2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题

1、化简

+++

++

+3

44312

33211

2211…=

++

2016

2017201720161

.

2、若2

2cos sin =

+x x ,则=+x x 3

3cos sin .

3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是．

4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=

e ．

5、函数14342++-=x x y 的最小值是

．

6、

设+++=++22102)1(x a x a a x x n …n

n x a 22+，则+++642a a a …=+n a 2．

7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,4

3

,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，

先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项

=

2017a ．

8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，

则=

n 9、（15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．

证明：（1）、

21212<--n n b a ，222>n n b a ；

（2）、2211-<-++n

n n n b a

b a ．10、（15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，

c 使得33b a -，33c b -，3

3a c -均是

2017的倍数；证明：2

22c b a ++必是c b a ++的倍数．

11、（20分）设P=｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构．证明：每个自然数n都具有P结构．12、（20分）如图，⊙

1

O，⊙

2

O相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，点

C，D分别在⊙

1

O、⊙

2

O上，过线段CD上的任意一点K，作BD

KM//，BC

KN//，点M，N分别在BC，BD上，又向BCD

∆形外方向，作BC

ME⊥，BD

BF⊥，其中E在⊙

1

O上，

F在⊙

2

O上；证明：KF

KE⊥．

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题答案

1、答案：.

201711-

解：由

1

11)

1(1)

1).(1(1

)1(11

+-

=+-+=+++=+++k k

k k k k k k k k k

k k k 可得.

2、答案：8

2

5解

4

1

21)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,

8

2

582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=

+-+=+x x x x x x x x 3、答案：3

解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a ）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方

体顶点组成，其体积为.313

,333

3==a a a ，则令4、答案：

2

2

21或

．解：建立坐标系，设椭圆的方程为),

0,(),0,(),0(12,12,122

22b B a A b a b

y a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,222

2

,1b a c c

a l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：

（1）、上，的对称点在右准线关于c

a x c F a A 2

21)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、

上，的对称点在右准线关于c

a x c F B 2

21)0,()b ,0(=由

横坐标

.

2

2,202===+a c e c c a 得5、答案：5．

解：首先，

.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即

0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因0>y ,则,5≥y 此值在求解）

（也可以令

时取得θtan 2

1

.5

1==

x x .6、答案：2

1

3-n ．

解：令0=x ，得10=a ,再令1=x ，得n

n a a a a 32210=++++ ,又令1-=x ，得

12210=+++-n a a a a ，所以2

1

32642-=++++n n

a a a a .

7、答案：

65

1．解：按分母分段，分母为1+k 的分数有k 个，因

2080265

64,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即65

1

.

8、答案：120

=n 解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，

9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，a -10这a -11个数字的任意一个值，而在a ,b