数列知识点大全和经典试题的解题方法归纳
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G = 前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法（2）错位相减法如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 1x ≠时，()()2111n n n x nx S x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… 温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
数列知识点归纳总结及题型
数列知识点归纳总结及题型
数列是数学中的一个重要概念，它涉及到许多知识点和题型。
以下是数列知识点的归纳总结和常见题型的解答方法。
1. 数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每个数都叫这个数列的项。
数列的一般形式:,,,,,,简记作。
2. 数列的通项公式：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
3. 数列的分类：按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分：单调数列 (递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
4. 数列的前项和与通项的关系：已知数列的前 n 项和，求数列的通项公式。
5. 数列的常见题型：数列求和、数列求解、数列排序、数列类比等。
6. 数列的函数特征：数列实质上是定义域为正整数集 (或它的有限子集) 的函数当自变量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值。
7. 数列的图像表示：数列可以用图像来表示，每个图像都是由一组数据点构成的。
数列的图像可以反映数列的性质和规律。
综上所述，数列是数学中的一个重要概念，它在数学解题中有着广泛的应用。
掌握数列的概念、通项公式、分类、前项和与通项的关系、常见题型、函数特征和图像表示等知识点，对于解决数列问题有
很大的帮助。
数列知识点总结及题型归纳总结
数列知识点总结及题型归纳一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作 a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项)，在第二个位 置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作a ； 数列的一般形式： a 1， a 2， a 3 ，……， a n ，……，简记作 {a n } 。
例：判断下列各组元素能否构成数列(1)a, -3, - 1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。
(2)通项公式的定义：如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ， 2 ， 3 ，4， 5 ， …1 1 1 1 ②： 1，，，， …2 3 4 5数列①的通项公式是 a n = n ( n 共 7， n = N + )，数列②的通项公式是 a n = n( n = N + ) 。
说明：①{a n } 表示数列， a n 表示数列中的第 n 项， a n = f (n ) 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，a n = (-1)n =〈(k =Z)；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……(3)数列的函数特征与图象表示：序号：1 项 ： 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集 N + (或它的有限子集)的函数 f(n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值 f(1), f(2), f(3), ……， f(n) ，……．通常用 a n 来代替 f (n ) ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列 a n = 2n+ 1 的图像.(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
数列知识点及常用解题方法归纳总结
数列a ，a ，…，a ，…，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列12n a ，a ，…，a ，…，与集合{ a ，a ，…，a ，…，}不同，差别有两点：数12n 12n 列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq ， aq 2-， a ，aq ，aq ，…；1-2⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq ， aq 3-， aq ，aq ，…．1-35．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a ≠0，因为当a = 0时，虽有a = a · a 成立，但{an n 2n 1-n 1+n }不是等比数列，即“b = a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；n2对比等差数列{a }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点n 同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．数列基础知识定时练习题（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（ ） )1(+n n （A ）380（B ）39（C ）35（D ）232．在等差数列中，公差，，则的值为（ ）}{n a 1=d 8174=+a a 20642a a a a ++++L（A ）40（B ）45（C ）50（D ）553．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ）（A ）1997（B ）1999（C ）2001（D ）20034．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）1. A2.B3.D4.C5.D6.D7.B解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 8.B解：在等差数列中，已知∴ d=3，a 5=14，=3a 5=42，选B.{}n a 1232,13,a a a =+=456a a a ++9.C解：，故选C.10. D3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a 解：由互不相等的实数成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由可得,,a b c 310a b c ++=。
高中理科数学数列知识点和解题方法大全
一、高中数列知识点总结 (2)1. 等差数列的定义与性质 (2)2. 等比数列的定义与性质 (3)二解题方法 (3)1 求数列通项公式的常用方法 (3)（1）求差（商）法 (3)（2）叠乘法 (4)（3）等差型递推公式 (4)（4）等比型递推公式 (4)（5）倒数法 (5)2 求数列前n项和的常用方法 (5)(1) 裂项法 (5)（2）错位相减法 (6)（3）倒序相加法 (6)一、高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.（7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122nn a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x=+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x xxf x fx x x xx⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422 f f f f f f f⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
