索洛 斯旺增长模型
有外生储蓄率的增长模型(the Solow-Swan model)
d ⎡ f (k ) k ⎦⎤ = − ⎡⎣ f (k ) − k ⋅ f ′ (k )⎤⎦ k 2 ，方括号 由于 f (k ) k 对 k 的导数为负（ ⎣ dk
中的式子等于劳动的边际产品，它为正。 ） ，所以（1.14）式的第一项是一负斜率 的曲线。它 k = 0 在时渐进于无穷大，而随着 k 趋于无穷大它接近于 0（注意到
c* = (1− s)⋅ f (k * ) 。因此，在新古典模型中，人均数量 y 、c 和 k 在稳态中都
不增加。 人均数量固定意味着变量 的速率增长。 以生产函数的移动来表示的技术水平的变化、储蓄率的变化、人口增长率及 折旧率的变化都对稳态中的各种人均水平产生影响。但是，值得注意的是：储蓄 率、人口增长率及折旧率的改变并不影响人均产出、资本和消费的稳态增长率， 它们全都为 0。由于这个原因，目前所涉及的索洛—斯旺模型并没有解释长期经 济增长的决定。
Y 、C 和 K 的水平在稳态中以人口增长率 n
2．1．4
资本积累的黄金律和动态无效率
对于一个给定的生产函数和 n 及 δ 的给定值， 对储蓄率 s 的每个值而言只有 唯一一个稳态值 k * > 0 。以 k * ( s ) 来表示这种关系，我们有 dk * ( s ) 人均消费的稳态水平为
* ⎟ ⎜ c* = ⎛ 1− s⎞ ⎟⋅ f (k ( s)) ⎜ ⎝ ⎠
图 2.4
索洛—斯旺模型的动态
通过上述分析，我们知道：对于任何初始值 k (0) > 0 ，经济都将收敛于 其唯一的稳态，即 k * > 0 。 我们还可以研究转移路径中产出的行为，人均产出增长率由：
γy ≡ y
f (k ) = ⎡ k ⋅ f ′ (k ) f (k )⎤ ⋅ γ y = f ′ (k )⋅ k ⎢ ⎥ k
高级宏观经济学索洛斯旺模型ppt课件-2024鲜版
2024/3/28
14
储蓄函数及影响因素
价格水平
价格水平上升，实际储蓄减少；价格水平下降，实际储蓄增加
2024/3/28
15
储蓄函数及影响因素
预期因素
对未来收入的预期、对未来支出的预期等都会影响当前的储蓄决策
2024/3/28
16
投资决策与资本边际效率
投资决策的原则
1
2
投资项目的收益要大于或等于其成本
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资本积累
通过投资形成的资本积累 是经济增长的另一个重要 源泉。
技术进步
技术进步可以提高生产效 率，降低成本，从而推动 经济增长。
8
稳态均衡分析
1 2
稳态均衡的概念
稳态均衡是指在长期中，经济系统达到一个稳定 的状态，其中各种经济变量的增长率保持恒定。
稳态均衡的条件
稳态均衡的实现需要满足一定的条件，包括投资 等于储蓄、劳动力增长率等于资本折旧率等。
02
货币政策对产出的影响
货币政策可以影响总需求，从而影响产出和经济增长。
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03
货币政策与通货膨胀预期的管理
通过有效的沟通和预期管理，货币政策可以影响通货膨胀预期，从而控
制通货膨胀。
31
产业政策与结构调整
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产业政策对结构调整的影响
通过鼓励或限制某些产业的发展，产业政策可以引导经济结构调整 。
2024/3/28
经济增长源泉的解析：索洛-斯旺模型首次将技术进步 引入到经济增长模型中，揭示了技术进步对经济增长的 推动作用，为经济增长理论的发展奠定了基础。
局限性
忽略经济结构变化：该模型假设经济结构不变，未能考 虑产业结构、就业结构等经济结构变化对经济增长的影 响，与现实经济情况存在一定差距。
Solow-Swan模型
第1章索洛-斯旺模型从本章开始，我们将利用三章的篇幅来探讨增长经济学的内容。
从初、中级的教科书中我们已经知道，增长经济学研究的是经济的长期行为，它重点要阐明一个国家或一个地区中生产能力的变化原因。
具体而言，我们要探讨生产要素的积累和技术的改进是如何导致了生活水平的提高。
在这部分内容中，我们将忽略经济的短期波动，并且假定劳动、资本以及原材料等生产要素都是被充分利用的。
经济的增长率一般是指国内生产总值（GDP）的增长率，这一指标衡量了一个经济的发展水平。
图1-1给出了我国在1978-2001年间的人均GDP水平。
从图中我们可以看到，以GDP衡量的我国经济水平经历了迅猛的发展。
图1-1 1978-2001年我国的人均GDP水平（单位：元/人）实际上，这并不是我国所特有的现象，如果我们考察一下整个世界范围内的经济数据也会发现，与三百年前相比，甚至与五十年前相比，整个世界的平均生活水平都有了大幅度的提高。
