线三等角”得.△BCD ≌△DKE .∴CD ＝EK .BC ＝DK ＝2.∵tan ∠KCE ＝tan ∠HCT . ∴EK CK ＝HT CT. ∴CD CD BC +25551+2555+∴CD BC 2555-2AB 2555-∴CD AB 102+ 9．（2021·河南汝阳·九年级期中）如图1.矩形AEGH 的顶点E 、H 在矩形ABCD 的边上.且AD ：AB ＝AH ：AE ＝1：2．（1）请直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）.（2）如图2.矩形AEGH 绕点A 旋转一定角度.此时HD ：GC ：EB 的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化.写出变化后结果并说明理由.若无变化.请说明理由．【答案】（1）HD ：GC ：EB ＝1：5：2.（2）无变化.见解析【详解】解：（1）如图1.作GF ⊥CD 于点F .连接AG .则∠DFG ＝∠GFC ＝90°.∵四边形AEGH 和四边形ABCD 都是矩形.∴∠D ＝∠AHG ＝∠EGH ＝90°.AB ＝DC .AE ＝HG .∴∠DHG ＝180°﹣∠AHG ＝90°. ∴四边形DFGH 是矩形.∴HG ＝DF .HD ＝GF .∠FGH ＝90°. ∴12AD AH AB AE ==. ∴G D DC A AH H =. ∴AH HD DF FC ++＝AH HG . ∴AH GF HG FC ++＝AH HG. 整理得GF AH＝FC HG . ∵∠GFC ＝∠AHG .∴△GFC ∽△AHG .∴∠FGC ＝∠HAG .∴∠FGC +∠HGA ＝∠HAG +∠HGA ＝90°.∴∠FGC +∠HGA +∠FGH ＝180°.∴点A 、G 、C 在同一条直线上.∴点G 在矩形ABCD 的对角线AC 上.由GF AH ＝FC HG 得GF FC ＝AH HG ＝AH AE ＝12. ∴FC ＝2GF .∴GC ＝22(2)GF GF +＝5GF .∴GF ：GC ：FC ＝GF ：5GF ：2GF ＝1：5：2.∵∠FGH +∠EGH ＝180°.∴点E 、G 、F 在同一条直线上.∵∠B ＝∠BCF ＝∠CFE ＝90°.∴FC ＝EB .∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2．（2）无变化.理由：由（1）得：AH AD ＝AG AC ＝AE AB . ∴AH AG ＝AD AC .AG AE ＝AC AB. ∵AE ＝HG ＝2AH .∴AG ＝22(2)AH AH +＝5AH .∴AH ：AG ：AE ＝AH ：5AH ：2AH ＝1：5：2.如图2.由旋转得.∠DAH ＝∠CAG ＝∠BAE .∴△DAH ∽△CAG ∽△BAE .∴HD GC ＝AH AG＝15.GC EB ＝AG AE ＝52. ∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2.∴HD ：GC ：EB 的结果无变化．．10．（2021·湖北汉川·九年级期中）如图.若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数.且0a ≠）与直线l 交于点()1,0A -.()2,3C -.与x 轴另一交点为()3,0B ．（1）则抛物线的解析式为______.（2）若将直线AC 绕点A 逆时针旋转90°交抛物线于点P ．①求点P 的坐标.此时AC AP的值为______. ②若M 是抛物线上一动点.过点M 作x 轴的垂线.垂足为N .连接BM .是否存在点M 使MN AC BN AP=若存在.请求出点M 的坐标.若不存在.请说明理由．【答案】（1）223y x x =--.（2）①35.②存在.251,525⎛⎫-- ⎪⎝⎭.869,525⎛⎫- ⎪⎝⎭．【详解】解：（1）将A 、B 、C 三个点的坐标代入可得：0930423a b c a b c a b C -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩. 解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩. ∴解析式为：223y x x =--.（2）①作点C 关于x 轴的对称点C '.交x 轴为点D .则()2,3C '.作直线AC '与抛物线交与点P .则点P 为所求.根据题意中可得：3CD =.3AD =. ∴45CAD ∠=︒.∴'90CAC ∠=︒.设直线AC '的解析式为y mx n =+.由题意得：032m n m n =-+⎧⎨=+⎩. 解得：11m n =⎧⎨=⎩. ∴直线AC '的解析式为1y x =+.将直线和抛物线的解析式联立得：2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩. 解得1110x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或2245x y =⎧⎨=⎩. ∴点P 的坐标为（4.5）.根据图象可得：223332AC =+=225552AP +=∴此时35AC AP =. ②假设存在点M 使MN AC BN AP=．设点()2,23M m m m --. ∵35AC AP =. ∴35MN BN =. ∴223335m m m --=-.解得25m=-或85m=-.3m=（舍去）当25m=-时.2512325m m--=-.∴251,525M⎛⎫--⎪⎝⎭.当85m=-.2692325m m--=.∴869,525M⎛⎫-⎪⎝⎭.∴存在符合条件的点M.M的坐标为251,525⎛⎫--⎪⎝⎭.869,525⎛⎫-⎪⎝⎭．。

冲刺2020——2020年中考数学压轴题汇编(含解题过程,共69页)doc初中数学

冲刺2020——2020年中考数学压轴题汇编（含解题过程,共69页）doc初中数学〔2018年北京〕25.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分不为()6,0A-，()6,0B，()0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.〔1〕求D点的坐标；〔2〕作C点关于直线DE的对称点F,分不连结DF、EF，假设过B点的直线y kx b=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；〔3〕设G为y轴上一点，点P从直线y kx b=+与y轴的交点动身，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时刻最短。

〔要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明〕〔2018年重庆市〕26．：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．〔1〕求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；〔2〕将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．假如DF 与〔1〕中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请讲明理由；〔3〕关于〔2〕中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？假设存在，要求出点Q 的坐标；假设不存在，请讲明理由．26．解：〔1〕由，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=．∴(01)E ，． ····························································································· 〔1分〕设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．26题图y xDBCA EO将点E 的坐标代入，得1c =．将1c =和点D C 、的坐标分不代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，······················································································ 〔2分〕解那个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ··················································· 〔3分〕〔2〕2EF GO =成立． ············································································ 〔4分〕点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65， ∴点M 的纵坐标为125． ··········································································· 〔5分〕设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠，将点D M 、的坐标分不代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． ∴DM 的解析式为132y x =-+． ······························································ 〔6分〕∴(03)F ，，2EF =． ·············································································· 〔7分〕过点D 作DK OC ⊥于点K ，那么DA DK =．90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．1GO ∴=． ···························································································· 〔8分〕 2EF GO ∴=．