[高一数学]单位圆与诱导公式一
单位圆与诱导公式
2.推导诱导公式 （1）角 与 的正弦函数、 余弦函数关系：
y P(u,v)
公式（2）
o
x P'(u,-v)
sin( ) sin cos( ) cos
例：（ 1） sin( ) sin 2 4 2 4
（2）cos（ -
6
） cos
任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数
用公式 一或二 用公式
任意正角的三角函数
用公式一
三或四或五
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，化成锐角再查表
点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行：
负化正，大化小，化成锐角再查表
注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个 公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，如本例（1） 完全可以这样来解：
（2）角 与 的正弦函 数、余弦函数关系： 公式（4）
sin －sin
cos －cos
回顾：
y
P(u,v) o
5 (3) cos( ) 4
2 cos( ) cos 4 4 2
x
P'(-u,-v)
角与
2
的正弦函数、余弦函数 关系
4.3 单位圆与诱导公式
（第一课时）
即u cos，v sin
P(u,v) 1.在直角坐标系中，给定单位圆，对 于任意角 ，终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角 的 正弦函数，记作 v sin ；点P的 横坐标u叫作角 余弦函数，记作 u cos.
1.4.3单位圆与诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式一.教学目标：（一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。
（二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
（三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。
二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。
四.学情分析： 五. 教学方法：讲授法与探究法。
六. 教学过程第1课时（一）、导入新课思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21；sin32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.（二）、推进新课 新知探究提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b) 和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(π-α)=sinα, cos （π-α)=-cosα.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα, cos(-α)=cos α,cos(2π-α)=cosα.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性. 讨论结果:略. 应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--∙--+∙+活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin ［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, cos(-180°-α)=cos ［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cos α, sin(360°+α)=sinα. 所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-∙∙-=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120° =cos45°-21-22+cos(180°-60°) =22-21-22-cos60°=-1.3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+b cos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+b cos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+b cos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+b cos(π+β) =-asinα-bcos β =-(asinα+b cos β),∵f(2 003)=-1,∴asinα+b cos β=1.∴f(2 004)=asi n(2 004π+α)+b cos(2 004π+β) =asinα+b cos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+b cos β=1，它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习1、2. （三）、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力. （四）、作业课本习题1—4 4、5、6.第2课时（一）、导入新课思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思路2.通过计算猜想引入，让学生计算3π，32π，6π，65π的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin3π=23,cos 65π=-23,这里65π＝2π+3π,sin 6π=21,cos 2132-=π,这里32π＝2π+6π. sin 65π=21,cos 3π=21,这里65π＝2π+3π，sin 3 2π=23,cos 6 π=23,这里32π＝2π+6π.猜想：sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. （二）、推进新课 新知探究 提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系.思路1.先得出α与2π-α的关系.①先计算sin3π、cos 6π、sin 3π、cos 6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sinα,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sinα=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.讨论结果:①—③略.思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sinα.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sinα与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式 sin (k·2π+α)=sinα，cos （k·2π+α)=cos α. sin(-α)=-sinα，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sinα，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sinα，cos （π+α)=-cos α.sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinαsin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin 6π=21 (3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos (π+4π)=sin 6πcos 4π+(-sin 6π)(-cos 4π)=21×22+21×22＝22. 点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路.例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-212.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值.解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos (8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x, 即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx 故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 知能训练课本练习2 1—4. （三）、课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”. （四）、作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3. 七、 板书设计：八、 关键词：九、教学反思：。
单位圆的对称性与诱导公式