但是，与此同时，在世界上的不同国家之间，或者在同一国家的不同地区之间，生活水平之间的差异却又大得惊人。
图1-2描绘的是我国2001年度31个省市自治区的人均GDP情况。
图中的横坐标从左到右依次代表北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆。
从图中我们可以看到，最富裕地区上海的人均GDP（横坐标9）与最贫穷地区（横坐标24）之间的差距达到了34517元。
图1-2 2001年我国31个省市自治区的人均GDP（单位：元/人）单单只就上面提到的这两个事实（即在纵向上世界整体生活水平的迅速提高和在横向上各国之间或一国内的各个地区之间生活水平的巨大差异），关于经济增长研究的现实意义已不言而喻。
正如卢卡斯（Robert E. Lucas）所言：“印度政府是否可以采取一些手段来使得印度经济像印度尼西亚或埃及一样增长？如果可以，是什么手段？如果不可以，那么使得它之所以如此的印度国情究竟是什么？对于涉及于此类问题之中的人类福利而言，结果是令人惊愕的：一旦你开始考虑它们，就很难再考虑其他的事情了。
索洛-斯旺增长模型
比较不同国家或地区的发展水平
通过比较不同国家或地区之间索洛-斯旺模型的参数，可以评估各 国或地区的发展水平和发展阶段。
制定经济发展战略
根据索洛-斯旺模型的结论，政府可以制定针对性的经济发展战略， 优化资源配置，促进经济的持续增长。
引入动态分析，考虑技术进步和资本积累的相互作用；引入制度因素， 分析其对经济增长的影响；考虑非线性生产函数的可能性。
模型的发展方向与未来研究展望
发展方向
将模型与其他经济理论相结合，如内 生增长理论、人力资本理论等，以更 全面地解释经济增长现象。
未来研究展望
探索模型在发展中国家和发达国家的应用， 比较不同国家经济增长的异同；研究全球化 、技术创新等对经济增长的影响；进一步深 化对经济增长机制和动力的理解。
模型的基本假设
假设经济中只存在两种生产要 素：资本和劳动，且资本和劳
动之间可以相互替代。
假设生产函数是规模收益不变 的，即增加投入并不能带来更
大的产出。
假设经济中不存在技术进步和 资本折旧，即经济增长只取决 于资本和劳动的投入。
假设经济中的储蓄率、人口增 长率和技术进步率是外生给定 的，即不受经济系统内部因素 的影响。
06 结论
对索洛-斯旺增长模型的综合评价
01
贡献
索洛-斯旺增长模型为经济增长研究提供了重要的理论基础，它揭示了
资本、劳动和技术进步对经济增长的贡献，并解释了经济增长的源泉。
02
局限性
然而，该模型也存在一些局限性，例如假设条件过于严格，忽略了许多
现实世界中的复杂因素，如经济政策、市场失灵、资源限制等。
索洛增长模型的基本公式
索洛增长模型的基本公式
索罗模型最基础的公式也就是Kt+1=SF (kt，L)+(1-delta）Kt。
总体生产函数：(E是内生化之后的A，E*L代表的是效率工人）。
人均生产函数的推导：在稳态，人均投资（由储蓄转化而来）等于投资的折旧、广化和深化：其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k——有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进步率；——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均产出。
【拓展资料】
梭罗－史旺模型，又称索洛增长模型、新古典经济增长模型、外生经济增长模型，在新古典经济学框架内所提出的著名的经济增长模型。
由罗伯特·索洛与Trevor Swan在1956年各自提出独立提出的经济成长模型。
主要用于解释固定资本增加，对GDP所产生的影响。
模型假设：该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1；
该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数；
该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。
该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论：经济稳定增长。
模型结论：经济增长的路径是稳定的。
在长期，只有技术进步是增长的来源。
储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭和厂商效用最大化的权衡。
索洛-斯旺增长模型
• （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快 的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