数列知识点归纳总结及题型
数列知识点归纳总结及题型数列是数学中一个重要的概念，也是高中数学中的重点内容之一。
它主要研究数字序列和它们之间的关系，包括等差数列、等比数列、递推数列等。
下面对数列知识点进行归纳总结：1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列起来的一串数。
2. 数列的表示方法：通项公式、递推公式、等差数列、等比数列等。
3. 等差数列：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等，则称这个数列为等差数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
4. 等比数列：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之比相等，则称这个数列为等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5. 递推数列：递推数列是根据已知的一些项的值求出其后继项的一类数列。
6. 数列的性质：有限数列具有有限项、无限数列具有无限项；等差数列中任意三项都可以构成一个等差数列；等比数列中任意三项都可以构成一个等比数列。
7. 数列求和公式：等差数列的前n项和为Sn=[n(a1+an)]/2；等比数列的前n项和为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
下面对数列考试题型进行归纳总结：1. 求某个位置上的项数或值。
2. 判断一个数列是等差数列还是等比数列，然后求出通项公式。
3. 求等差数列或等比数列的前n项和。
4. 通过已知的一些项的值来求递推数列的后继项。
5. 应用数列知识解决实际问题，如财务上的利润、收益等问题。
以上就是数列知识点和考试题型的总结。
在学习数列时，需要掌握基本概念和性质，熟练掌握求解各种类型的数列题目，才能够应对各种考试题型。
数列知识点及典型题分析
数列的概念与简单表示法知识要点梳理知识点一：数列的概念⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.)⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. (如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….)⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点三：数列的通项公式与前项和1. 数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：的通项公式为（）；的通项公式为（）；的通项公式为（）；注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列的前项和数列的前项逐个相加之和：；当时；当时，，.故.知识点四：数列与函数的关系数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
数列题型及解题方法归纳总结
（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。
（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
（8）当遇到 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
① ；② ；
③ ， ；
④ ；⑤ ；
(4)递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）
由上题的解法，得： ∴
(5)递推式为
思路：设 ,可以变形为： ，
想
于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
求 。
(6)递推式为Sn与an的关系式
关系；（2）试用n表示an。
∴
∴ ∴
上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。
∴x=1ogak，y=logbk，z=logck
∴b2=ac∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）
数学5（必修）第二章：数列
一、选择题
1．数列 的通项公式 ，则该数列的前（）项之和等于 。
A． B． C． D．
2．在等差数列 中，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
3．在等比数列 中，若 ，且 ，则 为（）
数列知识点及经典结论总结
数列知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321. 已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). （1） 等差数列的判断方法：a 定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
b 中项法： a a a n n n 212+++=⇔{}a n为等差数列。
c 通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
d 前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。
（2） 等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
数列知识点与常用解题方法归纳总结
数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d ( d为常数 ) ， an a1n 1 d等差中项： x，A ， y成等差数列2A x ya1a n n n n1前 n项和 S n na12d2性质：a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列；S n，S2 n S n，S3n S2n⋯⋯仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n， T n为前 n项和，则amS2m1；b mT2 m1（ 5） a n为等差数列S n an2bn（ a， b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出 a n中的正、负分界项，即：当a10， da n00，解不等式组可得 S n达到最大值时的 n值。
a n10当a10， d0，由a n0可得 S n达到最小值时的 n值。
