2019年山东省高中数学奥林匹克夏令营测试试题
2019年高中数学夏令营获奖名单
赵奕杰
历城二中
胡玉帅
临邑一中
解文浩
五莲一中
李青天
广饶一中
宋佳昕 济宁孔子国际学校
谭金生
烟台二中
王圣远 烟台开发区高级中学
王仝
东平高级中学
王子豪
泰安一中
吴明轩
郓城一中
袁朔星 烟台开发区高级中学
张瑞哲
山东省实验
张阳
山师附中
赵嘉宁
日照一中
邹清源
威海二中
董保国
庆云一中
郝钰涵
禹城一中
焦方亮
临沂一中
刘福龙
城阳一中
201919779 201919176 201919206 201919247 201919426 201919470 201919527 201919532 201919555 201919569 201919676 201919729 201919747 201919768 201919817 201919077 201919160 201919202 201919292 201919323 201919520 201919062 201919209 201919353 201919371 201919382 201919384 201919414 201919425 201919447 201919498 201919559 201919579 201919605
潍坊 青岛 临沂 枣庄 济南 临沂 济南 青岛 临沂 东营 济南 临沂 东营 烟台 济南 枣庄 临沂 临沂 德州 青岛 济南 济南 菏泽 烟台 烟台 济南 东营 济南 枣庄 青岛 青岛 临沂 泰安 烟台
201919637 201919005 201919172 201919295 201919409 201919652 201919686 201919778 201919108 201919751 201919002 201919238 201919322 201919505 201919576 201919121 201919141 201919318 201919418 201919509 201919538 201919561 201919774 201919663 201919026 201919074 201919102 201919152 201919531 201919698 201919785 201919117 201919213 201919217
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
高中奥赛一试题及答案
高中奥赛一试题及答案【试题一】数学问题题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)。
【答案】我们可以使用数学归纳法来证明这个等式。
首先，当 \( n = 1 \) 时，左边等于 \( 1^3 = 1 \)，右边等于 \( (1 \cdot (1+1)/2)^2 = 1 \)，等式成立。
假设当 \( n = k \) 时等式成立，即 \( 1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \)。
现在我们需要证明当 \( n = k+1 \) 时等式也成立。
将 \( k+1 \)代入等式左边，我们得到：\[ 1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 \]根据归纳假设，我们可以将前 \( k \) 项替换为\( \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \)，所以：\[ \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 \]我们需要证明这个表达式等于\( \left(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\right)^2 \)，即：\[ \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 =\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2 \]通过展开和简化，我们可以证明左边等于右边，从而完成归纳步骤。
【试题二】物理问题题目：一个质量为 \( m \) 的物体从静止开始，以加速度 \( a \)沿直线运动。
求物体在时间 \( t \) 内通过的位移 \( s \)。
【答案】根据匀加速直线运动的位移公式，物体在时间 \( t \) 内通过的位移\( s \) 可以由以下公式给出：\[ s = ut + \frac{1}{2}at^2 \]其中 \( u \) 是初速度，由于物体从静止开始，所以 \( u = 0 \)。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
(因为
C325
≥
max L(x, y)).
(x,y)∈X
下面构造例子说明 C325 是可以取到的最好的常数:
设 S = {1, 2, · · · , 35}, 考虑置换 f = (12 · · · 35), 即:
f (1) = 2, f (2) = 3, · · · , f (34) = 35, f (35) = 1,
极值可以在满足一些对称性的序列 (ai) 上取到. 毋庸置疑，满足题目条件的数列集合是闭集，因此两个
小题中的目标函数（都是连续的）确实能取到最大值.
（1）设序列
(ai)
使
a+b+c+d
取到最大，令
ci
=
ai
+
ai+10
+ ai+20 4
+ ai+30 ，下标模
40
理解.
根
据上一段，ci 满足题目条件，而且（1）中目标函数在序列 (ai) 和 (ci) 上取值相同，因此可以只对具有
2019 年中国数学奥林匹克试题解析
6
注意到: L(x, y) ≤ L(f1(x), f1(y)) + 1, 从而
L(x, y) ≤ L (fk−1(· · · (f1(x))), fk−1(· · · (f1(y)))) + (k − 1) = k ≤ |X| = C325,
所以
m
≥
C325
时总是可以办到的
（解题 ： ）
题 2. 已知：△ABC 中，AD 为角平分线，E 为 AD 上一点，EF 、EG 为 △ABD、△ACD 外接圆 切线，F 、G 分别为切点，CF 交 BG 于 J. 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG、DE 于 H、I、K.