• （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步 ，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
对于生产函数Y=F(K，AL)主要做出了三个假设：社会生产的规模报酬不 变、资本投入的边际收益递减、满足稻田条件。 1．规模报酬不变
对于规模报酬不变假设，可以从两个方面理解。第一层含义是说经济足 够大，使得专业化和社会分工的好处能被经济社会全部得到。第二层含义 是认为除了资本、劳动和知识之外，其他投入要素在生产中相对来讲都不 是重要的。
根据规模报酬不变F假 K设，,1可 以1将F生K产, A函L数写成密集形式：
AL AL
y f k
y为单位有效劳动的平均产量； k为单位有效劳动的平均资本量。
2.每种投入的边际产出为正且递减
3.满足稻田条件
（二）关于生产要素进化的假设
1．关于劳动L和知识A进化的假设 [假设4]劳动L和知识A以不变的速度增长。
模型的核心公式：
k*
无论 k在哪里开始，它总会收敛于 k *
(二)稳态与平衡增长路径
“稳态”是指一种在其中各种经济变量都以不变速率增长的状态。 在此状态下，经济的增长路径我们称之为“平衡增长路径”。
如上图所示：
平衡增长状态表
项目 总产量Y 有效劳动AL
资本K 人均资本K/L 人均产量v=Y/L 有效人均资本k=K/AL 有效人均产量y=Y/AL
其中，L(0)、A(0)为初始值
劳动和d知A识(t的)L进(t)化 ，dt 使 得A(有t)效L(t劳) 动A数(t量)L在(t)增长A，(t)其增L长(t)率为g ： n
索洛斯旺增长模型
•
（1）劳动力的增长： L (t)/L (t)[d(tL )/d]/tL (t)n
•
（2）知识的增长： A (t)/A (t) [d(tA )/d]/tA (t)g
其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度。 这样，劳动和知识呈指数型增长
其中，L(0)、A(0)为初始值
索洛—斯旺模型
Solow- Swan Model 1.基本假设
(一)关于生产函数的假设 (二)关于生产要素进化的假设
2.模型的动态学解释
(一)有效人均资本 k 的动态学
(二)稳态与平衡增长路径
3.参数变化的影响
4.收敛问题
5.模型的结论
1.基本假设
(一)关于生产函数的假设
假定经济社会在任何时间点上都是通过投入一定数量的资本、劳动和知识来生 产出一定数量的社会总产品。用Y表示社会总产品的产量，即总产出，用K表示投 入的资本量，L表示投入的劳动的量，A表示投入的知识量。产出Y、资本K、劳动L 和知识A是我们要集中研究的四个变量，这里把A看成是劳动效率或有效劳动：在 知识A的作用下，投入一个单位劳动相当于没有知识投入情况下的A个单位劳动， 意味着随着时间的推移，尽管劳动投入量保持不变，但有效劳动却是不断增加的。
• （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步 ，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
• （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的 “黄金律”增长。
• （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地 影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较 小的影响，且作用缓慢。
劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：
Solow-Swan模型
第1章索洛-斯旺模型从本章开始，我们将利用三章的篇幅来探讨增长经济学的内容。
从初、中级的教科书中我们已经知道，增长经济学研究的是经济的长期行为，它重点要阐明一个国家或一个地区中生产能力的变化原因。
具体而言，我们要探讨生产要素的积累和技术的改进是如何导致了生活水平的提高。
在这部分内容中，我们将忽略经济的短期波动，并且假定劳动、资本以及原材料等生产要素都是被充分利用的。
经济的增长率一般是指国内生产总值（GDP）的增长率，这一指标衡量了一个经济的发展水平。
图1-1给出了我国在1978-2001年间的人均GDP水平。
从图中我们可以看到，以GDP衡量的我国经济水平经历了迅猛的发展。
