2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案
(2021年整理)2017年全国高中数学联赛模拟试题13
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2017年全国高中数学联赛模拟试题13第一试（时间：8:00—9：20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分。
1．若正实数,a b 满足84log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ．2．如果△ABC 中,tanA, tan B ，tanC 都是整数，且A 〉B>C ，则tan B=3．设22sin sin()sin()33x ππααα=+++，当672014πα=时，x 的小数点后第一位数字是 ．4．若11,2,3,(12a ib ic i x =+=+=+=-+，则2||a bx cx ++的值是 ．5．函数()f x 满足3,1000;()((5)),1000.x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(84)f 的值是 ．6．在四面体ABCD 内部有一点O,满足OA=OB=OC=4, OD=l,则四面体ABCD 体积的最大值为 ．7．设,A B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴端点，P 是椭圆上异于,A B 的点，自,A B 分别作直线12,,l PA l PB ⊥⊥则12,l l 的交点轨迹方程是8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上1,2,3,4中的某个数,如果他 最后写上去的两数之和是一个质数,那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为1的概率为二、解答题：本大题共3小题，共56分。
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
江西省九江市2017届高三第一次高考模拟统一考试数学(理)试题
江西省九江市2017届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数为纯虚数1a iz i+=+（i 虚数单位），则实数a =（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-22.已知集合{}2|1M x x =≤，{}2|log 1N x x =<，则MN =（ ）A ．[)1,2-B ．[]1,1-C ．(]0,1D ．(),2-∞ 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足638a a =，则63S S =（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．94.掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（ ） A ．516 B ．12 C.58 D ．11165.若双曲线2222mx y +=的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（ ） A．6.已知函数()22,0,0x x f x m x x ⎧<=⎨-≥⎩，给出下列两个命题：命题p ：(),0m ∃∈-∞，方程()0f x =有实数解；命题q ：当14m =时，()()10f f -=，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C.()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝ 7.函数()()1cos sin f x x x =-，[]2,2x ππ∈-的图像大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．39π B．48π C.57π D．63π9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）1.732≈，sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A．12 B．24 C.36 D．4810.设,x y满足约束条件2601010x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，若2z a x y=+仅在点74,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值，则a的值可以为（）A ．-8B ．-4 C.4 D ．811.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上下顶点分别为,A B ，右顶点为C ，右焦点为F ，延长BF 与AC 交于点P ，若,,,O F P A 四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ） A．12 B．12C. 12 D．212.已知函数()1ln xf x x+=，若关于x 的不等式()()20f x af x +>恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln 21ln 3,23++⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．1ln 31ln 2,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1ln 21ln 3,23++⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 31,3+⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,a b 为单位向量，若a b a b +=-，则a 在a b +方向上的投影为 ．14.二项式632x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的系数是 ．15.已知,,A B C 是球O 的球面上三点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的体积为 ．16.已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列，设212n n n n n a b a a ++=，则数列{}n b 的前n 项和n T = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知34b c =，2B C =. （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若4b =，求ABC ∆的面积.18. 在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如下表.（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》.若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.下面临界值表仅供参考：19. 如图所示，在边长为2的正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将AED ∆，DCF ∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点A ′，O 为A D ′的中点，连接,,EF EO FO .（Ⅰ）求证：A D EF ⊥′；（Ⅱ）求直线BD 与平面OEF 所成角的正弦值.20. 如图所示，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，已知当直线l 的斜率为1时，8AB =.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点A 作抛物线C 的切线交直线2px =-于点D ，试问：是否存在定点M 在以AD 为直径的圆上？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 设函数()2xf x e =，()1g x kx =+()k R ∈.（Ⅰ）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求k 的值；（Ⅱ）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与椭圆C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B . （Ⅰ）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（Ⅱ）若AB =，其中为椭圆的右焦点P ，求直线l 的斜率. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a =--，()(),g x x m a m R =-+∈，若关于x 的不等式()1g x >-的整数解有且仅有一个值为-3. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =的图像上方，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1.解：()()()()()()1111112a i i a a ia i z i i i +-++-+===++-，1a =-∴，故选B . 2.解：{}|11M x x =-≤≤，{}|02N x x =<<，{}|01M N x x =<≤∴，故选C .3.解：6338a q a ==，2q =∴，663331191S q q S q-==+=-∴，故选D . 4.解：234444411216C C C P ++==，故选D .5.解：双曲线方程为2212x y m-=-，24m -=∴，12m =-∴，双曲线的焦距为A .6.解：当0x <时，()()20,1xf x =∈；当0x ≥时，()[)200,f x m x =⇔=∈+∞，故命题p 为假命题.()()211110242f f f ⎛⎫⎛⎫-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴命题q 为真命题，故选B .7.解：函数()fx 为奇函数，故排除B .又当()0,x π∈时，()0f x >，故排除D .又213f π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故排除A .故选C . 8.解：该几何体直观图为圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，∴该几何体的表面积为232343548S ππππ=++=，故选B .9.解：当6n =时，1336sin 60 3.102S =⨯⨯=<；当12n =时，112sin 303 3.102S =⨯⨯=<；当24n =时，124sin15 3.1056 3.102S =⨯⨯=>，结束，故选B .10.解：如图所示，不等式组2601010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩所表示的区域为图中阴影部分：其中()1,0A ，74,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,4C ，依题意22a -<-，即，4a >故选D.11.