2019年高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营
F1
且倾斜角为
α
的直线
l
与
C
交于
A, B
两点．若
cos α =
5, 13
5F# 1A» = 8B# F»1 ，且
F2
到直线
AB
的距离为
72 ． 13
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 P, Q 是 C 的右准线上的两点，且 | P Q| = 3 ，求 △F1P Q 内切圆圆心 M 的轨迹方程．
2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（一）
．
解析 略．
9. 已知 f (x) = loga x(a > 0, a ̸= 1), g(x) = x2 − 6x + 9 ，若存在唯一实数 x 使得 f (g(x)) = g(f (x)) = 0 ， 求实数 a 的值．
1
解析 略．
2019 中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题 (三)
10. 已知抛物线 Γ : y2 = 2px(p > 0) ，焦点为 F ，过 Γ 外一点 Q（不在 x 轴上）作 Γ 的两条切线，切点分 别为 A, B ，直线 QA, QB 分别交 y 轴于 C, D 两点， △QAB 的外心为 M ．证明： F M 为 △F CD 外接圆的切线．
倍数的概率为 ______.
二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9. 若复数 z1 , z2 满足 |z1 | < 1,|z2| < 1, z1 + z2 为实数，且 z1 + z2 + z1z2 = 0 ．求 z1z2 的取值范围．
10. 已知数列 {an} 满足 a1 = 1,
Γ
的
【精品】数学奥林匹克竞赛高中训练题集【共36份】
奥林匹克数学竞赛高中训练题集
目 录
数学奥林匹克高中训练题（01） ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题（02） ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题（03） .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题（04） ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题（05） ...................................................................................................
奥赛精选试题及答案高一
奥赛精选试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. -1D. 5答案：B2. 一个等差数列的前三项分别是1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 13B. 10C. 12D. 11答案：A3. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C，求角C的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 一个圆的半径是5，求该圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. -5D. 5答案：C6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，求该数列的公比。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. √7D. √13答案：A8. 一个圆的直径是10，求该圆的周长。
A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π答案：B9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 4答案：A10. 一个等差数列的前三项分别是5, 9, 13，求该数列的公差。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值。
_______答案：012. 一个等差数列的前三项分别是3, 7, 11，求该数列的第五项。
________答案：1513. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A=2B，B=2C，求角A的大小。
________答案：90°14. 一个圆的半径是8，求该圆的面积。
________答案：64π15. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(3)的值。
________答案：1三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且f(1)=2，f(-1)=4，f(0)=1，求a、b、c的值。
数学奥林匹克高中训练题(19)及答案
数学奥林匹克高中训练题(19)第一试、选择题(本题满分 36分，每小题6分) 1.(训练题 24)对于每一对实数x,y ,函数f 满足方程f (x • y)「f (x)「f (y) -T xy ，且fl 仁•那么，f(n) =n(n =1)的整数n 的个数共有(B)个. (B)1 (C)2 (D) (A)0 2 .(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为 (A)72 (B)96 (C) 48 (D) 3 .(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有 5名队员参加，比赛记分办法是： 几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是 3 (A).以上都不对队员在比赛中获第(C).27 (A)29 (B)28 4.(训练题24)现有下面四个命题： ① 底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. ② 底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ③ 有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台. ④ 有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱. 其中，正确的命题的个数是 (A) 3 (B) (D). 2 (C) (C) (D) (D) 13 5.(训练题24)设f : N > N , 且对所有正整数 有 f(n 1) f(n), f( f( rj) 3n .f (1997)的值为(C). (A)1997 (B)1268 (C)3804 (D)5991-训练题24唱爲:;胯豐 的解(x, y)共有(B)组. (A)4 二、填空题 (B)2 (C)1 (D) (本题满分 54分，每小题9分) 1.(训练题 24)数列｛a n ｝的前 14 项是 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33,34, 35, 38，….按此规律，则2.(训练题24)函数f (x)二(長- ~^)( J x T + r 1——)丄的值域是v xJ x —1 x(0,1)3.(训练题24)方程x^1 x ； /I 2 x.二 1 远的解是—2 ■ 36 714.（训练题24）若方程x2（^2i）x 3m -i =0（m R）有一实根、一虚根，则此虚根是2i—25 .（训练题24）平面上有四点A, B, C, D,其中代B为定点，且AB = J3,C, D为动点，且AD DC =|BCT ，记S咎BD=T为也BCD的面积.贝U S2+T2的取值范围是2、「3 -3 2 2 7S2T2：4 811 1 16.（训练题24）使不等式——- - a-1995—对一切自然数n都成立的最小自然数n+1 n+2 2n+1 3a 是1997 ______ .第二试2 2一、（训练题24）（本题满分25分）已知F1, F2是椭圆笃=1（a b 0）的左、右焦点，c为半焦距，a b弦AB过焦点F2•求■ F1AB的面积的最大值.n、（训练题24）（本题满分25分）若X j・0,二人=1, x, x-i, n，求证:三、（训练题24）（本题满分35分）已知ABC是等腰三角形，AB=AC,CD是腰AB上的高线，CD1的中点为M,AE _ BM于E, AF _CE于F •求证：AF _丄AB .3四、（训练题24）（本题满分35分）46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人•存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题•求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题.。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析
题 5. 数列 {an } 定义如下: 正整数 a1 > 1, an+1 = an + P (an ), n ≥ 1, 其中, P (x) 表示正整数 x 的最 大素因子. 证明: 数列 {an } 中有完全平方数.