轴对称点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y，关于
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同； 除此之外还有一些角，已知角 正（余）弦函 数值，那么，能否用它表示相关角（如 ， ， ）的正（余）弦函数值？
p与 P关于原点对称, Pu, v
③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即 与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式三
r 1
sin v cos u
P cos ,sin
Pcos ,sin
y
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
任意负角的正 （余）弦函数
用公式 一或二
任意正角的 正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余） 用公式
弦函数
三或四
0 ~ 2 正
（余）弦函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题 （2）选做题
从单位圆关于直线 y x，y x对称性
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数y cos x是 偶函数。
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角 的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角 的终边和单位圆的交点 P，那 么，p 和P有什么关系？
3
求 sin 3 的值
4.3单位圆与诱导公式
4.3单位圆与诱导公式§4.3 三角函数的诱导公式(一)班级：__________姓名：__________ 编制人：赵海莉一、教材分析（一）学习目标1.利用三角函数的定义、单位圆及对称性推导出几组特殊角之间的三角函数关系，即诱导公式二、三、四，并会利用诱导公式进行化简、求值、证明。
2. 通过自主、合作、探究掌握公式的内涵及结构特征.3.通过公式的推导与应用提升观察能力、分析归纳能力、领会数形结合的数学思想和化归的思想。
（二）重难点1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)2．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题．(重点)3．各种诱导公式的特征．(易混点)二、教学过程：（一）基础初探1．设α为任意角，终边上的点P的坐标为(x,y)，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系及对称P1的坐标.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.3.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan 210°＝33.()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．()(5)任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称. ()(6)任意角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称. ()（二）核心突破1.核心探究问题1:比较公式一和公式二，你能得出什么结论？问题2：.在正切函数的诱导公式中，α可以是任意角吗？问题3：α与α+k π(n ∈Z )的三角函数值的关系如何？利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？问题4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？2. 核心点击在处理k π±α，k ∈Z 时，需要注意什么，如何理解“符号看象限”？（三）题组冲关1.求值（1）已知角求三角函数值例1 求值：sin315°sin （-1260°）+cos570°sin （-840°）（2）给式求值例2 已知cos(-α)=，求cos(+α)-sin 2(α-)的值.变式训练：已知方程sin （α-3π）=2cos （α-4π），求的值（3）.给值求值例3 已知tan （π+α）=3，求的值2. 化简例4 化简6π3365π6π)sin()cos(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ--+-+-)2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--3222cos sin(2)cos(2)322cos ()cos()θπθπθπθθ+-+--+++-3. 证明恒等式例5 若k ∈Z ，求证：=-1点评：当三角函数的角中含有k π（k ∈Z ）时，不能直接应用诱导公式变形，需对k 分奇偶整数（或设k=2n 和k=2n+1，n ∈Z ）进行讨论，（四）分层训练、巩固拓展A 层1.用公式求下列三角函数值（1）0240cos =__________ （2）π65sin =__________； (3) tan （－30°）=_________ （4）01320cos =__________2. (A) 23- (B)21- (C) 21 (D) 23 B 层：1.已知3sin()5a π+=，那么sin(2)a π-的的值为______. 2. 已知cos(π＋x )＝31，则cos(π－x ) =_________. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________:（五）总结提升，课后延伸1．总结四个公式的特点和记忆方法。
1.4.3.2单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式使用说明：1.阅读探究课本2018-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.通过单位圆理解与的三角函数之间的关系.2.掌握诱导公式1.8～1.14,应用诱导公式进行求值,化简.3.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神。
【重点难点】重点：诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值,化简和证明等. 难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.一、知识链接1.角α与-α的正弦函数,余弦函数的关系式是2.角α与απ±的正弦函数,余弦函数的关系式是3.角α与πα-的正弦函数,余弦函数的关系式是二.教材助读 角α与2πα+的正弦函数,余弦函数的关系:设锐角α的终边与单位圆交于点p (a,b)，则角2πα+的终边与单位圆交于点1p ，由平面几何知识可知，点1p 的坐标为（,b a -）. 所以,点p 的横坐标cos α与1p 的纵坐标sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭相等。
即______________________________________________. 点p 的纵坐标sin α与点1p 的横坐标co s 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绝对值相等且符号相反，即______________________________________________三、预习自测1．补全下列正弦函数，余弦函数的诱导公式，并熟记。
()sin 2k πα+=_______,()cos 2k πα+=_______(1.8)()sin α-=_______,()cos α-=________(1.9)()sin 2πα-=_______,()cos 2πα-=_____(1.10)()sin πα-=_______,()cos πα-=_______(1.11)()sin πα+=_______()cos πα+=_______(1.12)sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=______cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=_______(1.13) sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________(1.14) 总结：任意负角的正余弦函数用公式1.8或1.9；任意正角的正余弦函数用公式1.8； 0～2π角的正余弦函数用公式1.10～1.14. 2．求下列函数值:(1) 5sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭: (2) 55sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭预习案(3) 5115sin cos sin cos 6464ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.化简: ()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---2在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p --,分别求角α，2πα+，2πα-的正弦函数值，余弦函数值。
人教版高中数学必修第一册5.3诱导公式 第1课时 诱导公式(1)【课件】
【问题8】从诱导公式二、三、四的结构特征来看,它们的主要作用
是什么?