解：如图所示，,,,O F P A 四点共圆，2AOF π∠=，2APF π∠=∴，即AC BP ⊥，1AC BP b b k k a c =-=-∴，2b ac =∴，22a c ac -=，210e e +-=∴，12e =，故选C .12.解：()()2211ln ln x xf x x x-+==-′，()f x ∴在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，当0a >时，()()()20f x af x f x a +>⇔<-或()0f x >，此时不等式()()20f x af x +>有无数个整数解，不符合题意；当0a =时，()()()200f x af x f x +>⇔≠，此时不等式()()20f x af x +>有无数个整数解，不符合题意； 当0a <时，()()()200fx af x f x +>⇔<或()f x a >-，要使不等式()()20f x af x +>恰有两个整数解，必须满足()()1ln 21ln 33223f a f a ++≤-<⇒-<≤-，故选C . 二、填空题13.2 解：a b a b +=-，0a b =∴，a ∴在a b +方向上的投影为2cos 452a =. 14.-192 解：()()()63118416622rrrrrr r T C xx C x ---+=-=-，令1842r -=-，得5r =，∴展开式中含2x -项的系数是()5562192C -=-.15.8π 解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点且90AOB ∠=时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时11132O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯⨯=，36R =，则球O 的体积为3483R ππ=.16.()11221n n -+ 解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，11S ===1=∴，解得2d =，()11221n a n n =+-⨯=-∴，()21212n n n S n +-==n =，故数列为等差数列，()()()()1231122121221221n n n nn b n n n n -+==--+-+，()()()011211111111121232325221221221n n n n T n n n -=-+-++-=--++∴…. 三、解答题17.解：（Ⅰ）由34b c =及正弦定理得3sin 4sin B C =，2B C =，3sin 24sin C C =∴，即6sin cos 4sin C C C =，()0,C π∈，sin 0C ≠∴，2cos 3C =∴，sin C =，4sin sin 39B C ==∴. （Ⅱ）解法一：由34b c =，4b =，得3c =且21cos cos 22cos 19B C C ==-=-， ()21sin sin sin cos cos sin 39A B C B C B C ⎛⎫=+=+=+-=⎪⎝⎭∴，11sin 4322279ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=∴. 解法二：由34b c =，4b =，得3c =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得222234243a a =+-⨯⨯， 解得3a =或73a =， 当3a =时，则ABC ∆为等腰三角形A C =，又180A B C ++=得45C =，与2cos 3C =矛盾，舍去，73a =∴，117sin 422339ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=∴18.解：（Ⅰ）全班选做题的均分148+8 6.5+67+12 5.5==6.840⨯⨯⨯⨯.（Ⅱ）由表中数据得2K 的观测值()224014128640 3.636 2.7062218202011K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，据此统计有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关.（Ⅲ）依题意得男生抽取1人，女生抽取2人，012X =，，， ()125111*********C C P X C C ===，()1211111151111261210136C C C C C P X C C +===， ()1111111126121236C C C P X C C ===，2510110123636363EX =⨯+⨯+⨯=∴. 19.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AD AE ⊥，CD CF ⊥，A D A E ⊥∴′′，，A D A F ⊥′′又A E A F A =′′′，A E A F ⊂′，′平面A EF ′，A D ⊥∴′平面A EF ′，而EF ⊂平面A EF ′，A D EF ⊥∴′.（Ⅱ）正方形ABCD 的边长为2，点E F ，分别是,AB BC 的中点，1BE BF A E A F ====∴′′，EF =∴222A E A F EF +=∴′′， A E A F ⊥∴′′，由（Ⅰ）得A D ⊥′平面A EF ′，∴分别以,,A F A E A D ′′′为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -′，则()0,0,0A ′，()0,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,2D ，设EF 与BD 相交于G ，则G 为EF 的中点，()0,0,1O ∴，11,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，()011OE =-，，，()101OF =-，，，11,222DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面OEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0n OE y z n OF x z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，可取()1,1,1n =，令直线DG 与平面OEF 所成角为α，sin 323n DG n DGα===∴ ∴直线BD 与平面OEF 20.解：（Ⅰ）直线l 的方程为2p y x =-， 联立方程222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得22304p y px -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x p +=，故1248AB x x p p =++==，2p =∴，∴抛物线C 方程为24y x =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2px =-即1x =-，()2111,04y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，设切线方程为2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立方程211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去x 得2211044ky k y y y -+-=， 211104ky k y ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，2211104k y ky -+=，即12k y =， ∴切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，211420x y y y -+=∴，令1x =-，得1122y y y =-，即1121,2y D y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴以AD 为直径的圆为()()2111121042y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由抛物线的对称性，若以AD 为直径的圆经过定点，则此定点一定在x 轴上，∴令0y =得()211204y x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，1x =∴，故存在定点()1,0M 在以AD 为直径的圆上.21.解：（Ⅰ）设切线的坐标为()2,t t e ，由()2xf x e =得()22x f x e =′∴切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()22212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，22te k =∴，()2121tt e -=，令()()1xh x x e =-，则()xh x xe =-′，当(),0x ∈-∞时，()0h x >′，()h x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()0h x <′，()h x 单调递减，()()01h x h ≤=∴，当且仅当0x =是等号成立，0t =∴，2k =，（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，由直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图像相切于()0,1，得出022k e ==得3分）（Ⅱ）①当2k >时，由（Ⅰ）结合函数的图像知：存在0x >，使得对于任意()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2g x f x x ->，即()2210x k x e -+->， 设()()221xt x k x e =-+-，()222xt x k e =--′，设()0t x >′得12ln 22k x -<，设()0t x <′得12ln 22k x ->， 若24k <≤，12ln 022k -≤，()0120,ln ,22k x -⎛⎫⊆+∞⎪⎝⎭，()t x ∴在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，∴对任意()00,x x ∈，()0t x <，与题设不符，若4k >，12ln 022k ->，12120,ln ,ln 2222k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()t x ∴在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =，∴对任意120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0t x >符合题设额，此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->， ②当02k <≤时，由（Ⅰ）结合函数的图像知()()22100xe x x -+≥>，()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立，()()2f x g x x ->∴等价于()2210x e k x -+->，设()()221xx ek x ϕ=-+-，则()()222x x e k ϕ=-+′，由()0x ϕ>′得12ln 022k x +>>，()0x ϕ<′得12ln 22k x +<，()x ϕ∴在120ln 22k +⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，注意到()0=0ϕ，∴对任意120ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()0x ϕ<，不符合题设，综上所述，k 的取值范围为()4,k ∈+∞.22.