题 6. 是否存在正实数 a1 , a2 , · · · , a19 ，使得多项式 P (x) = x20 + a19 x19 + · · · + a1 x + a0 无实数根， 但是任意调换两个系数 ai , aj 形成的新多项式都有实根.
（1）设序列 (ai ) 使 a + b + c + d 取到最大， 令 ci = 根
，下标模 40 理解.
据上一段， ci 满足题目条件， 而且（1） 中目标函数在序列 (ai ) 和 (ci ) 上取值相同， 因此可以只对具有
周期 10 的序列考虑这个最大值. 此时 a = b = c = d.
a20+k = − k (0 ≤ k ≤ 10), a30+k = a40 − k = − − k (0 ≤ k ≤ 5)
时取等.
（解题人：龚 固）
题 2. 已知： △ABC 中， AD 为角平分线， E 为 AD 上一点， EF 、EG 为 △ABD 、△ACD 外接圆 切线， F 、G 分别为切点， CF 交 BG 于 J . 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG 、DE 于 H 、I 、K .
(a29+k + a41 − k ) + (a15 + a35 )
≥ (x − 2k) + (x − 2k) + (x − 18 − 2k) + (x − 20)
高中奥赛高一试题及答案
高中奥赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列关于函数的描述中，不正确的是：A. 函数是数学中的基本概念之一B. 函数可以表示为y=f(x)C. 函数的值域是其定义域的子集D. 函数的图像是一条直线2. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 以下哪个选项是复数的代数形式：A. a+biB. a+bC. a-bD. a/b4. 一个圆的半径为5，其面积为：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π5. 函数f(x)=x^2-2x+1的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 26. 以下哪个选项是等比数列：A. 1, 2, 3, 4B. 2, 4, 8, 16C. 1, 3, 5, 7D. 2, 3, 5, 77. 以下哪个选项是二次方程的根：A. 2x^2-4x+1=0B. x^2-2x+1=0C. x^2-4x+4=0D. x^2+2x+1=08. 以下哪个选项是向量的数量积：A. a·b = abB. a·b = |a||b|C. a·b = |a||b|cosθD. a·b = |a||b|sinθ9. 以下哪个选项是三角函数中的正弦函数：A. sin(x)B. cos(x)C. tan(x)D. cot(x)10. 以下哪个选项是矩阵的转置：A. [a_{ij}]^T = [a_{ji}]B. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]C. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]^2D. [a_{ij}]^T = [a_{ij}]^3二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
2. 集合{1,2,3}的补集在全集U={1,2,3,4,5}中是________。
3. 复数z=3+4i的模长是________。
2019年全国高中数学联赛山东省预赛试题
2019全国数学联赛山东省预赛试题一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知}1)2(log |{23≤-=x x x A ，),(],(+∞-∞=b a B 其中b a <，如果=B A R ，那么b a -的最小值是2、设函数b ax x x f ++=2)(，对于任意的R ∈b a ,，总存在]4,0[∈t ，使得m t f ≥|)(|成立，则实数m 的最大值是3、已知虚数数z 满足z z w 1+=为实数且21<<-w ，zz u +-=11，那么||2u w -的最小值是4、空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足CD BC AB ==,若︒=∠=∠=∠36CDA BCD ABC ，那么直线AC 与直线BD 成的角的大小是5、数列}{n a 中，21=a ，192-=a ，n n n a a a -=++||12*)(N n ∈，那么=2019a6、设函数x x x f cos )(= ])2,0[(π∈x ，那么)(x f 的最大值是 7、实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是8、ABC ∆中，16=AB ，55=BC ，9=CA ，在ABC ∆外部、到点B 或C 距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是10、整数n 使得多项式23)(3---=n nx x x f 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：正方形ABCD 边长为1，点M 是边AD 的中点，以M 为圆心以AD 为直径作圆Γ，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆Γ相切.求：CBE ∆的面积.12、（本题15分）已知9324+-n n 是素数，求正整数n 的所有可能值.13、（本题20分）已知d c b a ,,,都是区间]2,1[上的实数，求证：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤----14、（本题20分）设正整数1021,,,a a a 均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组1021,,,a a a 的积1021a a a 的和.2019全国数学联赛山东省预赛试题（答案）一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知}1)2(log |{23≤-=x x x A ，),(],(+∞-∞=b a B 其中b a <，如果=B A R ，那么b a -的最小值是答案：1-2、设函数b ax x x f ++=2)(，对于任意的R ∈b a ,，总存在]4,0[∈t ，使得m t f ≥|)(|成立，则实数m 的最大值是答案：23、已知虚数数z 满足z z w 1+=为实数且21<<-w ，zz u +-=11，那么||2u w -的最小值是 答案：14、空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足CD BC AB ==,若︒=∠=∠=∠36CDA BCD ABC ，那么直线AC 与直线BD 成的角的大小是答案:︒90或︒365、数列}{n a 中，21=a ，192-=a ，n n n a a a -=++||12*)(N n ∈，那么=2019a答案：176、设函数x x x f cos )(= ])2,0[(π∈x ，那么)(x f 的最大值是 答案：162π7、实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是答案：28、ABC ∆中，16=AB ，55=BC ，9=CA ，在ABC ∆外部、到点B 或C 距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是 答案：495554+π 9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是 答案：9245 10、整数n 使得多项式23)(3---=n nx x x f 可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n 的可能值的和为答案：192二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：正方形ABCD 边长为1，点M 是边AD 的中点，以M 为圆心以AD 为直径作圆Γ，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆Γ相切.求：CBE ∆的面积.解：设直线CE 与圆Γ相切于点N ，联结ME ，MN ，MC在MNC Rt ∆和MDC Rt ∆中，MN MC =，MC MC =，所以MDC MNC ∆≅∆，故DMC NMC ∠=∠.同理AME EMN ∠=∠.所以︒=∠90EMC .故 MN 是EMC Rt ∆斜边上的高，所以NC MN NM EN =，所以41=EN 所以41=AE ，43=BE 所以 CBE ∆的面积等于83 12、（本题15分）已知9324+-n n 是素数，求正整数n 的所有可能值. 解：9324+-n n )33(3)3(22+-++=n n n n所以 1332=++n n 或1332=+-n n ，解得2,1=n 将1=n ，2=n 带入检验均满足题意，所以1=n ，2=n 是所求.13、（本题20分）已知d c b a ,,,都是区间]2,1[上的实数，求证：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤---- 证明：4|))()()((|abcd a d d c c b b a ≤---- 161)()()()(2222≤-⋅-⋅-⋅-⇔da a d cd d c bc c b ab b a 由于21)(2≤-ab b a 0)21)2(2≤--⇔b a b a （ 因为]2,1[,∈b a 所以 上式成立. 同理21)(2≤-bc c b ，21)(2≤-cd d c ，21)(2≤-da a d 将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式 其中 当)1,2,1,2(),,,(=d c b a 或)2,1,2,1(时等号成立.14、（本题20分）设正整数1021,,,a a a 均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组1021,,,a a a 的积1021a a a 的和.解：考察下列10个集合：{1,20}，}19,2{，…，11}{10， 分两种情况讨论：（1）如果任意i a )10,,2,1( =i 均不等于21，则每个集合}21,{i i -)10,,2,1( =i 中必有一个1021,,,a a a 中的数，于是所求的总和为1021)1110()192)(201(=+++= S（2）如果其中某一个i a 等于21，则需要在9个集合}21,{i i -中各选一个数.假设不在{1,20}中选数,此时所求总和为1021)1110()192(21=++= S .类似讨论其他9个集合.由（1）（2）知 所求的总和为102111⨯。
山东省2019年夏季普通高中学业水平考试数学试题(含答案)
机密★启用前山东2019年夏季普通高中学业水平合格考试数学试题本试卷共4页．满分100分．考试用时90分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：球的表面积公式：S=4πR2，其中R为球的半径。