a n10如：等差数列 a n， S n18，a n an 1an 23，S31，则 n（由 a n an 1an 2 3 3a n 13，∴ a n 11又 S a1a3 · 3 3a2，∴a21313 211 na 1a n n a 2an 1· n318n 27）∴ S n222二、等比数列的定义与性质定义： an1q （ q 为常数， q0）， a n a 1 q n 1a n等比中项： x 、G 、 y 成等比数列G 2 xy ，或 Gxyna 1 (q 1)前n 项和： S na 1 1q n 1)（要注意 ! ）1(qq性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a na p ·a q（ 2）S n ，S 2n S n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、 由S n 求a n ；（n1时， a 1 S 1 ，n2时， a nS n S n 1）3、求差（商）法如： a n 满足 1a 112 a 2⋯⋯1n a n2n 512 221解： n1时， 2a12 1 5，∴ a 114n 2 时，11 a 2⋯⋯1an 12n 1 522a1222 n 112 得：1a n 2 ， ∴ a n2n 1， ∴ a n14 (n 1)2n 1(n2)2 n［练习］数列 a n 满足 S nS n 15a n 1 ， a 14，求 a n3（注意到 a n 1S n 1 S n 代入得：S n 14S n又 S 1 4，∴ S n 是等比数列， S n4 n24、叠乘法例如：数列 a n 中， a 1an 1n3，a nn ，求 a n1解： a 2 · a 3 ⋯⋯ a n1 ·2 ⋯⋯ n 1 ，∴ a n1a 1a 2an 123na 1 n又 a 13，∴ a n3 n5、等差型递推公式由a na n 1 f (n) ，a 1 a 0 ，求 a n ，用迭加法n 2时， a 2a 1 f (2)a 3 a 2f (3) 两边相加，得：⋯⋯⋯⋯a na n1f (n)a n a 1 f (2) f ( 3) ⋯⋯ f ( n)∴a na 0f (2) f (3) ⋯⋯f (n)［练习］数列 a n ， a 1 1， a n 3n 1a n 1 n 2 ，求 a n（ a n13n1 ）26、等比型递推公式a n ca n 1d c 、 d 为常数， c0， c 1， d 0可转化为等比数列，设 a n xc a n 1xa n ca n 1 c 1 x令 (c 1)xd ，∴ xdc 1∴ a ndd1是首项为 a 1， c 为公比的等比数列cc 1∴ a nd a 1c d · c n 1c 11∴ a na 1d c n 1d［练习］数列 a n 满足 a 19， 3a n 1a n 4，求 a n4n 1（a n81）37、倒数法例如： a 11， a n 12a n，求 a n1a n 2 1 1 a n， 由已知得：2 a n2a n 12a n11 1 ，1为等差数列，1，公差为1a n2a na 12an 11 1 n 1 ·1 1n 1， ∴ a n2n1a n2 2 三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
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n 2时，a n Sn Sn1 …… 3·4 n1
a n ca n1 d c、d为常数，c 0，c 1，d 0
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可转化为等比数列，设a n x c a n1 x
例如：数列a n 中，a1
3，
a n1 an
n n 1 ，求an
a n ca n1 c 1x
解： a 2 · a 3 …… a n 1 · 2 …… n 1 ，∴ a n 1
a1 a2
a n1 2 3
n
a1 n
又a 1
3，∴a n
3 n
5、等差型递推公式
由a n a n1 f (n)，a1 a 0，求a n ，用迭加法
令(c 1)x d，∴x d c1
（3）形如 an1 ank 的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
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建议收藏下载本文，以便随时学习！ （8）当遇到 an1
an1
d或 an1 an1
q 时，分奇数项偶数项讨论，结果
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
可能是分段形式。 数列求和的常用方法：
2、 由S n 求a n
∴a n
c
d
1是首项为a
1
c
d ，c为公比的等比数列 1
∴a n
c
d 1
a1
c
d
1
·c
n
1
n
2时，a 2 a3
a1 a2
f (2)
f
(3)
两边相加，得：
…… ……
a n a n1 f (n)
最全面数列重点知识点和常用的解题方法归纳2021
数列知识点和常用的解题方法归纳等差数列的定义与性质一、 定义： a n a nd ( d 为常数 ) ， aa 1n 1 d1等差中项： x ，A ， y 成等差数列2Ax ya 1a n n 2n n 21 前n 项和 Sna 1d性质： 是等差数列a n （1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；（ 2 ）数列 ， ， b 仍为等差数列；a 2 n a 2 n ka n1 S n ，S2 n S n ，S 3n仍为等差数列；S 2n（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d ，a ，a d ；a mb mS 2m 1 T 2 m 1（ 4 ）若 a ， b 是等差数列 S ， T 为前 n 项和，则；n n n n an2（ 5） a 为等差数列bn （ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为S n n0 的二次函数）2S n 的最值可求二次函数 项，即：bn 的最值；或者求出中的正、负分界S nana n a n 0当a 0， d 0，解不等式组可得 S n 达到最大值时的 n 值。
a n 0 1a n 0当a0， d 0，由可得 S n 达到最小值时的 n值。
a n 0 1如：等差数列 a n ， S n 18，a n a n a n 3，S 3 1，则 n1 2 （由a n a n a n33a n 3，∴ a n 11 211a 1 a 31 3又S· 3 1，∴ a 3a 32 22131 n · n a a 2n a a 1n 2n 1 ∴S nn 27）1822二、等比数列的定义与性质a n a n1 q n 1定义：q （ q 为常数，q0）， a a n1 2等比中项： x 、G 、 y 成等比数列G xy ，或 G xyna 1 (q a 1 1 q 1 q1) n前n 项和： S（要注意 !）(q 1)性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a n a p ·a q（ 2）S n ，S 2nS n ， S 3 n S 2 n仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、 公式法2、 由S n 求a n ；（n3、求差（商）法1时，aS 1 ，n 2时，aS n S n 1）1 1 1如： a n 满足 a 1 2a 2 a n2 n 5 12 n 2 2 121时， 5，∴ a 1 1n a 1 1 2 1 14解： 1 2 2 时， n a 1 a 2 a n 2 n 1 5 212 n 1 2 2 14 ( n (n 1) 2)1 n 12 得：1a n2 ， ∴a n 2， ∴a nnn 122［练习］53数列 a n 满足 S n a n 1 ， a 1 4，求 a nS n 1S n S n1 （注意到 a n S n 代入得：S n 411 n又S4 ，∴ S n 是等比数列， S n4n 12时，a3·4 n S n S n 14、 叠乘法a n a nnn 11 例如：数列 中， a 13，，求 a na n a 2 a 1a 3 a 2a n a n 3 n1 23n 1 a na 11 n·· ，∴ 解：2 n 1 又a3，∴ a n5、等差型递推公式由aa n f (n) ，a 1a 0 ，求a n ，用迭加法1 2 时， a 2a 3 n a 1 a 2f (2) f (3)两边相加，得：a na n f (n)1 a n a 1 f (2) f ( 3) f ( n ) ∴a n［练习］a 0f (2) f (3)f (n)n 1数列 a n ， a 1 1， a n 2 ，求 a n3a n n 1 1 2 n（ a n1 ）36、等比型递推公式d c 、 d 为常数，c 0， c 1，d a nca n 01 可转化为等比数列，设a nxc a n x1a n ca n c 1 x1d 令 (c d ，∴ x1)xc 1ddc 1 ∴ 是首项为 ， c 为公比的等比数列a na 1c 1d d n 1∴a n · ca 1c 1c 1d d n 1∴a n a 1cc 1c 1［练习］数列 a n 满足 a 19 ， 3a n 4 ，求 a na n 1 n 14 3（a n81）7、倒数法2a n a na n2 a n 2 11 2 1a n例如： 1， a n ，求 a n ， 由已知得： a 112 a n 11 a n1 a 11 21 1 1 2为等差数列，1，公差为∴，a n a n1 21a n1 21 21 ·， ∴a n1n n 1n 1三、 求数列前 n 项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
