(完整word版)高一数学第二学期教学
高一数学人教A版必修教案：4.3.2 对数的运算 Word版含答案
第四章指数函数与对数函数4.3 对数4.3.2 对数的运算教学设计一、教学目标1.掌握对数的运算性质及其应用。
2.掌握对数的换底公式及其应用。
二、教学重难点1.教学重点对数的运算性质和换底公式及其应用。
2.教学难点对数的运算性质和换底公式。
三、教学过程1.新课导入我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？设M=a m,N=a n,因为a m a n=a m+n,所以MN=a m+n根据对数与指数间的关系可得log a M=m,log a N=n, log a(MN)=m+n.这样，就得到了对数的一个运算性质：log a(MN)=log a M+log a N2.探索新知同样的，同学们可以仿照上述过程，由a m a n=a m-n和(a m)n=a mn,自己推出对数运算的其他性质。
于是，我们得到如下的对数运算性质。
根据课本P124例3例4加深对对数运算性质的理解。
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。
现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数,就能方便地求出这些对数。
根据对数的定义，你能用log c a,log c b表示log a b(a>0，且a≠1; b>0;c>0且c≠1)吗？设log a b=x,则a x=b,于是log c a x=log c b，根据性质(3)得xlog c a=log c b,即log a b=(a>0，且a≠1; b>0;c>0且c≠1),这就是对数换底公式。
阅读课本P125例5，加深对数的运算性质及换底公式的理解。
3.课堂练习1．计算log84＋log82等于( )A．log86 B．8 C．6 D．1答案：D [log84＋log82＝log88＝1.]2．计算log510－log52等于( )A．log58 B．lg5C．1 D．2答案：C [log510－log52＝log55＝1.]3. 求值：lg52＋lg8＋lg 5·lg 20＋(lg2)2；原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.4.小结作业小结：本节课学习了对数的运算性质和换底公式。
(完整word版)《高等数学》(下)课程教学大纲
《高等数学》（下）课程教学大纲教研室主任：王树泉执笔人：蔡俊青一、课程基本信息开课单位：经济学院课程名称：高等数学下册课程编号：101001212英文名称：Advanced Mathematics课程类型：专业基础课总学时： 72理论学时： 72 实验学时： 0学分：3开设专业：所有专业先修课程：《高等数学》(上)二、课程任务目标（一）课程任务本课程是理科院校经济管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。
通过本课程的学习，要使学生掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
（二）课程目标基本了解多元函数微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学、无穷级数和微分方程的思想方法解决应用问题。
三、教学内容和要求第六章多元函数微积分1．内容概要空间解析几何简介，多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数微分法与隐函数微分法，多元函数的极值及其求法，二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
2．重点和难点重点：多元函数的概念；偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的极值问题；二重积分的概念及其计算难点：全微分的概念；多元复合函数的求导法则与隐函数微分法；二重积分的计算。
3．学习目的与要求（1）理解多元函数的极限与连续性，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
（2）理解偏导数、全微分的概念。
（3）熟练掌握复合函数求导法；会求二阶偏导。
（4）会求隐函数的偏导数。
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。
能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。
让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。
四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体幻灯片、黑板。
七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。
此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。
这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。
（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。
然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。
高一数学人教A版必修1教案：第二章第一节指数函数第一课时 Word版含解析
第二章第一节指数函数第一课时教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f (x )＝a x 的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f (x )＝log a x 的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)，初步了解反函数的概念和f －1(x )的意义；通过实例了解幂函数的概念，结合五种具体函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点． 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担．通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时作者：路致芳导入新课思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a ，则这个数叫a 的四次方根．一个数的五次方等于a ，则这个数叫a 的五次方根．一个数的六次方等于a ，则这个数叫a 的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根．(4)用一个式子表达是，若x n ＝a ，则x 叫a 的n 次方根．教师板书n 次方根的意义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根(n －throot)，其中n ＞1且n ∈N *.可以看出数的平方根、立方根的概念是n 次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a 6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a 6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a 的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念，求一个数a 的n 次方根，就是求出的那个数的n 次方等于a ，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a 2的立方等于a 6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a 6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a 2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：①当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧ n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n 0＝0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念： 式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数． 如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考na n 表示a n 的n 次方根，等式n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理． 〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕． 解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n ＝a .n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0. 因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n ＝a .先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n 为奇数，n a n ＝a .先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1例题 求下列各式的值： (1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a －b )2(a >b )．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a>b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1下列各式中正确的是()A.4a4＝a B.6(－2)2＝3－2C．a0＝1D.10(2－1)5＝2－1.活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例23＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上)1．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的任何次方根都是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x 8；(4)6x 6y 3；(5)(x －y )2.答案：(1)2；(2)3；(3)x 2；(4)|x |y ；(5)|x －y |.3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：n a n ＝a 与(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )哪一个是恒等式，为什么？请举例说明． 活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义． 通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下．再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )．如果x n ＝a (n ＞1，且n ∈N )有意义，则无论n 是奇数或偶数，x ＝n a 一定是它的一个n次方根，所以(n a )n ＝a 恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，|a |，当n 为奇数，当n 为偶数. 当n 为奇数时，a ∈R ，n a n ＝a 恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n a n 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n a n ＝a .例如434＝3，40＝0；如果a ＜0，那么n a n ＝|a |＝－a ，如(－3)2＝32＝3，即(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )是恒等式，n a n ＝a (n ＞1，n ∈N )是有条件的．点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示，式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数．(1)当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．(2)n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n次方根用符号n a 表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)4x8；(4)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)4x8＝4(x2)4＝x2；(4)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5<a<8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5<a<8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133.5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．。
高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析
1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。
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2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程 的所有实数根；
(8)不等式 的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
广东省东莞市2013-2014学年高一下学期期末教学质量检查数学(B卷)试题 Word版含答案