解：（Ⅰ）将椭圆C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程得2214x y +=， 当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ，直线l的参数方程为122y t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程2214x y +=中，并整理得21340t +-=， 设直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t，12t t +=则1202t t t +==，∴点M的坐标为313⎫-⎪⎪⎝⎭.（Ⅱ）)P，将l：cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩带入方程2214x y +=中， 得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，1222cos 4sin t t ααα+=-+∴，12221cos 4sin t t αα=-+，1212AB t t t t =+=-==∴22244cos 4sin 13sin αα==++，由AB =，得24313sin α=+，21sin 9α=，1sin 3α=，cos 3α=±， ∴直线l 的斜率为4±.23.解：（Ⅰ）由()1g x >-，即1x m -+>-，1x m +<，11m x m --<<-∴， 不等式的整数解有且仅有一个值为-3，则41312m m -≤--<-<-≤-， 解得3m =.（Ⅱ）因为()y f x =的图像恒在函数()y g x =的图像上方，故()()0f x g x ->，213x x a -++>∴对任意x R ∈恒成立，设()213h x x x =-++，则()31,35,3131,1x x h x x x x x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪+>⎩，()h x ∴在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，∴当1x =时，()h x 取得最小值4，∴实数a 的取值范围是(),4-∞.。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题 Word版 含答案
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。
江西省莲塘一中、临川二中2017届高三下学期联考 数学理.doc
2017届高三模拟测试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则的子集的个数是：（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ∙=（）A.14 B.12C.1D.2 3. 下列结论正确的．．．是（ ）A ．命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为假; C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题; D.若n 的展开式中第四项为常数项，则n =54. 已知{}2,0,1,3a ∈-，{}1,2b ∈，则曲线221ax by +=为椭圆的概率是（ ） A.37B.47C.12D. 385. 定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣，若c o s s i n 3()cos(2)cos sin 2x x f x x x x π⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，则()f x A. 图象关于(),0π中心对称 B. 图象关于直线2x π=对称C.在区间[,0]6π-上单调递增 D. 周期为π的奇函数6. 如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A ．17B ．16C ．15D ．14 7. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的 表面积为( )()22{,|1}416x y A x y =+={(,)|3}x B x y y ==A B⋂第6题图A ．14π B ．3π C ． 4π D ．43π 8. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）A ．150B ．180C ．200D ．2809.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-．若数列(){}()f n g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．810.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为优函数，① 对任意[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有成立，则下列函数不是优函数的是（ ）A ．2()f x x =B ． ()21x f x =-C ．2()ln(1)f x x =+D ．2()1f x x =+11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）ABCD ．3212. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x xx x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g 的根的个数不可能为（） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题（20分）13．已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为.14.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2222z x y x y =+++在D 上的最小值为.15．已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=m _______.1212()()()f x x f x f x +≥+{}n a n 2n S n =234::a a a16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n n S a n =-++-且1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是．三、解答题（70分）17．(12分)已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边，且(3)cos b b c A -CA CB =⋅. （Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，并且边AB 上的中线CM 的长为217，求,b c 的长.18．(12分)时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为11,32；2天以上且不超过3天还车的概率分别11,23；两人租车时间都不会超过4天．（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19．(12分)如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =, 现将梯形沿,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,M N 分别为,AF BD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.第19题图（2）第19题图（1）A B EF D C20．(12分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1x y +=经过E 的右顶点和上顶点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的 直线交椭圆E 于,M N 两点. 设直线FM 和FN 的斜率为12,k k . ①求证: 12k k +为定值；②求FMN ∆的面积S 的最大值.21．(12分)已知函数，其中是自然对数的底数. （1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．(10分)已知函数()1f x x =-.22()en nxx x a f x --=,,N R n a *∈∈e 12()()()g x f x f x =-,N n *∈()n f x (1,4)[]1,4a（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，且0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDCBCABDAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.23π 14. 65-1516.311,44-⎛⎫⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）由题意得：(3)cos cos b b c A ab C -=．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理得：sin (3sin sin )cos sin sin cos B B C A A B C -=sin 0,3sin cos sin cos sin cos sin B B A A C C A B ≠∴=+= ．．．．．．．4分 1cos 3A ∴=．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc =．．．．．．．．．．．．8分 由余弦定理得：2217144cos 322c b A c b +-==⋅，即：22425b c +=．．．．．．．．．10分 联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,42b c ==.．．．．．．．．．．．．12分18．【答案】（1）718；（2）分布列见解析，()750E ξ=．【解析】（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用， 当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为11111233P ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭； 当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为21111133218P ⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭； 则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为1211731818P P P =+=+=．．．．．．．．．．．．