数列知识点及常用解题方法归纳总结
数列知识点及常用解题方法归纳总结一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 11000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
数列知识点和常用的解题方法归纳
数列知识点与常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义及性质 0的二次函数〕 项，即：二、等比数列的定义及性质 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差〔商〕法解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴ ［练习］ 4、叠乘法 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 5、等差型递推公式 ［练习］6、等比型递推公式 ［练习］7、倒数法三、 求数列前n 项与的常用方法 1、公式法：等差、等比前n 项与公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之与，使之出现成对互为相反数的项。
解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠［练习］3、错位相减法：4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再及原来顺序的数列相加。
［练习］例1设{a n }是等差数列，假设a 2=3，a 7=13，那么数列{a n }前8项的与为〔 〕A ．128B ．80C ．64D ．56 〔福建卷第3题〕略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的与为64，故应选C ．例2 等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，那么7a =〔 〕A ．64B ．81C ．128D ．243 〔全国Ⅰ卷第7题〕答案：A ．例3 等差数列{}n a 中，26a =，515a =，假设2n n b a =，那么数列{}n b 的前5项与等于〔 〕A ．30B ．45C ．90D ．186 〔北京卷第7题〕略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项与等于90，故答案是C ．例4 记等差数列的前n 项与为n S ，假设244,20S S ==，那么该数列的公差d =〔 〕A ．2B ．3C ．6D ．7 〔广东卷第4题〕 略解：∵422412,3S S S d d --===,应选B. 例5在数列{}n a 中，，212n a a a an bn +++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，那么ab = ．〔安徽卷第15题〕答案：－1．例6 在数列{}n a 中，12a =， ，那么n a =〔 〕A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++〔江西卷第5题〕 答案：A ．例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，那么通项n a = ___________．〔四川卷第16题〕此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数一样是找到方法的突破口．略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦()()111122n n n n n -+=++=+，故应填+1．例8 假设(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，那么展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 (重庆卷第10题)答案：B ．使用选择题、填空题形式考察的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于根底知识与根本方法的考察，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考察考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考察由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8那么考察二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9 ｛an ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +〕〔n ∈N*〕在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)假设数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2na ，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. 〔福建卷第20题〕略解：〔Ⅰ〕由，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+〔b 2-b 1〕+b 1=2n -1+2n -2+…+2+1=2n -1．∵. b n •b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n+1-1)2= -2n ＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．对于第〔Ⅱ〕小题，我们也可以作如下的证明： ∵b 2=1,b n·b n +2- b21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)-b 21+n =2n +1·b n +1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n 〔b n +1-2n +1〕=2n 〔b n +2n -2n +1〕=2n 〔b n -2n 〕=…=2n 〔b 1-2〕=-2n <0，∴ b n -b n +2<b 2n +1.例10 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．〔Ⅰ〕设．证明：数列{}n b 是等差数列；〔Ⅱ〕求数列{}n a 的前n 项与n S ．〔全国Ⅰ卷第19题〕 略解：〔Ⅰ〕1n n b b +-===22n n =1，那么{}n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．〔Ⅱ〕01211222(1)22n n n S n n --=+++-+，12121222(1)22n n n S n n -=+++-+．两式相减，得01121222221n n n n n S n n -=----=-+=(1)21n n -+．对于例10第〔Ⅰ〕小题，根本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全〞的错误．第〔Ⅱ〕小题的“等比差数列〞，在高考数列考题中出现的频率很高，求与中运用的“错项相减〞的方法，在教材中求等比数列前n 项与时给出，是“等比差数列〞求与时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考察等差数列、等比数列等根本知识，考察转化及化归思想，考察推理及运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，及理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维与逻辑思维为主的特点不同；文科试卷那么侧重于根底知识与根本方法的考察，以考察具体思维、演绎思维为主．