东莞2013—2014学年度第二学期教学质量检查高一数学（B 卷）考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分．考试时间120分钟，不能使用计算器．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知(3,1),(,1)a b x ==-，且//a b ，则x 等于 A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 2．有下列调查方式：①某学校为了了解高一学生的作业完成情况，从该校20个班中每班抽1人进行座谈；②某班共有50人，在一次期中考试中，15人在120以上，30人在90~120分，5人低于90分．现在从中抽取10人座谈了解情况，120分以上的同学中抽取3人，90~120分的同学中抽取6人，低于90分的同学中抽取1人；③从6名家长志愿者中随机抽取1人协助交警疏导交通．这三种调查方式所采用的抽样方法依次为 A ．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 C ．分层抽样，简单随机抽样，系统抽样 D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样3．sin(2014)π=A ．1-B ．1 CD ．04．方程22220x y ax +-+=表示圆心为(2,0)C 的圆，则圆的半径r =AB ．2 CD ．4 5．右边的程序框图，如果输入三个实数a b c 、、，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中应该填入A ．?c x >B ．?x c >C ．?c b >D ．?b c > 6．如图，平行四边形ABCD 中，(2,0),(3,2)AB AD ==-，则BD AC ⋅= A ．6- B ．4 C ．9 D ．13 7．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随（第5题图）（第6题图）机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是 A ．3πB ．πC ．2πD ．3π 8．把函数()sin()6g x x π=-的图像向右平移6π个单位可以得到函数()f x 的图像，则()6f π=A ．12-B ．2C ．1-D ．1 9．由直线1y x =+上的一点向圆22(2)(1)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为A 1B ．1C D10．函数()sin 2|sin |([0,2])f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是A ．[1,1]-B ．(1,3)C ．(1,0)(0,3)-D ．[1,3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在空间直角坐标系中，已知(2,3,3),(3,1,3)A B ，则||AB = ．12．某射手射击一次击中10环，9环，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，则他射击一次命中8环或9环的概率为 ． 13．已知2tan()3πα-=，则cos 2α= ． 14．设直线0x y a -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A B 、两点，且弦AB 的长为a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）已知||2,||3,(23)(2)19a b a b a b ==-⋅+=． （1）求a b ⋅的值；（2）若()a a b λ⊥+，求λ的值． 16．（本小题满分12分）已知函数()),02f x x πϕϕ=+<<，且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式； （2）已知4(),52f πααπ=<<，求sin cos αα-． 17．（本小题满分14分）某学校对高一800名学生周末在家上网时间进行调查，抽取基中50个样本进行统计，发现上网的时间t （小时）全部介于0至5之间．现将上网时间按如下方式分成五组：第一组[0,1)，第二组[1,2)，第三组[2,3)，第四组[3,4)，第五组[4,5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求该样本中上网时间t 在[1,2)范围内的人数；（2）请估计本年级800名学生中上网时间t 在[1,2)范围内的人数；（3）若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．18．（本小题满分14分）已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：（1）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式： 1221ˆˆ,ni ii nii x y n x ybay ax xnx ==-⋅⋅==--∑∑ 参考数据：22222283787368637332224+++++=，83757865737568656360738030810⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=19．（本小题满分14分）已知(sin ,cos ),(sin ,sin )a x x b x x ==，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[,]63x ππ∈，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知圆22:(2)1M x y -+=，Q 是直线y x =上的动点，QA 、QB 与圆M 相切，切点分别为点A 、B ．（1）若点Q 的坐标为(0,0)，求切线QA 、QB 的方程； （2）若点Q 的坐标为(,),t t t R ∈，求直线AB 的方程．2013—2014学年度第二学期教学质量检查高一数学（B 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11 12．0.5 13．51314．-1或3 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）由()()23219a b a b -⋅+=，可得2244319a a b b -⋅-=．…………2分∵2,3a b ==，∴164919a b -⋅-=，…………4分∴3a b ⋅=-.…………6分（2）由()a a b λ⊥+，可得()=0a a b λ⋅+，…………8分即2=0a ab λ+⋅，…………9分由（1）及2,3a b ==,得43=0λ-， …………11分解得4=3λ. …………12分16．（本小题满分12分）解：（1）∵(0)1f ϕ==，∴sin 2ϕ=， …………2分 又∵02πϕ<<，故4πϕ=， …………4分∴())4f x x π=+.…………5分（2）∵4())sin cos 45f παααα=+=+=，∴216(sin cos )25αα+=，…………8分∴92sin cos 25αα=-，…………10分∴234(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=.…………11分又,2παπ<<∴sin cos 5αα-=. …………12分17．（本小题满分14分） 解：（1）由频率分布直方图知，上网时间在第二组)2,1[范围内的频率为：32.01)06.008.016.038.0(12=⨯+++-=f .…3分所以，该样本中上网时间在第二组的人数：1632.0502=⨯=n （人）. …………5分（2）由（1），可估计本年级上网时间t 在)2,1[范围内的频率为32.0， …………6分所以，可估计本年级学生上网时间t 在)2,1[范围内的人数为：25632.0800=⨯（人）.……8分（3）由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4人. …………9分将第三组的四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 、b 为男生， c 、d 为女生，基本事件列表如下：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，所以基本事件有6个， …………11分恰为一男一女的事件有ac ，ad ，bc ，bd ，共4个， …………13分所以，抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为：3264==P . …………14分 18．（本小题满分14分） 解：（1）由题意，837873686373736x +++++==， …………2分756575656080706y +++++==.…………4分53ˆ281281=--=∑∑==xn xy x n yx bi ii ii ，…………7分5131ˆˆ=-=x b y a，…………10分∴313155y x =+. …………11分 （2）由（1）知，当70x =时，68y =， …………13分∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2.…………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由()f x a b =⋅及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得x x x x f cos sin sin )(2+= …………2分x x 2sin 2122cos 1+-=…………3分 21)2cos 222sin 22(22+-=x x21)42sin(22+-=πx …………4分令242πππ+=-k x ，Zk ∈，解得832ππ+=k x ，Z k ∈. …………5分所以，()f x 的对称轴方程为832ππ+=k x ，Z k ∈. …………6分（2）∵]3,6[ππ∈x ，∴1254212πππ≤-≤x . …………7分 又∵x y sin =在]2,0[π上是增函数，∴125sin)42sin(12sinπππ≤-≤x . …………8分又∵)432sin(125sinπππ-= 4sin 32cos 4cos 32sin ππππ-=42622212223+=⋅+⋅=， …………9分 ∴()f x 在]3,6[ππ∈x 时的最大值是4332142622)(m a x +=++⨯=x f . …………11分 ∵不等式()2f x m -<恒成立，即m x f <-2)(恒成立， …………12分 ∴m <-+2433，即453->m ，所以，实数m的取值范围是),453(+∞-. …………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题意可知当点Q 的坐标为（0，0）时，切线的斜率存在，可设切线方程为y kx =. ………1分则圆心到切线的距离1d ==，即2241k k =+，=k…………3分∴切线QA 、QB的方程为3y x =±.…………5分(2)设切线QA 、QB 的切点为1122(,),(,)A x y B x y .∵MA QA ⊥，则切线QA 的斜率为1112(0)QA x k y y -=-≠，…………6分则切线QA 的方程为11112()x y y x x y --=--.…………7分化简为211111(2)(2)yy y x x x x -=--+-，即211111(2)(2)yy x x y x x +-=+-∵点11(,)A x y 在圆22:(2)1M x y -+=上，得111(2)23yy x x x +--=-…………8分又∵(,)Q t t 在切线QA 上，∴11(2)23ty t x t +-=-①…………9分同理得22(2)23ty t x t +-=-②…………10分由①②可知直线(2)23t x ty t -+=-过点B A , ∴直线AB 的方程为(2)23t x ty t -+=-…………12分特别当10y =时，11x =或13x =当11x =时切线QA 的方程为1x =，解得1t =，得切点(2,1)B 此时AB 的方程为1x y -=上式也成立 当13x =时得3t =经检验方程也成立综上所述直线AB 的方程为(2)23t x ty t -+=-…………14分。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高中数学,三年,教学计划篇一：高中三年数学教学工作计划高中三年数学教学工作计划高中是人生中最重要的阶段，规划好未来三年的高中学习对孩子将来考大学,乃至工作有重要的影响。
和初中相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，学生由初中升入高中将面临许多变化，由于不了解高中数学教学内容特点和自身学习方法问题等因素，有不少同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。
出现这样的情况，原因很多。
在此结合数学教学内容的特点及高中考试大纲，智康教育结合实际案例对以上问题进行了分析，从个性化学习的角度为孩子规划全新的高中三年。
一、首先要认识高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上突变2、思维方法向理性层次跃迁3、知识内容的整体数量剧增4、知识的独立性大二、改变观念。
初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使学生的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。
例如在初中问|a|=2时，a等于什么，在中考中错的人极少，然而进入高中后，老师问，如|a|=2时，那么a等于什么，既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答：a=2。
就是以说明了这个问题。
又如，前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。
三、做好复习和总结工作。
1、做好及时的复习。
课完课的当天，必须做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。
数学(文)一轮教学案：第二章第6讲 对数与对数函数 Word版含解析
第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。
高一数学人教A版必修教案：2.1 等式性质与不等式性质(第二课时) Word版含答案
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质（第二课时）教学设计一、教学目标1.知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式。