图1-1 1978-2001年我国的人均GDP水平（单位：元/人）实际上，这并不是我国所特有的现象，如果我们考察一下整个世界范围内的经济数据也会发现，与三百年前相比，甚至与五十年前相比，整个世界的平均生活水平都有了大幅度的提高。
但是，与此同时，在世界上的不同国家之间，或者在同一国家的不同地区之间，生活水平之间的差异却又大得惊人。
图1-2描绘的是我国2001年度31个省市自治区的人均GDP情况。
图中的横坐标从左到右依次代表北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆。
从图中我们可以看到，最富裕地区上海的人均GDP（横坐标9）与最贫穷地区（横坐标24）之间的差距达到了34517元。
图1-2 2001年我国31个省市自治区的人均GDP（单位：元/人）单单只就上面提到的这两个事实（即在纵向上世界整体生活水平的迅速提高和在横向上各国之间或一国内的各个地区之间生活水平的巨大差异），关于经济增长研究的现实意义已不言而喻。
正如卢卡斯（Robert E. Lucas）所言：“印度政府是否可以采取一些手段来使得印度经济像印度尼西亚或埃及一样增长？如果可以，是什么手段？如果不可以，那么使得它之所以如此的印度国情究竟是什么？对于涉及于此类问题之中的人类福利而言，结果是令人惊愕的：一旦你开始考虑它们，就很难再考虑其他的事情了。
【精品】索洛经济增长模型概述
索洛经济增长模型概述索洛经济增长模型（SolowGrowthModel）是罗伯特·索洛所提出的发展经济学中著名的模型，又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学框架内的经济增长模型。
正当1987年世界股票市场暴跌之时，瑞典皇家科学院宣布该年度诺贝尔经济学奖授于一直与里根政府的经济政策唱反调，主张政府必须有效地干预市场经济的美国麻省理工学院教授罗伯特·索洛（RobertM·Solow）许多经济学界人士认为，纽约股票市场的这场大动荡，恰恰证实了索洛坚持的理论，使他的经济增长理论成为当今世界热门研究课题之一。
可是，他的这一理论———表明各种不同因素是如何对经济增长和发展产生影响的长期经济增长模型，早在30年前他在一篇题为《对经济增长理论的贡献》的论文中就提出来了。
[1][编辑]索洛模型变量外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量：投资[编辑]索洛模型的数学公式[编辑]模型的基本假定[1]索洛在构建他的经济增长模型时，既汲取了哈罗德—多马经济增长模型的优点，又屏弃了后者的那些令人疑惑的假设条件。
索洛认为，哈罗德—多马模型只不过是一种长期经济体系中的“刀刃平衡”，其中，储蓄率、资本—产出比率和劳动力增长率是主要参数。
这些参数值若稍有偏离，其结果不是增加失业，就是导致长期通货彭胀。
用哈罗德的话来说，这种“刀刃平衡”是以保证增长率（用Gw表示，它取决于家庭和企业的储蓄与投资的习惯）和自然增长率（用Gn表示，在技术不变的情况下，它取决于劳动力的增加）的相等来支撑的。
索洛指出，Gw和Gn之间的这种脆弱的平衡，关健在于哈罗德—多马模型的劳动力不能取代资本，生产中的劳动力与资本比例是固定的假设。
倘若放弃这种假设，Gw和Gn之间的“刀刃平衡”也就随之消失。
基于这一思路，索洛建立了一种没有固定生产比例假设的长期增长模型。
该模型的假设条件包括：1.只生产一种产品，此产品既可用于消费也可用于投资。
索洛增长模型公式
索洛增长模型公式索洛增长模型（Solow Growth Model）是经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）于1956年提出的一种经济增长理论模型，用来解释一个经济体系长期稳定增长的原因和机制。
该模型的核心是一个生产函数，描述了技术进步、资本积累和劳动力的变化对经济增长的影响。
1.短期内，劳动力和资本积累规模都是固定的。
2.技术进步是外生的，即与资本积累和劳动力变化无关。
3.经济系统的均衡水平由劳动力与资本的投入和产出之间的比率决定。
Y(t)=F(K(t),AL(t))其中，Y(t)表示在时间t的产出（GDP）、K(t)表示在时间t的资本积累（物质资本）、AL(t)表示在时间t的劳动力。
F(K(t),AL(t))表示生产函数，描述了资本积累和劳动力变化对产出的影响。
生产函数通常是一个Cobb-Douglas生产函数，具体形式为：Y(t)=A(t)*[K(t)^α]*[AL(t)^(1-α)]其中，A(t)表示技术水平，α表示资本积累在产出中的比重，1-α表示劳动力的比重。
根据索洛增长模型，经济体系的长期增长取决于资本积累和劳动力变化的影响。
资本积累的增加可以提升产出，但随着资本积累的增长，其对产出的边际贡献递减。
劳动力的增加也可以提高产出，但同样受到边际贡献递减的限制。