5分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为,ξξ可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()()()()111111113600,7003263322361111111111800111233232323611111159001122333236P P P P ξξξξ==⨯===⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯--+⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11111100011233236P ξ⎛⎫⎛⎫==--⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 故ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分故ξ的期望为()11311516007008009001000750636363636E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．12 19.（Ⅰ）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点.在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF .∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥且AB AE A = ∴AD ⊥平面ABFE ，DE ∴在面ABFE 上的射影是AE .DEA ∴∠就是DE 与平面ABFE 所成的角. 故在Rt DAE ∆中tan 2DA DA DEA AE ∠===AD DE ∴==.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设P EF∈且AP EF ⊥，分别以,,AB AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(A D E F((AD AE DE DC ====设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量令00,00m AD n DC m AE n DE ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，即00,00⎧==⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩取(1,1,0),(0,1,1)m n==则1cos,2m nm nm n<>==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为π3.．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.答案：；(2)①见解析；②．【解析】(1)1x y+=中，令0x=，则1y=，所以上顶点的坐标为，所以；令，则，所以所以，椭圆E的方程为.．．．．．．．．．．4分(2) ①设直线MN的方程为()()20y k x k=-≠.代入椭圆方程得.设，则，所以12k k+=为定值．.．．．．．．．．．．8分②因为MN直线过点()2,0G，设直线MN的方程为()2y k x=-，即20kx y k--=代入椭圆方程得.由判别式解得.点到直线MN的距离为h，则2212xy+=4()0,1 1b=0y=x=),0a=2212xy+=()2222128820k x k x k+-+-=()()1122,,,M x y N x y22121212122212882,,121211y yk kx x x x k kk k x x-+==+=+++--()()()()221212221212228222221220828111112121kk x k x x x kk kk kx x x xk k⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+-+=+=-=-=⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦-+⎢⎥++⎣⎦()2222128820k x k x k+-+-=()()()22228421820k k k∆=--+->212k<()1,0F12h S MN h=====12==令212t k=+，则S==时，的最大值为..．．．．．．．．．．12分21.【解析】：（1），..．．．．．．．．．．2分①当时，函数有1个零点：..．．．．．．．．．．3分②当时，函数有2个零点：..．．．．．．．．．．4分③当时，函数有两个零点：..．．．．．．．．．．5分④当时，函数有三个零点：..．．．．．．．．．．6分（2）设，的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意有两个不等实数根，且则对任意,即, ..．．．．．．．．．．9分又任意关于递增,,故216k=S4222122222(2)(e1) ()()()e e exx x xx x a x x a x x ag x f x f x-------=-=-=44a∆=+1a<-0,∆<()g x10.x=1a=-0,∆=()g x120, 1.x x==a=0,∆>()g x120, 2.x x==1,0a a>-≠0,∆>()g x1230,11x x x===222(22)e(2)e2(1)2().e enx nxn nx nxx n x x a nx n x a nf x-----+++⋅-'==2()2(1)2ng x nx n x a n=-+++⋅-()ng x,Nn*∈()0ng x=12,x x()[]121,4,1,4.x x∈∉,Nn*∈(1)(4)0n ng g<6(1)(8)0n a n an⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦,Nn*∈68n-n681n->-min61(8),186 2.a an-<<--<<-=所以的取值范围是..．．．．．．．．．．12分 22.【答案】（1）θρcos 2=；（2）2||=PQ .【解析】（1）圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=...．．．．．．．．．．4分（2）设),(11θρP ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ.设),(22θρQ ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ. ∴2||=PQ ...．．．．．．．．．．10分23.【答案】（1）{}|53x x x ≤-≥或；（2）证明见解析.【解析】（1）22,3,()(4)134,31,22, 1.x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，则228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，则()8f x ≥不成立； 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以原不等式的解集为{}|53x x x ≤-≥或. ..．．．．．．．．．．5分（2）()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即1ab a b ->-. 因为1a <,1b <,所以()()()()222222221212110ab a b a b ab a ab bab ---=-+--+=-->,所以1ab a b ->-.故所证不等式成立. ..．．．．．．．．．．10分a ()1,2.-。
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：平面向量含答案
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编平面向量 2017。
02一、选择、填空题1、(红色七校2017届高三第二次联考）已知点O 为ABC 的外心,且2,6BA BC ==，则BO AC ⋅=( ) A.－32 B.-16 C.32 D 。
162、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点(靠近点B )，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C.1132AB AD + D ．1223AB AD - 3、(赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知对任意平面向量=（x ，y ），把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线C 的方程是___ .4、（赣州市2017届高三上学期期末考试)已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+,AD t AC =，若,,B O D 三点共线,则t 的值为( ） A ．14 B ．13 C 。
12 D ．23 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）在边长为1的正方形ABCD 中，2AE EB =，BC 的中点为F ，2EF FG =,则EG BD ⋅=6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考)在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=,若,则λ的最大值是( ）A 。
222+B 。
22-C 。
1D 。
7、（新余市2017高三上学期期末考试）非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=,则a b +的取值范围为8、（宜春中学2017届高三2月月考)已知向量a ，b ，那么1(24)22a b b -+等于（ ) A ．a —2b B ．a -4b C ．a D ．b9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考） 已知向量,a b 满足：||||1a b ==,且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0,0x y >>且2x y +=，则||c 最小值是10、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考)已知向量,a b 满足||2,()3a a b a =⋅-=-，则b 在a 方向上的投影为A ．23-B ．23C ．12-D ．1211、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知向量b a ,的夹角为 120，且||1a =，||2b =，则向量b a +在向量a 方向上的投影是(）A ．0B ．23C ．-1D ．12 12、(九江市十校2017届高三第一次联考）已知点)0,1(A ，点B 在圆O ：122=+y x 上运动,若点C 满足OB OA OC +=2，则点C 的轨迹是（） A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆二、解答题1、(赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））在ABC△中,角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，且()2c a AB BC cBC AC -⋅=⋅. （1）求角B 的大小;（2）已知()()cos sin 2cos 1f x x a x x =-+，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f B ≤，求函数()f x 的单调递减区间.2、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知向量)1,(cos -=x a ,)21,sin 3(-=x b ,函数()()2f x a b a =+-． (1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点)21,(A ， c a b 、、成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值.参考答案一、选择、填空题1、D2、答案:D解析：在CEF △中,EF EC CF =+，因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =，因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =。