2.过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。
3.情感态度与价值观通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣。
二、教学重难点1.教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式2.教学难点利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学过程ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么。
2.探索新知类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 （对称性）性质2（传递性）接下来请你试证明性质2类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有哪些性质？性质3（可加性）这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所的不等式与原不等式同向。
性质4（可乘性）不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。
学生：由两个实数大小关系的基本事实可证学生利用数轴对得出结论加以证明，加深理解。
培养学生自主学习能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程。
例1 已知求证. 证明：因为，所以ab>0,.于是，即.由c<0 ，得.根据已知的不等式的基本性质，你能猜想出不等式的基本性质还有哪些吗？性质 5 （同向可加性）性质6性质7（可乘方性）实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决问题的基本依据。
例2：已知x＞y＞z＞0，求证：.分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.证明：∵x＞y,∴x-y＞0. 让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。
(完整word版)高一数学：精品教案(全套打包)(新人教必修一)
人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题：集合的含义与表示(1)课型：新授课教学目标：（1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；（2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；（3）掌握常用数集及其记法；教学重点：掌握集合的基本概念；教学难点：元素与集合的关系；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程210x+=的解；（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点（9）全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4∉A，等等。
(完整word版)高等数学教案
高等数学教案教 学 过 程§3 函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x 无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x0 时, f(x)以A 为极限. 记作 0lim x x →f(x)A 或f(x)→A(当x →0x ).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ时, |f(x)-A|<ε .2. 单侧极限:若当x →x0- 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f(0x -)=A ;若当x →x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f(0x +)=A .3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε, 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x|>X 时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A 叫做函数f(x)当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f(x)→A(x →∞). A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论:A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .y y =x -1 -1 1 y =x +1 xO教 学 过 程§4 无穷大与无穷小.无穷大与无穷小1. 无穷小定义：如果函数f(x)当x →x0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n →∞时的无穷小.例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x0(或x →∞)中, 函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设Ax f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ时, 有|f(x)-A|< .令α=f(x)-A , 则α是x →x0时的无穷小, 且f(x)=A +α .这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f(x)=A +α , 其中A 是常数, α是x →x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|α|.因α是x →x0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|< 或|f(x)-A|这就证明了A 是f(x) 当 x →x0时的极限.简要证明: 令α=f(x)-A , 则|f(x)-A|=|α|.如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有f(x)-A|,就有|α|< ; 反之如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|<,就有f(x)-A| .这就证明了如果A 是f(x) 当 x →x0时的极限, 则α是x →x0时的无穷小; 如果α是x →x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x →x0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形. 例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 2. 无穷大定义：如果当x →x0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x(或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x0(或x →∞)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明: 如果0)(lim 0=→x f x x , 且f(x)≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f(x)≠0, 从而M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x0时的无穷大.如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时,有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小.简要证明:如果f(x)→0(x →x0)且f(x)≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|<ε , 即, 所以f(x)→∞(x →x0). 如果f(x)→∞(x →x0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|>M , 即, 所以f(x)→0(x →x0).教 学 过 程§5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A , lim g (x)=B , 那么(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)⋅g(x) = lim f (x) ⋅ lim g (x) =A ⋅B ;(3)B Ax g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x)=A , lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A +α,g (x)=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x) ±g (x)=(A +α) ± (B +β) =(A ± B) +(α± β),即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(α± β)之和. 因此lim [f (x) ± g (x)] =lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .定理2 如果(x)≥(x), 而lim (x)=a , lim ψ(x)=b , 那么a ≥b . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x)]=c lim f (x).推论2 如果lim f (x)存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x)]n =[lim f (x)]n .例3. 求93lim 2 3--→x x x .教 学 过 程§6 极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限 1. 夹逼准则准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn ≤xn ≤zn(n 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)ay n n =∞→lim ,az n n =∞→lim ,那么数列{xn }的极限存在, 且ax n n =∞→lim .证明:因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因yn ≤xn ≤zn , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了ax n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时，有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x);(2) lim g(x)=A , lim h(x)=A ; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A .第一重要极限：1sin lim 0=→xx x证明 首先注意到, 函数x xsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB x (0<x <2 π). 显然 sin x CB , x ⋂AB , tan x AD .因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x ,即 sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<x x x .注意此不等式当2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOBx (2 0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x ,从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要(x)是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u(x), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u .1sin lim 0=→xx x1)()(sin lim=x x αα((x)→0)2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限.如果数列{x n}满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n 1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n 1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n}满足条件x n ≤x n 1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.O CADB 1 x准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II , 可以证明极限nn n )11(lim +∞→存在.设nn n x )11(+= 现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式, 有nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n )11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n < x n +1 ,这就是说数列{xn}是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x第二重要极限：根据准则II , 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即en n n =+∞→)11(lim .