另外，技术进步对经济增长的影响也是索洛增长模型关注的重点。
技术进步可以提高生产效率，使得单位资本和劳动力的投入能够创造更多的产出。
索洛增长模型中，技术进步被引入为生产函数中的A(t)项，它是一个外生变量，不受资本积累和劳动力的影响。
除了基本的索洛增长模型，后续的研究还对其进行了扩展和改进。
例如，考虑到资本积累和劳动力变化并非都是固定的假设，一些改进的模型引入了动态变化和人口增长等因素。
此外，一些研究还结合了不完全竞争市场和新经济学等理论，对索洛增长模型进行了进一步的发展。
总结来说，索洛增长模型是一种解释经济增长机制的经济学模型。
(高级宏观经济学课件)索洛—斯旺模型
4 储蓄率变化的影响
• 1、对产量的影响：储蓄率s的增加会使实际投资 曲线向上移动,因此k*上升，但到达新的k*值后， 它又将保持不变。
• 若k不变，则Y/L以速率g增长。若k递增，则Y/L 同时由于A和k的增长而增长，这时，增长率超 过g。但到达新的k*值后，增长率又是g了。
• 因此，储蓄率的一个永久性增加只能产生每工人平均产 量增长率的暂时性增加。K在一定时期内增加，但最终 将增加到一定水平，在这一水平上增加的储蓄将全部被 用于维持k的较高水平。
第二章
索洛—斯旺模型
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这一堂课的内容安排
• 1 模型的假设； • 2 资本存量的动态方程； • 3 平衡增长路径(稳态)； • 4 储蓄率变化的影响、资本积累的黄金律； • 5 定量分析：储蓄率变化； • 6 索洛模型与增长理论的中心问题； • 7 经验应用。
• 重点：资本存量的动态方程、平衡增长路径、索 洛模型与增长理论的中心. 问题。
• 注：如果Y=F(AK, L)，则技术进步为资本增进型；如 果Y=AF(K, L)，则技术进步为希克斯中性。
• ④所考虑的经济体是封闭的，在一个封闭经济中，产出 等于收入，投资额等于储蓄额(S=I)。
.
1 模型的假设
• 2、关于生产函数的假定：①规模报酬不变。两 个自变量同乘以任意非负常数，产量按同比例变 动。F(cK, cAL)=cF(K, AL)。
• 稻田条件意味着当k=0时，
f‘(k)很大，因而，实际投资曲 k &
线陡于持平投资曲线。
k 实际投资与持平投资
• 稻田条件也意味着k很大时， f‘(k)趋近于0。
k*
k
• 随着实际投资曲线变得平坦，
两条曲线最终将相交，并且，
索洛增长模型公式
索洛增长模型公式
索洛增长模型（Solow growth model）是经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）在20世纪50年代提出的一种经济增长模型。
该模型旨在解释一个国家或地区的长期经济增长率是如何由劳动力、资本积累和技术进步共同决定的。
索洛增长模型的基本公式如下：
Y = A * F(K, L)
其中，Y代表国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP），A代表全要素生产率（Total Factor Productivity，TFP），K代表资本存量，L代表劳动力。
公式中的F(K, L)代表生产函数，描述了劳动力和资本如何组合产生产出。
生产函数通常假设具有递增边际产出递减的性质，即增加资本或劳动力对产出的贡献越来越小。
索洛增长模型的核心假设是资本和劳动力的增长率均保持恒定。
在这种情况下，索洛模型分析了长期经济增长率随技术进步的变化情况。
模型还引入了储蓄率和资本边际产出率的概念。
储蓄率表示国家或地
区的储蓄行为，即将一部分收入用于储蓄或投资。
资本边际产出率则表示每新增一单位资本对产出的贡献。
通过对索洛增长模型进行数学推导和经济分析，经济学家可以研究技术进步、储蓄率和资本积累对经济增长的影响。
这个模型为经济政策提供了理论框架，帮助决策者制定增长战略和政策。
需要注意的是，索洛增长模型是一个简化的经济模型，假设非常理想化，忽略了很多现实经济中的复杂因素。
实际经济增长往往受到政治、制度、自然资源等多种因素的影响。
因此，在实际应用中，索洛增长模型仅作为一种参考工具使用，并不完全能够解释现实经济增长的复杂性。
高级经济学-第八章-SOLOW经济增长模型
第八章 SOLOW经济增长模型•一、经济增长理论：•在世界各地，生活水平差异之大几乎令人难以理解。
生活水平的这些差异对人的福利有着重要的含义。
实际收入在国家间的差异与营养、教育程度、婴儿死亡率、预期寿命，以及其他福利指标的差异密切相关。
与宏观经济学在传统上着重考虑的短期波动的各种可能后果相比，长期增长的福利后果更为重要。
如在一次一般的衰退中，人均实际收入仅比正常值低几个的百分点。