例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项与为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 及n b ； (Ⅱ)求与：．〔江西卷第19题〕略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有22233(6)64,(93)960.S b d q S b d q =+=⎧⎨=+=⎩解之，得或(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=．“裂项相消〞是一些特殊数列求与时常用的方法．使用解答题形式考察数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项与的一般方法，并且往往不单一考察数列，而是及其他内容相综合，以表达出对解决综合问题的考察力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例12 设数列{}n a 的前n 项与为22n n n S a =-，〔Ⅰ〕求14,a a ；〔Ⅱ〕证明： {}12n n a a +-是等比数列；〔Ⅲ〕求{}n a 的通项公式．〔四川卷第21题〕略解：〔Ⅰ〕∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，11122n n n a S +++=+112n n n a S ++=++得，112n n n a S ++=+ ①∴222122226,8a S S =+=+==，3332328216,24a S S =+=+==，443240a S =+=．〔Ⅱ〕由题设与①式知，()()11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴ {}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．此题重点考察数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例13数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos )4sin ,1,2,3,,22n n n n a a n ππ+=++=〔I 〕求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕设1321k k S a a a -=+++，242k k T a a a =+++，)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．〔湖南卷第20题〕略解：〔I 〕22311(1cos )4sin 44,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *-∈=时，22212121(21)(21)[1cos ]4sin 4,22k k k k k a a a ππ+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当2()n k k N *∈=时，22222222(1cos )4sin 2,22k k k k k a a a ππ+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2().nn n n k k N a n k k N **⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩ 〔II 〕由〔I 〕知，于是，10,W =21,W =.下面证明: 当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，11(1)(1)(3)0,222k k k k kk k k k k k W W +-+---=-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时， 1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.。
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第一部分：数列的基本概念1．理解数列定义的四个要点
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a 与项数n 是两个根本不同的概念．
n ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．
2．数列的通项公式
一个数列{ a }的第n 项a 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a =
n n n 来表示，就把这个公式叫做数列{ a }的通项公式。
若给出数列{ a }的通项)(n f n n 公式，则这个数列是已知的。
若数列{ a }的前n 项和记为S ，则S 与a 的关
n n n n 系是：a =。
n ⎩⎨⎧≥-=-2.1,
11n S S n S n n
第二部分：等差数列
1．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a －a
n (n ≥2)或d = a －a (n N )．
1
-n 1+n n ∈+⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n N ，a －a = d (n ≥2)或
∈+n 1-n d = a －a 都成立．一般采用的形式为：
1+n n ①当n ≥2时，有a －a = d (d 为常数)．n 1-n ②当n 时，有a －a = d (d 为常数)．+∈N 1+n n ③当n ≥2时，有a －a = a －a 成立．
1+n n n 1-n
集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq ， aq ， 2-1-a ，aq ，aq ，…；
2⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq ， 3-aq ， aq ，aq ，…．
1-35．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a ≠0，因为当a = 0时，虽有a = a · a 成立，但{a }不n n 2n 1-n 1+n n 是等比数列，即“b = a · c”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数2列{a }，“2b = a + c”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
n 6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
数列基础知识定时练习题
（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项
（ ） )1(+n n （A ）380
（B ）39
（C ）35
（D ）23
2．在等差数列中，公差，，则的值为（ ）}{n a 1=d 8174=+a a 20642a a a a ++++L
（A ）40
（B ）45
（C ）50
（D ）55
3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这
套书的年份是（
）
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。
满分12分。
1. A
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.B
解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 8.B
解：在等差数列中，已知∴ d=3，a 5=14，=3a 5=42，选B.{}n a 1232,13,a a a =+=456a a a ++9.C。