〔3〕点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，那么设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①假设PG PC =，那么2222(1)2(3)2t t -+=-+，解得2t =．∴(22)P ，，现在点Q 与点P 重合．x∴(22)Q ，． ···························································································· 〔9分〕 ②假设PG GC =，那么22(1)22t 2-+=，解得 1t =，(12)P ∴，，现在GP x ⊥轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73． ∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ························································································ 〔10分〕③假设PC GC =，那么222(3)22t -+=，解得3t =，(32)P ∴，，现在2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形．过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，那么QH GH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．解得12725h h ==-，〔舍去〕．12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． ····································· 〔12分〕综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．〔2018年重庆綦江县〕26．〔11分〕如图，抛物线(1)20)y a x a =-+≠通过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕假设动点P 从点O 动身，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时刻为()t s ．咨询当t 为何值时，四边形DAOP 分不为平行四边形？直角梯形？等腰梯x形？〔3〕假设OC OB =，动点P 和动点Q 分不从点O 和点B 同时动身，分不以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时刻为t ()s ，连接PQ ，当t小？并求出最小值及现在PQ 的长．*26．解：〔1〕抛物线2(1)0)y a x a =-+≠通过点(20)A -，，09a a ∴=+= ·············································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：2y x =++ ··········································· 3分〔2〕D 为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N ，那么DN = 3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° ············································ 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ·········································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，那么1AH = 〔假如没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求AH 55(s)OP DH t ∴=== ················································································ 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分不是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分〔3〕由〔2〕及，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形那么6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E，那么2PE t =···························································· 8分116(62)222BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··················································································· 9分当32t =时，BCPQ S························································· 10分 ∴现在33393324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，PQ ∴=== ·············································· 11分〔2018年河北省〕26．〔本小题总分值12分〕如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 动身沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后赶忙以原先的速度沿AC 返回；点Q 从点A 动身沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．相伴着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时动身，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时刻是t 秒〔t〔1〕当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；〔2〕在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；〔不必写出t 的取值范畴〕〔3〕在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？假设能，求t 〔4〕当DE 通过点C 时，请直截了当．．．．写出t 的值．26．解：〔1〕1，85；〔2〕作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC ，4BC =，得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．〔3〕能．P P图4P图3F①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．现在∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC，得AQ AP AC AB=，即335t t-=．解得98t=．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．现在∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC，得AQ APAB AC=，即353t t-=．解得158t=．〔4〕52t=或4514t=．【注：①点P由C向A运动，DE通过点C．方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．PC t=，222QC QG CG=+2234[(5)][4(5)]55t t=-+--．由22PC QC=，得22234[(5)][4(5)]55t t t=-+--，解得52t=．方法二、由CQ CP AQ==，得QAC QCA∠=∠，进而可得B BCQ∠=∠，得CQ BQ=，∴52AQ BQ==．∴52t=．②点P由A向C运动，DE通过点C，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t-=-+--，4514t=】〔2018年河南省〕23.〔11分〕如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B〔4，0〕、C〔8，0〕、D〔8，8〕.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直截了当写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A动身．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C动身，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时刻为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判定有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直截了当写出相应的t值.BPQED图5AC(E)BPQD图6GAC(E)BPQD图7G解.(1)点A 的坐标为〔4，8〕 …………………1分将A (4,8)、C 〔8，0〕两点坐标分不代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解得a =-12,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分〔2〕①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为〔4+12t ，8-t 〕.∴点G 的纵坐标为：-12〔4+12t 〕2+4(4+12t 〕=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分(2018年山西省)26．