而在20年间生产率增长每放慢1个百分点，就会使人们的收入水平降低20%以上。
•如果印度的人均实际收入以平均年增长率1.3%增长下去，要花200年才能达到美国目前的水平。
如果以平均年增长率3%增长下去，这一过程所需时间不到100年，而如果以平均年增长率5.5%增长下去，所花时间只需50年左右。
正如罗伯特.卢卡斯（1988）所说“一旦一个人开始思考（经济增长问题），他就不会再考虑其他任何问题。
•二、模型的基本假定：•1、投入与产出的假定：•SOLOW模型包含四个变量：产量（Y），资本（K），劳动（L）和知识或劳动的有效性（A）。
在任一时间，经济中有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产产品。
生产函数的一般形式为：• Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) (8-1) •其中：t表示时间。
•生产函数有两个特点：•（1）时间并不直接进入生产函数，只是通过是K，L和A的函数而进入。
只有在生产投入变化时，产量才随时间而变化。
•（2）A和L以相乘的形式进入生产函数，AL称为有效劳动，以这种形式引入的技术进步称为劳动增进型或哈罗德中性的。
对A的这种进入生产函数的设定方式，与该模型的其他假定一起，将意味着资本-产量比K/Y最终将稳定下来。
•2、关于生产函数的假定：•生产函数对于其两个自变量资本和有效劳动是规模报酬不变的。
这意味着生产函数中对两个自变量同乘以任意非负常数，将使产量同比例变动：•F(cK,cAL)=cF(K,AL) （8-2）•对所有的c>=0都成立。
索洛模型和新古典增长模型的关系
索洛模型和新古典增长模型的关系
索洛模型就是新古典增长模型，二者本质上是同一个模型，该模型是由索洛等人在20世纪50年代提出的新古典经济增长模型，有时也被称为索洛-斯旺模型。
新古典增长模型的基本假设是经济中存在一种“黄金法则”，即每个工人除了正常休息外，还应该每天工作多少小时，才能达到最高产量。
基于这一假设，索洛和斯旺通过建立数学模型，描述了经济中总产出的增长率与劳动力增长率、资本增长率和技术进步率之间的关系。
在新古典增长模型中，总产出由劳动力、资本和技术进步共同决定。
假设其他条件不变，如果一个国家增加投资，即增加其资本存量，其经济增长率将提高。
这是因为在索洛模型中，资本的边际产量递减，所以增加资本存量会提高总产出。
然而，索洛模型也存在一些局限性。
例如，它假设生产函数是线性的，这意味着资本和劳动力的边际产量是恒定的。
然而，在现实中，生产函数往往是凸的，这意味着随着资本存量的增加，资本的边际产量会下降。
此外，索洛模型还假设技术进步是外生的，即技术进步是由外部因素引起的，而不是由经济活动本身引起的。
然而，在现实中，技术进步往往是由经济活动本身引起的。
因此，虽然索洛模型是一个重要的经济增长模型，但它并不能完全解释经济增长的所有方面。
为了更好地理解经济增长，需要综合考虑其他因素，如制度、政策、教育、文化和地理等。
中级宏观第二讲：索洛-斯旺增长模型
以 Y K L 为例，分析稳态条件下 s 、n 和 变化对经济增长的影响。
4、市场 （1）居民 （2）企业
dA/ dt [rA wL] C
(raw a )cna
F(K, L) (r )K wL
L[ f (k) (r )k w]
f (k ) r r f (k) （3）利润最大化条件：
f (k) kf (k) w
sf (k ) (n )k k
竞争市场引入不会改变索洛-斯旺模型的 基本结论
5、资本积累的黄金法则 资本积累的黄金法则（资本的黄金率）：稳 态条件下使得人均消费最大化的人均资本存 量 如果我们对当代和后代每一代的成员都提供 相同数量的消费——也就是说我们给予后代 的并不必给予我们自己的要少——则这一最 大化的人均消费量为 cgold
（3）稻田条件（Inada condition）
K 0
lim (F / K ) lim(F / L)
L 0 K
lim (F / K ) lim (F / L) 0
L
稻田条件的作用在于保证经济路径不发散
（4）必要条件 F(0, L) F(K,0) 0 生产函数的凹性是表达边际报酬递减的一 2 2 F / K 0 种多维形式。正式地讲，如果
c f (k ) sf (k )
c f (k ) (n )k
Max
c
dc / dk f ( k ) ( n ) 0
f (kgold ) (n )
cgold f (kgold) (n )kgold
6、转移动态（Transitional Dynamics） / k sf (k) / k (n ) k k / f (k) [kf (k) / f (k)][k / k] / y f (k)k y
索洛增长环境模型的稳态