我们还可以证明ex x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e 2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y e x 以及对数函数y ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要(x)是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e x x x =+∞→)11(lim , ex x =+)(1)](1lim[αα((x)→0).例3. 求xx x )11(lim -∞→.解: 令t x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x)11(lim -∞→tt t -∞→+=)11(lim e t t t 1)11(1lim=+=∞→.教 学 过 程§8 函数的连续性函数的连续性 1. 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u2u1.设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0x 时, 函数y 相应地从f(x0)变到f(x0x), 因此函数y 的对应增量为y f(x0x) f(x0).2. 函数连续的定义设函数y f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量x x x0趋于零时, 对应的函数的增量y f(x0x) f(x0 )也趋于零, 即 0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y f(x)在点x0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设xx0+x , 则当x →0时, x →x0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x0|< 的一切x , 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|< ,那么就称函数y f(x)在点x0处连续.3. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y f(x)在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y f(x)在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数y f(x)在点x0处连续⇔函数y f(x)在点x0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.4. 连续函数举例:1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(∞, ∞)内是连续的. 这是因为, f(x)在(∞, ∞)内任意一点x0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数x x f =)(在区间[0, ∞)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(∞, ∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(∞, ∞)内任意一点. 则有y =sin(x +x)-sin x)2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(∞, ∞)内是连续的.函数的间断点 1. 间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但limx x →f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0lim x x →f(x)存在, 但0limx x →f(x)≠f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1. 正切函数ytan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2.函数x y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x 0是函数x 1sin 的间断点. 当x →0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数x 1sin 的振荡间断点. 例3. 函数112--=x x y 在x1没有定义, 所以点x 1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x1时y 2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点.例4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x 1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f(x)的跳跃间断点.2. 间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1. 连续函数的和、积及商的连续性 定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)⋅g(x),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→.根据连续性的定义, f(x)±g(x)在点x0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y =f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2 ,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成,gf D x U⊂)(0. 若)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f(u)在0u 连续, 则)()(lim )][lim 00u f u f x g f u u x x ==(→→.简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|f[g(x)]-f(u0)|<ε .因为f(u)在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u0|<η 时, 有|f(u)-f(u0)|<ε .又g(x)→u0(x →x0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|g(x)-u0|<η. 从而 |f[g(x)]-f(u0)|<ε . (2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 0x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f[g(x)]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 0u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g(x),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=.把定理5 中的x →x0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim23--→x x x .解93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=.提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续 =g(x0)定理4 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成, U(x0)⊂Df og . 若函数u =g(x)在点x0连续, 函数y =f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y =f[(x)]在点x0也连续. 证明: 因为(x)在点x0连续, 所以limx x →(x)=(x0)=u0.又y =f(u)在点u =u0连续, 所以 0limx x →f[(x)]=f(u0)=f[(x0)].这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续.例4. 讨论函数x y 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及x u 1=复合而成的. sin u 当-∞<u<+∞时是连续的,x 1当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的,根据定理4, 函数x 1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的.2、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数ax (a>0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ≠1)作为指数函数ax 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x 的定义域随的值而异, 但无论为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则y =x =xa a log μ, 因此, 幂函数x 可看作是由y =au , u =logax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点, 则limx x →f(x)=f(x0).例5求21lim x x -→解 初等函数f(x)=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x .例6求xx sin ln lim 2π→解 初等函数f(x)=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x .例7. 求x x x 11lim 20-+→.解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x02011lim 20==++=→x x x .例8. 求x x a x )1(log lim0+→.教 学 过 程§1 导数概念一、 导数概念 1. 引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: S =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--,这个比值可认为是动点在时间间隔t =t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样:令t =t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令△x =x -x 0, 则△y =f (x 0+△x )-f (x 0)=f (x )-f (x 0), x →x 0相当于△x →0, 于是0)()(limx x x f x f x x --→成为xyx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量△x (点x 0+△x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0); 如果△y 与△x 之比当△x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f xyx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(0000,也可记为0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. 2. 导函数的定义式:xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(limhx f h x f h )()(lim-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系:A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00.三、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→hC C h . 即(C ) '=0.例2 求xx f 1)(=的导数解 hxh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3求x x f =)(的导数解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→ 例4．求函数f (x )x n (n 为正整数)在x a 处的导数.解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2⋅ ⋅ ⋅a n 1)=na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n 1, 即 (x n )'=nx n 1. (C )'=0, 21)1(xx-=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .例5．求函数f (x )sin x 的导数.解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h a a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==.特别地有(e x )′=e x .例7．求函数f (x )log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x hx f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(0-+=-+='→→h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a ah log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='.ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.1．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→都存在且相等.f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.2．