一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1．2}，B={1，3}，则A∩B=A．{1} B．{1，2} C．{1，3} D．(1，2，3)2．函数f(x)=的定义域为A．{x|x>0} B．{x|x>0，且x≠1}C．{x|x>1} D．{x|x≥0，且x≠1}3．抛掷一枚骰子，设事件A为“出现的点数为2”，事件B为“出现的点数为3或5”，则P(A B)= A．B．C．D．4．函数y=2x在[－1，2]上的取值范围是A．[，2] B．[，4] C．[1，2] D．[1，4]5．过点P(1，1)且与直线x－2y－1=0垂直的直线方程A．x+2y－3=0 B．x－2y+1=0C．2x+y－3=0 D．2x+y－1=06．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若sinθ<0，且tanθ<0，则角θ的终边在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．某学校高一、高二、高三的学生人数分别为350，400，450，为了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从上述学生中抽取一个容量为48的样本．则应抽取高一学生的人数为A．12 B．14 C．16 D．188．下列判断正确的是A．若两个平面有三个公共点，则这两个平面一定重合B．若三条直线两两平行，则这三条直线一定在同一平面内C．若三条直线两两相交，则这三条直线一定在同一平面内D．若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线一定在同一平面内9．的值是A．－B．C．－D．10．甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定11．已知向量a=(3，－2)，b=(－1，0)，则|a+3b|=A．1 B．2 C．4 D．212．某工厂1~5月份某产品的月产量y(单位：万件)与该产品的月成本x(单位：万元)的数据如下表：经检验，x、y y=0．55x+1．25，则表中实数a 的值为A．2．5 B．3 C．3．45 D．413．四个完全相同的小球，其标号分别为1，2，3，4，从中随机取出两个球，则事件“其中一球的标号为另一球标号的2倍”发生的概率为A．B．C．D．14．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列判断错误的是A．C1D1//ABB．BD1⊥CDC．AD//平面BCD1。
山东省青岛市数学奥林匹克学校2024级入学选拔考试试题(高一卷)
山东省青岛市数学奥林匹克学校2024级入学选拔考试试题（高一卷）（限时100分钟，满分120分）一．选择题：(每题4分, 共40分)（请将答案写在本题后面的表格内） 1．设a ＋b ＋c=0, abc>0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是（ ）。
（A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或12．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（ ） A . 1，-6 B. 2，-3 C.-2，-3 D. –1，6 3．下列说法正确的是（ ） A. 若a>b, 则ba 11< B. 若a<b,则a 2<b 2 C. 若b a >, c>d 则ac>bd D. 若,0<<b a 则ba 11> 4．代数式mx x +-212中无论x 取何实数时总有意义，则m 的取值范围是（ ） A m ≥1 B. m >1 C.m ≤ 1 D. m<15．若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，则x ，y 的大小关系是 （ ）A.x y = . B x y < C.x y > D.不确定的6．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 运动，x 表示点P 由A 点动身所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 函数关系的图像大致为7．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ）。
（A ）c<a<b （B ）b<c<a （C ）a<b<c （D ）c<b<a8．设实数a 、b 、c 满意a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x －a|＋|x －b|＋|x ＋c|的最小值是（ ）。
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(185)(无答案)
一、（40分）如图1，圆内接四边形的对角线与交于点，的中点为.若，证明：.
二、（40分）在中，证明：，当且仅当为正三角形时，上式等号成立.
三、（50分）求最小的两个正整数，使得为完全平方数.
四、(50分)已知是由20xx个不同正整数组成的集合,并且中任意三个不同的数均为一个非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合确定的一个三角形,表示由确定的所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次)求的最小值.
8.已知为方程的三个不同的根.则的值为.
二、解答题（共56分）
9.（16分）已知.求的最小值.
10.（20分）已知数列满足，且.求的表达式.
11.（20分）已知离心率为的椭圆的左焦点为抛物线的准线与轴的交点,右焦点也为抛物线的焦点,椭圆与抛物线在轴上方的交点为,延长,与该抛物线交于点为抛物线上一个动点,且在点与之间运动若的边长恰为三个连续的正整数,求面积的最大值.
2.已知长方体的长、宽、高分别为，为平面内的一点.则长的最小值为.
3.不等式的解集为.
4.设为的内心，且.则的大小为.
5.在平面直角坐标系中，已知为原点，点，动点在圆上运动.则的最大值为.
6.已知20xx个正整数满足，.则的所有正因子之和为.
7.设为正整数.从集合中任取一个正整数恰为方程的解的概率为（表示不超过实数的最大整数）.
——教学资料参考参考范本——
2019-2020学年度最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（185）（无答案）
_____Leabharlann 年______月______日____________________部门
第一试
1、填空题（每小题8分，共64分）
1.标号依次为的20xx个人排成一列，在他们之间做换位游戏，规定每次换位只能在相邻两人间进行.现把标号为100号与编号为1000的两人交换位置，最少要进行次换位.