索洛增长环境模型的稳态索洛增长模型（Solow-Swan Model）是一个描述经济增长的理论模型，由罗伯特·索洛（Robert Solow）和特雷弗·斯旺（Trevor Swan）于20世纪50年代独立提出。
该模型主要关注资本积累、劳动力增长和技术进步对经济增长的影响。
在索洛增长模型中，稳态（steady state）是指一个经济体系在长期内达到的一种平衡状态，其中各主要变量的增长率保持不变，产出、资本和消费等均以相同的速度增长。
在稳态下，资本存量（K）和有效劳动力（AL，即劳动力L与劳动生产率A的乘积）的增长率相等。
这意味着资本产出比（K/AL）保持不变，从而使得资本收益率（MPK，即边际产出率）也保持不变。
此外，由于资本收益率不变，储蓄率（s）和投资率（I/Y）也将保持不变。
因此，在稳态下，经济增长主要取决于外生给定的技术进步率和劳动力增长率。
要实现稳态，经济需要满足以下条件：1. 生产函数具有规模报酬不变的性质，即生产函数为柯布-道格拉斯形式：Y=AK^αL^(1-α)，其中0<α<1。
2. 技术进步是希克斯中性（Hicks-neutral）的，即技术进步不影响资本和劳动的边际替代率。
3. 资本折旧率为常数δ，且0<δ<1。
4. 储蓄率为常数s，且0<s<1。
5. 劳动力增长率为常数n，且n>0。
6. 市场是完全竞争的，资本和劳动的使用是有弹性的。
在稳态下，经济增长率等于技术进步率加上劳动力增长率，即g_Y = g_A + n。
这意味着，如果技术进步率和劳动力增长率之和为零，那么经济增长率也将为零，即经济将停止增长。
反之，如果技术进步率和劳动力增长率之和为正，那么经济将继续增长。
新古典增长模型
索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。
2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。
（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。
ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。
资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。
0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。
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4.收敛问题
收敛速度:k以多快的速度趋近于 k * 。
绝对收敛与相对收敛:
对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生
绝对收敛与相对收敛的概念。
绝对收敛：不同经济体；
相对收敛：同质经济体。
资本的边际产出递减意味着有着更低人均资本的经济趋于在人均项
上更快的增长。
k
绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因此穷国趋于追上富国。
索洛—斯旺模型
Solow- Swan Model 1.基本假设
(一)关于生产函数的假设 (二)关于生产要素进化的假设
2.模型的动态学解释
(一)有效人均资本 k 的动态学
(二)稳态与平衡增长路径
3.参数变化的影响4.收敛来自题5.模型的结论1.基本假设
(一)关于生产函数的假设
假定经济社会在任何时间点上都是通过投入一定数量的资本、劳动和知识来生 产出一定数量的社会总产品。用Y表示社会总产品的产量，即总产出，用K表示投 入的资本量，L表示投入的劳动的量，A表示投入的知识量。产出Y、资本K、劳动L 和知识A是我们要集中研究的四个变量，这里把A看成是劳动效率或有效劳动：在 知识A的作用下，投入一个单位劳动相当于没有知识投入情况下的A个单位劳动， 意味着随着时间的推移，尽管劳动投入量保持不变，但有效劳动却是不断增加的。
• （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步 ，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
• （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的 “黄金律”增长。
• （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地 影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较 小的影响，且作用缓慢。
谢 谢！
术进步。