导数与左右导数的关系:函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '(x 0) 和右导数f '(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '(a ) 和左导数f '(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. 例8．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f '(0)≠ f '(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f '(x 0)=tan , 其中是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x xk , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4xy 40. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x8y150.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-.根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.五、函数的可导性与连续性的关系设函数yf (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x yx xy y x x x x .这就是说, 函数y f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(∞, ∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.x(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )'=u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-5x 2)'+3x )'-7)'= 2(x 3)'- 5x 2)'+ 3x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2.2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '.解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.解: xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax aa a x y ya ln 1ln 1)(1)(log =='='.到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [(x )]也是常数, 此时导数为零,结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f xy ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ).简要证明x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u yx u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dxdy.解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xx y +=, 求dx dy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的,因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy .解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dyx x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy.解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ),v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy.解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．x e y 1sin =, 求dxdy.解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x xxe x x 1cos 11sin2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x )'= x -1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos xx --='.(15) 211)(arctan xx +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u vu '-'='. 反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dxdy1=.复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有(ch x )'=sh x . 例17. 求双曲正切th x 的导数解因为x x x ch sh th =, 所以xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数解 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='.类似地可得11)arch (2-='x x 211)arth (x x -='例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .教 学 过 程§4 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dxyd ,即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]'，)(22dxdydx d dx y d =.相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数 y '' y ''' y (4) ⋅ ⋅ ⋅ y (n )都称为高阶导数例1．y ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin t , 求s ''.解: s '=cos t , s ''=-sin t . 例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x xxx x y --=--=',22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,)24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )1, y ''=-(1+x )2,y '''(-1)(-)(1-x )3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )4, 一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(n -1)(1-x )n nn x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例7．求幂函数y =x (是任意常数)的n 阶导数公式.解: : y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .教 学 过 程§5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y e x yy +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3.求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x .从而 yx y 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k .所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得。
2021-2022学年广东省汕头市高一下学期期末教学质量检测 数学 Word版含答案
汕头市2021~2022学年度普通高中教学质量监测高一数学一､单选题（本题共8小频.每小颗5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B =（）A. {}1,3B. {}1,2C. {}2,3D. {}1,2,3【答案】A 2.2ii 1=-（） A. 1i -+ B. 1i --C. 1i -D. 1i +【答案】C3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A5. 函数()cos f x x x =⋅的部分图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】D 6. 函数sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是 A.4πB.2π C.πD. 2π【答案】C7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为26的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（） A. 5πB. (863π+C. 3πD.(1045π+【答案】D8. 一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bty ae-=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（）. A. 24min B. 26minC. 8minD. 16min【答案】D二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C 的含量（单位：mg ），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃 102104106107113116119121132134 柚子 109113114116117121121122131132 A. 每100克柚子维生素C 含量的众数为121 B. 每100克柚子维生素C 含量的75%分位数为121C. 每100克猕猴桃维生素C 含量的平均数高于每100克柚子维生素C 含量的平均数D. 每100克猕猴桃维生素C 含量的方差高于每100克柚子维生素C 含量的方差 【答案】BC10. 已知函数()25()log 23f x x x =--，则下列结论正确的是（） A. 函数()f x 的单调递增区间是[1,)+∞ B. 函数()f x 的值域是RC. 函数()f x 的图象关于1x =对称D. 不等式()1f x <的解集是(2,1)(3,4)--【答案】BCD11. 已知向量()sin ,cos a αα=，()1,2b =，则下列结论正确的是（）. A. 若a b ∥，则tan 2α= B. 若a b ⊥，则tan 2αC. 若()fa b α=⋅取得最大值，则1tan 2α=D. a b -的最大值为1 【答案】BCD12. 已知函数()f x =A. ()f x 是周期函数B. ()f x 的图象必有对称轴C. ()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D. ()f x 的值域为⎡⎣【答案】ABD三､填空题（每小题5分，共20分）.13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】1914. 已知正实数a ，b 满足4ab =，则19a b+的最小值为______． 【答案】315. 已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则x 、y 、z 从小到大的顺序为_______.【答案】x z y >>16. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn ）都”或“潮（qiàn ）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào ）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________.【答案】20四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 已知函数()1xf x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()14129f f +=-. （1）求a 的值； （2）解不等式()2f x >.【答案】（1）13（2）{1}x x <-18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm （即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm ）如下：0.070.240.950.98 1.020.98 1.37 1.400.39 1.021.44 1.580.54 1.080.610.72 1.20 1.14 1.62 1.681.85 1.200.810.820.84 1.29 1.26 2.100.91 1.31（1）因为样本数据的极差为2.100.07 2.03-=，所以取区间为[]0.03,2.13，组距为0.3，请把频率分布表补充完整；（2）请把频率分布直方图补充完整；（3）求得上述样本数据的平均数为1.08和标准差为0.45，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？ 【答案】（1）频率分布表见解析 （2）频率分布直方图见解析 （3）28 【解析】【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表； （2）根据频率分布表可作出频率分布直方图； （3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果. 【小问1详解】解：根据题意，频率分布表如下表所示：[)0.93,1.239 310[)1.23,1.53 6 15[)1.53,1.833 110[)1.83,2.132115合计30 1【小问2详解】解：频率分布直方图如下图所示：【小问3详解】解：平均数为 1.08x =，标准差为0.45s =，20.08x s -=，2 1.98x s +=， 在上述样本中，其中汞含量在()2,2x s x s -+范围内的鱼的条数为28.19. 