2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案
2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题7分，共56分)1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为.2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,则正整数m n +的最小值是.3.设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为.4.三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x =的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB 的面积是.5.,,a b c 是互异的正整数,使得222{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是.6.已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是.7.三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=.8.数列{}n a满足02112,[]{}n n n a a a a a +===+(其中[],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a =.9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3 中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列123,,a a a 再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列123,,b b b 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案11.(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：2222019a b c ++=．12.(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC ∆的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q .证明：,,,M N P Q 四点共圆．2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答1.答案：16815．解：所求的和为()()()222211121912193610024701681522⎡⎤+++-+++=-=⎣⎦ 2.答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+-，()201919191n d =+-，显然有1,1m n >>，301d m =-，以及1001d n =-，消去d 得,1037m n -=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3.答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以551x x +42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()34771123=-+=4.答案：．解：抛物线的焦点为()1,0F ，因F 为OAB ∆的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为()2,2A a a ，()2,2B a a -，0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=，BF 的斜率221BF aK a -=-，据1OA BF K K =- ，得5a =，因此AB =，25H a ==，所以OAB S ∆= 5.答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()()2a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数()(){}222,1,2n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则()(){}{}222222,1,2=3,4,5n n n ++，且因22250345=++()2a b c =++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据()(){}{}222222,1,2=5,6,7n n n ++，解得30,19,6a b c ===，因此．222222301961297a b c ++=++=.6.答案：750．解：如图，PF VBC ⊥平面，5,10,VP VH ==4VF ===,而PHMFPHMF 共圆，,VP VH VF VM =所以2515,22VM HM ===;则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB == ．7.答案：14-．,3,9,39,,13C B A πθθθθθθπθ===++==解：设由得9339cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos131313131313S A B B C C A ππππππ=++=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1191311sin sin sin sin sin 1313131313πππππ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14S =-.8.答案：3130292-+．解：()0131,a =+-113112,231a -=+=+-()22233431,31a =+=+=+--313145.231a -=+=+-归纳易得()23131,k a k =++-213132,2k a k +-=++因此20193130292a -=+.9.证：设椭圆方程为()22221,0x ya b a b+=>>，据对称性知，点Q在Y轴上（如图）；记12,QF QF m ==1122,,PF r PF r ==PQ t=,12,MF MF k ==则有：1121,2,PF e r r a PM =+=为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证，1212,mr mr t F F += 22,m c m a t c e t a=== 即也即……………①由1111,QF OF QM HM =即222,m c c e a m k a c⎛⎫=== ⎪+⎝⎭所以21,k e m k=-+在1PM Q ∆中，由斯特瓦特定理，22211m kPF PM PQ mk m k m k=+-++…………………………②即()()22222211211m e r r e t e me e -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭………………………③因为210e -≠，由③得，222,,m me e t t==即故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得()2PQ m m k =+，则11PQF M QP ∆∆ ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10.证：易知2142n a n -=-,241n a n =-,1,2,3n = ，因此，41,82,n n N a n +∀∈=+42434483,86,87n n n a n a n a n +++=+=+=+；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：212283,86n n b n b n ++=+=+,1,2,3n = ；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43 ，观察易知，222212346710113,5,7,9,b b b b b b b b =+=+=+=+……；若记()12k k k r +=，我们来证明，一般地有：()2121k k r r k b b ++=+,1,2,3k = .由于2222441424382,861,8103,8146;m m m m r m m r m m r m m r m m +++=+=++=++=++所以()()4444122111241,2411,m m m m r r r r b b m b b m +++++=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()42424343221112421,2431,m m m m r r r r b b m b b m ++++++++=+++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦合并以上四式得，对于每个正整数k ,()2121k k r r b b k ++=+．其中()12k k k r +=．11.解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意201944c ⎡⎤≤=⎣⎦，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22=N x y +为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，()()()222222N x yx y x y =+=-++；若43c =，方程化为：()()222222170285267229a b +==⨯=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为：()22222223382132512717a b +==⨯=+=+，由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为：()()2222222650213522334a b +==⨯⨯=++()()()2222222118261721015=+=+=+因此：22222265017191123525=+=+=+．