【问题9】我们可以怎样运用诱导公式二、三、四来计算任意角的三
角函数值? 请举例说明.
【问题10】你能归纳出运用诱导公式一、二、三、四求任意角的三
角函数值的一般步骤吗?
典例精析
【例1】 [教材改编题]求下列三角函数值：
化简条件和结论后再求值.
【变式训练3】已知k∈
(−) [(−)−]
，求证则
[(+)+](+)
= −
【解】
(−)(−)(+)
（备选例题）已知α是第三象限角,且f(α)=
(−−)(−−)
(1)
【问题5】在之前的讨论中我们知道角的终边除了关于原点对
称的情况外，还有关于x轴、y轴对称的情况．请你试着探究当角
的终边关于x轴、y轴对称时，三角函数值之间的关系．
【问题6】你能发现公式一、二、三、四的共同特征吗？
【活动3】归纳总结求任意角三角函数值的一般流程
【问题7】诱导公式二、三、四中等式右端的符号由角的象限确定,
第五章
三角函数
5.3
诱导公式
第 课时
诱导公式
教学目标
1. 借助单位圆和任意角的三角函数的定义,探究和推导三
角函数诱导公式二、三、四.
2. 在推导诱导公式二、三、四的过程中,理解和掌握诱导
公式二、三、四的结构特征.
3. 能熟练运用诱导公式二、三、四进行简单三角函数式
的求值、化简与恒等式的证明.
学习目标
若sin(α-3π)= ,求f(α)的值;
(2) 若α=-1920°,求f(α)的值.
1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
A
sin
A
sin
A
cos
A
则 2
.
2
2
2
故选：A
）
1
7
cos
sin
6．已知 12 3 ，则 12 的值等于（
2 2
A．
3
1
B．
3
1
C．
3
）
2 2
D．
3
7
1
【详解】由诱导公式得 cos sin
去化简：“奇变偶不变，符号看象限”，
口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变
三角函数名，
“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看 + 所
在的象限.
(运用公式时，默认为锐角)
例如： + = ， + = −，
2
cos −
作 + ，其中n
=1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).
只需注意，关于
− 和-
的诱导公式，在做了 +
和α-π的公式变化之后，还要借助于- a的诱导公式·
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1
或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦
函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是
高一数学教案：《单位圆的对称性与诱导公式》教案
高一数学教案：《单位圆的对称性与诱导公式》教案希用标1.知识与技S3使学生掌握MCf+Q, -S, 13(^-a.洸(T-次角的正弦，余茂的诱导公式及其探求思路，并育豆E确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明;2•过程与方法在利用单位国的对称性推到诱导公式中，进/培养用几何方法研究代数问题的意识◎工情感态度与价值观通过本节的学习，观察三角函数值得变化规律，认识事物间的内在联系，再一次体会周期性、对称性在研究问题巾的价值.蝴分析借助单位图的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦函数、余弦函数的诱导公式.因为圆关于它的任意一条直径又惭，且关于图心对称，由此，在直角坐标系的单位图中,当角“是锐角时，利用角S与-。
关干K轴对称，角口与l-比关于轴对称、角小与k十白关于原点对称，可以得出相关的结论。
艇室正、余弦图数诱导公式的理解和应用班学西点正、余弦函数诱导公式的理解和应用聂学方法与手段在单位圆中利用对称性研究正余?玄函数的诱导公式,充分体现了数俏合思想和化归思想.学生容易理解，易于接受，因此可以比胆放手给学生，让学生自已通过探究，发现诱导公式。
一、复习引入：诱导公式-：0in（ a * 鼠360 °） - sin acos（a -x- 360°） = cos a（其中kuZ）用弧度制可写成sin（a - 2br） = sin acos（cz -t- 2kjr） - cos a（其中* E Z）诱导公式（一）的作用；把任意角的正弦、余弦、正切化为0。
-36T之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0。
―360。
内找出与角a终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的开纳，然后得出结果这组公式可以统一概括为/（a-2Q”）=/（a、* Z）的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正.运用公式时，注意“孤度”与“度”两种度量制不要1星用，如写成$出（80。
单位圆的对称性与诱导公式
问题探究2
关于原点对称
y
（3）sin
O
4
3
P (cos
？
,
sin
)
（4）sin
2
3
？x
P
(cos( ),sin( ))
或(cos( ),sin( ))
P与P关于原点对称，横 坐标绝关对于值原相点等对称且符号 相反，关纵于坐y轴标对绝称对值相
等且符号相反.