如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=︒，14AD =，点P 是1AD 上的动点.（1）当P 为1AD 的中点时，求异面直线1AA 与1B P 所成的角的余弦值； （2）求1PB 与平面11AA D 所成角的正切值的最大值. 【答案】（1）64（2）23320. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5nmile ，与小岛D 相距为35nmile .BAD ∠为钝角，且3sin 5A =.（1）求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； （2）记BDC ∠为α，CBD ∠为β，求sin(2)αβ+的值. 【答案】（1）2nmile ，18平方n mile （22521. 如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 是边BC 的中点，DE 与AC 相交于点H ，现将ACD △沿AC 折起，点D 的位置记为D ，此时153ED '=，M 是AD '的中点.（1）求证：//BM 平面D HE '； （2）求证：CH ⊥面D HE '； （3）求二面角H ED C -'-的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）147【解析】【分析】（1）取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ，证明出平面//BMN 平面D HE '，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出AC DE ⊥，翻折后则有CH EH ⊥，CH D H '⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，分析可知二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，证明出CH FH ⊥，计算出CF 的长，即可求得CFH ∠的余弦值，即为所求.【小问1详解】证明：取线段AH 的中点N ，连接MN 、BN ， 翻折前，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，//BC AD ，则12CH CE AH AD ==， 所以，2AH CH =，翻折后，在三棱锥D ABC '-中，M 、N 分别为AD '、AH 的中点，则//MN D H '，MN ⊄平面D HE '，D H '⊂平面DH E '，//MN ∴平面D HE '，N 为AH 的中点，且2AH CH =，则AN NH CH ==，所以，H 为CN 的中点，又因为E 为BC 的中点，所以，//EH BN ，EH ⊂平面D HE '，BN ⊄平面D HE '，所以，//BN 平面D HE '， BNMN N =，所以，平面//BMN 平面D HE '，因为BM ⊂平面BMN ，//BM ∴平面D HE '. 【小问2详解】证明：在矩形ABCD 中，2CD AB ==，112CE BC ==， 226AC AD CD =+=，223DE CD CE =+=，因为12CH AH =，则1633CH AC ==， 因为//BC AD ，E 为BC 的中点，所以，12EH CE DH AD ==，则12EH DH =， 所以，1333EH DE ==，所以，222EH DH CE +=，则AC DE ⊥， 在三棱锥D ABC '-中，则有CH EH ⊥，CH D H '⊥， 因为D HEH H '=，所以，CH ⊥面D HE '.【小问3详解】解：在三棱锥D ABC '-中，233D H '=，33EH =，153ED '=，所以，222D H EH D E ''+=，D H EH '∴⊥，过点C 在平面CD E '内作CF D E '⊥，垂足为点F ，连接FH ，CH ⊥平面D EH '，D E '⊂平面D EH '，CH D E '∴⊥，因为D E CF '⊥，CFCH C =，D E '∴⊥平面CFH ，FH ⊂平面CFH ，D E FH '∴⊥，所以，二面角H ED C -'-的平面角为CFH ∠，在CD E '中，CD '=1CE =，ED '=，由余弦定理可得222cos 215CD ED CE CD E CD ED ''+-'∠==''⋅，所以，sin 15CD E '∠==，所以，sin 15CF CD CD E ''=∠=， 因为CH ⊥平面D EH '，FH ⊂平面D EH '，CH FH ∴⊥，所以，FH ==，故cos FH CFH CF ∠==H ED C -'-的余弦值为7.22. 已知函数()2f x x a x b =-+，()()()cos221cos 1g x x a x a a b R =+-+-∈，（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若[]10,a x π=∈，，求()g x 的最小值和最大值； （3）定义{}min ,x x y x y y x y≤⎧=⎨>⎩，，，设()()()min{,}h x f x g x =.若()h x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有三个不同的零点，求a 的取值集合. 【答案】（1）偶函数，证明见解析. （2）()min 98g x =-，()max 2g x = （3）11,,0,23a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭π 【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将cos x 看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于()00h =，则转化为()()0000g f ⎧=⎪⎨≥⎪⎩或()()0000g f ⎧≥⎪⎨=⎪⎩，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】()f x 是偶函数证：因为()f x 的定义域为R ,且()()()22f x x a x b x a x b f x -=---+=-+=∴f （x ）是偶函数【小问2详解】当1a =，则 ()cos2cos g x x x =+22cos cos 1x x =+-2192cos 48x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 又[][]0,cos 1,1x x ∈∴∈-，π ∴当1cos 4x =-时，()min 98g x =- 当cos 1x =时，()max 2.g x =【小问3详解】因为()()()()()2cos221cos 12cos 1cos f x x a x b g x x a x a x x a =-+=+-+-=-+，都是偶函数.所以()h x 在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是偶函数，因为()h x 恰有3个零点，所以()00h =，则有：()()0000g f ⎧=⎪⎨≥⎪⎩或()()0000g f ⎧≥⎪⎨=⎪⎩， ①当()()0000g f ⎧=⎪⎨≥⎪⎩时，即1a =-且0b ≥时，因为当()00x f x ≠≠，，令()()()2cos 1cos 10g x x x =--=，因为,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，解得0x =或3x π=±， 所以()g x 恰有3个零点，即1a =-满足条件：.②当()()0000g f ⎧≥⎪⎨=⎪⎩时，即1a ≥-且0b =时，此时()2f x x a x =-， 当10a -≤<时，()f x 只有1个零点0x =，且()0f x ≥，所以()h x 恰有3个零点等价于()g x 恰有2个零点， 所以12a -=，解得12a =-，此时()g x 有2个零点3x π=±符合要求， 当0a =时()2f x x =只有一个零点x =0，()g x 有2个零点3x π=±符合要求， 当0a >时，()0f x =解得0x =或x a =±，令()0g x =解得1cos 2x =或cos 0x a =-<（舍去）， 所以()0g x =的根为3x π=±，要使()h x 恰有3个零点，则3a π= 综上：11,,0,23a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭π。
高中数学下学期教案模板
高中数学下学期教案模板
主题：数学下学期教案
教学目标：
1. 熟练掌握下学期所学数学知识点。
2. 培养学生解决数学问题的思维能力和实际运用能力。
3. 培养学生良好的数学学习习惯和自学能力。
教学内容：
1. 几何学：三角形的性质，直线与圆的性质，平面向量。
2. 概率论：随机事件，条件概率，排列组合。
3. 数列与数学归纳法：等差数列、等比数列，递推数列，数学归纳法。
教学重点难点：
1. 三角形的相似性质的掌握和应用。
2. 概率论中的条件概率的理解和计算方法。
3. 数学归纳法的理解和应用。
教学方法：
1. 讲授：向学生讲解知识点，并示范解题方法。
2. 练习：让学生进行相应的练习，巩固所学知识。
3. 实践：引导学生应用所学知识解决实际问题。
教学评估：
1. 日常作业：布置相关数学作业进行日常评估。
2. 小测验：进行定期小测验检验学生对知识点的掌握程度。
3. 期中期末考试：进行期中期末考试，检验学生对整个学期数学知识的掌握水平。
教学资源：
1. 教科书：参考教科书上的相关知识点。
2. 网络资源：利用互联网资源进行教学辅助。
3. 数学工具：尺规、计算器等数学工具的利用。
教学安排：
每周三节数学课，一节理论课，一节练习课，一节实践课。
教学反馈：
定期收集学生的学习情况反馈，并根据学生反馈做出相应调整。
数学(文)一轮教学案：第二章第3讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1．思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．()(6)若函数f(x)＝x(x－2)(x＋a)为奇函数，则a＝2.() 答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13C.12 D ．－12答案 B解析 由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x答案 A解析 由函数奇偶性的定义知，B 、C 中的函数为偶函数，D 中的函数为非奇非偶函数，只有A 中的函数为奇函数，故选A.[考法综述] 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．命题法 判断函数的奇偶性及奇偶性的应用 典例 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [解析] (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.(2)由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] (1)D (2)C【解题法】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x－a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 C解析 令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1.故选C.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x ≥2a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．∵满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2－(－3a 2)≤1， ∴6a 2≤1，即－66≤a ≤66，故选B.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x ，即f (x )－g (x )＝e －x②，故由①－②可得g (x )＝12(e x －e －x)，所以选D.6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解 (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立， 令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(3)令函数g (x )＝e x＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x－1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x . 令h ′(x )＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e时，e a －1<a e －1； 当a ＝e 时，e a －1＝a e －1； 当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 1 周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2 最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意点 常见的有关周期的结论 周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a .1．思维辨析(1)若函数f (x )满足f (0)＝f (5)＝f (10)，则它的周期T ＝5.( ) (2)若函数f (x )的周期T ＝5，则f (－5)＝f (0)＝f (5)．( ) (3)若函数f (x )关于x ＝a 对称，也关于x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数．( )(5)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2016)＝0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，∴f (－2＋4)＝f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)， ∴f (2)＝0，f (2014)＝f (4×503＋2)＝f (2)＋503×f (2)＝f (2)＝0，故选A. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. [考法综述] 函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现．