得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==⨯,而397是一个41N +形状的质数，它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以()22222226191325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：2211582529a b +==⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==⨯⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：{}{}{}{}{}{}{}1,13,43,7,11,43,13,25,35,5,25,37,11,23,37,17,19,37,7,17,41.12.证：如图设三角形ABC ∆的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF =-+ ()()()22222MF HF MF HF MF HF AF FB AH AF AF AB AH =-+=-=--=- 同理有，2PH HQ AE AC AH =- 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC = ，故由以上两式得MH HN PH HQ = ，所以,,,M N P Q 四点共圆．2018年全国高中数学联赛江西省预赛试题1.a b 、为正整数，满足112018a b-=，则所有正整数对(),a b 的个数为．2.若双曲线L 的两个焦点恰是椭圆22:1169x y T +=的两个顶点，而双曲线L 的两个顶点恰是椭圆T 的两个焦点，则双曲线L 的方程为．3.函数y =+．4.若三个角,,x y z 成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=．5.设,,x y z R *∈，满足x y z xyz++=，则函数()()2,,1f x y z x yz =-()()2211y zx z xy +-+-的最小值是．6.正整数数列{}n a 满足32n a n =+,{}n b 满足53n b n =+,n N ∈.在{}1,2,,2018M = 中两数列的公共项的个数是.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60 的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为．8.对于正整数n ，将其各位数字之和记为()s n ，各为数字之积记为()p n .若()()s n p n n +=成立，就称为“巧合数”。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案
2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3)f(x 4)1.又当0x 7时，f(x)log(9x)2，则f(100)的值为__________.2.若实数x,y满足x22cos y 1，则x cos y的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:x2y21910，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形O APF的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P ABC中，AB 1，AP 2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)x,y 1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若A3，ABC的面积为3，则AM AN的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列a ,b满足：n na10b 201710，对任意正整数n，有an 2an 1an，bn 12bn，则a b11的所有可能值为__________.二、解答题9.设k,m为实数，不等式x2kx m 1对所有x a,b成立.证明：b a 22.10.设x,x,x123是非负实数，满足x x x 1123，求(x 3x 5x)(x1231x x2335)的最小值和最大值.11.设复数z,z满足Re(z)0，Re(z)0，且R e(z212121)Re(z22)2（其中Re(z)表示复数z的实部）.（1）求Re(z z)12的最小值；（2）求z 2z 2z z1212的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在ABC中，AB A C，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆，1以I为圆心，IB为半径作圆2，过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：BR C R二.设数列a n定义为a 11，an 1a n,a n,n na n,a n,n nn 1,2, .求满足a r 3r2017的正整数r的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m,n均是大于1的整数，m n，a,a,12 ,a是n个不超过m的互不相同的正整数，n且a,a,12 ,an互素.证明：对任意实数x，均存在一个i(1i n)，使得a x i2m(m 1)x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1. 2. 3. 4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.3、4解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即202-x 此6 ，7解：，因8数列}{na ，若2017=na，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.9、n b 2，1=+b n n a 2…②10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a-，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是cb a ++的倍数．证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222aa cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],ba a [2017…④，同理有（2017）22c b ++11、个）n为=n 中每个242⨯的24的每42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD BD 上，又向在⊙2O21,r r 而∆MK MC BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B,⊿BME∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FNBN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKM KNEM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：不等式
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编不等式2017.02一、选择、填空题1、（红色七校2017届高三第二次联考）设x 、y满足约束条件，若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，当+的最小值为m 时，则y=sin （mx+）的图象向右平移后的表达式为 ．2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ） A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）4、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知x ，y 满足约束条件20,53120,3,x y x y y --≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩当目标函数z ax by =+（0a >，0b >）在该约束条件下取得最小值1时，则123a b+的最小值为（ ） A．4+B．C．3+D．35、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知变量,x y 满足约束条件26x y y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≤+⎩，则2z x y =-的取值范围是___________ 6、（新余市2017高三上学期期末考试） 若实数x y 、满足约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨+≥⎪⎩，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a b 、，则函数2ax by Z =+在点(2,1)-处取得最大值的概率为（ ）A. 15B. 25C. 16D. 567、（宜春中学2017届高三2月月考）已知关于x 的不等式kx 2﹣6kx+k+8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k≤1 B ．0＜k≤1 C ．k ＜0或k ＞1D ．k≤0或k≥18、（宜春中学2017届高三2月月考）设x ，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为 ．9、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知实数,x y 满足||1x y ≤+，且11≤≤-y ，则2z x y =+的最大值（ ） A ．2B ．4C ．5D ．610、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q 是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ -的最小值为ABCD ．1 11、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）动点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥3521y x y x y ，点Q 为)1,1(-，O 为原点，OQ OP OQ λ=⋅ ，则λ的最大值是（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D二、解答题1、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）（1）设函数|||2|)(a x x x f ++-=，若关于x 的不等式3)(≥x f 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.2、（新余市2017高三上学期期末考试）已知关于实数x 的不等式是2211a x x log ---≤ (1)当8a =时，求该不等式的解集； (2)若该不等式有解，求实数a 的范围。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．1. 在等比数列{a } 中，a2, a 3，则a 1a2011的值为．