对于生产函数Y=F(K，AL)主要做出了三个假设：社会生产的规模报酬 不变、资本投入的边际收益递减、满足稻田条件。 1．规模报酬不变
对于规模报酬不变假设，可以从两个方面理解。第一层含义是说经济足 够大，使得专业化和社会分工的好处能被经济社会全部得到。第二层含义 是认为除了资本、劳动和知识之外，其他投入要素在生产中相对来讲都不
资本K 人均资本K/L 人均产量v=Y/L 有效人均资本k=K/AL 有效人均产量y=Y/AL
增长率 g+n g+n g+n g g 0 0
3.参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
n,g,,s
政策最有可能影响的是储蓄率 1.储蓄率变化的影响方向分析 2.储蓄率变化的影响程度分析 3. 储蓄率的变动——资本的黄金律水平
时间t是连续的（非离散的）
•
（1）劳动力的增长： L (t)/L (t) [d(tL )/d]/tL (t) n
•
（2）知识的增长： A (t)/A (t) [d(tA )/d]/tA (t) g
其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度。 这样，劳动和知识呈指数型增长
其中，L(0)、A(0)为初始值
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远，增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
5.模型的结论
• （1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡 增长路径上，每个变量的增长率都是常数。
• （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快 的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。
是重根要据的规。模报酬不变F假AK设L,，1可 以A1L将F生K产, A函L数写成密集形式： y f k
y为单位有效劳动的平产均量； k为单位有效劳动的平资均本量。
2.每种投入的边际产出为正且递减
3.满足稻田条件
（二）关于生产要素进化的假设
1．关于劳动L和知识A进化的假设 [假设4]劳动L和知识A以不变的速度增长。
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
模型的核心公式：
k*
无论 k 在哪里开始，它总会收敛于 k *
(二)稳态与平衡增长路径
“稳态”是指一种在其中各种经济变量都以不变速率增长的状态。 在此状态下，经济的增长路径我们称之为“平衡增长路径”。
如上图所示：
平衡增长状态表
项目 总产量Y 有效劳动AL
技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型（劳动 密集型）；
生产函数的集约形式满足新古典假设；
人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，人口 和知识呈指数增长。
2.模型的动态学解释
(一)有效人均资本 k 的动态学
k 的动态变化： 在时刻t，有效人均资本 k 为
根据 Kt sYtKt 和
消费者的储蓄率为常数s,国内储蓄S=s ·Y等于国内投资I,这样， 资本存量的变化（即净投资）等于总投资减去折旧：
Kt sYtKt
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
假设总结
经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产 的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业 的均衡状态，储蓄总是等于投资；
经济中的技术进步可表述为劳动密集型，即生产函数可写为：
Y(t) = F(K(t), A(t)L(t))
(2-1)
如此形式的生产函数具有如下两层重要含义。
第一，时间因素不是以直接的方式，而是以间接的方式通过资本因素K、劳动因
素L和知识因素A进入生产函数关系之中的。
第二，知识与劳动连带进入生产函数。这种形式的技术进步就是劳动密集型技
劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：
d A ( t) L ( t) d A t( t) L ( t) A ( t) L ( t) A ( t) L ( t) g n
A ( t) L ( t)
A ( t) L ( t) A ( t)L ( t)
2．关于资本K进化的假设