公式三：sin( ) sin co（s ） cos sin( ) sin co（s ） cos
sin( ) sin co（s ） cos
sin( ) sin co（s ） cos
[0,2π]的 角的三 角函数
课堂小结
通过这节课的学习， 你有什么收获吗？
1.诱导公式（一）（二）（三）（四）；
口诀: 把a看成锐角时“函数名不变，符号看象限”
2. “数形结合” 、“转化与化归”的数学思想， 特殊到一般的归纳思维形式 ；
3. 感受到数学的对称美；
结束语
一切平 面图形中最美 的是圆形，一切 圆中最美的是
单位圆.
——毕达哥拉斯学派
谢谢观看
sin( ) sin co（s ） cos 公式四： sin( ) sin co（s ） cos
口诀: 把a看成锐角时 “函数名不变，符号看象限”
深化概念
你能概括一下我们研究诱导公式的思想方法吗？
任意角
单位圆 的对称
终边的 对称关
形
对
性
系
称
美
对称点 的数量
关系
三角函 数之间 的数量
（1）sin
3
3 2
（2）sin(
3
4.3单位圆与诱导公式
sin(π－α)＝sin α 诱导公式三 cos(π－α)＝－cos α
tan(π－α)＝－tan α
[π/2, π)转化为[0, π/2)
sin(－α)＝－sin α 诱导公式二 cos(－α)＝cos α [-π/2, 0)转化为[0, π/2)
tan(－α)＝－tan α
负化正
知识点四 诱导公式四
1、第三象限角与第一象限角的 关系？ 2、角α与角π＋α有怎样的关系？
3、角π＋α的终边与单位圆的交点 P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点 P(cos α，sin α)有怎样的关系？
sin(π＋α)＝－sin α 诱导公式四 cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
[π, 3π/2)转化为[0, π/2) [π, 2π)转化为[0, π)
但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中 角的正切值有意义.
2.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × )
题型一、给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°； 解 cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝
(4)cos(－1 920°). .
(4)cos(－1 920°). 解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝ .
2、求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°；
(3)tan(－945°).
解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝ . 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝ .
单位圆与诱导公式PPT课件
【答案】
A
π 2 2π 4．已知 cos －α ＝ ，则 sin(α － )＝________. 3 6 3
【解析】
π π 2 sinα － π ＝sin－ － －α 3 2 6
π π π 2 ＝－sin ＋ －α ＝－cos －α ＝－ . 3 6 2 6
∴cos α ＝ 1－sin2α ＝
2 5 1－(－ )2＝ ， 3 3
2 － 3 sin α 2 2 5 tan α ＝ ＝ ＝－ ＝－ . cos α 5 5 5 3
【答案】
B
17π 17π －sin－ 的值是( 3．cos－ 4 4
)
A. 2 C．0
【解析】
【思路点拨】 化简时注意观察题设中的角出现了kπ ，需 讨论k是奇数还是偶数 【自主探究】 当k＝2n(n∈Z)时，
sin(2nπ －α )cos[(2n－1)π －α ] 原式＝ sin[(2n＋1)π ＋α ]cos(2nπ ＋α )
＝ ＝
sin(－α )²cos(－π －α ) sin(π ＋α )²cos α －sin α (－cos α ) ＝－1； －sin α ²cos α
3k＋1 3k－1 π ＋α ＋cos π －α ，k∈Z. 1．化简：cos 3 3
【解析】
当 k＝2n，n∈Z 时，
π π 原式＝coskπ ＋ ＋α ＋coskπ － －α 3 3 π π ＝cos2nπ ＋ ＋α ＋cos2nπ － －α 3 3 π π ＝cos ＋α ＋cos－ －α 3 3 π π π ＝cos ＋α ＋cos ＋α ＝2cos ＋α . 3 3 3
高中数学角函数单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式()
解析 ∵x∈－π6，π6，∴结合单位圆知 sin x∈－12，12，即－12 ≤2m＋3≤12.∴－74≤m≤－54. 答案 C
12/13/2021
3．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们 的终边关于 y 轴对称 .若 sin α＝13，则 sin β＝________．
12/13/2021
【预习评价】 1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下
表.
角 2kπ＋α π－α π＋α －α 2π－α
所在象限 一
二
三 __四___ __四___
12/13/2021
2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边 与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.
12/13/2021
2．化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对 值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值． (2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式 变角.
12/13/2021
课堂达标
1．sin 585°的值为( )
A．－
2 2
2 B. 2
12/13/2021
知识点2 2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α. (1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.
(1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α. (1.10)
12/13/2021
题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题 【例2】 求下列函数的值域：
高中数学单位圆与诱导公式
高中数学单位圆与诱导公式
课题：单位圆与诱导公式1 .
主备：王红宁审核：复审：
一、预习及自主探索
1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等．
即公式一：。
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、
关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
2、角α的终边与角ˉα的终边关于x 轴对称，α与ˉα的三角函数值之间的关系为：
公式二：。
思考：角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何？
3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为：
公式三：。
4、角α的终边与角π-α的终边关于y 称，α与π-α的三角函数值之间的关系为：
公式四：。
二、合作探究（识记内容及重点知识）
1、求下列三角函数值：
（1）sin 960 ；（2）)643cos(π；（3）)4
19cos(π-
2、利用单位圆，求适合cos 2
2-
=α的所有角
※3、化简
)2cos()2sin()
5sin()3cos(αππαπαπα-?-?+- 三、课堂知识反馈与巩固
四、学生知识小结和学习心得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
编制：李彩英审核：包科领导：年级主任：使用时间：
单位圆与诱导公式（一）
【学习目标】
1、理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三
角函数式的化简；
2、通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思
维方式；
3、感受学习、探索发现的乐趣与成功快乐。
【重点.难点】
重点：诱导公式的推导及应用。
难点：相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【使用说明与学法指导】
1.结合问题导学，用红色笔勾勒出疑惑点，独立完成探究题，并归纳总结；
2.限时30分钟完成导学案；
3.带※的重点班的C层可以不做。
一、问题导学
1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等．
即公式一：。
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
2、角α的终边与角¯α的终边关于x轴对称，α与¯α的三角函数值之间的关系为：
公式二：。
思考：角2π-α与角α的三角函数值之间关系如何？
3、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为：
公式三：。
4、角α的终边与角π-α的终边关于y称，α与π-α的三角函数值之间的关系为：
公式四：。
二、合作.探究.展示
1、求下列三角函数值：
（1）sin960；（2）)
6
43
cos(
π；（3）)
4
19
cos(
π
-
2、利用单位圆，求适合cos
2
2
-
=
α
※3、化简)
2
cos(
)
2
sin(
)
5
sin(
)
3
cos(
α
π
π
α
π
α
π
α
-
⋅
-
⋅
+
-
三、当堂检测
四、课堂小结。