3n23a 7a2017答案：8．9a 3 a a a a 1 8 解：数列{a } 的公比为q 3，故．a 2 q 6 ( a 1 a 2011 ) q 6n 2 a 7a 201792. 设复数 z 满足z 9 1022 i ，则 z z 的值为．答案：．5 a , b R ．由条件得解：设z a b i,( a 9) b i 10 a ( 10b 22) i ． 比较两边实虚部可得 a + 9 = 10 a ,b = −10b + 22,解得a 1, b 2 ，故z 1 2 i ，进而 z 5 ．3. 设 f ( x ) 是定义在R 上的函数，若 f ( x ) x 2 是奇函数， f ( x ) 2x 是偶函数， 则 f (1) 的值为 ．答案： 7．4f ( 1) 1 ， 解：由条件知， f (1) 1f ( 1) ( 1) 2 f ( 1) 1, f (1) 221 ，即 f (1) 7两式相加消去 f ( 1) ，可知2 f (1) 3 ．244. 在 ABC 中，若sin A 2sin C ，且三条边a , b , c 成等比数列，则cos A 的值为 ．答案：42．解：由正弦定理知，ac sinsin C A 2 ，又b 2ac ，于是a : b : c 2 : 2 : 1，从而由余弦定理得，cos A b2c2a 2(2) 2122 22． 4 2 bc 2 2 15. 在正四面体 ABCD 中，E , F 分别在棱 AB , AC 上，满足BE = 3, EF = 4 ，且EF 与面BCD 平行，则∆DEF 的面积为．1答案：233 ．解：由条件知，EF 平行于BC ．因为正四面体 ABCD 的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4, AD AB AE BE 7 ．由余弦定理得，DE AD 2 AE 2 2 AD AE cos 6049 16 28 37 ，同理有DF 37 ．作等腰 DEF 底边EF 上的高DH ，则EH12 EF 2 ，故DH DE 2 EH 2 33 ，于是S DEF12 EF DH 233 ．6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集K ( x , y ) | x , y 1, 0, 1 ．在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 2 的概率为 ．答案：145．解：注意K 中共有 9 个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为种．当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况．（2）三点是边长为1, 1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16 种情况．（3）三点是边长为2, 2, 2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0, 0) 的有 4 个，直角顶点位于( 1, 0), (0, 1) 的各有一个，共有8 种情况．综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为30 5 ． 14 847. 设a 为非零实数，在平面直角坐标系 xOy 中，二次曲线 x 2 ay 2 a 2 0 的 焦距为 4，则a 的值为 ．答案：1 217．解：二次曲线方程可写成 x 2 y2 1．显然必须 a 0 ，故二次曲线为双曲 a 2ay 2x 2222 21 ．则c ( a )( a )a a ，注意到焦距( a )2 ( a )2c 4 ，可知a 2 a 4 ，又a 0，所以a 117．28. 若正整数a , b , c 满足2017 10 a 100b 1000c ，则数组( a , b , c ) 的个数为．答案：574 ．解：由条件知c20172 ．1000当c1时，有10b20．对于每个这样的正整数b，由10b a201知，2相应的a的个数为202 10b．从而这样的正整数组的个数为20b 10 2当c2时，由20 b 2017 ．进而200 2017 201 ，，知b20 a100 10故a200, 201．此时共有2组(a,b,c)．综上所述，满足条件的正整数组的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设不等式2x a5 2x对所有成立，求实数a的取值范围．解：设t2x，则t[2, 4]，于是对所有成立．由于t a 5 t ( t a ) 2 (5 t)2(2 t a 5)(5 a) 0 ．………………8 分对给定实数a，设f(t) (2t a5)(5a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数．注意t[2, 4]，因此f(t) 0等价于………………12 分f (4) (3 a )(5 a) 0,解得3a5．所以实数a的取值范围是3a5．………………16 分10.（本题满分20分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b a a a 2, n 1, 2,．n n 1 n 2 n（1）证明：数列{b n}也是等差数列；（2）设数列{a n}、{b n}的公差均是d0，并且存在正整数s,t，使得a s b t是整数，求a1的最小值．解：（1）设等差数列{a n}的公差是d，则b n1b n( a n2a n3 a n21)( a n1a n2a n2)a n2( a n3 a n1) ( a n1 a n)( a n1 a n)a n22 d ( a n1 a n) d(2a n2a n1a n ) d ．所以数列{b n}也是等差数列．………………5 分（2）由已知条件及（1）的结果知．因为，故．这样b a an 2 a 2 ( a d )( a 2 d ) a2n n 1 n n n n3da n 2d2a n 2 ．………………10分9若正整数s,t满足，则3a b a a 2a ( s 1) d a ( ts ts t 9 1 12a s t 22 Z ． 13 9 s t 2 2记l 2a ，则l Z ，且18a 3(3l1 3 91 整数，故，从而．又当时，有ab1 17 1 Z ．13 18 18综上所述， a 1 的最小值为181．1)d92s t 1) 1是一个非零的………………15 分………………20 分11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 : y 2 4x ，曲线 C2 : ( x 4) 2 y 28 ．经过C 1 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与C 2 交于两个不同的点Q , R ，求 PQ PR 的取值范围．解：设P (t 2 , 2t ) ，则直线l 的方程为 y x 2t t 2 ，代入曲线C 2 的方程得， ( x 4) 2 ( x 2t t 2 ) 2 8 ，化简可得 2 x 2 2(t 2 2t 4) x (t 2 2t ) 2 8 0 ．①由于l 与C 2 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式 为正．计算得，(t 2 2t 4) 2 2((t 2 2t ) 2 8) (t 2 2t ) 2 8(t 2 2t ) 16 2(t 2 2t ) 2 164(t 2 2t ) 2 8(t 2 2t )(t 2 2t ) (t 2 2t 8)t (t 2)(t 2)(t 4) ，因此有 t ( 2, 0) (2,4) ． ②………………10 分设Q , R 的横坐标分别为x 1 , x 2 ，由①知，x x t 22t 4, x x 1((t 2 2t ) 2 8) ，121 2 2因此，结合l 的倾斜角为45 可知，PQ PR 2( x 1t 2 ) 2( x 2 t 2 ) 2 x 1 x 2 2 t 2 ( x 1 x 2 ) 2t 4(t 2 2t ) 2 8 2t 2 (t 2 2t 4) 2t 4t 4 4t 3 4t 2 8 2t 4 4t 3 8t 2 2t 4t 4 4t 2 8 (t 2 2) 2 4 ．③………………15 分由②可知，t 2 2 ( 2, 2) (2, 14) ，故( t 2 2) 2 [0,4) (4, 196) ，从而由③得，PQ PR (t 2 2) 2 4 [4, 8) (8, 200) ．………………20 分注 1：利用C 24 2 t t2的圆心到l 的距离小于C 2 的半径，列出不等式2，2 2同样可以求得②中t 的范围．注 2：更简便的计算 PQ PR 的方式是利用圆幂定理．事实上，C 2 的圆心为 M (4, 0) ，半径为r 2 2 ，故PQ PRPM 2 r 2 (t 2 4) 2 (2t ) 2 (22) 2 t 4 4t 2 8 ．4。
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。
2017年全国高中数学联赛二试试题及答案解析.pdf
2010年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO rKOr =−+−，同理 ()()22222QK QO rKOr =−+−，所以 2222PO PK QO QK −=−，故 OK ⊥PQ ． （10分）由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MCBD CD=， （30分） 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅−⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r = (1)(()),2l f f r l −≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．证明：记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠为整数． （10分)假设命题对1(1)v v −≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+"，FE Q PO NM KDC B A这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++"． （20分)于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎞⎡⎤⎛⎞=++=++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎝⎠2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα−++++=+++⋅++⋅+++""12k ′=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα−++++′=++⋅++⋅+++""．显然k ′中所含的2的幂次为1v −．故由归纳假设知，12r k ′′=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． （40分） 三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a "满足1,1,2,,k a k n ≤="，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==""．求证：1112nnk k k k n a A ==−−<∑∑． 