常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档．命题法 判断函数的周期性，利用周期性求值典例 (1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析] (1)由于f (x )周期为5，且为奇函数，∴f (8)＝f (5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (8)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.(2)因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x ≤π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案] (1)A (2)A【解题法】 函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 210－15＝－45－15＝－1.故选A.2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 D解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21－1＋20－1＝1.故选D.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b ＝cB ．b >a ＝cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析 由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A. 6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( )A ．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数答案 B解析因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)的奇偶性．[错解][错因分析]忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求．[正解]由于x∈[－2,2)，所以f(x)＝x2＋1的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋1是非奇非偶函数．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x答案 C解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2. [2016·衡水中学预测]函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( ) A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．[2016·枣强中学热身]若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数f (g (x ))是奇函数B ．函数g (f (x ))是奇函数C ．函数f (f (x ))是奇函数D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．[2016·衡水中学猜题]定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (y )x ＋f (x )y 成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)1＋f (1)1，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)－1＋f (－1)－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)x ＋f (x )－1， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．[2016·衡水中学一轮检测]设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.6. [2016·冀州中学模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 9．[2016·枣强中学月考]若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．[2016·武邑中学热身]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．[2016·衡水二中热身]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.(1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (2－x )，f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)fffff12．[2016·武邑中学期末]已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧ －1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. (2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0.∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧ x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.[2016·衡水二中预测]已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B 解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，①因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，②所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在[0,1]上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在[0,2]上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b . 14．[2016·衡水二中月考]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数，则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2，∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. [2016·衡水二中猜题]定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. ∴实数m 的取值范围是[0,1)．16．[2016·衡水二中一轮检测]已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数，∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2，当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。
新教材人教A版数学必修第二册学案：第9章9.1.1 简单随机抽样Word版含解析
9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样学习任务核心素养1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(重点)2．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(重点、难点)通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养数据分析素养．在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．问题：某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？知识点1全面调查和抽样调查调查方式普查抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查相关概念总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．个体：组成总体的每一个调查对象称为个体样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本．样本量：样本中包含的个体数称为样本量1．下列调查方式中，适合用普查的是() A．调查春节联欢晚会的收视率B．了解某渔场中青鱼的平均质量C．了解某批次华为手机的使用寿命D．了解一批汽车的刹车性能D[了解汽车的刹车性能，因为涉及人身安全，且对汽车没有破坏性，因此，应采用普查的方式．]2．某校共有1 005名高三学生参加2020年上学期开学考试，为了了解这1 005名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．下列叙述错误的是()A．总体是1 005名学生的数学成绩B．样本量是50C．个体是每一名学生D．样本是50名学生的数学成绩C[个体是每一名学生的数学成绩．]知识点2简单随机抽样的概念1．放回与不放回简单随机抽样放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．3．随机数法(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数．1．采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？[提示]为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．2．抽签法有什么优点和缺点？[提示](1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平．3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样．()(2)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读．()(3)利用随机数法抽取样本时，若总体容量为100，则给每个个体分别编号为1,2,3，…，100．() [答案](1)√(2)×(3)×4．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是()A．抽签法B．随机数法C．随机抽样法D．以上都不对B[由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]知识点3总体均值和样本均值1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，Y N ，则称Y＝Y1＋Y2＋…＋Y NN ＝1N∑i＝1NY i为总体均值，又称总体平均数．2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Y k，其中Y i出现的频数f i(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y＝1N∑i＝1kf i Y i．3．如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，y n，则称y－＝y 1＋y2＋…＋y nn＝1n∑i＝1ny i为样本均值，又称样本平均数．5．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2,4,5,7,9，则该样本的平均数为()A．4.5B．4.8C．5.4D．6C[y＝2＋4＋5＋7＋95＝5.4．]6．已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，则(x i＋y i)＝________，x i y i＝________．030[(x i＋y i)＝x i＋y i＝(－1＋0＋1)＋(－2＋0＋2)＝0，＝2＋0＋2＋8＋18＝30．]类型1简单随机抽样的判断【例1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．A．0B．1C．2D．3B[根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]具备哪些特征的抽样才是简单随机抽样？[提示](1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．[跟进训练]1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是()A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数法D．以上都不对D[由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]类型2抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．[解]第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．2．应用抽签法时应注意的问题(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号．(2)号签要求大小、形状完全相同．(3)号签要均匀搅拌．(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．[跟进训练]2．为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．[解](1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02， (30)(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．类型3随机数法及样本平均数的综合应用【例3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．