〔此题14分〕如图，直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分不交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分不在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．〔1〕求ABC △的面积；〔2〕求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；〔3〕假设矩形DEFG 从原点动身，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时刻为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范畴．26．〔1〕解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．········································································ 〔2分〕由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ······························· 〔3分〕 ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．·················································· 〔4分〕〔2〕解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． ·········································································· 〔5分〕又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ·········································································· 〔6分〕 ∴8448OE EF =-==，． ································································ 〔7分〕〔3〕解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR 〔0t =时，为四边形CHFG 〕．过C 作CM AB ⊥于M ，那么Rt Rt RGB CMB △∽△．〔第26题〕〔图3〕〔图1〕〔图2〕∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．·························································· 〔10分〕〔2018年山西省太原市〕29．〔本小题总分值12分〕咨询题解决如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕，压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图〔1〕中，假设13CE CD =，那么AM BN 的值等于；假设14CE CD =，那么AMBN 的值等于；假设1CE CD n =〔n 为整数〕，那么AMBN的值等于．〔用含n 的式子表示〕联系拓广如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，那么AMBN的值等于．〔用含m n ，的式子表示〕29．咨询题解决解：方法一：如图〔1-1〕，连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图〔2〕N ABCD EFM图〔1〕A BCDEFMNA EFM由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，那么NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ····························································· 5分设AM y =，那么2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =．····················································································· 7分方法二：同方法一，54BN =． ································································ 3分如图〔1－2〕，过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．N图〔1-2〕A BC DEFMG第23题图〔1〕∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 ∴15AM BN =．··················································································· 7分类比归纳25〔或410〕；917； ()2211n n -+ ······························································· 10分联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分评分讲明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分讲明进行估分． 2．如解答题由多个咨询题组成，前一咨询题解答有误或未答，对后面咨询题的解答没有阻碍，可依据参考答案及评分讲明进行估分．〔2018年安徽省〕23．某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图〔1〕所示．〔1〕请讲明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】〔2〕写出批发该种水果的资金金额w 〔元〕与批发量m 〔kg 〕之间的〕第23题图〔2〕函数关系式；在以下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范畴内，以同样的资金能够批发到较多数量的该种水果．【解】〔3〕经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图〔2〕所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你关心该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】23．〔1〕解：图①表示批发量许多于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分〔2〕解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如下图．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．……………………………8分〔3〕解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，现在m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg 〔x ＞60〕那么由图②日零售价p 满足：32040x p =-，因此32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分当x ＝80时，160y =最大值，现在p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分〔2018年江西省〕25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. 〔1〕求点E 到BC 的距离；〔2〕点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时〔如图2〕，PMN △的形状是否发生改变？假设不变，求出PMN △的周长；假设改变，请讲明理由；②当点N 在线段DC 上时〔如图3〕，是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？假设存在，要求出所有满足要求的x 的值；假设不存在，请讲明理由.25．〔1〕如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分A D E BF C图4〔备用〕AD EBF C图5〔备用〕A D E BF C图1 图2 A D EBF C PNM 图3 A D EBFCPNM 〔第25题〕图1A D EBF CG∴112BG BE EG ====，即点E 到BC····································· 3分〔2〕①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．那么35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，那么MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．现在，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===现在，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF 〔P 〕 CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H那么120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．现在，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分〔2018年广东广州〕25.〔本小题总分值14分〕如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 〔0，-1〕，ΔABC 的面积为45。