证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤−，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤−∑∑． （10分）注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y −<，于是对11k n ≤≤−，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑∑ 11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎞<−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎞≤−−⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎩⎭1k n=−， （30分） 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===−=−∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A −−===−≤−∑∑111n k k n −=⎛⎞<−⎜⎟⎝⎠∑12n −=． （50分） 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A "的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解：对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A "上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍． （20分）设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j −⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C −种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2in C 22jn i C −种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑． ①这里我们约定001C =． （30分）当n 为奇数时，20n i −>，此时22221202n i j n i n i j C −⎡⎤⎢⎥⎣⎦−−−==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C −⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦−−−−====⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)nnkn kk n kk n n nn k k C C −−===+−=++−∑∑ 31n =+． （40分）当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦−==⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤−⎢⎣⎦−−=⎛⎞⎜⎟×+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎣⎦−−==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种． （50分）。
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2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.2、若22cos sin =+x x ,则=+x x 33cos sin .3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是．4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e ．5、函数14342++-=x x y 的最小值是．6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n …nn x a 22+，则+++642a a a …=+n a 2．7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,43,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a ．8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则=n 9、（15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ．10、（15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数．11、（20分）设P=｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构．证明：每个自然数n都具有P结构．12、（20分）如图，⊙1O，⊙2O相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，点C，D分别在⊙1O、⊙2O上，过线段CD上的任意一点K，作BDKM//，BCKN//，点M，N分别在BC，BD上，又向BCD∆形外方向，作BCME⊥，BDBF⊥，其中E在⊙1O上，F在⊙2O上；证明：KFKE⊥．2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题答案1、答案：.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.2、答案：825解4121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=+-+=+x x x x x x x x 3、答案：3解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a ）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.313,3333==a a a ，则令4、答案：2221或．解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于ca x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得5、答案：5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因0>y ,则,5≥y 此值在求解）（也可以令时取得θtan 21.51==x x .6、答案：213-n ．解：令0=x ，得10=a ,再令1=x ，得nn a a a a 32210=++++ ,又令1-=x ，得12210=+++-n a a a a ，所以2132642-=++++n na a a a .7、答案：651．解：按分母分段，分母为1+k 的分数有k 个，因208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即651.8、答案：120=n 解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，a -10这a -11个数字的任意一个值，而在a ,b确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：9=++c b a 的非负整数解()c b a ,,的个数是55211=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.9、证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ．证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …②因此02,022122122222<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--nn n n b ab a 据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{},,n n b a 皆为严格递增的正整数数列，,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以nn n n b a b a 212111+<+++…④nn b b 111<+…⑤将③④⑤相乘得2211-<-++nn n n b ab a 10、证：因）（即2233)(2017,)(2017b ab a b a b a ++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则b a -与2017互质，因此）（ab b a ++222017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）ac c a ++22(2017…③，根据②③，][20172222）（）（bc c b ac c a ++-++，即）（c b a b a ++-)(2017，从而）（c b a ++2017，因正整数c b a ,,皆小于2017，得20173⨯<++c b a 因此2017=++c b a 或20172⨯.又注意c b a ++与222c b a ++同奇偶，故只要证）（2222017c b a ++，将①改写为）（则知））（ac b ac b c b a a --+++222017],[2017…④，同理有）（bc a -22017，）（ab c -22017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）（22232017c b a ++于是）（2222017c b a ++，从而）（222)(c b a c b a ++++.11、证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：22222222222222222222239,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--=再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数皆具有P 结构表示，也就是24≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠=而,,18021r r BD BC BAD BAC ==∠+∠︒所以于是12BO C BO D ∆∆ ，根据平行关系得CMK KND CBD ∆∆∆ ,所以KMBN r r BD BC ND NK MK MC 且四边形,21===为平行四边形，BN MK =,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,21r r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M ,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,21r r BD BC MK CM BN CM ===1CME NF B ∆∆ ,1BME NF D ∆∆ ,从而1BEC DF B ∆∆ ,由1BEM NF D FBN ∆∆∆ ,得FNBNBM EM =,注意BM KN =,BN KM =,上式成为FNKMKN EM =,根据CMK KND ∆∆ ,得︒=∠=∠∠=∠90,FND EMC KND CMK 而EMK KNF CMK ∆∴∠=∠,,所以∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥⊥由此所以。