162,277,943,949,545,354, 821,737, 932,354,873,520,964, 384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013, 785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667．(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499．计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．1．某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？[提示]采用随机数法，因为工人人数较多，制作号签比较麻烦，所以采用随机数法．2．某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？[提示]可对这100件产品编号为：001,002,003， (100)[解](1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002， (500)第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068．(3)y ＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g ，平均数为500.4g ，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？[解] 该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果．2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Y i ＝⎩⎨⎧1，质量不低于500 g 0，质量低于500 g ，公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下：1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例．[解] 由样本观测数据，计算可得样本平均数为y ＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56．随机数法的注意点(1)当总体较大，样本量不大时，可用随机数法抽取样本．(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．(3) 掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．[跟进训练]3．某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按简单随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：h)，数据如表．(1)(2)估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间．[解](1)由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过10小时的有5人，故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为520＝25%．(2)从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35．从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63．从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66．则35＋63＋665＋7＋8＝16420＝8.2．即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时．1．(多选题)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是()A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取)ABC[选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的要求，故错误；选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；选项D符合简单随机抽样的要求．]2．抽签法确保样本代表性的关键是()A ．制签B ．搅拌均匀C ．逐一抽取D ．抽取不放回B [若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]3．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01,02，…，33．一位彩民用随机数法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为( )7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 01983204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181A ．01B ．02C ．14D ．19A [从随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，依次是65(舍去)，72(舍去)，08,02,63(舍去)，14,02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19,97(舍去)，14(舍去)，01,98(舍去)，32；选出来的这6个数为：08,02,14,19,01,32，第5个红色球的编号为01．]4．在总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为________．120[据题意30N ＝0.25，故N ＝120．]5．某展览馆在22天中(全年中随机抽取的数据)每天进馆参观的人数如下： 180,158,170,185,189,180,184,185,140,179,192,185,190,165,182,170,190,183,175,180,185,147可估计全年该展览馆平均每天参观的人数约为________．177[根据题意，可用样本均值近似估计总体均值y －＝122×(180＋158＋170＋185＋189＋180＋184＋185＋140＋179＋192＋185＋190＋165＋182＋170＋190＋183＋175＋180＋185＋147)＝177．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)全面调查和抽样调查的适用范围是什么？(2)利用抽签法和随机数法抽样的步骤是什么？需要注意什么问题？(3)如何用样本均值估计总体均值？。
高中数学必修2直线与圆优质教案：直线与圆的位置关系(第2课时)Word版含解析
导入新课一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图1分析：如图1,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1),2(22y x x k y 得x 2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根, Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k=±33, 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|k k +=1,解得k=±33. 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x 0,y 0),此时可求得切线方程为x 0x+y 0y=1.然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x 0=1,从中解得x 0=-21. 再由点(x 0,y 0)在圆上,所以满足x 02+y 02=1,既41+y 02=1,解出y 0=±23. 这样就可求得切线的方程为22102320+--±=+-x y ,整理得y=±33(x+2). 点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便). 变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.图4解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=21||k b +=r,∴b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l 与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=222,ry x b kx y ,得x 2+k 2(x+b)2=1,即x 2(k 2+1)+2k 2bx+b 2=1,Δ=0得b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +. 例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.解:将圆的方程配方得(x+2a )2+(y+1)2=4342a-,圆心C 的坐标为(－2a ,－1),半径r=4342a -,条件是4－3a 2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a ＞4342a -. 化简,得a 2+a+9＞0,由⎪⎩⎪⎨⎧>->++,034,0922a a a 解得－332＜a ＜332,a ∈R . 所以－332＜a ＜332. 故a 的取值范围是(－332,332). 点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件. 拓展提升已知点P 到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1,求直线PN 的方程. 解:设点P的坐标为(x,y),由题设有||||PN PM =2,即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-,整理得x 2+y 2－6x+1=0.①因为点N 到PM 的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM 的斜率为±33. 直线PM的方程为y=±33(x+1).②将②代入①整理,得x2－4x+1=0.解得x1=2+3,x2=2－3.代入②得点P的坐标为(2+3,1+3)或(2－3,－1+3)；(2+3,－1－3)或(2－3,1－3).直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的.作业课本习题4.2 A组5、6、7.。
下学数学教案模板高中
下学数学教案模板高中
学科：数学
年级：高中
课时：1课时
教学目标：
1. 了解一元二次方程的定义和性质；
2. 掌握解一元二次方程的一般方法；
3. 能够应用解一元二次方程的知识解决实际问题。
教学重点：
1. 一元二次方程的定义和性质；
2. 解一元二次方程的一般方法。
教学难点：
1. 能够灵活运用解一元二次方程的知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 教学习题。
教学过程：
1. 导入（5分钟）：通过一个实际问题引入一元二次方程的相关概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解（15分钟）：讲解一元二次方程的定义和性质，以及解一元二次方程的一般方法，示范几道例题。
3. 练习（20分钟）：学生进行相关练习，巩固所学知识，解决一元二次方程的问题。
4. 总结（5分钟）：梳理一元二次方程的解题方法和注意事项，强调解题思路和技巧。
5. 课堂小结（5分钟）：概括本节课的重点内容，提出下节课预习任务。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对一元二次方程的概念和解题方法有了初步的了解和掌握。
在今后的教学中，要注重引导学生多进行实际问题的应用训练，提高他们的解题能力和综合素质。
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高一数学第二学期教学工作计划
xx明亮
一、指导思想：
1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
二、教材特点：
我们所使用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A 版）》，它在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承，借签，发展，创新之间的关系，体现基础性，时代性，典型性和可接受性等到，具有如下特点：
1．“亲和力”：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情。
2．“问题性”：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。
3．“科学性”与“思想性”：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比，推广，特殊化，化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。
4．“时代性”与“应用性”：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。
三、教法分析：
1．选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。
2．通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。
3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。
四、教学措施：
1、激发学生的学习兴趣。
由数学活动、故事、吸引人的课、合理的要求、师生谈话等途径树立学生的学习信心，提高学习兴趣，在主观作用下上升和进步。
2、注意从实例出发，从感性提高到理性；注意运用对比的方法，反复比较相近的概念；注意结合直观图形，说明抽象的知识；注意从已有的知识出发，启发学生思考。
3、加强培养学生的逻辑思维能力就解决实际问题的能力，以及培养提高学生的自学能力，养成善于分析问题的习惯，进行辨证唯物主义教育。
4、抓住公式的推导和内在联系；加强复习检查工作；抓住典型例题的分析，讲清解题的关键和基本方法，注重提高学生分析问题的能力。
5、自始至终贯彻教学四环节，针对不同的教材内容选择不同教法。
6、重视数学应用意识及应用能力的培养。